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• Ivan Chavarria Antelo

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 6 Se desea diseñar una viga de hormigón preesforzado postensada que soportará una carga viva de 1000 lbrs/pie y una carga muerta adicional a su peso propio de 500 lbrs/pie. La luz de viga será de 40 pies. El hormigón tiene un peso unitario normal de 150 lbrs/pie 3 . La resistencia de diseño del lbrs

hormigón es de ƒ c  6000 plg 2 . Para efectos de cálculos se estima que al momento de la transferencia el hormigón tiene una resistencia del 70% de su resistencia última. Tomar por perdidas 15% del preesfuerzo inicial, por lo que R=85% (que afectará al momento por peso propio) Determinar las dimensiones requeridas del hormigón, la magnitud de la fuerza pretensora y la excentricidad constante del centroide del acero basados en los esfuerzos permisibles. Datos: Luz = 40 pies ƒ c  6000 lb/plg 2

Pérdidas = 15% Relación de efectividad = R = 0.85 Cargas: Wd = 500 lb/pie Wl = 1000 lb/pie Nota: El espesor del alma es de 6”

1) Calculo de esfuerzos permisibles a compresión y tensión. De tabla 3.1 tenemos: ƒ  ci



0. 70·ƒ  c

ƒ



0. 60·ƒ  ci

ƒ ƒ ƒ

ci

ti

cs

ts

  

ƒ  ci

6· 

0.45

6·









6·

·ƒ  c

ƒ  c

0.7·6000 



6·



4200 

0.45

6000

Relación luz – peralte:

42



390

·600



ƒ ci  Resistencia de H˚ en el momento de la transferencia producida por el preesfuerzo inicial. ƒc  Resistencia del H˚ a los 28 días.

2) Estimación del peso propio de la viga.



0.6·4200

465

l l 15 a 20 adoptamos  16 h h luz 40 h   2.5 pies  30plg.(para seccion rectangular) 16 16

Asumimos: b = 12 plg. Para sección diferente de rectangular tomar: Factor de forma = 70% u 80% = 0.7 u 0.8 Área de concreto = b*h = 12*30 = 360 plg 2 = 2.50 pies 2  H º  150

lb pie 3

Peso propio de la viga = A*factor de forma*  H º Peso propio de la viga = 2.50*0.70*150 = 262.5

lb lb  270 pie pie

3) Cálculo de momentos a) Momento por peso propio(Mo): q0 l 2 270* 402   54000 lb  pie  54.0 klb  pie 8 8 b) Momentos por carga muerta y viva ( M d ; M l ) Mo 

Wd * L2 Wl * L2 500* 402 1000* 402 M d  M l     300000lb  pie  300 Klb  pie 8 8 8 8 4) Cálculos de módulos de la sección requeridos

s1 

s2 

M0  Md  Ml  54000  300000  lb  pie *12 p lg 1404 p lg3  R * ƒ ti  ƒ cs  lb   lb   -2700 * pie   0.85*3.90  2  2  plg   plg    M0  Md  Ml  54000  300000  lb  pie *12 p lg  1629 p lg3  ƒ ts  R * ƒ ci  lb   lb   0.85  2520 * pie   465  2  2  plg   plg   

5) Selección de la sección transversal y sus propiedades

Peralte (h) = 30.5 plg. Ancho del patín (b1) = 12 plg. Espesor del ala (t1) = 6 plg. Longitud (a1) = 18.5 plg. Espesor (t2) = 6 plg. Espesor (b2) = 12 plg. Espesor (bw) = 6 plg.

Elemento Cant. 1 1 2 1 3 1 S c1 

B 12,0 12,0 6,0

h 6 6 18,5

Área (A) 72 72 111 255

y 27,50 3,00 15,25

A·y 1980 216 1692,75 3888,75

Y' 12,25 12,25 0,00 24,50

a·Y'^2 10804,50 10804,50 0,00 21609,00

 Ay  3888.75  15.25 p lg . 255 A

c 2  h  c1  30.5  15.25  15.25 p lg .

I c   I 0   A·d 2  3597.8  21609  25206.81 p lg 4 Ac  255 p lg 2

Obteniendo los módulos de sección y comparando con los módulos de sección requeridos s1 

I c 25206.81   1652.91 p lg 3  1404 p lg 3 OK C1 15.25

s2 

I c 25206.81   1652.91 p lg 3  1629 p lg 3 OK C2 15.25

Comprobación del peso propio: lb 1 pie 2 lb lb *  265.63  270 OK 3 2 2 pie 12 p lg pie pie 6) Cálculo del esfuerzo en el centroíde del concreto (ƒcci)

W0  Ac *  H º  255 p lg 2 *150

Empleando la ecuación 6 C1 C 15.25 1 pero : 1    ƒti  ƒ ci  h h 30.50 2 1 lb Entonces ƒ cci  390   390   2520    1065.0 2 plg 2

ƒ cci  ƒ ti 

7) Cálculo de la fuerza pretensora inicial (Pi) De ecuación 7 Pi  A c ·ƒ cci  255*1065.0  271575 lb  272 klb

8) Cálculo de la excentricidad requerida (e) De ecuación 8

e   ƒ ti  ƒ cci  *

S1 1653   390   1065  *  8.85 p lg P1 272000

Io 216,0 216,0 3165,8 3597,8

9) Elección del acero del preesfuerzo Por ejemplo se desea tomar 2 tendones de alambre de ¼ plg de diámetro Resistencia mínima de tensión (tabla 2.1) para alambre sin revestimiento para ¼” de diámetro 240.000.(min. Resistencia de tensión para el tipo BA) ƒ pu  240000

lb para tipo " BA" plg 2

De (tabla 3.2) el esfuerzo permisible para el acero de preesfuerzo se toma:

ƒ pe  0.70·ƒ pu  0.7 * 240000 168000

lb klb  168 2 plg plg 2

El área del acero de preesfuerzo: Ap 

pi 272   1.62 p lg 2 ƒ pe 168

Con alambres de ө = ¼ plg: Ap Numero de alambres = A 1

A (¼) =

 ·0.25 2

= 0.049 plg 2

4 34 alambres 1.62   33.2   17alambres por tendon 0.049 2 tendones

4

10) Verificación de esfuerzos en el H˚ Con Pi ƒ1  

pi  e·C  272000  8.85*15.25 lb · 1  2 1   * 1   389.7 Ac  r  255  98.85  p lg 2

ƒ2  

pi  e·C  272000  8.85*15.25 lb · 1  2 2   · 1    2523 Ac  r  255  98.85  p lg 2

Con Pe

lb p lg 2 lb  0.85* 2523  2144 p lg 2

ƒ1  0.85·ƒ1pi  0.85*389.7  331.25 ƒ 2  0.85·ƒ 2pi Con Mo

ƒ1   ƒ2 

M 0 54000 lb * pie *12 p lg lb   392 3 S1 1653 p lg *1 pie p lg 2

M 0 54000 lb * pie *12 p lg lb   392 3 S2 1653 p lg *1 pie p lg 2

Con M d + M l

ƒ1   ƒ2 

Md  Ml 300000 lb * pie *12 p lg lb lb   2177.98  2178 3 2 S1 1652.91 p lg ·1 pie p lg p lg 2

M d  M l 300000 lb * pie *12 p lg lb lb   2177.98  2178 3 2 S1 1652.91 p lg ·1 pie p lg p lg 2

11) Distribución de esfuerzos en el concreto Siguiendo el mismo procedimiento se puede obtener una distribución de esfuerzos en el centro de la viga como en los apoyos: En el centro de la viga -

Con Pi + M 0

-

lb p lg 2 lb ƒ 2  Pi 2  M 02  2523  392  2131 p lg 2 Con Pe + M 0 + M d + M l ƒ1  Pi1  M 01  389.7  (392)  2.3

ƒ1  Pe1  M 01 +M d1  M l1  331.25  ( 392)  ( 2177.98)  2238.73 ƒ 2  Pe 2  M 02 +M d 2  M l 2   2144  392  2177.98  425.98 En el apoyo de la viga -

Con Pi

-

lb p lg 2 lb ƒ 2  Pi 2  2523 p lg 2 Con Pe ƒ1  Pi1  389.7

lb p lg 2 lb ƒ 2  Pe 2 = -2144 p lg 2 ƒ1  Pe1 =331.25

Resumen de resultados: Si los valores que obtenemos son menores son correctos

lb p lg 2

lb p lg 2

EJEMPLO DE APLICACIÓN 7 Se desea diseñar una viga de hormigón preesforzado postensada que soportará una carga viva de 1000 lbrs/pie y una carga muerta adicional a su peso propio de 500 lbrs/pie. La luz de viga será de 40 pies. El hormigón tiene un peso unitario normal de 150 lbrs/pie 3 . La resistencia de diseño del lbrs

hormigón es de ƒ c  6000 plg 2 . Para efectos de cálculos se estima que al momento de la transferencia el hormigón tiene una resistencia del 70% de su resistencia última. Tomar por perdida 15% del preesfuerzo inicial, por lo que R=85% (afectará al momento por peso propio) Determinar las dimensiones requeridas del hormigón, la magnitud de la fuerza pretensora y la excentricidad variable del centroide del acero basados en los esfuerzos permisibles. Datos: Luz = 40 pies ƒ c  6000 lb/plg 2 Perdidas = 15% Relación de efectividad = R = 0.85 Cargas: Wd = 500 lb/pie Wl = 1000 lb/pie

1) Calculo de los esfuerzos permisibles a compresión y tensión. De tablas 3.1 tenemos:

ƒ  ci



0.70· ƒ  c

ƒ



0. 60·ƒ  ci

ƒ ƒ ƒ

ci

ti

cs

ts

  

ƒ  ci

3· 

0.45

6·









3·

·ƒ  c

ƒ  c

0.7·6000 



6·





4200 

0.45

6000

2) Estimación del peso propio de la viga. Relación luz – peralte: l l  15 a 20 adoptamos   16 h h luz 40 h    2.5 pies  30plg. Para sección rectangular 16 16

Asumimos: b = 12 pulg. Para sección diferente de rectangular tomar: Factor de forma = 70% o 80% = 0.7 o 0.8 Área de concreto = h*b = 12*30 = 360 pulg 2 = 2.5 pies 2 lb pie 3

Peso propio de la viga = A*factor de forma*  H º lb



195

· 600



ƒ ci  Resistencia de H˚ en el momento de la transferencia producida por el esfuerzo inicial. ƒc  Resistencia del H˚ a los 28 días.

 H º  150

42

0.6·4200

Peso propio de la viga = 2.5*0.70*150 = 262.5 ≈270 pie . 3) Cálculos de momentos c) Momento por peso propio(Mo): q l 2 270* 402 Mo  0   54000 lb  pie  54.0 klb  pie 8 8 d) Momentos por carga muerta y viva( M d ; M l ) W * L2 Wl * L2 500* 402 1000* 402 M d  M l d     300000lb  pie  300 Klb  pie 8 8 8 8 4) Cálculos de módulos de la sección requerida

465

s1 

((1  R) * M 0 )  M d  M l  ((1  0.85)*54000)  300000  lb  pie *12 p lg  1290 p lg 3 R * ƒ ti  ƒ cs    lb   lb  -2700  * pie   0.85*195 2  2  plg   plg    

((1  R) * M 0 )  M d  M l  ((1  0.85) *54000)  300000  lb  pie *12 p lg   1418 p lg 3 ƒ ts  R * ƒ ci  lb   lb   0.85*( 2520) * pie   465  2  2  plg   plg    5) Seleccionar la sección transversal y sus propiedades s2 

Peralte (h) = 29.0 plg. Ancho del patín (b1) = 12 plg. Espesor del ala (t1) = 6 plg. Longitud (a1) = 17.0 plg. Espesor (t2) = 6 plg. Espesor (b2) = 12 plg. Espesor (bw) = 6 plg.

Elemento Cant. 1 1 2 1 3 1 S c1 

b 12,0 12,0 6,0

h 6 6 17

Area (A) 72 72 102 246

y 26,00 3,00 14,50

A·y 1872,00 216,00 1479,00 3567,00

Y' 11,50 11,50 0,00 23,00

a·Y'^2 9522,00 9522,00 0,00 19044,00

 Ay  3567 14.50 p lg .  A 246

c 2  h  c1  29.0  14.50  14.50 p lg .

I c   I 0   A·d 2  2888.50  19044  21932.50 p lg 4 Ac  246 p lg 2

Obtenemos los módulos de sección y se compara con los módulos de sección requeridos I 21932.50 s1  c   1512.60 p lg 3  1290.0 p lg 3 OK C1 14.50 I 21932.50 s2  c   1512.60 p lg 3  1418.0 p lg 3 OK C2 14.50 El radio de giro es:

Comprobación del peso propio: W0  Ac · H º  246 p lg 2 ·150

1 pie 2 lb lb lb ·  256.25  270 OK 3 2 2 pie pie pie 12 p lg

6) Cálculos de esfuerzo en el centroide del concreto (ƒcci) C1 C 14.50 1 pero : 1    ƒti  ƒ ci  h h 20.00 2 1 lb Entonces ƒ cci  195   195   2520    1163.0 2 plg 2

ƒ cci  ƒti 

7) Calculo de la fuerza pretensora inicial (Pi) Pi  A c ·ƒ cci  246*1163.0  286098lb  286 klb 8) Calculo de la excentricidad requerida (e)  S  M 1653  e    ƒ ti  ƒ cci  · 1   0    390    1065 · P1  P1 286000   

54000·12   286000  9.44 p lg

9) Elección del acero del preesfuerzo Por ejemplo se desea tomar 2 tendones de alambre de ¼ plg de diámetro Resistencia mínima de tensión (tabla 2.1) para alambre sin revestimientos

Io 216,0 216,0 2456,5 2888,50

ƒ pu  240000

lb para tipo "WA" plg 2

De la (tabla 3.2) de esfuerzo permisible para el acero de preesfuerzo se toma: ƒ pe  0.70·ƒ pu  0.7·240000  168000

lb klb  168 2 plg plg 2

El área del acero de preesfuerzo: Ap 

pi 286   1.70 p lg 2 ƒ pe 168

Con alambres de ө = ¼ plg: Ap

Numero de alambres = A 1

 ·0.25 2

A (¼) =

= 0.049 plg 2

4 36 alambres 1.7   35.0   18 alambres por tendones 0.049 2 tendones

4

10) Verificación de esfuerzos en el H˚ Con Pi p  e·C  286000  9.44*14.50 lb ƒ1  i · 1  2 1  · 1    622.80 Ac  r  246  89.16  p lg 2 p  e·C  286000  9.44*14.50 lb ƒ 2  i · 1  2 2  · 1    2947.45 Ac  r  246  89.16  p lg 2

Con Pe ƒ1  0.85·ƒ1pi  0.85*622.80  529.40

lb p lg 2

ƒ 2  0.85·ƒ 2pi  0.85* 2947.45  2506.10

lb p lg 2

Con Mo M 54000 lb· pie·12 p lg lb ƒ1  0   428.40 3 S1 1512.60 p lg ·1 pie p lg 2 M 54000 lb· pie·12 p lg lb ƒ2  0   428.40 3 S2 1512.60 p lg ·1 pie p lg 2 Con M d + M l M  M l 300000 lb * pie *12 p lg lb ƒ1  d   2380.03 3 S1 1512.60 p lg *1 pie p lg 2

ƒ2 

M d  M l 300000 lb * pie *12 p lg lb   2380.03 3 S1 1512.60 p lg *1 pie p lg 2

11) Distribución de esfuerzos en el concreto

En el centro de la viga Con Pi + M 0 lb p lg 2 lb  2948.0  428.4  2520.0 p lg 2

ƒ 1  Pi1  M 01  622.80  ( 428.40)  194.40 ƒ 2  Pi 2  M 02

-

Con Pe + M 0 + M d + M l ƒ 1  Pe1  M 01 + M d 1  M l1  529.40  ( 428.40)  (2380.03)  2279.03 ƒ 2  Pe 2  M 02 + M d 2  M l 2   2506.10  428.40  2380.03  302.33

En el apoyo de la viga Con Pi lb p lg 2 lb ƒ 2  Pi 2  2948.00 p lg 2 ƒ 1  Pi1  622.80

-

Con Pe lb p lg 2 lb ƒ 2  Pe 2 = - 2506.10 p lg 2 ƒ 1  Pe1 = 529.40

Resumen de resultados: Si los valores que obtenemos son menores son correctos

lb p lg 2

lb p lg 2

EJEMPLO DE APLICACIÓN 8 En la viga de concreto preesforzado postensada del ejemplo anterior con excentricidad variable de 40 pies de largo y 29 pulg. De peralte, determinar la zona limite de tendón. 1. resumen de los resultados obtenidos:

77

2. Cálculo de momentos en diferentes secciones de la viga

3. Cálculo de excentricidades Utilizando el límite

a 1/4 de la luz

a 1/2 de la luz

en el apoyo.

EJEMPLO DE APLICACIÓN 9 ---- CARGA BALANCEADA La viga de sección rectangular postensada de 36 pies de luz debe soportar una carga uniforme W p . Adicionalmente a su peso propio soportará una carga muerta de Wd  100 Lbrs / pie y una carga de servicio W L  550 Lbrs / pie la resistencia a los 28 días del hormigón ha sido estimada en 4000 Lbrs / pu lg 2 . Cuando se realice la transferencia de la fuerza pretensora la resistencia del hormigón será igual a 90% de su resistencia a los 28 días. Se debe tomar como pérdidas un 18% del preesfuerzo inicial. Por otro lado se ha estimado que 30% de la carga viva será tomada en cuenta como carga balanceada. Tomar como peso específico del hormigón 150 Klbs / pie 3 . Para

el

diseño

f pu 250.000 Lbrs / pu lg

del 2

y

acero

emplear

cables

f py  212.000 Lbrs / pu lg .

Datos Longitud  36 pies C arg a muerta Wd  100 Lbrs / pie C arg a muerta WL  550 Lbrs / pie f 'c  4000 Lbrs / pu lg 2 Peso específico del hormigón  150 Lbrs / pie3 Kb  30% de la c arg a viva Re cubrimiento  4 pu lg Pérdidas  18% 1.- Cálculo de la altura de la viga

2

de

7

alambres

con

L  entre (16  22) h L 36*12 h   24 pu lg 18 18

asumir

L  18 h

2.- Estimación del peso propio de la viga. Estimar el ancho de la viga b  8 pu lg como mínimo b  6 pu lg Factor de forma = 1.0 Wo 

8* 24*150 *1.0  200 Lbrs / pie 122

3.- Cálculo de momentos 200*362 Mo   32.4 Klbrs / pie 8*1000 M d  M L  (100  550)*

362  105.3Klbrs / pie 8*1000

WP  Wo  Wd  WL * K b WP  200  100  550*0.30 WP  465 Lbrs / pie 4.- Cálculo de los esfuerzos permisibles f 'ci  0.90* f 'c  0.90* 4000  3600 Lbrs / pu lg 2 f ti  6* f 'ci  6* 3600  360 Lbrs / pu lg 2 f ci  0.6* f 'ci  0.6*3600  2160 Lbrs / pu lg 2 f ts  6* f 'c  6* 4000  379.47 Lbrs / pu lg 2 f cs  0.45* f 'c  0.45* 4000  1800 Lbrs / pu lg 2 5.- Cálculo de los módulos de sección ó del área requerida Como la sección es rectangular:

C1  C2  12 pu lg

Ic 

b * h3 8* 243   9216 pu lg 4 12 12

S1 

I c 9216   768 pu lg 3 C1 12

S2 

I c 9216   768 pu lg 3 C2 12

6.- Propiedades de la sección

C.G  12 pu lg A  b * h  8* 24  192 pu lg 2 I c  9216 pu lg 4 C1  12 pu lg C2  12 pu lg r2 

I c 9216   48 pu lg 2 Ac 192

C1  12 pu lg S1  768 pu lg 3 S 2  768 pu lg 3

Pérdidas  18% 7.- Cálculo del peso propio de la viga Wo 

192*150  200 Lbrs / pie 122

8.- Cálculo de la carga W p (Carga balanceada) WP  Wo  Wd  WL * K b WP  200  100  550*0.30 WP  465 Lbrs / pie 9.- Cargado de la viga y determinación de '' y ''

y  C2  Re cubrimiento

Re cubrimiento en la parte central de la viga  4 pu lg y  12  4  8 pu lg  0.67 pies 10.- Cálculo del preesfuerzo efectivo W p * L2 465*362 8* Pe * y Wp   Pe    112432.83Lbrs  112 Klbrs L2 8* y 8*0.67 11.- Cálculo del preesfuerzo inicial Pi 

Pe R

Pi 

112000  136585.36 Lbrs  137 Klbrs 0.82

donde

R  1  0.18  0.82

12.- Cálculo del esfuerzo de compresión en el hormigón para llegar al estado balanceado

Pe 112000   583.33 ; 585 Lbrs / pu lg 2 Ac 192

f bal 

13.- Cálculo del momento no balanceado Wnobal  0.30*550  165 Lbrs / pie 165*362   26730 Lbrs  pie 8

M nobal

14.- Cálculo de esfuerzos de flexión no balanceado f nobal1 

M nobal 26730*12   417.66 Lbrs / pu lg 2 S1 768

f nobal 2  

M nobal 26730*12   417.66 Lbrs / pu lg 2 S2 768

15.- Cálculo del esfuerzo neto Pe  f nobal f1  585  417.66  167.34 Lbrs / pu lg 2 f 2  585  417.66  1002.7 Lbrs / pu lg 2 16.- Cálculo del esfuerzo neto en la totalidad de la carga viva Pe  M t 550  0.30*550  385 Lbrs / pie El momento que actúa será: Mt 

385*362  62370 Lbrs  pie 8

f t1  

ft 2 

Mt 62370*12   974.53Lbrs / pu lg 2 S1 768

M t 62370*12   974.53Lbrs / pu lg 2 S2 768

Esfuerzos totales de Pe  M t

f1  585  974.53  1559.5 Lbrs / pu lg 2 f 2  585  974.53  389.5 Lbrs / pu lg 2 17.- Cálculo de esfuerzos para el estado inicial con Pi  M o descargado Mo 

200*362  32400 Lbrs  pie 8

Exentricidad  8 pu lg f1  

Pi  M e*C *  1  2 1  o Ac  r  S1

f1  

137000  8*12 32400*12 * 1  207.29 Lbrs / pu lg 2  192 48  768 

f2  

Pi  M e *C  *  1  2 2  o Ac  r  S2

f2  

137000  8*12 32400*12 * 1  1634.37 Lbrs / pu lg 2  192 48 768  

18.- Gráfico para mostrar los resultados

19.- Cálculo de la resistencia última a la flexión Tipo de acero a emplear: Grado 50

Cables de 7 alambres f pu  250000 Lbrs / pu lg 2 f py  212000 Lbrs / pu lg 2 El esfuerzo inicial permitido será: f p  0.7 * f pu  0.7 * 250000  175000 Lbrs / pu lg 2 El área requerida de preesfuerzo es: Ap 

Pi 137000   0.782 pu lg 2 f pe 175000

Utilizando cables de 7 alambres de 3 8 pu lg de diámetro

  Área no min al  *  4  N o de cables 

Ap An



2

3 2   0.11 pu lg 8

0.782  7.11  asumimos 8 cables 0.11

N o de tendones  1 tendón Para 8 cables de diámetro 3 pu lg 8 8*0.11  0.88  0.782 pu lg

' OK '

20.- Cálculo de los esfuerzos resultantes inicial y final con el área real del acero f pi 

Pi 137000   155682 Lbrs / pu lg 2 Areal 0.88

f pe 

Pe 112000   127273Lbrs / pu lg 2 Areal 0.88

21.- Cálculo del esfuerzo en la falla del acero Del ACI se tiene

p 

Ap b*d



0.88  0.0055 8* 20

f   250000  f ps  f pu *  1  0.5*  p * pu  250000*  1  0.5*0.0055*  f 'c 4000    f ps  207031.25Lbrs / pu lg 2 Por otro lado el ACI señala que por reglamento f ps tiene que ser mayor o igual a f py ó a

f py  212000 Lbrs / pu lg 2 f ps  207031.25Lbrs / pu lg 2

Se escoge el menor de los tres valores: 2 En este caso: f ps  187273Lbrs / pu lg

22.- Cálculo de la resistencia nominal a la flexión a

Ap * f ps 0.85* f 'c * b



0.88*187273  6.05 pu lg 0.85* 4000*8

a 6.05    M n  Ap * f ps *  d    0.88*187273* 20    233124 Lbrs  pie 2 2  

  0.90 para flexión  * M n  0.9* 233124  209812 Lbrs  pie  * M n  210 Klbrs  pie 23.- Determinación del factor de seguridad por carga viva de acuerdo al ACI U  1.4* D  1.7 * L   * M n D  Momento por c arg a muerta  el momento no balanceada

D  32.4  26.73  59.13Klbrs  pie L  Momento por c arg a viva de servicio L  89.10 Klbrs  pie F

210  1.4*59.13  1.43 89.10



1.7

El factor es menor que 1.7 por lo que es necesario rediseñar la pieza: Nota.- Cuando el número que se obtiene es algo menor a 1.7 (1.68;1.69) se puede subsanar incrementando acero de refuerzo longitudinal.

EJEMPLO DE APLICACIÓN 10 Una sección postensada en T soportará una carga de servicio de 1000 Lbrs / pie y una carga sobrepuesta de 500 Lbrs / pie adicionales a su peso propio. La luz de la viga será de 75 pies. Se emplearán tendones por medio de cables de grado 250. la resistencia del hormigón será f 'c  5000 Lbrs / pu lg 2 . Diseñar la pieza por el método de la resistencia última y preesfuerzo parcial de modo que la deflexión sea nula cuando se tiene la totalidad de la carga muerta de servicio. Tomar como peso unitario del hormigón 150 Lbrs / pie3 . Suponer que las pérdidas de preesfuerzo son del orden de 15%. Datos Sección T Wd  500 Lbrs / pie WL  1000 Lbrs / pie L  75 pies Tendones grado 250 f 'c  5000 Lbrs / pu lg 2 Densidad del hormigón  150 Lbrs / pie3 Perdidas  15% 1.- Elección del peralte L  entre (16  22) h

asumir

L  20 h

h

L 75*12   45 pu lg 20 20

2.- Elección del ancho del patín superior Por funcionalidad adoptar 70 pu lg 3.- Elección del espesor del patín Mínimo valor dado por el código ACI  6 pu lg Tomar por construcción la altura mínima  6 pu lg 4.- Elección del espesor del alma de la viga Adoptar un ancho tentativo por experiencia  14 pu lg

5.- Geometría tentativa de la pieza

6.- Propiedades de la sección Ac  A1  A2  70*6  14* 42  1008 pu lg 2 y2 

(14* 42) * 21  (70*6) * 45 31248   31 pu lg (14* 42)  (70*6) 1008

C1  48  31  17 pu lg C2  31 pu lg

 14* 423   588*102 12  

Ic  

S1 







 70*63  420*142  228816 pu lg 4 12 

I c 228816   13459.76 pu lg 3 C1 17

| S2 

I c 228816   7381.16 pu lg 3 C2 31

r2 

I c 228816   227 pu lg 2 Ac 1008

Carga por peso propio Wo 

1008*150  1050 Lbrs / pie 122

7.- Cálculo de momentos Por peso propio 1050*752 Mo   738281.25 Lbrs  pie ; 740 Klbrs  pie 8 Por carga muerta sobrepuesta Md 

500*752  351562.5 Lbrs  pie ; 352 Klbrs  pie 8

Por carga viva de servicio 1000*752  703121Lbrs  pie ; 705Klbrs  pie 8 8.- Aplicación del código ACI para empleo de los factores de carga ML 

M u  1.4* D  1.7 * L M u  1.4*( M o  M d )  1.7 * M L M u  1.4*(740  352)  1.7 *705 M u  2727.30 Klbs  pie ; 2730 Klbrs  pie

Para flexión se adopta un factor de reducción de resistencia   0.90 Mn 

M u 2730   3033.33 ; 3050 Klbrs  pie  0.90

9.- Cálculo del brazo “z” Para este efecto se debe determinar el recubrimiento que tendrá el centroide del acero en el centro de la luz. En nuestro caso tomaremos 8 pulg. Por otro lado de acuerdo a lo señalado en el punto C del procedimiento de cálculo se tomará el brazo a partir del centroide del acero hasta el punto medio del espesor del patín de 6 pulg. Es decir será =3 pulg.

z  h  rec 

hf 2

z  48  8  3 z  37 pu lg 10.- Determinación del área de preesfuerzo Ap 

Mn 3050*12   4.40 pu lg 2 0.90* f pu * z 0.90* 250*37

Empleando 2 tendones de valor de   0.60 Grado 250 con un área de 0.216 N o de cables 

4.40 20.37 cables   10.18 ; 11 cables por tendon 0.216 2 tendones

Se usarán 2 tendones de 11 cables c / u 0.216*11* 2  4.752  4.40 OK 11.- Cálculo del área de compresión requerida A 'c 

Mn 3050*12   232.75 pu lg 2  A 'c  232 pu lg 2 0.85* f 'c * z 0.85*5*37

12.- Cálculo de “a” profundidad del bloque rectangular de esfuerzos para carga última a

232  3.31 pu lg 70

Esto indica que el brazo del par interno es:

z  48  8 

3.31  38.34 ; 38 pu lg 2

Nota.- Se ve que no existirá una diferencia sustancial en el área de acero, requerido ya que “z” solamente varía en 1 pulg. 13.- Cálculo del esfuerzo de falla en el acero f   f ps  f pu *  1  0.5*  p * pu f 'c 

p 

Ap b*d



4.752  0.00169 70* 40

250  f ps  250*  1  0.5*0.00169*  5  f ps  239.44 ; 239 Si comparamos este valor con el f ps 

90% de 250  225

239  225  5.86% ; 6  10% que se sup uso 239

Entonces no es necesario revisar f ps 14.- Cálculo del preesfuerzo efectivo El total de carga muerta: Peso propio  c arg a muerta sobrepuesta W p  1050  500  1550 Lbrs / pie C arg a que será balanceada con el suspendido de tendones parabólico Luego la flecha " y "  48  8  17  23 pu lg Wp 

Pe 

8* Pe * y L2

 Pe 

W p * L2 8* y

1550*752 *12  568.61Klbrs ; 570 Klbrs 8* 23

Pe  570 Klbrs 15.- Cálculo del preesfuerzo inicial con 15% de pérdidas Pi 

Pe 570   670 Klbrs R 0.85

16.- Cálculo del esfuerzo inicial f pi f pi 

Pi 670   141Klbrs / pu lg 2 Ap 4.752

El ACI establece como valor tope 0.70* f pu 0.70* 250  175Klbrs / pu lg 2 Comparando el valor de f pi  141 y el límite de 175 El f pi obtenido es el 80% de lo permitido. 17.- Control de agrietamiento Antes del postensado se introducirán varillas de refuerzo longitudinal sin preesforzar en una cantidad tal que cumpla las exigencias

At  0.0020*(70*6  42*14) At  2.02 pu lg 2 Si tomamos var illas con   1/ 2 pu lg El área será A1/2 

 *0.52  0.196 pu lg 2 4

El número de var illas será : N o 

2.02  10.25 piezas 0.196

N o  10 piezas Usar 10 cables de 1/ 2 pu lg 18.- Cálculo del esfuerzo nominal Para el estado descargado - con Pi f1  

Pi Ac

670000i e*C  *  1  2 1   r  1008 

23*17  2 * 1   479.26 ; 480 Lbrs / pu lg 227  

Pi  670000i  e *C  23*31 2 *  1  2 2   * 1   2746.98 ;  2747 Lbrs / pu lg Ac  r  1008  227  - con Pe f2  

f1  485*0.85  408 Lbrs / pu lg 2 f 2  2747 *0.85  2335Lbrs / pu lg 2 - con M o f1 

M o * C1 740*17 *12*1000   659.74 ;  660 Lbrs / pu lg 2 Ic 228816

f2 

M o * C2 740*31*12*1000   1203.06 ; 1203Lbrs / pu lg 2 Ic 228816

Estado cargado M d  M L  352  705  1057 Lbrs  pie - con M d  M L f1  

1057 *17 *12*1000  942.36 ;  942 Lbrs / pu lg 2 228816

f2 

1057 *31*12*1000  1718.42 ; 1718 Lbrs / pu lg 2 228816

En estado descargado - con Pi  M o f1  480  (660)  180 Lbrs / pu lg 2 f 2  2747  (1202)  1541 Lbrs / pu lg 2 En estado de totalidad de cargas de servicio - con Pe  M t f1  480  660  942  1194 Lbrs / pu lg 2 f 2  2335  1202  1718  584 Lbrs / pu lg 2 Nota.- Comparando todos los esfuerzos con los esfuerzos permisibles llegaremos a la conclusión de si la sección es o no es adecuada para soportar las solicitaciones El esfuerzo de tensiones en la cara inferior en estado cargado comparando con el límite superior dado por el ACI 12 f 'c  848 Lbrs / pu lg 2 , se ve que el valor obtenido de 584 es menor a 848 con lo que podría concluirse que la sección esta bien diseñada. Nótese sin embargo que 12 f 'c es un valor alto de la tensión en el hormigón. Cuando el valor de f 2 excede el límite del ACI se podría ir por el lado de la demostración experimental o analítica que demuestre que no se afectará a la estructura con esta tensión. La demostración experimental en nuestro medio queda totalmente limitada por carencia de laboratorio

EJEMPLO DE APLICACIÓN 11 Una viga postensada requiere el diseño del refuerzo de su zona de anclaje. Se aplicará una fuerza pretensora pi= 250 Klbrs por medio de dos tendones cuya excentricidad es de 10.5 pulg. Los esfuerzos longitudinales en el hormigón varían linealmente de modo que f1= 764 lbrs/pulg2 y f2= 2153 lbrs/pulg2 (tensión y compresión respectivamente). Serán utilizados 8 estribos verticales cerrados de 3/8” de Diámetro espaciados a cada 10 cm. Adoptar un esfuerzo permisible de 20.000 lbrs/pulg2. La sección de la pieza es de 12” x 30”. 1. Gráfico.

2. Cálculo de los esfuerzos en el concreto.

Para el cálculo de X se sacará por relación de triángulos x 30  x   x  22.14 pu lg 2153 764 30  x  7.86 pu lg. x1 2153   x1  2007 22.14  1.5 22.14 x2 2153   x2  1715 22.14  4.5 22.14 Para el cálculo de esfuerzos intermedios en el concreto, se dividirá el peralte h en 10 partes. - Cálculo del momento debido al preesfuerzo Nivel

Carga Pretensora

Brazo

Momento para preesfuerzo

0 3 4.5 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Klbs 250 250 250 250 250 250 250 250 250 250 250 250

(pulg) no tomar no tomar 0 1.5 4.5 7.50 10.50 18.50 16.50 19.50 22.50 25.50

(Klbs -pulg) 0. -375 -1125 -1875 -2625 -3375 -4125 -4875 -5625 -6375

3. Cálculo del momento debido al esfuerzo en el concreto.

Nivel 0 3 4.5 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Esfuerzo Area del elemento klb/pulg2 ( pulg2) -2153 12*3=36 -2007 36 -1715 36 -1424 36 -1132 36 -840 36 -548 36 -257 36 +35 36 +326 36 +618 36 +764 36

- Nivel 3=72252*3*1/1000=+108 - Nivel 4.5=72252*3*1/1000=+217 72252*1.5 61740*1.5  Nivel 6    418 1000 1000  para el nivel 9 72252*7.5  61740*1.5  51264*1.5  897 1000

4. Cálculo del momento total.

Fuerza pulg no tomar 72252 61740 51264 40752 30240 19764 9232 1260 11736 22248 27504

Momento (esfuerzo en el concreto en klb-_pulg) 0 108 217 418 897 1514 2237 3035 3877 4731 5566 6345

Nivel

Momento (-)

Momento (+)

Momento total

0 3 4.5 6 9 12 15 18 21 24 27 30

0 0 0 -375 -1125 -1875 -2625 -3375 -4125 -4875 -5625 -6375

0 108 217 418 897 1514 2237 3035 3877 4731 5566 6345

0 108 217 43 -228 -361 -388 -340 -248 -144 -59 -28

Nivel 12=(72252*10.5+61740*7.5+51269*4.5+40752*1.9)/1000=1514 Nivel 4.5 = 217 5. grafica para mostrar los resultados de tensiones.

6. Determinación de T. Para esto suponemos que el centroide de las fuerzas en los estribos se encuentran a h/2 de la cara externa Si h/2 =15 pulg Suponemos que esta al medio ósea: x

h  7.5  8" 4

M max() h x 388 388000 T   17636 30  8 22 T  17600 lb. T

7. Cálculo del esfuerzo en la zona de astillamiento

At 

T 17600   0.88 pu lg 2 f s 20000

Si tomamos: A3/8

 * 0.3752   0.11 4

Como el estribo tiene dos ramales se tomará el doble del área sacada es decir:

2* A3/ 8  0.11* 2  0.22 El número de estribos será: 0.88 4 0.22

estribos

8. determinación del centro C. M max hx 217000 C  9860 22 C

3/ 8 

0.50  2.27  3 estribos 0.22