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Taller de series uniformes o anualidades 1. Una persona hace una donación semestral de $500.000 a una institución educativa. Si estas donaciones se iniciaron en junio de 1998 y la institución las deposita en una entidad financiera que paga un interés del 24% anual, ¿cuánto tendrá acumulado la institución por concepto de estas donaciones en diciembre de 2008? Rta: $42.522.427,7 500.000 ((√1 + 0,24) 𝑅((1 + 𝑟)𝑡 − 1) 𝑉𝐹 = = 𝑟 √1 + 0,24 − 1

22

− 1)

= 𝟒𝟐. 𝟓𝟐𝟐. 𝟒𝟐𝟕, 𝟕

2. Fabiola Zuluaga deposita $400.000 bimestrales durante 2 años, Al cabo de los dos años, Fabiola empieza a retirar $200.000 por trimestre vencido. ¿Cuál será el valor acumulado al cabo de cuatro años si utiliza una tasa de interés 15% anual capitalizable quincena vencida durante los dos primeros años y del 2% bimestral capitalizable mes anticipado de ahí en adelante? R/ta: $5.250.542,11 R=200.000

0 1 2 3

...

12

...

24

R = 400.000

Primero, hallamos la tasa efectiva anual, a partir de la tasa referida del 15% nominal quincenal: 𝑟𝑛𝑎 24 0,15 24 ) − 1 = 0,1613 = 16,13% 𝑒. 𝑎. 𝑟𝑒𝑎 = (1 + ) − 1 = (1 + 24 24 Segundo, hallamos la tasa bimestral equivalente a la efectiva anual hallada anteriormente: 6

𝑟𝑏𝑖𝑚 = 6√1 + 𝑟𝑒𝑎 − 1 = √1 + 0,1613 − 1 = 0,0252 = 2,52% 𝑏𝑖𝑚. Tercero, se halla el VF de los depósitos bimestrales hechos durante los 2 primeros años: 𝑅((1 + 𝑟)𝑡 − 1) 400.000((1 + 0,0252)12 − 1) 𝑉𝐹 = = = 5.525.568,04 𝑟 0,0252 Cuarto, hallamos la tasa trimestral, a partir de la tasa referida del 2% bimestral capitalizable mes anticipado 𝑟𝑚.𝑎. =

𝑟𝑏.𝑎. 2

=

𝑟𝑡𝑟 = (1 + 𝑟𝑚

0,02 2 3 )

𝑟

0,01

𝑚.𝑎. = 1% 𝑚. 𝑎. Ahora, 𝑟𝑚 = 1−𝑟 = 1−0,01 = 1,01% 𝑚. 𝑣. 𝑚.𝑎.

− 1 = (1 + 0,0101)3 − 1 = 3,061% 𝑡𝑟

Ahora, con la tasa trimestral halada se determina el valor futuro (al final de los 4 años) de los retiros realizados de 200.000 en cada trimestre 𝑅((1 + 𝑟)𝑡 − 1) 200.000((1 + 0,0306)8 − 1) 𝑉𝐹 = = = 1.782.322,56 𝑟 0,0306 Por último, llevamos el valor de aportes, realizados hasta el final de los dos primeros años, al final de los 4 años y determinamos la diferencia con el valor hallado anteriormente: 𝑉𝐹 = 5.525.568,04(1 + 0,0306)8 − 1.782.322,56 = 𝟓. 𝟐𝟓𝟎. 𝟓𝟒𝟐, 𝟏𝟏 3. Fabiola Zuluaga deposita $100.000 mensuales durante 2 años en una entidad que paga un interés del 30% anual capitalizable trimestralmente. Al cabo de ese tiempo, Fabiola empieza a retirar $100.000 por mes vencido y durante 2 años. ¿Cuál será el saldo que le quedará a la persona en su cuenta al final de los 4 años? 4. Un televisor tiene un valor de contado de $1.000.000, y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: cuota inicial del 20% del valor de contado y el resto en 12 cuotas mensuales iguales de $100.000; la primera cuota debe pagarse dentro de tres meses. Hallar la tasa de interés efectiva anual que le cobran en la financiación. 5. Un televisor tiene un valor de contado de $1.500.000, y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: 10 cuotas mensuales iguales de $150.000; la primera cuota debe pagarse dentro de tres meses y un último pago de $350.000 tres meses más tarde de la última cuota mensual. Hallar la tasa de interés mensual que le cobran en la financiación. 6. El 1 de enero de 2000 se adquirió un negocio con $5.000.000 de cuota inicial y 10 pagos trimestrales de $450.000 cada uno; el primero con vencimiento el 1 de febrero de 2003. ¿Cuál es el valor de contado del negocio para una tasa de interés del 28% anual capitalizable trimestralmente? 7. Una casa tiene un valor de contado de $50.000.000; pero puede adquirirse financiada así: cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto financiado a cinco años en cuotas bimestrales iguales de $300.000 cada una y además 5 cuotas extras iguales cada año. Si la tasa de interés que se cobra es del 28% anual mes anticipado, hallar el valor de las cuotas anuales. 8. Un televisor tiene un valor de contado de $500.000, y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto a 15 cuotas mensuales iguales; la primera cuota debe pagarse dentro de cinco meses y un último pago por $70.000 dos meses más tarde

de la última cuota mensual. Si la tasa de interés es del 32% anual capitalizable mes vencido durante los cuatro primeros meses y del 9% trimestral de allí en adelante, hallar el valor de las cuotas mensuales. 9. Fabiola Zuluaga deposita $400.000 bimestrales durante 2 años, Al cabo de los dos años, Fabiola empieza a retirar valores iguales por trimestre vencido. ¿Cuál será el valor de los retiros si a los cuatro años tiene un saldo de cero (0) pesos con una tasa de interés 15% anual capitalizable quincena vencida durante los dos primeros años y del 2% bimestral capitalizable mes anticipado de ahí en adelante? 10. Se está construyendo un hotel que entrará en servicio dentro de seis meses. Se proyectan unas utilidades de $1.000.000 mensuales durante 4 años de servicio. Si usted desea tomar en arriendo este hotel, ¿cuál será el valor, en pesos de hoy, que deberá ofrecer para que al cabo del los 4,5 años usted tenga una ganancia extra de $5.000.000, con una tasa de interés del 28% anual? 11. Un televisor tiene un valor de contado de $1.000.000, y puede adquirirse financiado con el siguiente plan: cuota inicial del 20% del valor de contado y el resto en cuotas mensuales iguales de $100.000; la primera cuota debe pagarse dentro de tres meses. Si la tasa de interés es del 28% anual capitalizable mes vencido, hallar el número de cuotas que se deben cancelar. 12. Una casa tiene un valor de contado de $56.000.000; pero puede adquirirse financiada así: cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto financiado a cinco años en cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés que se cobra es del 42% anual mes vencido, hallar el valor de las cuotas sabiendo que la primera cuota se paga dentro de cinco meses. 13. Una casa tiene un valor de contado de $50.000.000; pero puede adquirirse financiada así: cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto financiado a cinco años en cuotas bimestrales iguales de $300.000 cada una y además cuotas extras iguales cada semestre. Si la tasa de interés que se cobra es del 32% anual mes vencido, hallar el valor de las cuotas semestrales. 14. El gerente de un negocio desea saber cuál es la diferencia dentro de un año entre el valor futuro de los ingresos y el de los egresos de su empresa, y cuenta con los siguientes datos: paga arriendo por $220.000 por mes anticipado, un seguro al principio del año por un valor de $500.000, por obra de mano $160.000 mensuales, por materias primas para la preparación de los productos $310.000 cada mes, por ingresos mensuales

$1.200.000, y la tasa de oportunidad de la empresa es del 36% anual mes vencido. 15. Se debe reunir $1.000.000 para dentro de un año y $850.000 para dentro de un año y medio. Con tal fin, se abre una cuenta de ahorros para depositar cantidades iguales cada mes, de tal manera que puedan tenerse los valores deseados en las fechas correspondientes. Si la cuenta de ahorros paga el 24% anual capitalizable mes vencido, hallar el valor de las cuotas. 16. ¿Cuánto dinero debe depositar hoy el ministro de obras públicas en una corporación que paga el 28% anual capitalizable trimestralmente, para que este fondo sea suficiente para cubrir los gastos de mantenimiento de una vía pública, de vida útil perpetua, que se estiman en un promedio de $1.000.000 mensuales? 17. Un monumento de la ciudad de Medellín tiene unos gastos de mantenimiento cada tres años por valor de $1.250.000 ¿Cuál será el valor de las cuotas uniformes que el Alcalde de la ciudad deberá depositar anualmente en una corporación que pagará un interés del 24% anual capitalizable trimestralmente durante los 10 primeros años y el 20% anual capitalizable trimestralmente de allí en adelante, de tal manera que este fondo sea suficiente para los gastos de mantenimiento del monumento suponiendo que éste tenga una vida útil perpetua?