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CEROS DE FUNCIONES POLINOMICAS Lo que se quiere resolver en este capitulo es el problema de hallar las raíces de funciones y en particular de funciones polinómicas. Existen muchos métodos que aproximan estas raíces, la escogencia del método depende de si necesita todas las raíces (si el polinomio es de grado muy grande) o si son raíces complejas, un caso particular en polinomios es la multiplicidad de las raíces (para lo cual trataremos de forma analítica); además trataremos un método para raíces complejas (Muller y Baristow). Preliminares sobre polinomios Consideremos un polinomio con coeficientes reales de grado n: p( x )  a n x n  a n 1 x n 1  ...  a1 x  a 0

Con a k   y a n  0 . Definición Sea p(x) un polinomio de una variable real o compleja con coeficientes reales. Un número a real se dice raíz de p(x) si p(a)=0, se dice que a tiene multiplicidad k en p(x) si existe un polinomio s(x) de grado n-k tal que s(a) ≠ 0 y p(x) = (x − a)ks(x). Si k = 1, entonces a recibe el nombre de raíz simple. El teorema fundamental del algebra (ver Variable compleja con aplicaciones, David Wunsch pag 209 ) nos dice que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces entre reales compleja con sus respectivas multiplicidades. Ahora el problema radica en como determinar la multiplicidad de una raíz. Cuando se tratan de hallar ceros de una función se pueden presentar dos tipos de raíces: 1. Simples 2. Con multiplicidad k Si el polinomio que se nos da no esta en la forma anterior se procede de la siguiente manera: a. Para saber la multiplicidad de a sabiendo que a es una raíz, consideramos la sucesión p ( a ), p´(a ), p´´(a ),..., p ( k ) ( a). , hasta que p ( k ) (a ) sea diferente de cero. Este valor k es la multiplicidad de a en p(x) b. Deflación: se refiere al método para remover una raíz conocida de una ecuación polinómicas conduciendo a una ecuación de grado mas bajo; se aplica dividiendo el polinomio original por ( x  a ) k donde k es el exponente de la raíz que tiene la multiplicidad.

Dada la dificultad de trabajar con los números complejos respecto a los reales; si queremos comparar 2i con 3i no podemos determinar quien es mayor. Es decir el orden. Empezaremos por hallar las soluciones reales, sin embargo la primera pregunta a solucionar es ¿Hay soluciones reales? Y si las hay ¿cuantas?, las secuencias de Sturm que veremos mas adelante solución estas dos preguntas. El siguiente resultado nos indica un intervalo en el cual debemos buscar las raíces reales: Teorema: Todos los ceros de un polinomio se hallan en el disco cerrado cuyo centro esta en el origen del plano complejo y cuyo radio es

  1  an

1

max a k (Ver demostración en Análisis Numérico, David Kinkaid, Ward 0 k  n

Cheney); si tomamos el polinomio

f ( x)  3( x 2  1).( x  1).( x  2) , para

hallar el

intervalo donde se encuentran las raíces reales evaluamos  6  3 ; es decir que ahora hacemos el análisis no en todos los reales 3 sino en el intervalo (-3,3) Luego   1 

SECUENCIAS DE STURN Considere que f1 ( x ) , f 2 ( x ) ,......., f m ( x ) , sea una secuencia de polinomios. Que satisfaga las siguientes condiciones sobre un intervalo (a,b) de la recta real; Una secuencia tal es llamada secuencia de Sturn sobre un intervalo ( a, b ) , donde cada a o b puede ser infinito. Si 1. El signo de f n (r ) es constante. 2. Si f n (r )  0 entonces f n 1 (r ) * f n 1 (r )  0 3. Si

f 0 (r )  0

signo de

entonces

para

h

suficientemente

pequeño

f 0 (r  h) f ( r  h)  1 y signo de 0 1 f 1 (r  h) f 1 ( r  h)

Definición Considere que

{ f ( x ) } , i  1,......, m i

sea una secuencia de Sturn en ( a, b ) y que xo

sea un punto de ( a, b ) en el que f i ( x ) �0 .

Definimos V ( xo ) como el numero de cambios de signo de

{ f ( x ) } , siendo los valores o

cero ignorados. Si a es finita, entonces V ( a ) esta definida como V ( a  e ) donde  es tal que ninguna f i ( x ) se anula en ( a, a  e ) y similarmente para b cuando b es finita. Si a  �, entonces V ( a ) esta definida como el numero de cambios de signo de

{ lim f ( x ) } y en forma similar para V ( b ) cuando b  �. x � �

i

Teorema El número de raíces reales distintas del polinomio f ( x ) en el intervalo ( a, b ) es igual a V ( a )  V ( b ) si tanto f ( a ) como f ( b ) son diferentes de cero además si

f ( a) o

f ( b ) o ambas son iguales a cero y la raíz es simple, el resultado cumple en ( a, b ) si definimos V ( x ) como el numero de cambios de signo en f 2 ( x ) ,......, f m ( x ) cuando

f1 ( x )  0 . Nuestro interés principal aquí esta en la aplicación de este teorema para determinara las raíces reales de un polinomio en un intervalo ( a, b ) consideremos la secuencia de funciones:

f i ( x ) , i  1, 2,......, m  1 f1 ( x )  f ( x ) f2 ( x )  f ' ( x ) f j 1 ( x )  q j 1 ( x ) . f j ( x )  f j 1 ( x ) ; j  1, 2,....., m  1 f m 1 ( x )  qm 1 ( x ) . f m ( x ) donde q j 1 ( x ) es el cociente y f j 1 ( x ) es el negativo del residuo cuando f j 1 ( x ) es dividida por f j ( x ) .



EJEMPLO 3 2 1) Si f ( x )  5 x  6 x  18 x  5 encontrar el número de raíces reales diferentes

por medio del teorema de Sturn.

f ( x )  5 x3  6 x 2  18 x  5 entonces:

Denotamos con f1(x), calculamos su derivada y hallamos f2(x), como nos interesa únicamente los signos de fi(x), es con frecuencia, conveniente factorizar para que nos dé un coeficiente entero de mayor grado

f1 ( x )  5 x3  6 x 2  18 x  5 f 2 ( x )  15 x 2  12 x  18 Ahora dividimos f1(x) entre f2(x); hallamos el residuo y le cambiamos el signo, lo factorizamos también y hemos hallado f3(x).

5 x 3  6 x 2  18 x  5 15 x 2  12 x  18 5 x 3  4 x 2  6 x 1 2 x 2 3 15 2x  24 x  5 24 36 x 15 15 128 37  x 5 5

-2 x 2 

Aquí factorizamos

-1/5 para así evitar los coeficiente fraccionarios y agilizar las

futuras divisiones. f ( x )  68 x  37

Luego dividir f2(x) entre f3(x) y se obtiene f4(x) = 7.02, entonces se hace el siguiente análisis: La siguiente tabla reemplazando los valores en fi(x) correspondiente; para  � se

toma un valor negativo y lo mismo se hace para todos los intervalos (recuerde que sólo nos interesa el signo). �

�

f1 ( x ) f 2 ( x)

-

+

-1 +

0 +

1 -

+

+

-

-

+

f 3 ( x)

-

+

-

-

+

f 4 ( x) CAMBIOS

+

+

+

+

+

3

0

2

2

1

De   a 0 existe 1 raíz De   a  1 existe 1 raíz De  1 a 0 existe 0 raíces De 0 a 1 existe 1 raíz De 0 a  existen 2 raíces De 1 a  existe 1 raíz

Un bosquejo de la grafica seria

Donde observamos que se cumplen las conclusiones del método y para saber cual es observamos que la derivada de la función evaluada en cero ( f 1 ( x ) ) es negativo luego la grafica correcta es la izquierda.



EJERCICIOS PROPUESTOS

Encontrar el número de raíces reales por medio del teorema de Sturn. 1) x 6  4 x 4  x 2  4 2) x 6  6 x 4  11x 2  6 3) x 7  5 x 5  3x 3  x  1 4) 36 x 6  36 x 5  23x 4  13x 3  12 x 2  x  1  0 5) 288 x 5  720 x 4  694 x 3  321x 2  71x  6 6) x 4  2.4 x 3  1.031x 2  0.6 x  0.32  0 7) Dada la siguiente tabla hacer un bosquejo de la gráfica

�

� -3

f1 ( x ) f 2 ( x)

+

-

+

0 -

3 +

-

-

+

-

+

f 3 ( x)

+

+

-

-

+

f 4 ( x)

-

+

-

-

+

8) Dada la siguiente tabla hacer un bosquejo de la gráfica

�

� -5 -1 0

f1 ( x ) f 2 ( x)

-

+

-

+

-

3 +

+

+

-

-

-

+

f 3 ( x)

-

+

-

+

+

-

f 4 ( x)

+

+

-

+

+

-

9.) meter una tabla con ceros

Primero trataremos métodos cerrados (Bisección, regla falsa) y después métodos abiertos (Newton, Secante y punto fijo); a continuación daremos un método que nos permite hallar el número de raíces reales diferentes de un polinomio y de acuerdo a su comportamiento decidir que método se aplica. 1. BISECCIÓN

Sea f una función continua en un intervalo (a, b) y sea x r una raíz de la función tal que x r  (a, b) definimos el siguiente algoritmo que nos permite aproximar la raíz de f.

Xr 

Xu  X L 2 X r  Punto



Medio

Paso 1: Elija valores iniciales inferior (XL) y superior (Xu) que encierren la raíz de forma tal que la función cambie el signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que F(XL)·f(Xu) < 0.



Paso 2: Una aproximación de la raíz Xr se determina

Xr  

Xu  X L 2

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que sub-intervalo está la raíz:

 Si F(XL)·f(Xr) < 0 Entonces la raíz se encuentra dentro del sub-intervalo inferior o izquierdo, por lo tanto, haga Xu = Xr y vuelva al paso 2.



Si F(XL)·f(Xr) > 0

Entonces la raíz se encuentra dentro del sub-intervalo superior o derecho, por lo tanto, haga XL = Xr y vuelva al paso 2.



Si F(XL)·f(Xr) = 0

Entonces la raíz es igual a Xr y termina el calculo.

Para hallar el número de iteraciones exactas P  Pn 



X u.  X L donde P es el 2n

valor real y Pn la aproximación.



EJEMPLO

1. Para f ( x)  e  x  x hallar P utilizando 5 cifras decimales XL = 0 Xu = 1 Para conocer el número de iteraciones hacemos lo siguiente: Es  0.5  10 2  n donde n es el número de cifras significativas Es  0.5  102  5  0.0005 0..0005 

1 0 2n

1 0.0005 n ln 2  ln 2000

ln 2n  ln

n  10.97 n  11 iteraciones



Paso 1: Los valores iniciales son XL = 0 y Xu = 1  F(XL)·F(Xu) < 0



Paso 2: X r



1 0  0.5 2

Paso 3: F(XL)·F(Xr) > 0  XL = Xr Volvemos al paso 2 y repetimos el mismo procedimiento: 1)

X r

1  0.5  0.75 2

2)

X r

0.75  0.5  0.625 2

F(XL)·F(Xr) < 0  Xu = Xr

3)

X r

0.625  0.5  0.5625 2

F(XL)·F(Xr) > 0  XL = Xr

F(XL)·F(Xr) < 0  Xu = Xr

4)

X r

0.625  0.5625  0.59375 2

5)

X r

0.59375  0.5625  0.57813 F(XL)·F(Xr) < 0  Xu = Xr 2

6)

X r

0.57813  0.5625  0.57032 F(XL)·F(Xr) < 0  Xu = Xr 2

7)

X r

0.57032  0.5625  0.56641 F(XL)·F(Xr) > 0  XL = Xr 2

8)

X r

0.57032  0.56641  0.56837 2

F(XL)·F(Xr) < 0  Xu = Xr

9)

X r

0.56837  0.56641  0.56739 2

F(XL)·F(Xr) < 0  Xu = Xr

F(XL)·F(Xr) < 0  Xu = Xr

10) X r

0.56739  0.56641  0.5669 F(XL)·F(Xr) > 0  XL = Xr 2

11) X r

0.56739  0.5669  0.56714 2

Como se puede observar en la iteración número 11 se puede encontrar una aproximación de la raíz que para esta función es igual a 0.5671432904.



EJERCICIOS PROPUESTOS

Realizar cada uno de los siguientes ejercicios con 10 iteraciones y 10 decimales 2) Determine la raíz real de Lnx 2  0.7 3) Determine la raíz real de f ( x) 

0.9  0.4 x x

4) Hallar una raíz no trivial de senx  x 2 5) Hallar el valor de



2. MÉTODO DE REGLA FALSA O FALSA POSICIÓN

Este método es un mejoramiento de la bisección y sigue siendo un método cerrado, prácticamente se cumplen las mismas condiciones del método anterior pero con la diferencia de la definición del x r .

xr  xu 

f ( xu ) . ( xL  xu ) f ( xL )  f ( xu )

El valor de xr , calculado con esta ecuación, reemplaza a uno de los 2 valores xL o xu que produzca un valor de la función que tenga el mismo signo de f ( xr ) . De esta manera, los valores xL o xu siempre encierran la raíz. Este proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea la adecuada. Se tienen en cuenta las siguientes evaluaciones:

a ) f ( xL ) . f ( xr )  0 � Raiz � a el primer sub intervalo � xu  xr b) f ( xL ) . f ( xr ) > 0 � Raiz � a el segundo sub intervalo � xL  xr c) f ( xL ) . f ( xr )  0 � La Raiz es xr (termine el calculo) Ejemplo Si

f ( x )  e  x  x, y xL  0, y xu  1 encontrar la raíz por el método de la falsa

posición.

f ( xL )  1 f ( xu )  0.63212 luego xr  1 

0.63212*(0  1)  0.6127 1  (0.63212)

f ( xL ) . f ( xr )  0.0708 por lo tanto la raiz se encuentra en el primer sub intervalo y xr se convierte

Segunda iteracion: xL  0

f ( xL )  1

xu  0.6127 f ( xu )  0.07081 xr  0.6127 

0.0708 * (0  0.6127)  0.57219 1  (0.07081)

y así sucesivamente.

Se debe realizar una tabla con los datos obtenidos de la siguiente manera: XL

XU

Xr

EN

ER

3. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

( )

Supongamos que f  c 2  a,b. Sea x   a,b una aproximacion de P tal que f ' x y P  x es " pequeño" . Consideremos el primer polinomio de Taylor alrededor de x

() (

)

f ( x)  f x  x  x f ' ( x) 

( x  x) 2

2

0

para F( x ) expandido

f '' (  ( x ) )

Donde  ( x ) esta entre x y x . Dado que f ( p )  0 esta ecuacion, con x  p da

( P  x) 0  f ( x)  ( P  x) f ( x)  2

2

'

( ( ))

f ''  x

Derivamos el metodo de Newton suponiendo que, como que contiene

(P-x )

2

P - x es tan pequeño, el termino

es mucho menor y que

( ) (

) ( )

o f x  Px f ' x

Despejando P de esta Ecuación tenemos f x P  x ' f x

() ()

Esto nos prepara para introducir el método de Newton Raphson, el cual comienza con  una aproximación inicial P0 y genera la sucesión { Pn } n  0 definida por:

Pn  Pn 1 

PROPIEDADES

f ( Pn 1 ) ; Para n  1 f ' ( Pn 1 )

El método de Newton Raphson es de convergencia cuadrática:

Sea En  Pn  P En 1  Pn 1  P

f ( Pn ) f ' ( Pn )

como Pn1  Pn 

Tenemos En 1  Pn 

f ( Pn ) pn . f ' ( Pn )  f ( Pn )  P. f ' ( Pn ) f ' ( Pn ).( Pn  P )  f ( Pn )  P   f ' ( Pn ) f ' ( Pn ) f ' ( Pn )

f ' ( Pn ).En  f ( Pn )  f ' ( Pn ) Entonces:

f

En 1 

( Pn ) .En  f ( Pn ) ; 1 ( ) f ' ( Pn )

'

Por el polinomio de Taylor alrededor de xo = Pn tenemos f

( x)

 f

( Pn )

 ( x  Pn ) f

'

( Pn ) 

( x  Pn )

2 ''

f

2

( Pn )

Si X = P tenemos

( P)

f

 f

( Pn )

Como f ( P )  0 (por ser una Raiz)

Entonces

( )

0 f

(

0 f

( Pn )

En . f

'

Pn )  ( P  Pn ) f

 (  En ) f

( Pn )  f ( Pn )

f '' ( Pn )

Lo f cual Pn .indica En 1 que el '

2

 ( P  Pn ) f



f

''

( Pn ) 2

'

'

(

'

( Pn )

Pn ) 

( Pn )

( P  Pn ) 

2

f

2

( P  Pn ) 2

(  En )  2

2

f

2

f

''

''

''

( Pn )

( Pn )

( Pn )

2

En2 Reemplazando (1) tenemos

f '' ( Pn )

2 cuadrática, lo.E tanto el método se va .E �de Enrazón .En2por K 1  n ' 2. f ( Pn )

2 errorn es

reduciendo cuadráticamente.

4. MÉTODO DE LA SECANTE El problema del método de Newton Raphson consiste en la necesidad de hallar el valor de la derivada de f en cada aproximación; para evitar este problema se hace una pequeña modificación.

Por definición de derivada se tiene:

f ' ( Pn 1 )  lim

x �Pn 1

f ' ( Pn 1 ) �

f ( x )  f ( Pn 1 ) ;hallando la derivada en x  Pn 2 tenemos x  Pn1

f ( Pn  2 )  f ( Pn1 ) f ( Pn 1 )  f ( Pn  2 )  Pn  2  Pn 1 Pn1  Pn  2

De acuerdo con el método de Newton Raphson tenemos

Pn  Pn 1  Pn  Pn 1 

f ( Pn 1 ) ,reemplazando f ' ( Pn 1 ) f ( Pn 1 ) f ( Pn 1 ) . ( Pn 1  Pn  2 )  Pn 1  f ( Pn 1 )  f ( Pn  2 ) f ( Pn 1 )  f ( Pn 2 ) Pn 1  Pn 2

Luego Pn  Pn 1 

f ( Pn 1 ) * ( Pn 1  Pn  2 ) f ( Pn 1 )  f ( Pn  2 )

Esta técnica recibe el nombre de MÉTODO DE LA SECANTE EJERCICIOS PROPUESTOS (MÉTODO DE NEWTON–RAPHSON Y DE LA SECANTE)

NEWTON–RAPHSON MEJORADO Otra alternativa también sugerida por Ralston y Rabiowitz (1978), es la de definir una nueva función U(x), que es el cociente de la función y su derivada, esto es:

U ( x) 

f ( x) se puede demostrara que esta función tiene raíces en las mismas f ' ( x)

posiciones que la función original. Por lo tanto, se sustituye U(x) en la ecuación de Newton–Raphson y de esta forma hallar una forma alternativa de este método; reemplazando tenemos el MÉTODO DE NEWTON–RAPHSON MEJORADO: x i 1  x i 

U ( x) U ' ( x)



Hallar x2 dado que x0 = 0 para f ( x )  e  x  x



Completar la siguiente tabla Partiendo de los siguientes valores de acuerdo al método x0 = 0, x1 = 1 Raíz 0.56714329. Realizar la gráfica siguiente: Eje Y (Error relativo Porcentual), Eje X (Iteraciones) y explique ¿Cuál de estos métodos es más eficaz y porque?



Dado el siguiente Polinomio f ( x)  x 4  5 x 3  7 x 2  5 x  6 hallar el número de raíces reales diferentes que tiene.

Iter Punto Error Fijo Norm. 0 0 1 1 2 3 4 5 0,606 6 7 8 9 10 0,564

Biseccion 0 0,5 0,75

Error Norm.

Secante 0 0,61270

Error Norm.

Regla Falsa 0 0,612 0,572

Error Norm.

Newton

Error Norm.

0 0,50000

0,56717 0,5625

0,56714

A continuación veremos dos métodos utilizados para hallar las raíces complejas de un polinomio; que son el método de Baristow y el método de Muller. MÉTODO DE BARISTOW Este método se basa en una variación de la división sintética

MÉTODO DE MULLER

Consiste en aproximar una

función

f

mediante

un polinomio cuadrático de la forma:

P ( x )  a ( x  x2 )  b ( x  x2 ) que pasa por ( xo , f ( xo ) ) , ( x1 , f ( x1 ) ) , ( x2 , f ( x2 ) ) , donde a, b, c se determinan a partir 2

de las siguientes condiciones:

f ( xo )  a ( xo  x2 )  b ( xo  x2 )  c 2

f ( x1 )  a ( x1  x2 )  b ( x1  x2 )  c 2

f ( x2 )  a.02  b.0  c  f ( x2 )  c

Sea:

u  xo  x2

y

f 0  f ( xo )

v  x1  x2

y

f1  f ( x1 ) f 2  f ( x2 )

f o  a.u 2  b.u  f 2 f1  a.v 2  b.v  f 2 f2  c

( 1) ( 2) ( 3)

de 1 y 2 tenemos al multiplicar por (-v ) y (u ) respectivamente:

 v. f o   a.v.u 2  b.v.u  v. f 2 u. f1  a.v 2 .u  b.v.u  u. f 2 u. f1  v. f o  a ( v 2u  v.u 2 )  f 2 ( u  v )

a

u. f1  v. f o  u. f 2  v. f 2 u. f1  v. f o  u. f 2  v. f 2  v 2u  vu 2 u.v ( v  u )

( xo  x2 ) . f ( x1 )  ( x1  x2 ) . f ( xo )  ( xo  x2 ) . f ( x2 )  ( x1  x2 ) . f ( x2 ) ( xo  x2 ) . ( xo  x2 ) . ( x1  x2  xo  x2 ) ( x  x ) . f ( x1 )  ( x2  x1 ) . f ( xo )  ( x1  xo ) . f ( x2 ) a o 2 ( xo  x2 ) . ( x1  xo ) . ( x1  x2 ) a

( x0  x 2 ) 2

( x0  x 2 ) 2 * ( f 1  f 2 )  ( x1  x 2 ) 2 * ( f 2  f 0 ) b ( x0  x 2 ) * ( x0  x1 ) * ( x1  x 2 ) EJERCICIO PROPUESTO



Hallar la fórmula anterior

P ( x )  a ( x  x2 )  b ( x  x2 )  c 2

x  x2 

x  x2  x  x2  x  x2  x  x2 

b � b 2  4ac 2a

( b )

(

2

�( b 2  4ac )

2a b � b 2  4ac 4ac

(

2a b � b 2  4ac 2c b � b 2  4ac 2c

) )

{ se toma el valor menor}

b  ( signo(b)) b 2  4ac

Luego x 3  x 2 

2c b  ( signo(b)) b 2  4ac

Al tomar el signo de “b” en la fórmula se está garantizando que éste es el valor que más se acerca a la raíz real, una vez obtenga x 3, se emplea un método secuencial, es decir como el método de la secante x1, x2, x3; toman el lugar de x0, x1, x2 y se repite de nuevo el algoritmo hasta que se llegue al error deseado. Obsérvese que al usar la fórmula cuadrática se pueden obtener tanto raíces reales como complejas; esta es la mayor ventaja del método. Una vez hallado x el proceso se repite.



EJEMPLO

4 3 2 Si P ( x )  16 x  40 x  5 x  20 x  6 y xo  0,5 , x1  0,5 , x2  0 , hallar la raíces

por el método de Muller.

f ( xo )  f ( 0,5 )  13.25 f ( x1 )  f ( 0,5 )  3.25 f ( x2 )  c  f ( 0 )  6 a

(0.5  0)*3.25  (0  (0.5))*13.25  ( 0.5  0.5) *6 (0.5  0).(0.5  0.5).(0.5  0)

(0.5  0) 2 .(3.25  6)  ( 0.5  0).(6  13.25) (0.5  0).( 0.5  0.5).( 0.5  0) a9 b  11.75 c6 b

x  0.65277777778 0.490456766195i 

EJERCICIOS PROPUESTOS

Encontrar las raíces reales y complejas por medio del método de Muller 1) x 6  9 x 4  x 2  4 2) x 5  2 x 4  81x 2  162 3) x 4  12 x 3  6 x 2  10 x  6 4) x 3  x 2  2 x  2 5) 2 x 4  6 x 2  8 6) x 4  2 x 3  6 x 2  2 x  5 7) En un flujo uniforme de alta velocidad se coloca un cilindro circular, los vórtices se derraman del cilindro a una frecuencia constante, detectada por los sensores de presión que se encuentran sobre la superficie del cilindro. Esta frecuencia se calcula por medio de los cambios de presión. Se obtienen tres datos en forma de puntos, como se muestra en la siguiente tabla. TIEMPO PRESIÓN

0.53 19

0.54 44

0.55 58

Use el método de Muller para determinar el tiempo donde la presión es igual a cero.

8) Determine las raíces del sistema de ecuaciones simultaneas no lineales, empleando como valores iniciales x = y = 1.2. y  x 2  x  0.5

x 2  y  5 xy

9) Determine las raíces del sistema de ecuaciones simultáneas no lineales, empleando el método gráfico para obtener los valores iniciales. y 1  x 2

x2  5 y2

A continuación sugerimos una metodología de como resolver un polinomio de grado 11 con raíces reales, complejas y con multiplicidad mayor que 2: Ejercicio: Hallar TODAS las raíces del siguiente polinomio: f ( x) := 36 * x 11 + 19 * x^9 + 37 * x^7 - 48 * x^10 - 56 * x^8 + 5 * x^6 + 25 * x^5 + 7 * x^4 - 25 * x^3 - 5 * x^2 + 4 * x + 1

Recordemos que este polinomio por ser de grado 11 tiene exactamente once raíces entre reales y complejas contando sus multiplicidades.

Empezaremos hallando las reales; para esto

utilizaremos secuencias de Sturm y el teorema1, los cuales nos dan el número de raíces y un intervalo acotado para cada una de estas raíces aplicando el algoritmo trabajado en CLASE Paso1 Construir la secuencia de Sturm (Programa hecho en MAPLE11)

Encontraremos el valor de   1 

56  2.5556 , para evitar cálculos con decimales y así evitar 36

mayores errores en la maquina; podemos trabajar con el intervalo (-3,3) y aplicamos el procedimiento visto en CLASE Con lo cual llegamos a la siguiente tabla

f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 CAMBIOS

-3

-1,5

-0,75

-0,375

0

0,75

1,5

3

-1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 0 6

-1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 0 6

-1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 0 6

1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 0 5

1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 0 4

-1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 0 3

1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 0 2

1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 0 2

La cual garantiza cuatro intervalos acotados en los cuales hay una raíz real. ( no necesariamente única debido a la posibilidad de multiplicidad en una o varias raíces.)

Sugerimos utilizar regla falsa (Por el cambio de signo de los extremos evaluados en el polinomio) en los intervalos [-075, -0.375] , [0,0.75] y [0.75,1.5] y Newton en (-0.375,0) para el cual trabajaremos con x0 

 0375  0  0.1875 . 2

Trabajaremos únicamente con newton dada la facilidad de operarlo en Excel:

x0= x1= x2= x3= x4= x5= x6= x7= x8= x9= x10= x11= x12= x13= x14= x15=

-0,5625 -0,52754578 -0,5077191 -0,50081434 -0,50001031 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5 -0,5

-0,1875 0,375 1,125 -0,26264002 0,51742093 1,09114581 -0,2972249 0,49971414 1,06524198 -0,31485544 0,49999995 1,04593585 -0,32394395 0,5 1,031895 -0,32859357 0,5 1,02189953 -0,33095107 0,5 1,01490802 -0,33213895 0,5 1,01008443 -0,33273531 0,5 1,00679058 -0,33303411 0,5 1,00455802 -0,33318367 0,5 1,00305272 -0,33325849 0,5 1,00204147 -0,33329591 0,5 1,00136382 -0,33331462 0,5 1,00091048 -0,33332398 0,5 1,00060756 -0,33332865 0,5 1,00040529

En la tabla anterior se muestran las primeras quince iteraciones del método de Newton en cada uno de los sub-intervalos.

Es claro que la convergencia en el primero y tercer sub-intervalos es muy buena, sin embargo en los otros el método no es tan preciso (La convergencia en estos no es cuadrática; como se espera en este método), esto podría deberse a que cada una de las raíces en ellos puede ser múltiple, si este llegara a ser el caso lo podríamos corregir aplicando Newton mejorado a estos dos sub-intervalos como sigue: NEWTON MEJORADO -0,1875 1,125 -0,31435949 0,97453281 -0,333555 0,99859986 -0,33333339 0,99999596 -0,33333333 0,99998457 -0,33333333 1,0000001 -0,33333333 1,00000015 -0,33333333 1,00000022 -0,33333333 1,00000033 -0,33333333 1,0000005 -0,33333333 1,00000074 -0,33333333 1,0000012

-0,33333333 -0,33333333

1,00000178 1,00000286

Como se observa al comparar los resultados de las dos tablas anteriores vemos que el método de Newton mejorado converge más rápidamente.

Una vez halladas las cuatro posibles raíces -0.5, -1/3, 0.5, 1 verificaremos si son raíces (recordemos que a pesar de que Newton converja, este valor puede no ser raíz.) y de serlo hallaremos su multiplicidad: x= P(X) P´(X) P´´(X) P´´´(X)

-1/2 0 316.406.250

-1/3 0 0 11840/81

1/2 0 575/64

1 0 0 0 1728

Como se observa en la tabla anterior las raíces -1/2,1/2 son raíces simples mientras que -1/3 y 1 son múltiples de multiplicidades 3 y 2 respectivamente (Lo cual era de esperarse dada la convergencia mas rápida en el método de Newton mejorado). Por lo tanto hemos en realidad hallado siete raíces reales contando sus multiplicidades, es decir, faltaría encontrar cuatro raíces las cuales necesariamente son complejas (ya que en caso contrario va en contra del teorema de Sturm). Ahora necesitamos encontrar un polinomio del menor grado posible que contenga las 4 raíces complejas faltantes, es decir que sea de grado 4; para esto utilizamos deflación con lo cual llegamos al polinomio

q ( x)  36 x 4  36 x 3  72 x 2  36 x  36 El cual

puede ser reemplazado por q( x)  x 4  x 3  2 x 2  x  1 que tiene las mismas raíces, para hallar estas raíces

utilizaremos el método de Bairstow.(Programa hecho en Excel)

s0= r0=

-1,9 -2,1

s0= r0=

-1,9 -2,1 b0 b1 c1 c2 c3

s1= r1=

1

1

1

-2,1 -1,1

1

-2,1 -3,2

0,5601 -1,971 -11,074 7,23 -3,2 0,84409448 1,36004181

1

1

1

1,36004181 0,36004181

1

1,36004181 1,72008363

s1= 0,84409448 r1= 1,36004181 s1= 0,84409448 r1= 1,36004181

b0 b1 c1 c2 c3

0,8814532 0,93414483 3,75394442 3,14086863 1,72008363

2 -1,9 2,31 2,41 -1,9 6,72 7,23

1 2,09 -5,061 -1,971 6,08 -15,183 -11,074

1 -4,579 4,1391 0,5601

-11,074 7,23

7,23 -3,2

-0,5601 1,971

d1=

-0,5601 1,971

7,23 -3,2

=

-12,45801

d2=

-11,074 7,23

-0,5601 1,971

=

-17,777331

d=

-11,074 7,23

7,23 -3,2

=

-16,8361

2 1 1 0,844094476 0,30390931 1,38902283 0,489671923 2,23805414 1,27047603 1,645577448 0,93414483 0,8814532 0,844094476 1,45191309 2,339385662 4,27171268 3,140868634 3,75394442

-3,75394442 3,14086863 -0,8814532 3,140868634 1,72008363 0,93414483

d1=

-0,8814532 3,14086863 = 0,93414483 1,72008363

-1,41785298

s2= r2=

0,62748406 0,94399995

d2=

d=

1 s2= 0,62748406 r2= 0,94399995 1 s2= 0,62748406 r2= 0,94399995 1 b0 b1 c1 c2 c3

0,43710005 0,28089045 1,16841965 1,53043968 0,88799989

r3=

3,75394442 3,14086863 = 3,14086863 1,72008363

-0,73819907

-3,40795743

1

2 1 1 0,627484061 0,03513914 0,82806053 0,94399995 0,052864049 1,24575131 0,26516057 0,05600005 1,31965189 0,28089045 0,43710005 0,627484061 0,55720578 0,94399995 0,838271847 1,44473497 0,88799989 1,530439676 1,16841965 1,168419646 1,53043968 0,43710005 1,530439676 0,88799989 0,28089045

d1=

s3=

3,75394442 -0,8814532 = 3,14086863 0,93414483

0,43710005 1,53043968 = 0,28089045 0,88799989

-0,0417411

0,88866301 -0,9120068

d2=

d=

1,16841965 0,43710005 = 1,53043968 0,28089045 1,16841965 1,53043968 = 1,53043968 0,88799989

0,34075733

-1,30468908

1 s3= 0,88866301 r3= -0,9120068 1 s3= 0,88866301 r3= -0,9120068 1 b0 b1 c1 c2 c3

2 1 1 0,888663013 -0,0781963 0,91628852 -0,9120068 0,080250394 0,94035799 0,01692164 0,0879932 1,031086593 0,01855429 0,10063312 0,888663013 0,73227041 -0,9120068 0,751506016 0,81526987 0,82401361 0,893929596 0,10155375

0,10063312 0,01855429 0,10155375 0,8939296 0,82401361

1

0,101553746 0,8939296 0,10063312 0,893929596 0,82401361 0,01855429

d1=

s4= r4=

1,01177059 1,00473003

d2=

d=

0,10063312 0,8939296 = 0,01855429 0,82401361

0,10155375 0,10063312 = 0,8939296 0,01855429 0,10155375 0,8939296 = 0,8939296 0,82401361

Con lo cual llegamos a los valores r= -1 y s= -1; es decir el polinomio generado por Bairstow es : x 2  x  1 , en el cual dividimos al polinomio original, obtenemos x 2  1 . Aplicando cuadrática a cada una de ellas encontramos las cuatro raíces faltantes. Así las once raíces del polinomio son:

0,06633683

0,08807466

-0,71542845

R1= -0.5

R2= -1/3

R9= (-1+√3i)/2

R3=-1/3

R10= i

R4=1/2

R11= -i

R5=1

R6=1 R7=1

R8= (-1-√3i)/2