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• Maria Romero

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(−xysin ( x ) +2 ycos ( x ) ) dx+2 xcos ( x ) dy=0

1. Identificar M y N

M =(-xy Senx +2y Cosx) N =(2x Cosx) 2. Derivar parcialmente

My(x,y) = −xsinx + 2cosx Nx(x,y) = −2xsinx + 2cosx 3. Como no son iguales utilizar el método indirecto 4. Obtener u(x) o u(y) U(x) =

e

∫

− xsin ( x ) +2 cos ( x ) −(−2 xsin ( x ) +2 cos ( x ) ) dx x (− xysinx +2 ycosx ) − y(2 xcosx)

∫

xsinx dx x2 ysinx

=

e

=

e

=

xy

= e

∫

1 dx xy

u=(xy)

ln ⁡( xy)

5. Reemplazar en toda la ecuación

xy(−xy sinx + 2y cosx)dx + xy(2xcosx)dy = 0 (−x2y2 sinx + 2xy2 cosx)dx + (2x2y cosx)dy = 0 6. Comprobamos que las derivadas sean iguales

My(x,y) = −2yx2 sinx + 4xy cosx NX(x,y) = 4xy cosx − 2x2y sinx 7. Seguimos los pasos para una exacta

F(x,y)= ∫ (−x2y2 sinx + 2xy2 cosx)dx +g(y) F(x,y)=[-y2(-x2cosx+2 ∫ xcox ¿ +[2y2(xsinx- ∫ sinx = y2[-x2cosx+2(xsinx+cosx)]+2y2xsinx+2y2cosx =y2x2cosx +g(y) 8. Derivamos respecto a Y y igualamos para N

Fy(x,y)= y2x2cosx +g(y)= (2x2y cosx) 2 y x 2 cos ( x ) + g ' ( y) =( 2x2y cosx) g ' ( y ) =c

9. Reemplazamos

y2x2cosx +c=0 10. Comprobamos derivando y es igual a:

(−x2y2 sinx + 2xy2 cosx)dx + (2x2y cosx)dy = 0