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• Victor Montoro Budinich

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Ejercicio 1 Deduzca las expresiones de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración en vibración libre sin amortiguamiento de un oscilador de un grado de libertad. Considere condiciones iniciales y grafique la respuesta del oscilador, indicando claramente sus propiedades.

APLICANDO D´ ALEMBERT

Fi+ Fd + fr =P(t ) Fi= Fuerza de Inercia Fd= Fuerza de amortiguamiento Fr= Fuerza resorte (resistente)

m u´ (t )+ C u´ (t )+ k u (t )=P(t ) Ecuación diferencial de 2º orden no homogénea y de coeficientes constantes

CASO PARTICULAR C=0 sin amortiguamiento P (t)=0 sin carga externa Condiciones iniciales Desplazamiento inicial u(0)=0 t=0 Velocidad inicial

u´ (0)=0 t=0 m u´ ( t )+ k u ( t ) =0

Las siguientes soluciones también satisfacen la ecuación

u1= A cos wn t u2=B sen wn t

La solución general será la combinación lineal de ambas

1. DESPLAZAMIENTO U (t )=A cos w n t +B sen w n t

2. VELOCIDAD ´ (t )=−w n A cos w n t +w n B sen wn t U

3. ACELERACIÓN ´ ( t ) =−w n2 A cos w nt −w n2 B sen w nt U

PROPIEDADES Frecuencia Circular Natural ( W n ) Wn =

√

k m k= Rigidez

M= masa  Periodo Natural de Vibración ( T n ) T n=

2π Wn

 Frecuencia Natural ( f n ¿

f n=

1 Tn

Ejercicio 3 PARTE A

m=

w

=

g

700

=71.356 kg

9.81

L= 2.25 m

0.12 x 0.213 I=

12

E=210GPa

−5 4

=9.261 x 10 m

=

E=

20 x 109

N 3( 20 x 109 )(9.261 x 10−5 m4 ) m2 3 EI k= 3 = =487822.22 L 2.253 Frecuencia circular natural

w=

Periodo Natural

√ √

k 487822.22 N / m = =82.683 rad / s m 71.356 kg

N m2

T=



2π

2π = =0.076 s w 82.683

Frecuencia natural de vibración

1

f=

=13.16 Hz

0.076 PARTE B

m=

w

=

g

700

=71.356 kg

9.81

L= 2.25 m

0.12 x 0.213 I=

12

E=210GPa

768 EI k= = 53 L3

−5 4

=9.261 x 10 m

=

E=

768(20 x 109

N

)(9.261 x 10−5 m4 )

2

m 53 X 2.253

Frecuencia circular natural

=2356273.375

20 x 109

N m2

w=

√ √

k 2356273.375 N / m = =181.718 rad / s m 71.356 kg

Periodo Natural

T=

2π

2π = =0.035 s w 181.718

Frecuencia natural de vibración

f=

1 0.035

=28.57 Hz