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• John Anthony Lopez Jimenez

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28. DESCOMPOSICION FACTORIAL La Factorización de números enteros en números primos o Descomposición Factorial, consiste en expresar el número como un producto de factores primos.

La Factorización se fundamenta en el Teorema de Factorización Única, que afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo, 42 = 2 x 3 x 7, y no hay ninguna otra factorización de 42 en números primos, salvo en el orden de los factores, que no afecta en la multiplicación por tener la propiedad conmutativa. Por este motivo se enuncia el Teorema como de Factorización Única. Para descomponer un número en producto de factores primos, procedemos de la siguiente manera: 1. Escribimos el número a descomponer y a la derecha trazamos una línea vertical. 2. Buscamos el menor número primo, (2, 3, 5, 7...), por el que sea divisible el número. (Aplicamos los criterios de divisibilidad para saber si la división será exacta o no). 3. Dividimos el número por ese número primo. 4. Colocamos el divisor (el número primo) en la parte superior derecha y el cociente debajo del primer número. 5. Repetimos el proceso hasta que en la parte izquierda aparezca un 1, lo que nos indica que la descomposición ha terminado. (Recordar que el número 1 es especial y no se considera primo ni compuesto). A continuación te facilitamos la posibilidad de saber cual es la descomposición factorial de un número. Para ello, introduce el número que quieras en el recuadro y después pulsa en "Factorización". Para saber la de otro número, repite el proceso.

Veamos algunos ejemplos de descomposición factorial

Factorización de 2310

Factorización de 3150

2310

2

3150

2

1155

3

1575

3

385

5

525

3

77

7

175

5

11

11

35

5

7

7

1



1

3150 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x7

2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11

3150 = 2 x 32 x 52 x 7 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación. Ejemplo: Resolver la ecuación

x−1=0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: 2

ax + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas 2

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales. Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas: Ejemplos: 2

9x + 6x + 10 = 0 2

3x – 9x + 0 = 0 2

–6x + 0x + 10 = 0

a = 9, b = 6, c = 10 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está) a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe) 2

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorización En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero. Ejemplos 1) Resolver (x + 3)(2x − 1) = 9 Lo primero es igualar la ecuación a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación: (2x − 3)(x + 4) = 0 Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas: Si 2x − 3 = 0 2x = 3

Si x+4=0 x = −4 Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas: (x + 3)(2x − 1) = 9 2

2x + 5x − 12 = 0 2

2x + 5x = 12 2

2x − 12 = − 5x En todos los casos la solución por factorización es la misma: 2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:

Ahora, si x=0 o si x− 4 = 0 x=4 Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:

Soluciones:

Solución por completación de cuadrados Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo: 2

(ax + b) = n 2

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b) , es el cuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuación del tipo

2

x + bx + c = 0 por ejemplo, la ecuación 2

2

x + 8x = 48, que también puede escribirse x + 8x − 48 = 0 2

Al primer miembro de la ecuación (x + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo 2 (ax + b)

Que es lo mismo que (ax + b) (ax + b) Que es lo mismo que 2

ax + 2axb + b

2

En nuestro ejemplo 2

x + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser 2 obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a + 2 2 2ab + b ) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (4 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos 2

x + 8x + 16 = 48 + 16 2

x + 8x + 16 = 64 la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64 Que es igual a 2

(x + 4) = 64 Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos queda x+4=8 Entonces x=8−4 x=4 Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la 2 expresión (x + 4) , que es el cuadrado perfecto de un binomio. Veamos otro ejemplo: Partamos con la ecuación 2

x + 6x − 16 = 0

Hacemos 2

x + 6x = 16 2

Luego, a partir de la expresión x + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la 2 forma (ax + b) (cuadrado de la suma de un binomio).

Para encontrar el término que falta hacemos (Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado). Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación: 2

x + 6x = 16 2

x + 6x + 9 = 16 + 9 2

x + 6x + 9 = 25 factorizamos, y queda (x +3) (x + 3) = 25 2

(x + 3) = 25 2

2

La expresión x + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3) , y así la ecuación se resuelve con facilidad: Extraemos raíz cuadrada

, y queda x + 3 = 5 y x + 3 = −5 2

2

(pues 5 = 5 y también (−5) = 5 Entonces x=5−3 x=2 Y x=−5−3 x=−8 La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8. Otro ejemplo para analizar y estudiar: 2

Resolver la ecuación: x – 6x + 8 = 0 2

2

Veamos: Con los términos x y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3) , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a la derecha de la igualdad: 2

x – 6x = − 8 y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio: ¿Cómo encontramos el término que falta?, haciendo

2

x – 6x = −8

/+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuación)

2

x − 6x + 9 = − 8 + 9 2

(x – 3) = 1 Extraemos las raíces cuadradas

y queda x–3=1

y x − 3 = −1

Si x–3=1 x=1+3 x=4 Si x – 3 = −1 x = −1 + 3 x=2 Por lo tanto x1 = 4 y x2 = 2 Debemos hacer notar que el método de completar cuadrados terminará en lo mismo que la fórmula general, porque es de este método de donde sale dicha fórmula, usada en el método que vemos a continuación. Ver: PSU: Matematica; Pregunta 028_2010

Solución por la fórmula general Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula. La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, seacompleta o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización. Ejemplo: 2

Resolver la ecuación 2x + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2,

b=3 y

c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

y también

Así es que las soluciones son

.

Aquí debemos anotar algo muy importante: En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión 2 cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b − 4ac) sea positivo o cero.

. Esa raíz

2

El radicando b – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces)depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee: Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones. Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución. Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución. En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones. Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a.

Trabajando con ecuaciones de segundo grado Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, 2 2 expresarse en la forma ax + bx + c = 0, donde a, y b son los coeficientes de los términos x y x, respectivamente y c es el término independiente.

Ecuación de segundo grado completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero. Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es 2

ax + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero.

(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.) La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es: 2

b=0

y

2

si

c = 0.

ax = 0; si ax + bx = 0; 2

ax + c = 0;

si

c = 0.

b = 0.

Algunos ejemplos, con soluciones 2

1) Resolver: − 5x + 13x + 6 = 0 Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = − 5; b = 13; c = 6. Se aplica la fórmula:

Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo −. Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación. Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.

Probando con

, se tiene

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y 6=0

2

son las raíces de − 5x + 13x +

2

2.- Resolver: 6x − x = 9 Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: 2

− x + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras: a = −1 ; b = 6 ; c = −9 ; y se aplica la fórmula:

El discriminante (Δ) es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

FUNCIONES En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Ver: Relaciones y funciones En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16

2

x --------> x . Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número". Usualmente se emplean dos notaciones: 2

x --------> x

o

2

f(x) = x . 2

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 = 9. 2

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a , etc. Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas. Ejemplo 1 Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos Conjunto X

Conjunto Y

Ángela

55

Pedro

88

Manuel

62

Adrián

88

Roberto

90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso. Ejemplo 2 Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son: Conjunto X

Conjunto Y

Desarrollo

−2

−1

f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1

−1

1

f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =

1

0

3

f(0)

= 2(0) + 3 = 0 + 3 =

3

1

5

f(1)

= 2(1) + 3 = 2 + 3 =

5

2

7

f(2)

= 2(2) + 3 = 4 + 3 =

7

3

9

f(3)

= 2(3) + 3 = 6 + 3 =

9

4

11

f(4)

= 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. Ahora podemos enunciar una definición más formal: Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio). Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de números. Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B

f : X -----> Y) o f(x) = x

Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada. f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5. El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función. Ejemplo 3 Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo". Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido. Veamos: A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B). Dominio = {1, 2, 3}

Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes: Si tenemos los conjuntos A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5} Podemos establecer las relaciones f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) } h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }: Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4). Ejemplo 4 Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada". Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y. Veamos: A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

REPRESENTACION GRAFICA DE LA FUNCION En matemáticas, la gráfica de una función:

es la representación gráfica de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen. Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesianoX×Y. Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva. En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes. El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.

Bibliografía http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_primer_grado.html

http://www.elabueloeduca.com/aprender/matematicas/divisibilidad/factorizacion.html

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n