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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA INCÓGNITA. En este tema nos vamos a referir a la resolución de ecuaciones algebraicas. Una ecuación algebraica es una relación de igualdad entre dos expresiones algebraicas denominadas miembros de la ecuación, primer miembro (situado a la izquierda del signo =) y segundo miembro (situado a la derecha del signo =). Por ejemplo:

La igualdad es cierta tan solamente para algunos valores desconocidos de las variables que aparecen en ambos miembros de la ecuación, son los números que se representan por letras tales como x, y, z, etc. En el ejemplo (1) la incógnita se designa con la letra x. La ecuación del ejemplo es una ecuación de segundo grado, pues el miembro de la izquierda es un binomio de segundo grado. El grado de una ecuación se corresponde con el grado de los términos algebraicos que aparecen en ambos miembros. Son soluciones de la ecuación aquellos valores numéricos del rango de la variable x que verifican la relación de igualdad expresada por medio de la ecuación, en este tema daremos por supuesto que ese rango o dominio corresponde al campo de los números reales. Una ecuación puede tener una única solución, varias soluciones o incluso infinitas soluciones. En este tema que sigue vamos a tratar de resolver ecuaciones algebraicas de primer y segundo grado en una sola incógnita, como la ecuación del ejemplo y también se dará por supuesto que las soluciones serán siempre números reales. Se propone, a modo de ejercicio para el estudiante, verificar que las soluciones de la ecuación (1) son

La ecuación (1) es una ecuación algebraica de 2º grado, por esta razón no admite más de dos soluciones. De manera que las soluciones apuntadas en la figura (2) son las únicas que tiene dicha ecuación.

Fernando Villena Delgado

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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

ECUACIONES DE PRIMER GRADO. Son las ecuaciones más sencillas, corresponden a la forma general

donde el coeficiente a es no nulo. Al decir esto quiero dar a entender que cualquier ecuación de primer grado, es decir aquella donde los términos de ambos miembros son como mucho de primer grado, se puede reducir a la forma canónica dada en (3) cuya solución es fácil de dar, a saber

Por ejemplo,

Cualquier ecuación de primer grado es equivalente a una ecuación de la forma (4) en el sentido que se pueden pueden realizar unas operaciones que transforman la ecuación dada en otra equivalente más sencilla de resolver. En general para resolver cualquier ecuación de primer grado seguiremos tres pasos, a saber: transposición de términos, reducción o simplificación y por último despejar la incógnita, que es lo que hemos hecho en (4). Por ejemplo, vamos a resolver la ecuación

En primer lugar hay que deshacer los paréntesis para reducir el miembro de la izquierda a la mínima expresión. Entonces nos queda

Fernando Villena Delgado

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Ahora simplificamos o reducimos el primer miembro de la ecuación, pues en el segundo miembro no es preciso realizar ningún cambio y queda

Por último realizamos la transposición de términos de un miembro a otro, "llevando las x's a un lado de la ecuación y los términos independientes al lado opuesto".

Lo que en realidad hemos hecho con la ecuación (7) es sumar 10 en ambos miembros y restar una x en ambos miembros de la ecuación. Con estas operaciones desaparece -10 en el primer miembro y aparece +10 en el segundo. Por otro lado desaparece x en el segundo miembro y aparece -x en el primer miembro, la ecuación (8) es equivalente a la ecuación (7). Volvemos a reducir los términos y tendremos

Y por último despejamos la incógnita

ECUACIONES CON DENOMINADORES. A continuación veremos el método a seguir para resolver ecuaciones donde aparecen varios términos en forma de fracciones. Por ejemplo, veamos como se resuelve la siguiente ecuación

En primer lugar tenemos que eliminar los denominadores, para ello tomamos el mínimo común múltiplo de éstos, a saber: m.c.m.(4, 6, 3)=12. En segundo lugar multiplicamos cada fracción por este número, de este modo tenemos

Fernando Villena Delgado

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y así tenemos

Ahora resolveremos esta última ecuación y resulta:

En general, deberemos seguir un orden a la hora de resolver cualquier ecuación. Los pasos a seguir son los siguientes, enumerados por orden 1. En primer lugar se deshacen los paréntesis. 2. Después se eliminan los denominadores. 3. Se simplifican o se reducen los términos de la ecuación. 4. Se transponen términos. 5. Se despeja la incógnita. Vamos a ver esto mejor con otro ejemplo. Resolver la ecuación

Paso 1.

Fernando Villena Delgado

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Simplificamos las fracciones en lo que se pueda, i.e.

Paso 2. El mínimo común múltiplo de 4, 6 y 15 es m.c.m.(4, 6, 15)=60.

Paso 3. Reducir los términos en ambos miembros.

Paso 4. Transponemos términos.

Paso 5. Despejamos la incógnita.

simplificando queda

Ejercicios propuestos. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado. 1.

4 x−10=5− x

2.

3(7−x)+ 5(2 x−7)+ 10=3 x+ 6 (1−x )+ 10

3.

3−2 x =7 x 5

Fernando Villena Delgado

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4.

5+ 3 x 3−x 7+ x + = 4 5 2

5.

5+ 3 x 4+ 3 x 4x − =x− 8 5 3

6.

4 x+

7.

x−3 2 1+ x 1+ x 1− x + x− = − 4 5 4 2 4

8.

2 1− x 1+ x x−1 5− −2 5 x− =2 x− 3 3 3 6

9.

(x−3)2+

6−x 4−3 x 5+ 2 x − = + 4x 5 6 3

(

(

)

) (

)

x+ 1 x−1 = x 2−7 x+ 4 2

SOLUCIONES. 1. x=3 ; 2. x=2 ;3. x= 8.

x=

41 ;9. 221

3 ; 4. x=33 ;5. 37

x=

21 13

6. x=−

34 11 ;7. x=− 11 2

x=−13

Fernando Villena Delgado

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