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25/03/13

3.6 Distribución uniforme de probabilidad

3.6 Distribución uniforme de probabilidad Ir al Inicio de la Página

VII.1. Distribución Uniforme VII.1.1. Función de Densidad Una variable aleatoria continua X se apega a un modelo probabilístico uniforme en el intervalo [a, b], si todos los puntos del intervalo tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Definición. Una variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el intervalo [a, b], en donde a y b son finitos, si su función de densidad es:

La gráfica que representa esta distribución es: Pone r gráfica

De acuerdo a lo anterior, una variable aleatoria distribuida uniformemente, tiene una función de densidad que es una constante en el intervalo de definición [a, b]. A fin de satisfacer la condición de que debe ser igual al recíproco de la longitud del intervalo.

, la función de densidad

Para cualquier subintervalo [c, d], en donde a c 1) = 1/3 Solución.

Tenemos que Por otra parte sabemos que:

por lo que:

Ejemplo 7. 5. Suponga que X está distribuida uniformemente en el intervalo [2, 8]. a) Calcular P(2 £ x £ 7) b) Determinar el valor de la constante k, de modo que: P(X > k) = 0.30 Solución.

De acuerdo a lo visto anteriormente sabemos que

a)

b) Ejemplo 7. 6. Se sabe que los tiempos en que se realiza un experimento se distribuyen en forma uniforme y están entre cero y tres minutos. 148.204.211.134/polilibros/z_basura/Polilibros/Probabilidad/doc/Unidad 3/3.6.HTM

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a) Calcular la probabilidad de que el tiempo en que se realiza un experimento esté entre 1.5 y 3 minutos. b) Si se realizan 5 experimentos ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos se realicen en un tiempo de entre 1.5 y 3 minutos? Solución.

a) Sabemos que c) Si analizamos esta pregunta y tomamos en cuenta el resultado del inciso anterior, nos damos cuenta que se debe utilizar la distribución binomial, en la que p = 0.5, q = 0.5, n = 5 y x = 2, por lo que:

VII. 1. 3. Media o Esperanza. En el capítulo anterior vimos que la media o valor esperado de una variable aleatoria continua es . Si referimos esta expresión al intervalo [a, b] y utilizamos la función de densidad de la distribución, tenemos que:

Ejemplo 7. 6. Sea una variable aleatoria que se distribuye en forma uniforme en el intervalo [2, 6]. Calcular la media o valor esperado. Solución. Sabemos que m = E(x) =

, por lo que m = E(x) =

Ejemplo 7. 7. Las ventas diarias de un supermercado se distribuyen en forma uniforme, con media 40 mil pesos diarios y un mínimo de 30 mil pesos. a)

Determinar la venta máxima diaria

b) ¿En qué porcentaje de días las ventas excederán los 34 mil pesos? 148.204.211.134/polilibros/z_basura/Polilibros/Probabilidad/doc/Unidad 3/3.6.HTM

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Solución.

a)

Sabemos que

y sustituyendo valores tenemos

. Despejando nos queda

b = 2(40,000) – 30,000 =

50,000

c)

P(x > 34,000) = 1-

VII. 1. 4. Variancia. También vimos que la variancia se calcula con la siguiente expresión:

, donde . Si nuevamente referimos esta expresión al intervalo [a, b] y utilizamos la función de densidad de la distribución, tenemos:

Sustituyendo valores tenemos: =

Este resultado indica que la variancia de X no depende individualmente de a y de b, sino sólo de (b-a)2, es decir, del cuadrado de su diferencia. Por lo tanto, las variables aleatorias distribuidas uniformemente en un intervalo (no necesariamente el mismo), tendrán variancias iguales si las longitudes de los intervalos son iguales. Ejemplo 7. 8. Calcular la variancia del problema 7. 6.

Ejemplo 7. 9. Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme, con media 1 y variancia 4/3. Calcular P(x 0) 148.204.211.134/polilibros/z_basura/Polilibros/Probabilidad/doc/Unidad 3/3.6.HTM

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Solución. Lo primero que debemos conocer es el intervalo [a, b] donde tiene validez la función, para lo cual debemos calcular los valores de a y b. Con los datos que proporciona el problema podemos establecer un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, como veremos a continuación. Sabemos que:

y también que Despejando de la ecuación (1) obtenemos b = 2 – a y haciendo lo propio de la ecuación (2) tenemos que

y sacando raíz cuadrada

, por lo que b = 4 + a. Igualando las ecuaciones nos queda 2 – a = 4 + a. Despejando tenemos que a = -1. Sustituyendo a = -1 en la ecuación b = 4 + a obtenemos b = 3.

Sabemos que P(x 0) = F(x)

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