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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ESCUELA PROFECIONAL DE INGENIERIA CIVIL

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería civil Curso: Ecuaciones Diferenciales Dr. Jaime Zarate Dalens Sr: Ramirez Ocampo Juan Yonnathan Código: 160188 Semestre 2017

Ecuación diferencial Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que contiene las derivadas de una o más función(es) dependiente(s) de una o más variables independientes.

Condiciones iniciales Cuando una ecuación diferencial tiene infinitas soluciones, se puede especificar una solución concreta imponiendo una condición inicial. Esto es, que la solución cumpla una condición y(x0)=y0 para ciertos valores específicos x0 y y0.

Ecuación lineal Una ecuación diferencial lineal es la que se puede expresar de tal forma que la función y(x) y sus derivadas aparezcan de grado 1 y los coeficientes de estos términos sean función solamente de x. (Simmons & Krantz, 2007)

Una ecuación diferencial lineal de orden n se expresa de la forma:

Áreas de aplicación de las ecuaciones diferenciales 

Fenómenos físicos: enfriamiento-calentamiento de cuerpos, caída libre de objetos.



Crecimiento poblacional.



Análisis de circuitos.



Soluciones químicas.



Vibraciones y oscilaciones.



Pandeo de vigas.



Deflexión de columnas

Enfriamiento y calentamiento de cuerpos Ley de Newton La velocidad con que la temperatura de un cuerpo cambia es proporcional a la diferencia que hay entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea. T: temperatura del cuerpo Tm: temperatura del medio t: tiempo k: constante de proporcionalidad Solución de la ecuación

Los valores de c y k se pueden hallar a partir de las condiciones iniciales del problema que se va a resolver

Aplicaciones de esta ley 

Tratamientos térmicos en metales y otros materiales



Modelos climáticos



Diseño de electrodomésticos y máquinas



Diseño de aislantes térmicos

Circuitos eléctricos Elementos que conforman un circuito

Leyes de Kirchhorff El voltaje E(t) que se genera en un lazo cerrado debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje en el lazo.

Aplicaciones de las ecuaciones en circuitos 

Determinar la corriente en un circuito.



Determinar, a nivel industrial, el consumo de las máquinas.



Seleccionar equipos de protección eléctrica (breaker).

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA CIVIL. Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen procesos reales aproximados.

Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones, un ejemplo es:

 FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES: Una viga o una barra delgada son sólidos homogéneos e isótropos cuya longitud es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal. Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una línea, denominada eje neutro, que no se acorta ni se alarga. Este eje se encuentra en el centro de gravedad de la sección trasversal.

Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L) o flecha en función de la fuerza aplicada F, comprobando su relación de proporcionalidad, mientras que la flexión de la barra sea pequeña. A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable. Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al  

Cálculo de la raíz de una ecuación. Integral definida.

Supongamos que 



La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable. Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.

En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

El radio de curvatura de una función y(x) es

Para pequeñas pendientes (dy/dx)2≈0

Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(xfx)≈F(L-x)

Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iníciales x=0, y=0, dy/dx=0.

El desplazamiento yf del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada



Y es el módulo de Young del material



I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra neutra

Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados aceptables hasta un cierto valor del parámetro a dimensional α