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• Matias Medina Zambrano

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SEMANA 2 Tema:

Inecuaciones Polinómicas y Aplicaciones

____________________________________________________________________________ INECUACIONES POLINÓMICAS Son de la siguiente forma:

P( x)  an x n  ...  a1 x  ao  0

o

P( x)  an x n  ...  a1 x  ao  0

P( x)  an x n  ...  a1 x  ao  0

o

P( x)  an x n  ...  a1 x  ao  0

donde a0 , a1 ,..., an son constantes y an  0 , n  Z  Ejemplos: 1. Resolver 2 x3  3x2  8x  3  0 Solución: Se descompone el polinomio en producto de factores, para ello se calculan las raíces dividiendo por Ruffini.

2 (x+1)

-1 2

(x-3)

-3

-8

-3

-2

5

3

-5

-3

6

3

1

0

3 2

0

(2x+1) Por lo tanto 2 x3  3x 2  8x  3  ( x  1)( x  3)(2 x  1) Luego la inecuación es:

2 x 3  3x 2  8 x  3  0 ( x  1)( x  3)(2 x  1)  0 P.C. x  1 x  3 x  

1 2

Luego ubicamos los puntos críticos en la recta real

1 Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Ciclo 2012-1

-

+

-

-1

-

+

1 2

3

Como la inecuación es de la forma P( x)  0 el conjunto solución será la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-). Entonces el

 1  2

 

C.S. =  , 1    ,3 2. Resolver: x 3  5x 2  6 x  0 Solución: Factorizando tenemos:

x ( x  2) ( x  3)  0 los puntos críticos son: x = -3, x = -2, x = 0. Los ubicamos en la recta real, tenemos:

-

+

-

-3

+

-2

0

como la desigualdad es  0 , tomamos los intervalos que tienen el signo +, es decir: Cs: x   3, 2  

 0,

 

3- Resolver: 2 x4  5x3  8x2  17 x  6  0 Solución: Factorizando tenemos: (2 x  1)(x  2)(x  3)(x  1)  0 los puntos críticos son: x = - 2, x = 1/2, x = 1, x = 3, los ubicamos en la recta real

+

-2

+ ½

1

+ 3

Como nuestra desigualdad es  0 , cogemos los intervalos que tienen el signo -, es decir:

2 Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Ciclo 2012-1

C.S.=

1   2,  1,3  2 

Observación: a) Cuando la multiplicidad de las raíces es par, entonces en ese punto crítico se repetirá el signo. Ejemplo 1. Resolver ( x  2)4 ( x  2)( x  4)  0 Solución:

( x  2)4 ( x  2)( x  4)  0 Los valores críticos son: x  2 (tiene multiplicidad par) x  4 x  2 -

+

-4

+ -2

+ 2

Como nuestra desigualdad es  0 , cogemos los intervalos que tienen el signo +, decir:

es

C.S.= , 4  2,   2 Ejemplo 2. Resolver x 4  4 x 3  3 x 2 14 x  8  0 Solución: Factorizando se tiene.

 x  2   x  1 2  x  4   0 Los valores críticos son x  2 , gráficamente tendríamos.

+

-2

x  4, y

+ 1

x  1 que tiene multiplicidad par, es decir

-

+ 4

Como nuestra desigualdad es  0 , cogemos los intervalos que tienen el signo +, decir:

es

C.S. =  ,2  1 4,

3 Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Ciclo 2012-1

Ejemplo 3. Resolver: x5  9 x4  14 x3  34 x2  15x  25  0 Solución. Factorizando



x  1



2

x  1

x

 5



2