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• Juan Pablo Merck Sifontes

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UVG Departamento de Matemática Curso de Ec. Dif. y Análisis de Fourier

EDP: Separación de Variables, Problema Sturm-Liouville, Problema de Dirichlet, Integral de Poisson

Por: Dorval Carías S.

Ecuación Diferencial Parcial Una ecuación en las variables x,y, de la forma:

u u  u  u  u F( x, y , u, , , 2 , 2 , )0 x y x y yx 2

2

2

es una ecuación en derivadas parciales (en este caso, de dos variables independientes) y de segundo orden.

Algunos ejemplos de una ecuación de este tipo son:

Ecuación Diferencial Parcial 1.- Ecuación de onda (1 dimensión):

 y 2  y c 2 2 t x 2

2

2.-Ecuación de calor (1 dimensión):

u  u k 2 t x 2

3.- Ecuación de Laplace (2 dimensiones):

 u  u  2 0 2 x y 2

2

Ecuación Diferencial Parcial Nota: Los métodos que usualmente se estudian se refieren a encontrar SOLUCIONES PARTICULARES de estas ecuaciones. En ese sentido, las series de Fourier son un mecanismo útil para encontrar un conjunto de constantes que aparecen luego de que se “integra” la EDP. A continuación se presenta un ejemplo asociado a la ecuación de onda en una dimensión.

Ecuación de Onda Problema: Resolver la EDP

 y 2  y c 2 2 t x 2

2

sujeta a las condiciones de frontera

y( 0, t )  y( , t )  0 y t ( x,0 )  0, y( x,0 )  f ( x ) 0x

Ecuación de Onda Solución: Utilizaremos el método de Cauchy, popularmente conocido como Separación de

Variables. Idea: Se supone que la variable dependiente (en este caso y=y(x,t)) es de la forma y=X(x)T(t)=XT

Luego se reescribe la ecuación diferencial, la cual en nuestro caso queda así: XT´´=c²TX´´

Ecuación de Onda El objetivo es, ahora, separar la ecuación, dejando de un lado de la misma la dependencia de una sola variable, y del otro lado de la ecuación la dependencia de la otra variable. Esto, en nuestro caso, se evidencia de la forma siguiente:

X' ' 1 T' '  2 X c T Entonces, separada.

decimos

que

la

ecuación

está

Ecuación de Onda Debe notarse que, para que esta igualdad sea válida, ambos téminos deben ser iguales a una constante, digamos - (¿porqué esta constante?). Entonces:

X' ' 1 T' '  2   X c T Nótese que, de esta EDP de segundo orden, se desprenden dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

X' 'X  0 & T' 'c T  0 2

Ecuación de Onda Consideremos la primera ecuación X’’+X=0. De las condiciones de frontera originales, notamos que dos de ellas están dadas exclusivamente para la variable x. En efecto,

y( 0, t )  y( , t )  0

Las cuales pueden interpretarse como

X( 0 )  X( )  0

Ahora, podemos resolver la ecuación en la variable x:

X( x )  a 1 cos x  a 2sen x

Ecuación de Onda Aplicando las condiciones de frontera, tenemos:

X( 0 )  a1 cos  0  a 2sen  0  a1  0 X( )  a 2sen   0 Nótese que, la solución a2=0 no nos interesa, ya que obtendríamos la solución trivial para la EDP. Entonces,

sen   0    n, n  1,2,...

Ecuación de Onda Entonces, tenemos la familia de soluciones:

X n ( x )  sen( nx )

Nota: Dado que tenemos una solución para cada n, entero positivo, contamos entonces con infinitas (contable) soluciones de la ecuación. Esta diferencia con lo estudiado anteriormente en los cursos de ecuaciones diferenciales ordinarias, surge en cuanto se está resolviendo una ecuación diferencial ordinaria con valores en la frontera, y no un problema de valores iniciales (volveremos luego a este tema...).

Ecuación de Onda Consideremos, ahora, diferencial ordinaria, separación de variables

la segunda ecuación proveniente de la

T' 'c T  0 2

Tomando en cuenta las condiciones de frontera dadas, es claro que la única de estas, referida exclusivamente a la variable t, y que podría producir algún resultado útil con esta ecuación ordinaria, es:

dT y t ( x,0)  0  0 dt t 0

Ecuación de Onda Dado que sabemos que =n2, la ecuación a resolver es:

T' 'c n T  0 2

2

La cual, tiene soluciones:

T( t )  d1 cos(cnt )  d 2sen(cnt )  T' ( t )  (d1cn )sen (cnt )  (d 2cn ) cos(cnt ) Aplicando la condición de frontera,

T' (0)  d 2cn  0  d 2  0  Tn ( t )  cos(cnt ), n  1,2,...

Ecuación de Onda Nótese que, de nuevo, contamos con una familia infinita (contable) de soluciones de esta segunda ecuación diferencial ordinaria con valores en la frontera. Entonces, la ecuación de onda original (en derivadas parciales), tiene una familia de soluciones:

y n ( x, t )  X n ( x )Tn ( t )  y n ( x, t )  sen(nx )  cos(cnt ), n  1,2,...

Ecuación de Onda Entonces, por el principio de superposición (deben recordarlo...), la solución de la ecuación diferencial es: 

y( x, t )   k n sen (nx )  cos(cnt ) n 1

donde las kn son constantes que debemos encontrar con la ayuda de la condición de frontera que está pendiente de utilizar: y(x,0)=f(x) Evaluando la serie en t=0, tenemos entonces: 

y( x,0)   k n sen (nx )  f ( x ) n 1

Ecuación de Onda y Fourier Debemos notar que la familia de funciones {senx, sen2x, ... , sennx,...} es ortogonal en el intervalo [0,] (¡¡pruébese!!). De esa cuenta, las constantes kn se encuentran mediante las integrales: 

kn 

 f (x)sennxdx 0



2 sen  nxdx



2   f ( x )sennxdx 0

0

Es decir, las kn son los coeficientes de una serie de Fourier en senos para f(x).

Ecuación de Onda y Fourier Entonces, la solución particular que buscábamos de nuestra ecuación de onda, es:

2   y( x, t )     f ( x )sennxdx sen (nx )  cos(cnt ) n 1   0  

La diversión continúa…

Ecuación de Calor Problema: Resolver la EDP

w 2  w a 2 t x 2

sujeta a las condiciones de frontera

w (0, t )  w (, t )  0, w ( x,0)  f ( x ) 0  x  , t  0

Ecuación de Calor Solución: Utilizando la variables, se tiene que:

separación

de

La variable dependiente (en este caso w=wy(x,t)) es de la forma w=X(x)T(t)=XT

Luego se reescribe la ecuación diferencial, la cual en nuestro caso queda así: XT´=a²TX´´

Ecuación de Calor Recordemos que el objetivo es, ahora, separar la ecuación, dejando de un lado de la misma la dependencia de una sola variable, y del otro lado de la ecuación la dependencia de la otra variable. Esto, en nuestro caso, se evidencia de la forma siguiente:

X' ' 1 T'  2 X a T Entonces, separada.

decimos

que

la

ecuación

está

Ecuación de Calor Para que esta igualdad sea válida, ambos téminos deben ser iguales a una constante, digamos -. Entonces:

X' ' 1 T '  2   X a T Nótese que, de esta EDP de segundo orden, se desprenden dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

X' 'X  0 & T'a T  0 2

Ecuación de Calor Consideremos la primera ecuación X’’+X=0. De las condiciones de frontera originales, notamos que dos de ellas están dadas exclusivamente para la variable x. En efecto,

w (0, t )  w (, t )  0

Las cuales pueden interpretarse como

X( 0 )  X( )  0

Ahora, podemos resolver la ecuación en la variable x:

X(x)  c1 cos  x  c2sen  x

Ecuación de Calor Aplicando las condiciones de frontera, tenemos:

X(0)  c1 cos  0  c2sen  0  c1  0 X()  c2sen   0 Nótese que, la solución c2=0 no nos interesa, ya que obtendríamos la solución trivial para la EDP. Entonces,

sen   0    n, n  1,2,...

Ecuación de Calor Entonces, tenemos soluciones:

la

familia

de

X n ( x )  sen( nx ) Con este valor de , la segunda ecuación ordinaria se convierte entonces en:

T'n a T  0 2 2

ecuación ordinaria de primer orden y separable que tiene como solución:

Ecuación de Calor

dT dT 2 2 2 2  n a T   n a dt dt T dT 2 2 2 2     n a dt  ln(T)  n a t T  Tn ( t )  e

 n 2a 2 t

Nótese que el tratamiento de las constantes en estas antiderivadas no se hace explícito (por ser innecesario).

Ecuación de Calor Entonces, las soluciones de la EDP de Calor tiene la forma:

w n ( x, t )  e

 n 2a 2 t

sen(nx)

Entonces, aplicando el principio de superposición tenemos: 

w ( x, t )   k n e

 n 2a 2 t

sen (nx )

n 1

La última condición de frontera, w(x,0)=f(x), indica que:

Ecuación de Calor 

w ( x,0)   k n sen (nx )  f ( x ) n 1

Nótese que, para 0x, la familia {sen(nx)} es ortogonal. Por lo tanto, las constantes kn son los coeficientes de Fourier de la serie en senos para  f(x). 2 Entonces, k n   f ( x )sennxdx

 0

Por lo que la solución particular que buscábamos    es:   n 2a 2 t 2

w ( x, t )     f ( x )sennxdx e n 1   0 

sen (nx )

Problemas de Sturm-Liouville Definición: La familia de funciones {yn(x)} es ortogonal con respecto a la función q(x) , en el intervalo [a,b], si se cumple:

0, m  n a q(x) ym (x) yn (x)dx   n  0, m  n b

Estamos interesados, ahora, en las soluciones, en el intervalo [a,b] de la ecuación diferencial ordinaria:

d  dy  p( x )   q( x )  r ( x )y  0  dx  dx 

Problemas de Sturm-Liouville Nota: En el curso de Ecuaciones Diferenciales se estudia el siguiente teorema: Teorema (existencia y unicidad): Sean P(x), Q(x) y R(x) funciones continuas sobre un intervalo [a,b]. Si x0 es cualquier punto [a,b], y si y0 & y’0 son números cualesquiera, entonces la ecuación y’’+P(x)y’+Q(x)y=R(x) tiene solución única y(x) sobre todo el intervalo, tal que y(x0)=y0 & y’(x0)=y’0.

Problemas de Sturm-Liouville Este teorema indica que, nuestra ecuación diferencial d  dy    p ( x )   q ( x )  r ( x ) y  0 dx  dx  bajo supuestos de continuidad de las funciones coeficiente y en un problema de valores iniciales, siempre tendrá solución.

En nuestro caso, estamos interesados en resolver el problema (soluciones no triviales) con valores en la frontera.

Problemas de Sturm-Liouville Ejemplo: Resuelva la ecuación

d  dy  p( x )   q( x )  r ( x )y  0  dx  dx  con p(x)=q(x)=1 & r(x)=0, y sujeta a las condiciones de frontera y(0)=y()=0. Solución: Nótese que el problema a resolver es, entonces:

Problemas de Sturm-Liouville

y' 'y  0, y(0)  y()  0. La cual es una ecuación conocida (¡¡!!).

Estudiemos detenidamente el problema. Supóngase que la constante =0. En este caso la ecuación se transforma en y’’=0. Esta ecuación tiene solución general: y(x)=c1x+c2

Problemas de Sturm-Liouville Aplicando tenemos:

las

condiciones

de

frontera,

y(0)=c2=0 y()=c1 =0c1=0 Entonces, se tiene que y(x)=0, x. Es decir, en este caso, tenemos la solución trivial (la cual no nos interesa). Supóngase, ahora, que 0, es el que se ha estado utilizando en las soluciones de las ecuaciones que se obtienen luego de la separación, cuando estamos ante una EDP.

Problemas de Sturm-Liouville Nota: Es claro, por el ejemplo anterior, que cuando estamos ante una EDP con valores en la frontera, y cuando separamos aparece una EDO de segundo orden, debemos asegurarnos de generar soluciones no triviales (es por ello que asignamos - a la constante de separación, para asegurar que la ecuación y’’+y=0, tiene soluciones no triviales).

Eigenvalores ¿Qué relación hay entre el problema de eigenvalores con la solución de EDP? En los ejemplos que hemos estudiado de EDP (ecuación de onda y de calor), hemos encontrado que, al separar la ecuación, una de las ecuaciones ordinarias que surge es:

d2y y' 'y  0  2  y  0 dx Nótese que al reescribir la ecuación en términos del operador (¡lineal!) derivada D, se tiene

D y  Iy  0 2

Eigenvalores Esta ecuación es equivalente a

D y  () y 2

la cual constituye un problema de valores propios. Cabe indicar que el espacio vectorial en el que este problema se propone es el de las funciones diferenciables. Nota: Es importante recordar que el espacio de funciones diferenciables no es de dimensión finita, por lo que no es posible utilizar metodologías matriciales para resolver el problema.

Eigenvalores La solución de este problema requiere de la asignación de condiciones en la frontera (nótese que las condiciones iniciales no son adecuadas para resolver el problema de eigenvalores). Es por ello que el problema se ha resuelto en la forma:

D y  () y 2

sujeto a, por ejemplo, y(0)=y()=0. Entonces, al resolver la ecuación hemos encontrado que

  n , n  1,2,... 2

y n  sen(nx ), n  1,2,...

Eigenvalores Nótese que, en este caso, el problema de eigenvalores tiene como solución un conjunto infinito de eigenvalores y, asociado con cada uno de ellos, un “eigenvector” yn, los cuales se denominan específicamente eigenfunciones. Finalmente, es claro que los eigenvalores asociados a la ecuación diferencial ordinaria pueden ordenarse en forma creciente: 1< 2