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• Gabriel Valenzuela

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Prof.: Hernán A. Rodríguez S.

I. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones: 1) 4x = 2x - 12 2) 8x - 24 = 5x 3) 7x + 12 = 4x - 17 4) 3x - 25 = x - 5 5) 5x + 13 = 10x + 12 6) 12x - 10 = -11 + 9x 7) 36 - 6x = 34 - 4x 8) 10x -25 = 6x - 25 9) 11x - 1 + 5x = 65 x - 36 10) 4x - 13 - 5x = -12x + 9 + 8x 11) -5 + 7x +16 + x = 11x - 3 - x 12) 6x - 12 + 4x - 1 = -x - 7x + 12 - 3x + 5 13) 2x - (x + 5) = 6 + (x + 1) 14) 8 - (3x + 3) = x - (2x + 1) 15) 4x - 2 = 7x - (x + 3) + (-x - 6) 16) 2x + [2x - (x - 4)] = -[x - (5 - x)] 17) x - {5 + 3x - [5x - (6 + x)]} = -3 18) -{7x + [-4x + (-2 + 4x)] - (5x + 1)} = 0 19) -{-[-(-6x + 5)]} = -(x + 5) 20) -{4x - [-2x - (3x + 6)]} = 4 - {-x + (2x - 1)} II.

Es importante en la resolución de problemas verbales de ecuaciones de primer grado es tener un buen manejo del lenguaje algebraico, el saber, la equivalencia entre el lenguaje verbal cotidiano y el lenguaje algebraico. Para esto, voy a entregar un listado de palabras u oraciones con su respectivo significado en lenguaje algebraico que es importante para su posterior aplicación en el planteamiento de problemas verbales. Aquí vamos: Más, suma, adición, agregar, añadir, aumentar -----> + Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar -----> Multiplicación, de, del, veces, producto, por, factor -----> ·

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División, cuociente, razón, es a -----> : Igual, es, da, resulta, se obtiene, equivale a -----> = Un número cualquiera -----> x Antecesor de un número cualquiera -----> x - 1 Sucesor de un número cualquiera -----> x + 1 Cuadrado de un número cualquiera -----> x2 Cubo de un número cualquiera -----> x3 Doble de un número, duplo, dos veces, número par, múltiplo de 2 -----> 2x Triple de un número, triplo, 3 veces, múltiplo de 3 -----> 3x Cuádruplo de un número -----> 4x Quíntuplo -----> 5x Mitad de un número -----> (1/2)x ó x/2 Tercera parte de un número -----> (1/3) x ó x/3 Número impar cualquiera -----> 2x+1 ó 2x - 1 Semi-suma de dos números -----> (x + y)/2 Semi-diferencia de dos números -----> (x - y)/2 Números consecutivos cualesquiera -----> x, x+1, x+2, x+3, x+4,..... Números pares consecutivos -----> 2x, 2x+2, 2x+4, 2x+6, 2x+8..... Números impares consecutivos -----> 2x+1, 2x+3, 2x+5, 2x+7, 2x+9..... Con respecto a los múltiplos consecutivos, aquí van dos de ejemplo, supongo que te darás cuenta del "ciclo" que llevan: Múltiplos de 5 consecutivos -----> 5x, 5x+5, 5x+10, 5x+15, 5x+20,...... Múltiplos de 6 consecutivos -----> 6x, 6x+6, 6x+12, 6x+18,..... Recíproco de un número cualquiera -----> 1/x Número cualquiera de dos dígitos -----> 10x + y (Ya que, por ejemplo, 59 = 5·10 + 9) Algunos ejemplos, pero ahora de lenguaje algebraico a verbal: x - 4: "La diferencia entre un número cualquiera y 4" 2x + 3y: " Al doble de un número agregarle el triple de otro número" 5x - y: "El exceso del quíntuplo de un número sobre otro número cualquiera" x/4 + 3y: "A la cuarta parte de un número agregarle el triple de otro número"

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(x - 3)2 : "El cuadrado de la diferencia entre un número cualquiera y 3" x2 - 3: "La diferencia entre el cuadrado de un número y 3" (2x - 3y)/4: "La cuarta parte de la diferencia entre el doble de un número y el triple de otro número" (x + y)2 /3: "La tercera parte del cuadrado de la suma entre dos números" x + x/4: "A un número cualquiera añadirle su cuarta parte" (5x)2: "El cuadrado del quíntuplo de un número" 5x2: "El quíntuplo del cuadrado de un número" (2x)3 - 4y2: "El exceso del cubo del doble de un número sobre el cuádruplo del cuadrado de otro número" MUCHO CUIDADO CON EL ORDEN EN QUE SE DEBE ESCRIBIR LA EXPRESIÓN

Problemas con Enunciado Aquí es donde debes aplicar lo aprendido anteriormente de lenguaje común y su traspaso al lenguaje algebraico. Veamos algunos ejemplos: 1.

2.

3.

4.

III.

¿Cuánto debe añadirse a 4/9 para obtener la unidad? 4 /9 x+ =1 9 9x+4=9 9x=5 5 x= 9 ¿De qué número hay que restar 21/4 para obtener la sexta parte del número? 21 x /12 x− = 4 6 12x-63=2x 10x = 63 63 x= 10 ¿Qué número sumado con sus 5/6 y con sus 3/8 es 318? 5 3 x + x + x = 318 6 8 Una persona invierte los 3/4 de su dinero y le sobra la tercera parte menos $100 ¿Cuánto dinero tenía? 3 1 x − x = x − 100 4 3

Resuelve los siguientes problemas verbales: 1. Hallar un número sabiendo que: a) si se disminuye en 7 se obtiene 34. b) si se aumenta en 13 se obtiene 76.

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c) su tercera parte es igual a 187. d) su triple es igual a 216. e) sumándolo a su quíntuplo resulta 72. f) restando 20 a 8 veces dicho número se obtiene 28. g) restando 7 del triple de dicho número se obtiene 23. h) restando 15 de su cuádruplo se obtiene igual número. i) su exceso sobre 59 es 27. j) su quíntuplo excede a su duplo en 96. 2.

Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?

3.

¿Qué número se debe restar de 14 para obtener 8?

4.

El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?

5.

El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de este es 147. Hallar el número.

6.

Si a cierto número se agrega 180, resulta 7 veces el exceso del mismo número sobre 60. ¿Cuál es el número?

7.

Cierto número aumentado en tres, multiplicado por sí mismo, es igual a su cuadrado más 24. ¿Cuál es el número?

8.

Si un número aumentado en 12 se multiplica por el mismo número disminuido en 5, resulta el cuadrado del número más 31. ¿Cuál es el número?

9.

Si al cuadrado de un número entero se agrega 17, se obtiene el cuadrado del número entero que sigue.

10. Si se resta un número de 923 se obtiene el mismo resultado que si se suma este número a 847. ¿Cuál es el número? 11. ¿Qué número es aquel que aumentado en 3 unidades, resulta ser igual al exceso del doble del número sobre 4? 12. El exceso que tiene un número sobre 30, es igual al exceso que tiene 82 sobre el número. ¿Cuál es el número? 13. Un número más el doble del número, más el triple del número, da 126. ¿Cuál es el número? 14. Si a un número se le agrega el triple del número disminuido en 4, resulta el doble del número aumentado en 20. ¿Cuál es el número? 15. Un número aumentado en 8 es multiplicado por el mismo número disminuido en 4, obteniéndose el número al cuadrado aumentado en 20. ¿Cuál es el número? 16. El cuadrado de la suma de un número y 6 da como resultado el número multiplicado por el número aumentado en 3. ¿Cuál es el número? III. Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones utilizando operatoria de expresiones algebraicas: 1) 5(x + 2) = 40 2) 3(x - 4) + 6 = 9 3) 2x(4x - 3) = 8x2 - 18

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4) -2(x + 3) + 5(x - 2) = x + 1 5) 4(x + 3) - 2(-x + 3) = 6 - x 6) 8(x + 2) = 3(x - 5) - 7(x + 3) 7) a(x + 1) + 5a(x - 1) = 2(3b - 2a) 8) x(a + 1) - x(a - 1) = 2a + 4 9) (x + 2)(x - 5) = (x - 1)(x - 6) 10) (x - 8)(x + 1) = (x + 5)(x - 3) 11) (x + 1)(6x - 2) = (2x + 4)(3x + 2) 12) 2(x - 2)(x + 3) - (2x + 4)(x - 2) = 0 13) (6x + 10)(6x - 10) = 15 + (3x - 5)(12x + 5) 14) (2x + 3)(2x - 3) + 7 = 4(x + 2)(x - 2) + 2x 15) (x - 2)2 - (3 - x)2 = 1 16) (4x + 3)2 = 25(1 + x)2 - (4 + 3x)2 17) (3x - 1)2 - (2x + 3)2 = 5(x - 2) + (x - 1)(5x + 2) 18) (4x - 16)2 - (x - 2)2 = (8 - x)2 ECUACIONES FACCIONARIAS Para resolver las ecuaciones fraccionarias debemos multiplicar toda la expresión por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, luego simplificar y finalmente resolver la ecuación entera resultante Ejemplo 1 :

Resolver

2x 5 = 2− x +1 2x

/ 2x(x+1)

Multiplicamos toda la ecuación por el m.c.m. 2x(x+1) (Generalmente este paso se omite) 2x 5 ⋅ 2 x( x + 1) = 2 ⋅ 2 x( x + 1) − ⋅ 2 x( x + 1) x +1 2x Simplificando y resolviendo resulta: 4x2 = 4x⋅(x + 1) – 5(x + 1) 4x2 = 4x2 + 4x – 5x – 5 x = -5 3x − 1 x + 9 Ejemplo 2 : − =1 2x − 3 4x − 6 Antes de determinar el m.c.m. se factoriza 3x − 1 x+9 − =1 /·2(2x-3) 2 x − 3 2(2 x − 3) 2(3x-1)-(x+9) = 2(2x-3) 6x - 2 - x - 9 = 4x - 6 x = 5

ECUACIONES DE PRIMER GRADO IV.

Ahora resuelve estas ecuaciones racionales: 1.

2 3 − =0 x −1 x + 3

2.

1 =3 2x + 1

3.

−3 4 = 5x − 1 6 − 7 x

4.

4 −3= 0 5x

5.

x+3=

6.

3− x 2 2( x − 2 + = −3 x +1 x2 −1 x −1

7.

4 5 3 − = 2 3x − 1 2 x + 3 6 x + 7 x − 3

8.

3 4 6 − = 2 x + 2 x − 2 x − 4

9.

2( 2 − x ) 3 − x 1 + +3= 2 x −1 x +1 x −1

2x 2 2x − 1

10. 1 − x = 1 − b b

b

11. a ( x + 1) = a ( a + 1) − x 12. x + b (bx + 1) = (1 + b ) − b ( 2 x − 1) 13. 1 + x + 1 + x = 1 + a + 1 − b b a b a 14. m + x − n + x = 0 n m 2 2 15. 3(a − x) − 2(b − x) = 2b − 6a

b

a

16. x − a + x − b = 2 x+b x+a 17. 3 x + 5a = 6 x − 2b 2x + b 4 x − 2a 18.

x 2x 1 − + =0 2m 3n mn

ab

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