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• Vrs Serrano

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Álgebra Lineal sábado, 26 de mayo de 2012

1.6 Ecuaciones polinómicas. Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo

Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:

Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por

que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos. Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i. La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi. Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc. Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.

La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción:

1.6 Ecuaciones polinómicas. Soluciones de ecuaciones polinómicas Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones. Ya podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación como: zn + 23 = 0 → z = n√-23 Serán n soluciones. O las soluciones de ecuaciones como: zn/m +1 = 0 → z = n√(-1)m

Cualquier complejo elevado a m está univaluado, nos proporcionará un único valor. Si m/n es irreducible, tendremos n soluciones. Si es reducible, m/n = p/q, y tendremos q < n soluciones distintas. Es importante, por tanto, simplificar m/n siempre. Además: supongamos que hemos simplificado hasta alcanzar m/n. Tomemos una solución de las n posibles. Al elevarla a n/m debería darnos z, pero nos dará m valores y solo uno de ellos es z