Ecuaciones Diferenciales - Isabel Carmona Jover.pdf
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- Juandi Ferpa
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QA 371996 ISABEL CARMONA JOVER ECUACIONES DIFERENCIALES 111111111111111111111111111 111111111111111 11111 11111 1111 1111
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ECUACIONES DIFERENCIALES
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Isabel Carmona Jover Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
PEARSON
Educación
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CUARTA EDICiÓN, 1992 Primera reimpresión, 1994 Segunda reimpresión , 1996 Tercera reimpresión, 1997 Cuarta reimpresión , 1998
© Longman de México Editores, SA de C.V. D.R. © 1998 por Addison Wesley Longman de Mé'lico, S.A. de C.v. Atlacomulco Núm. 500-5° Piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México
CNIEM 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, ninguna forma o por nungún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 968-444-150-9 Impreso en México. Printed in Mexico.
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Para mis padres
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ISABEL y JESÚS
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"Cuando cojo este libro, súbitamente se me pone limpio el corazón, lo mismo que un pomo cristalino. -Me da luz en mi espíritu, luz pasada por mirtos vespertinos, sin ver yo sol alguno ... ¡Qué rico me lo siento! Como un niño que no ha gastado nada de su vivo tesoro, y aún lo espera todo de sus lirios -la muerte es siempre para los vecinostodo lo que es sol: gloria, aurora, amor, domingo." Juan Ramón Jiménez
Así te lo deseo, lector amIgo.
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Prólogo El mundo es, en todas sus partes, una aritmética viviente en su desarrollo, y una geometría realizada en su reposo.
Desde tiempo inmemorial, la matemática ha ejercido una fascinación especial sobre la mente humana. Casi todo ser que se enfrenta a ella, toma partido a favor o en contra; a favor, por lo sugerente de su eficacia y la hermosura de su constitución; en contra, por sentirse, quizá, ante una tarea superior a las propias fuerzas. Voy a decir algo a aquellas personas que piensan .que la matemática no es para ellas: el cerebro del hombre trabaja exactamente como una estructura matemática, pues obtiene conclusiones acerca de hechos o suposiciones lógicas, compara, infiere, calcula, acopia datos, proyecta, mide, la mayor parte de las veces usando las leyes lógicas, algebraicas, topológicas y otras que constituyen la base de esta formidable ciencia. La matemática posee a su vez tal armonía, tal proporción, exactitud y belleza que se identifica con la "música de las esferas", citando libremente a Piíágoras. El libro que está en sus manos en este momento pretende presentarle una introducción, a nivel elemental y básico, de una parte de la matemática sumamente útil y ap li cable a casi todas las ramas del saber: las ecuaciones diferenciales. El texto contiene la exposición y desarrollo de las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, enfatizando las aplicaciones de las primeras. También se estudian ecuaciones de orden superior a dos y se desarrollan los métodos de series y transformadas de Laplace. El libro contiene problemas resueltos y ejercicios para que el estudiante ponga a • prueba su aptitud, y cuando resuelva los de opción múltiple podrá aquilatar la precisión del resultado evitando caer en errores bastante comunes. Cada capítulo contiene un resumen y un examen de auto evaluación, este último con un nivel de conocimiento medio, suficiente para detectar una clara comprensión del texto. Se ha procurado rodear a cada capítulo de un ambiente humanís!ico, mediante biografías, comentarios, curiosidades y pasatiempos. El requisito para leer este libro es conocer el cálculo diferencial e integ!':ll. [9]
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Platón: Timeo.
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PRóLOGO
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Este libro nació, creció y salió a la luz gracias a la colaboración de mis maestros, colegas y alumnos, de mis amigos y de mi familia, cada uno de ellos aportó lo que a su área competía. Especialmente agradezco al Lic. Juan Manuel Silva Ochoa, maestro, colega y amigo, su apoyo en todo momento y al Lic. Christian Garrigoux Michel su participación en la redacción de las biografías. Espero del amable lector todas las sugerencias que mejoren esta obra que deseo disfrute y le sea útil en su formación profesional y en su trabajo.
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PRóLOGO
Estructura lógica de los capítulos 1 Ecuaciones diferenciales en general
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3
Ecuaciones diferenciales de primer orden
H
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
... r 4
5
Ecuaciones lineales de segundo orden
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
... r 6
7
Solución mediante series de potencias
Transformadas Laplace
de
'r 8
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Series de Fourier
Métodos numéricos
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ón de mis no de ellos an Manuel y al Lic. biografías. obra que jo.
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Gottfried Wilhelm, Barón von Leibniz (1646-1716)
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Gottfried-Wilhelm, Barón von Leibniz "Este sabio geómetra empezó donde los demás habían acabado. Su cálculo lo llevó a países hasta entonces desconocidos donde hizo descubrimientos que son una sorpresa para los matemáticos más hábiles de Eu-
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ropa" .
G. de L'Hópital
Gottfried-Whilhelm Leibniz nació el 21 de junio de 1646 en Leipzig, en la actual AIemania del Este, donde su padre fue profesor en la universidad. En 1663 obtuvo su bachillerato y luego su maestría en filosofía y jurisprudencia en 1664. A los 20 años fue doctor en leyes, después de superar algunas dificultades administrativas debidas a su edad. Empezó entonces a trabajar como diplomático, lo que le permitió trabajar en Europa e indirectamente lo llevó a la creación del cálculo. En efecto, durante una estancia en París conoció al gran científico holandés Huygens quien lo inició seriamente en el conocimiento de las matemáticas . . En 1676, después de varios años de ·e studio autodidáctico, inventó un nuevo método matemático que publicó en 1684 bajo el título: Un m étodo nuevo para máximos, mínimos y tangentes. Esta publicación desató la más famosa contro~ versia en cuanto a la prioridad de la Grea-Gión de una obra oientífíca, puesto que Newton, si bien no lo había manifestado públicamente, era ya poseedor del cálculo. Hoy en día, se considera que Newton se adelantó a Leibniz, pero que éste último inventó independientemente el cálculo y usó un simbolismo más apropiado, de hecho vigente hasta la fecha. A la clásica comparación entre ellos, a favor de la mente más rigurosa y profunda de Newton, cabe agregar la universalidad del genio de Leibniz quien fue, además, uno de los mayores filósofos de su siglo, así como un pionero en el estudio sistemático de las leng>ua~. A pesar de que no logró satisfacer su deseo de crear una lógica simbólica se adelantó a su época más de un siglo y con su muerte, acaecida en 1716, desapareció probablemente el último de los sabios con conocimientos universales. [14]
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3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Geometría . .. ... Ecuación de Bernoulli o
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2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Variables separables Homogéneas . . , Exactas .. ' Factores integrantes .. Lineales Resumen Autoevaluación 2 " Cauchy . Comentarios o
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¿ Qué son las ecuaciones diferenciales? ¿Cómo resolver una ecuación diferencial? Definiciones básicas Clasificación dp. las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ... ..... SoluCión general, solución particular .... . ..... Solución singular Interpretación geométrica . . .. . .. . Campo direccional . . Isoclinas ." Ortogonalidad .... . Trayectorias ortogonales '" Existencia y unicidad de las soluciones Resumen Autoevaluación 1 .. Riemann Comentarios
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Prólogo Estructura lógica de los capítulos Leibniz Simbología
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íNDICE
Página Ecuación de Lagrange . . .. . .. .. .. .. .. ........ . . . ......... . . . ... . . . . 152 Ecuación de Clairaut . . . . .. ... . ................. . .. .. ... . ... . . . . . . . 156 Química ... . .. . ... .. ..... . . ....... . . . ..... . ... . ... . . .. . .. . .... . .... 159 Biología . . . .. . ... . ... . . .. . . . . . ..... . . . . . .... .. ... .. .... .. .. .. .. . ... 166 Física . . ......... .. ....... . .. . .. . . .. . ... . .. . . .......... . ...... . .... 171 Otras aplicaciones . . . .... . .. . . . ....... . . . .. . . ... . . .. . .... . ... . . . . ... 182 Familia Bernoulli .. . .. . . . ......... .. .... . ...... . .. . .. ... . . . ..... . . . . 185 Comentarios . . ..... . .. . . ... . .. . . . . ... . ........ . ... . . . ...... . .... . .. 187 4
Ecuaciones diferenciales de orden superior
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Ecuaciones reducibles a primer orden .. ... . .. . .... . ........... .. ... . 196 Ecuaciones lineales .. . .............' .. . ... .. . . . , .... . ... ... ... .. . . .. . 202 Principio de superposición o linealidad . .. , . . . . . .. . . .. ... . ...... . . .. . 205 Dependencia e independencia lineal . .... . .. . .. . . .... , . ........ . ... . . 206 Wronskiano .. . .............. , .... . ........................... . . . .. . 208 Ecuaciones lineales homogéneas . ..... ... .. .... , .... ... ... . .. . .. .... . 218 Ecuaciones con coeficientes constantes ... ..... ... ... . . . . . . . . ...... . 219 Ecuación de Cauchy-Euler . .. ... , ..... . .. . .... . . .. . .. . . .. .. . . . .. . 222 Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes ' . .. ..... . 234 Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden . ..... ..... ..... . 241 Método de coeficientes indeterminados ... ....... ... . . . . . .. . .. . . . . . 242 Método de variación de parámetros ... . .. .. .. .. ... . .. . .. .. .. . . . . . . 255 Resumen ... . ... . ... . .. . .. .. . , . . . .. ... . .... . .. , ............ . . . . ... , 267 Autoevaluación 4 ....... .. ..... . .. ... . .. . . .. ... ......... .... ....... . 270 Euler 277 Comentarios 279 5
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo order¡
Geométrica:. . . . . . .. . . . .... .. . .. . . . . ..... , . ..... . . .. .. . ...... , .. ... . Osciladores .. . ............. . . ', . . .......... . .. , .. . ...... . , ... . . . .. . Caída libre y leyes del movimiento . .. , .. . ... . ... ' . .. . . . .. .. .. .. . .. . . Circuitos eléctricos ..... . ...... . : . .. . ........... , . . .... ... . . .. .. .... . Flexión de vigas .............. . . . . . .. . .. .... . ....... . ... ... . , ..... . Otras aplicaciones , . . . ....... . ...... , .... . . .. . . .. ...... .. .. . ... . . . . . Gauss . . . ..... . ...... . ..... .. . ... , ... .. . . . ... . ... . .. . ... . .... . . . . . , Comentarios 6
283 287
293 298 302 31? 316
318
Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series
Pruebas de convergencia de series . ... .. . ..... . .... . ... .... . . . . .... . 322 Series de potendas ... . .... .. . . . .......... . . . .. , . .. . . ... .. .. . 32b
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17
Página Desarrollo de una función en series .. . . . . ................. . ......... 339 Función analítica en un punto . . ............. . .......... . .. . . . ... . ... 346 Operaciones con series de potencias .. . . . .. . ... . . . . . .. . . .. .. ....... .. . 347 Puntos notables .. . ....... . ... . ... . .... .. ... . . .... ......... ...... . . .. 352 Punto ordinario ..... ... . .. . . ...... ..... . ............ . . ....... .. . 352 Punto singular ................. . . . .... . ... . .......... . ... . . ... . . 353 Punto singular regular ............ ...... ....... . ....... . ......... 354 Solución de ecuac ion es diferenciales alred edor de puntos ordin arios, mediante series de potencias . ........ .. . .. . . . ........ ....... ... . . . . .. 3.::;8 · Solución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares .. . . 372 Ecuación de Bessel .. ........... . .. . ... ....... .... . . .... . ...... . .. . . 401 Ecuaciones reducibles a la ecuación de Bessel .. . ..... . .... . .. .. .. 401 Función Gamma . .. ... .. . . ... . ..... . . .. ........... . .. . ... . .... . . 402 Resumen ... ... ... . . ...... .. ..... . . . .. . ..... .. . . ... .. ... . .... . .. .. . 412 Autoevaluación 6 . .. ... . ..... . ........... . ... . . . . .... . ... . .. . . .. . . .. 417 Bessel ... ..... .. . .. .. .. . . . . ... ......... . .. .. . ....... . .. . ........... 423 Comentarios 425 7 Transformadas de Laplace Definición . . . ... .. .... . .... .. . . ............ . . . . . . . . .. .. . . .... . .. . .. Transformada inversa de Laplace . .. .. .. ... . . .. . ....... . ... . .... .... . Traslación sobre el eje s ... . .. .. .. ... . .. ..... .. . . ..... . .. . . .. ...... . Existencia de la transformada . . . .... ..... . ..... .. .. .. . .. . .. . . .. .. ... Propiedades de la transformada de Laplace ... .. . .. ... . ... ...... ... .. Resolución de ecuaciones mediante transformadas ...... ... .. . ......... Factores lineales no repetidos ... .. ... . . .. . . .. . . . .. . .. . .. . ....... . Factores con:plejos no repetidos . ...... . ........ . . . ... .. ... . ... .. Factores lineales repetidos .. . ... . .. .. .... . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . .... Factores complejos repetidos .. .... . . .... .... ... . . . ..... . .. . .... .. Derivación de las transformadas ... . ..... .. . ... . . . .. . . . .. . ...... . .. . . Integración de las transformadas .. . .. ... .. . ... .. .... . .... . . ...... ... Función escalón unitario . .. ... . .. .. . ...... . .. . . . ... . ..... . . . .. . ..... Traslación sobre el eje t .. . . . .. ... .. ... ... .. ...... . ... ... . . ...... . .. Funciones periódicas .. . .. ... . .. . ..... . . .. . . . . ......... . . . . .. .... . .. Convolución . ............. . . . .. . .. . . . . .. . . ... . . . ..... .. . ... .. . . .. .. Aplicaciones de la transformada de Laplace ... . .. . . .... . . .... .. . . .. .. Resumen . . .. . ...... . . .. ... ... . ..... . ..... . . . .. .. . .. . . .. . . ....... . . Autoevaluación 7 ... .. ..... . . . .. . ..... . . . . . . . . . ... . . .. . .. .... . .. . .. . Laplace .. . .. ....... . .. . . . ..... . . ..... . .. . . . .............. . . . . . . ... Comentarios . .. . . .. . . .... ... .. . . ....... ... . .... . . ..... .. . .. .. . . ... ..
430 436 437 442 451 463 463 467 470 474 477 479 491 496 514 518 527 531 536 541 543
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ÍNDICE
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18
íNDICE
9 Métodos numéricos para resolver Ecuaciones diferenciales Método de Euler .. .... .. ... . . . ....... . ... .. . ... .. . .. . . . ......... Método de Euler mejorado ................ . . . .. .. ............. .. . Método de TayJor .. ..................... .. ... . .. ... ....... . ..... . Método de Runge-Kutta ... . .. . ..... . ..... . ... . . . .............. . . Resumen ... .. ........ . . . ..... . . . ....... .. ........... . . .. ....... . . . Autoevaluación 9 .... .. .. . .... .. .... . ... . ......... ... ....... . .. . . . . Abel ...... . .................. .. ...... . ........... ~ ........... ..... Comentarios .. . .. . ........................... . .................. . ..
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Página 8 Series de F ourier Series trigonométricas y funciones periódicas ... . .................. . .. 548 Fórmulas de Euler ...... . ........... . ... .. ... ,... . . . .. . .. . ...... . .. 560 Convergencia . .. . .......... . . .. ............. ,.. ..................... 572 Funciones pares e impares . . ...... : .............. . ..... . . . .. . . ~ ... " 587 Series de Fourier para las funciones pares e impares ..... . ............ 594 Funciones de periodo arbitrario ................ . ... . .... . ........... 605 Desarrollo de funciones no periódicas en series de Fourier . . .......... 615 Resumen . ..... .. ............. ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 625 Autoevaluación 8 .. . ...... . ..... . .... . .... . ...... . ......... . ..... . .. 627 F ourier .. . .............. .. ..... . .............. . .................... 633 Comentarios ........................ . ............ .. ................ 635
639 642 643 645 650 651 653 655 Bibliografía ... . .................................................... 659 Indice anaIitico ......................................... . ........... 6,61 Soluciones de los crucigramas ................ . ................... . ... 663
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R
Conjunto de números reales.
C
Conjunto de números complejos.
E
Elemento de .
(a, b)
Intervalo abierto (no contiene a los extremos del mismo).
[a, b]
Intervalo cerrado.
(a, b]
Intervalo semiabierto por la izquierda.
[a, b)
Intervalo semiabierto por la derecha.
o .~
"Quedó demostrado" . Es el símbolo de implicación usado en el texto, las más de las veces, como entonces. Doble implicación, se lee "si y sólo si". Equivalencia o idénticamente igual. Semejante o aproximadamente igual. Por lo tanto, en conclusión.
fx
Significa derivada parcial de la función f(x) con respecto a x.
[19]
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Simbología
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¿Qué son las ecuaciones diferenciales?
Lo que precede, en Morse, es la frase que tarde o temprano decimos y la que todos queremos oír. Es un lenguaje. Para representar la realidad en movimiento usamos también una clave especial, una simbología sintética que nos informa acerca de una velocidad, de un descenso de temperatura, de un aumento de población, de un monto de intereses, hasta del menor cambio, en cualquier aspecto, de nuestro planeta. Las realidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en común que son variaciones a través del tiempo, esa dimensión inmutable (en el sentido de una cuarta dimensión) en la cual se mueven la materia y la conciencia. Así pues, en matemáticas usamos el lenguaje de las ecuaciones diferenciales para los hechos y los datos cambiantes.
¿Cómo resolver una ecuación diferencial? Hay dos maneras de aprender a patinar sobre ruelo. Primera: En una librería se compra uno los siguientes manuales: Cómo dominar el patinaje en 15 lecciones, Patinar y rascar, todo es empezar, Historia del patinaje sobre hielo en el
[21 ]
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1
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¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Si tenemos la llamamos ecuación diferencial de segundo orden. Integrando: dy
x!
-- = -
dx
2
+ Cl
Si volvemos a integrar :
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Paleolítico y sus repercusiones en el mundo moderno, Agarre su patín, El patín, su constitucián, ,desarrollo y reforzamiento, con bibliografía e ilustraciones a todo coloT; se va uno a su casa, se instala en su lugar favorito y se sumerge en la lectura, sin olvidar tomar apuntes, hacer análisis comparativos y aplicar el cálculo de probabilidades hasta agotar todos los aspectos del tema. Llegará un momento en el que ya está uno totalmente capacitado para estrenar los patines - regalo de la abuelita-, momento, repito, en el que quizá ya sufrió uno su primer reuma. Segunda: Se toma el par de patines y amparándose en el instinto de conservación se lanza uno a la pista helada con los consiguientes riesgos y posibles huesos ro,l:os. Así se aprenden muchas cosas : haciéndolas. Para resolver una ecuación diferencial lo mejor es arriesgarse : intentemos integrarla, y si eso no resulta un procedimiento inmediato, apliquemos cambios de variable o transformaciones que lleven a integrales más o menos familiares.
obtenemos un1\ función-solución que podemos comprobar al instante : derivando: derivando de nuevo con respecto a x:
el resultado nos convence de la exactitud del método empleado . Así, en este capítulo se exponen las nociones generales acerca de las ecuaciones diferenciales y el método geométrico para obtener soluciones.
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23
¿CóMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?
Definiciones básicas Definición 1.1. Una ecuación ,diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas o diferenciales.
Definición 1.3. Grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial. CLASIFICACIóN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Ordinarias
La ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.
Parciales
La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependieiites con respecto a dos o más variables independientes.
Primer orden Segundo orden Tercer orden
F(x, y, y') = O F(x, y, y', y") = O F(x, y, y', y", y"')
Orden n
F(x, y, y', ... , yen)) = O
Tipo
Orden
=O
J neales
a) La variable dependiÉmte y y todas sus derivadas son de 1er. grado. b) Cada coeficiente de y y sus derivadas depende solamente de la va. riable independiente x (puede ser constante) .
No lineales
Las ~ue no cumplen las propiedades { antenores.
Grado
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Definición 1.2. Orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más alta contenida en ella.
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24
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES
Ejemplo
de ecuaciones
oy
ox
+ kx
--
= --
x2y"
+ xy' + y
ot
ot
uv" + ry
0Y.
-
¿CóMO
diferenciales:
= 2e-x
dy dx
DIFERENCIALES?
--
Os
=O
3. x3yy'" A.
Tipo
Orden
Grado
Lineal
Ordinaria
1
1
Sí
B.
1
1
,
C.
Parcial
SI
Ordinaria
2
1
Sí
Ordinaria
2
1
No
O. 4. A.
=x
02y
--ot + --OS2 =: C 2
x2 --
dy
dr
dy
+ x-- + (r-v )y
= kv
(yVl-
y'"
y'
+y
sen y'
2
=O
1
Sí
2
1
Sí
(02m) 2 -2on
Parcial
4
1
No
+ y"
Ordinaria
5
3
No
Ordinaria
lINo
Ordinaria
1?
- y2 = O
= x/y +y
2
Ordinaria
dx
04V ot
-4-
Parcial
=O
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(porque el coef. de y" no depende de x exclusivamente)
oy
No
Ejercicios 1.1 Escoger la opción que da la clasificación diferenciales:
1. y"
+ xyy' = sen
x
A. Ordinaria, orden 2, grado 1, lineal. B. Parcial, orden 2, grado 1, lineal. C. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. D. Ordinaria, lineal.
R
orden 3, grado -
1, no
correcta
de las siguientes
ecuaciones
B. Parcia lineal. C. Ordin lineal. --Definici no conti tuir la identida --Definici que con integrae --Definici eión eu -----
EJEMP 05X 2. e' __ ot5
02y
+ -- 2 = cte. or
A. Ordinaria, B. Parcial,
La fune
orden 2, grado 2, lineal.
orden 5, grado 1, lineal.
C. Parcial, orden 2, grado 2, no lineal. D. Parcial, orden 2, grado 1, lineal.
Porque en otra
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¿CÓMO RESOLVER
3. ryy'" ineal
Sí
Sí Sí
el coef. o depende exclusivaente)
Sí
D. Parcial, orden 3, grado 1, lineal. É. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal.
A. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. B. P.arcial, orden 2, grado - 1, no lineal. C. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal. D. Parcial, orden 1, grado 1, lineal.
4. y"
+ 2x3y'
-
(x - 1)y orden
A. Ordinaria, orden 2, grado 2, no lineal. B. Parcial, orden 1, grado 2, lineal. C. Ordinaria, orden 1, grado 2, lineal. D. Parcial, orden 2, grado 1, no lineal.
= xy3/2
2, grado
1, no
lineal.
B. Parcial,
orden
2, grado
3
2'
25
DIFERENCIAL?
+ y =O
_ x2yy"
A. Ordinaria,
No
UNA ECUACIÓN
no
lineal. C. Ordinaria,
orden
3 3, grado -, 2
no
Respuestas.
Sí
No No No
1. C; 2. B; 3. C; 4. A;
5. D.
lineal.
Definición 1.4. Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad. Definición 1.5. Solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones) .
No Definición 1.6. Solución particular de una ecuación diferencial ción cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico. cuaciones
EJEMPLO
1
La función
x
+ y2 = C
es la solución dy dx
o 2, lineal.
general
de la ecuación
1, lineal.
Porque derivándola en otra forma:
implícitamente
diferencial:
1
----
2y
1, lineal. do 2, no
es la fun-
tenemos: 2yy' =-1
1
+ 2y
dy --
nx
= O, o expresado
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NCIALES?
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¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Sustituyendo y y y' obtenemos una identidad:
2.yc=x(-
donde y
1 J=-1 :.-1=-1; 2-/c-x}
= -vc=x.
La función y = e-X + 8 es solución particular de la ecuación diferencial y' + e-X = O, porque derivando la solución y sustituyéndola en la ecuación dada, obtenemos: y' = _ e-X
_ e- x
+ e-X = O
:. O = O
EJEMPLO 3
=
La función y 3:x! + C¡X cial y" = 6, porque:
+ C2
es solución general de la ecuación diferen-
y' = 6x y
y"
+ C¡
= 6
:.6
= 6
EJEMPLO 4 La función t = 2xy2 + 3:x!y + g(y) ecuación diferencial parcial:
+ f(x.)
es la solución general de la
(it
- -=4y +6x
oy ox
Porque: y
02t
-~--
ay ox
.
~ = 2y2 + 6xy + f(x) ox
= 4y + 6x; sustituyendo:
4y
+ 6x = 4y + 6x.
EJEMPLO 5 La función y = c¡e- x ecuación diferencial:
+ C2eX + C3e-2X + C4e2X y/V _ 5y"
+ 4y =
O
es solución general de la
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EJEMPLO 2
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27
¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?
Porque: y'
= - cle - X + C2eX - 2c3e-2X + 2c4 e 2X
y"
= + cle - x + C2eX + 4c3e-2X + 4c e2X 4
Sustituyendo:
-------------- 5cle-X - 5C2 ex - 20c3e- 2X - 20c4e 2X
+
-
-..............
----
- 5y"
..
4c le- x + 4c2ex
'-~----
.._--
+ 4c3e- 2X + 4c e2 x = 4
O
-----~----4y
+
:. O
=O
EJEMPLO 6 La función y = e X(3 cos 2x + sen 2x) es solución particular de la ecuación diferencial: y" - 2y' + 5y = O, porque: y' = e X( - 6 sen 2x + 2 cas 2x) + e X(3 cas 2x + sen 2x) y" = e X( _ 12 cas 2x - 4 sen 2x) + e:r(_ 6 sen 2x + 2 cas 2x)
e X(_ 6 sen 2x
+2
cos 2x)
+
e X(3 cas 2x
+ sen
Sustituyendo: eX( _ 12 cas 2x -
4 sen 2x) + 2e X(_ 6 sen 2x + 2 cos 2x) sen 2x) + e X(12 sen 2x - 4 cas 2x) +
e (3 cas 2x + e X(_ 6 oas 2x - 2 sen 2x) X
+ e (15 'cas X
2x
15 cos 2x] = eX(O) = O. :.0=0.
2x);
+
sen 2x) =
+ 4 cas 2x + 3 cas 2x + sen 2x + _ 2 sen 2x + 5 sen 2x +
eX[- 12 cas 2x - 4 sen 2x - 12 sen 2x 12 sen 2x - 4 cas 2x - 6 cas 2x
+5
+
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y/v
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28
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Ejercicios 1.2 Averiguar si las siguientes funciones son solución de la correspondiente ecuación diferencial. X
2.
3. Y
= B In x +
G
= G,e - x + G2e2X X X y = Be + xe
de y'
=O ~- 2y = pX
de y'
= / 64x
de y' - y
V
x3
=O + Y =O
4. y
de y" - y' - 2!J
5.
de y" - 2y'
'6.
senx Y -- -3x
1
7. y - - - = O Gas x
3
8. y = -
3x
+2
= 1 + G .j 1 - X2 y = 2x VT=7'
9. y 10.
11. y
+y=
de xy '
= e-X Gas -12 x 1
de y' = 3y2
de yy'
= 4x -
de 4y"
+ By' + +y
= Gas t} =e
dey '
+
y
t
x
14. y= - Gas x 15. x
=
16. y
=e
Gas t } y=.2 sen t sen
_1
2x
+ xy
de (1 - X2)y'
de y '"
x
Gas x
de y' - y tan x = O
12. y = e-X Gas -X 2 13.
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= Ge 1 Y = 2e - 2x + - eX 3
l. Y
RX3 5y = O
= e-x Gas -12 y
~= 1 - X2
de xy' - y
de yy '
=x
=r
x
O
tan x seG x
+ 4x = O
de xy' - y tan in y = O
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29
¿CÓMO RESOLVER UNA ECUACIóN DIFERENCIAL!'
Respuestas: Sí son solución, excepto las de los ejercicios 6, 8 Y 12. NOTA.
Usando este triángulo:
~~SiX
cos t
sen t
x
Definición 1.7. Solución singular de una ecuaClOn diferencial es una función cuya tangente a su gráfica en cualquier punto (X¡¡, Yo) coincide con la tangente de otra solución, pero ya no coincide con esta última tangente en ninguna vecindad del punto (xo, Yo), por pequeña que ésta sea.
Estas soluciones no se obtienen a partir de la solución general. Un método para encontrar dichas soluciones es derivar la ecuación diferencial dada con respecto a y', con lo cual formamos un sistema de ecuaciones: F(x, y, y')
=
°
oF(x, y, y') - - - - - = 0, oy'
del cual, eliminando y', se obtienen una o más soluciones singulares.
EJEMPLO Hallar las soluciones singulares, si las hay, de la ecuación diferencial: y'2 = 16x2
Derivando con respecto a y', tenemos:
:?y'
=°
De donde y' = O; sustituyendo en la ecuación, obtenemos x = 0, qu e es l a solución singular. En efecto, las soluciones generales de dicha ecuación son: y
=
2 X2
+ c,
Y
y para el punto (0,0) su gráfica es y
=-
2x2 "+ c,
= ± 2 X2
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y la regla de la cadena, se pueden verificar algunas soluciones anteriores.
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30
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? y
..... x
Figura 1.1
=°
I
YX es el punto de contacto con las pendientes de y punto (0,0).
= + 2r
en el
Definición 1.8. Problema con valor inicial es la ecuación diferencial acompañada de condiciones iniciales.
EJEMPLO 1 Resolver la ecuación diferencial:
°
y' -4xy = 1
Para la condición inicial: Y = - cuando x = 0, o bien, brevemente: 5 1 y(O) = 5
La ecuación puede escribirse como: dy
= 4xy
dx
o
dy -y
= 4x dx,
integrando ambos lados de la igualdad, tenemos: -In y
=
2X2
Y = ce2x
+c 2 .
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------~E----------
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31
¿C6MO RESOLVER UNA ECUACI6N DIFERENCIAL?
1 1 1 Sustituyendo los valores del punto (O, - ), tenemos que: ce'l ~ C 5 5 5
=
= -.
Entonces la solución particular es: 1
y =_ e2X 5
2 •
EJEMPLO 2
y"
= x,
para
=4
y(-2) y'(O)
=
1
Integrando ambos lados de la ecuación tenemos: y
,
r
=- + Cl 2
Volviendo a integrar: Y=
X
3
- + C1X + C2 es solución general. 6
Aplicando las condiciones iniciales dadas: para y' para y
O+
1
=
4
= -- -
4
=
Cl ~ C l
-8 6
-4
3 -
2Cl
= 1
+ C2
2(1)
+ C2
22
C2 = - -
3
. '. y
3
22 = 6' + x + 3' es X
solución particular.
Comprobación : derivando la solución particular y sustituyéndola en la ecuación, debe satisfacerla: y' = y"
r +1 2
= x.
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Resolver la siguiente ecuación diferencial:
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32
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
OBSERVACIóN. Se necesita igual número de condiciones iniciales que el del orden de la ecuación diferencial.
EJEMPLO 3 Dada la siguiente función:
y'" - 4y"
+ y'
-i- 6y = O
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como solución (la forma de obtenerla se estudiará más adelante) de la ecuación diferencial:
Encontraremos la solución particular para las siguientes condiciones iniciales: y(O) =4,
y"(O)
= 4c
y'(O) = -1 ,
+ C2 + 9C3
l
y"(O)=O
.~
4c l
+ C2 + 9C3 = O
Resolviendo el sistema de ecuaciones: Cl
Obtenemos: .
••y
Cl
= 10/ 3,
= 10 - e 2x + 29 _ e-x
dadas.
3
12
_
C2
-
+ C2 + C3 = 4
= 29/ 12, C3 = -7/ 4 7 4
e
3x
.,. . . es la soluclOn particular para las condIcIones
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FERENCIALES?
les que e¡ del
¿CÓMO RESOLVER
UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL?
33
Ejercicios 1.3 Dada la ecuación diferencial, su solución y las condiciones el valor de las constantes arbitrarias.
iniciales,
determinar
Respuestas:
+ 6x = O
y(O)
=4
1
2. y2y' - 4x = O
y(-) = O 2
ante) de la
3. y' = 1 + y2
y
tan x
4. y' = 1 _ y2
+
5. yy' = e
2X
+ y'
6. 2y"
1
+e
1t
- y
tanh-ly
=x + e
Donde
- 1
y2
=e
2x
=1
y(-) 4
+y
y(O)
=-
e=--
{ y(O)
=O
el=-
+ 2x + e
= eos x + 4
1
2
=1
{"(O)
=4
. Escoger la opción correcta.
Solución condiciones
Condición
= 12x
A. 24y = r
c.
y
+e = 6x + e =r + e
D.
x
= -1 .,,¡:¡¡=c
B. y
inicial
y(.j2) =-1 general 2
6
e=O
=O
y'(~) 2
y'
2
e=O
:"":"
x
-1 y
4
27. y' - (tan x) y = x sec x para y(O)
-1
=
= uv
IX
-Gas
f x cos
C. u=-- 1
ejercicios
escoger
la opción
cos x
correcta.
D. u=x
31. Dada
la ecuación
A. Es lineal
diferencial
en y porque
B. Es lineal en y porque
de primer
y y y' cada
orden:
son de primer
coeficiente
en y porque
y no está elevada
D.
en x porque
es lineal en y.
No es lineal
_ x2
= x e",
grado.
depende
C. No es lineal nente -1.
y y'
solamente
al exponente
35. Sea la ecua para que y
de x. 1, sino al expo-
A. v
=
B. v-C. v
=
eX(l_lnx)
f
eX --eX1n
ex(lnx_I)
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ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
32. Sea la ecuación diferencial que la convierte
adas .Y
A. e-sen
lineal:
113
y'
+ ~y
1-x
= 1; el factor integrante
en exacta es:
-1
x
B. esen -1 x -1
D. e-sen
y
_1 y
. , y , - --8y 33 . D a d a 1a ecuaClOn x
= 888 x,
8
e 1 f'actor mtegrante
que laa convi convierte
en exacta es:
C. No necesita
factor integrante
D. No necesita factor integrante de las lineales.
porque
ya es exacta.
porque puede resolverse por la fórmula general
34. Sea la ecuación diferencial y' - (tan x) y = x, ¿qué forma tiene u(x) para que y = uv sea solución de esta ecuación? A. u = B.
u
f--X-
Gas x
= J
x Gas
C. u=--
dx
x dx
1
cos x
D. u=x
35. Sea la ecuación diferencial y' - (ln x) y = 1, ¿qué forma debe tener v(x) para que y = uv sea solución de esta ecuación? A. expo-
B. C.
v
v=
v
= eX(1-1nx)
J
eX ---dx xlnx
e
= eX(lnX-1)
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C. esen
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114
ECUACIONES
D. v =
f
ORDINARIAS
DE PRIMER
ORDEN
ECUACIONE
eXlnx-x
= xy = x( y = x(
B. Y
dx
eX
C. D.
2
diferencial xy' - 2ry = e" (ver ejercicio ción u(x) es la que debemos tomar para hallar la solución de variación de parámetros?
36. Sea la ecuación
19), ¿qué funpor el método
40. Dada 1 general.
= xy = sen y = xy = x-
= e¿
A. y
B. u
= - 2x
B.
c.
= In
C.
u
u
D. u
x
= ln x + e
37. Las condiciones A.
de linealidad
en x son:
y Y sus derivadas
son de primer grado. forman una combinación lineal.
Las funciones
B.
Los coeficientes son funciones de x solamente. y y sus derivadas son de primer grado.
C.
La ecuación debe ser de primer orden. Los coeficientes son funciones de x solamente.
D.
Las funciones forman una combinación La ecuación debe ser de primer orden.
= e",
la ecuación x2y' + 2xy paso intermedio de la solución,
38. Dada
A. y = x-2 ( f
ex dx
¡r f
eX
B. y = x-2 C. y
=x
2
dx
(
(
x-2
+
x2
encontrar la opción que usando la fórmula general.
contiene
dx
e)
1
Respuestas: 31. C. La tene
A es coefi proe
tamp
33. B. La A La e, por e soluci pued
+ e)
=
lineal xy' - y r sec' x, encontrar la opción que contiene un paso intermedio de la solución, usando la fórmula general.
A. y=x-1(frse¿xdx+c)
1
32. B. La fo Por
D. Y = e- J f(x)dx 39. Sea la ecuación
D.
1
un
+ e)
.ex -
lineal.
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A.
1
34. B. Porqu
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115
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
B. Y = x- 1 tan x
c.
y
= x ( f sec 2 x dx + c)
D. Y = x ( J:c sec 2 x dx
+ c)
40. Dada la ecuación lineal xy'
+y=
cas x, ¿qué opción contiene la solución
general?
= x-1(xsenx + casx + c)
B. y = sen x
c.
y
= x-
1
+c
+ c
D. y = x-1 (senx
+ c)
Respuestas:
31. C. La ecuación debe tener la forma y' tenemos: y'
y
+ f(x) y =
r(x) despejando y'
y
A es falsa porque el grado de y es -1. B es falsa porque - X2 y x eX coeficientes de y _ l, no de y. D es falsa porque si tomamos el recíproco:
y
dx dy
x
eX
+ X2
tampoco cumple la linealidad en y.
32. B. La forma del factor integrante es (para las lineales en x) F(x) Por eso no pueden ser ni A, ni
=e
ff(X)dX.
e, ni D.
33. B. La A está mal porque la integral es positiva (ver ejercIcIO anterior). La e sugiere que es exacta, lo cual es falso, como puede comprobarse por el t{lorema de exactas. La D no está del todo bien, puesto que la solución general siempre involucra a dicho factor, aunque obviamente puede resolverse la ecuación sin obtenerlo en primer lugar.
34. B. Porque u =
¡
i
r(x) x - dx - dx = - v(x)
1 cas x
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A. y
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ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
En A no se considera el cociente correcto. En e se toma, en realidad, la función u con la forma de la función v . En D, se toma r(x) nada más en lugar de la integral antedicha.
35. C. En A se tomó mal el signo. En B aparece la forma de la función u(x). En D todos los conceptos están revueltos.
36. D. En A se toma v(x), en lugar de u(x). En B se toma f(x) en lugar de
u(x). La opción e tiene la función correcta pero le falta la constante de integración, para que aparezca como soluci6n -general al multiplicarse por v(x).
la definición. 38. A. y = e-
S2c!:r/x [
fe
eX S2c!:r/X -
r
dx
+ cj.
Automáticamente no cumplen B,
y D.
39. C.
y
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37. B. A Y e presentan, cada una, una condición correcta. D no responde a
e
= e- S _c!:r/ x [ f e S_c!:r/ x x sec 2 x dx + cJ. Por eso no cumplen A, B Y D.
40. D. La opción A toma como r(x)
= x cas x;
cas x ., en vez d e - - - o La opclOn x
B contiene a la función u(x) por el método de variación de parámetros, pero no es la solución. La opción e muestra a la función r(x) del mismo método.
Resumen Ecuaciones diferenciales de primer orden Variables separables
f(x)dx + g(y)dy = O Método de solución: integración directa. Homogéneas y' + g(u) = O, donde u = f(x, y) Método de solución: sustitución apropiada. Muy usual: y vx
=
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117
RESUMEN
Exactas M(x, y)dx
+ N(x, y)dy = O
Definición:
oF(x, y)
aF(x, y)
= M, - -- = N
ax
ay
. aM aN = -ay ax
Teorema: es exacta
SI - -
Método de solución:
2. Integrar en x o integrar en y 3. Derivar con respecto a y o con respecto a x 4. Igualar el resultado a N o igualar a M 5. Integrar. Factores integrantes
F(x, y) es factor integrante si F M dx función de x: ~
F(x)
= e5
p(x)dx
donde p(x)
+ F N dy =
O es exacta. Si el factor es
My - N x =-N
Si el factor es función de y: ~
Nx - My F(y) = e f p(y)dy donde p(y) = ___ "M
Si el factores función de x y y, se obtiene por inspecclOn, por tanteo, o por métodos que no se van a considerar en este curso. Método de solución : multiplicada la ecuación por el factor integrante, se resuelve por exactas o variables separables según el caso. Lineales
Condiciones de linealidad: a) La variable y y todas sus derivadas son de primer grado; b) cada coeficiente depende solamente de x (o constante). Forma general: y'
+ f(x) y
Si r(x) = O ~ Y = e eSi r(x) -::/=- O ~ Y = e-
= r(x)
S1 ( X) dX,
S1 ( x )dx
es solución.
[J e
S1 ( X) dX
1"(x)clx
+ eJ,
es solución.
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= M o fy = N
1. Tomar fx
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118
ECUACIONES
ORDINARIAS
DE PRIMER
ORDEN
1. Método del factor integrante: si la ecuación es lineal en x ~ F(x)=eff(x)dX. Si la ecuación es lineal en y ~ F(y) = eff(Y)dY• Al multiplicar la ecuación por este factor se convierte en exacta y se resuelve por exactas. 2. Método de variación
de parámetros: y v = e-Sf(X)dX
= uv
AUTOEVALU
4. Demost
la condi es la solución, donde:
T(X)
'~u=
f
-dx+c v(x)
5. Estable 6. Resolve
Autoevaluación 2
7. Encontr
Escoger la opción u opciones que contienen que se indican:
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Por tanto, una lineal puede resolverse: a) Aplicando directamente la fórmula general; b) por medio de un factor integrante, y c) usando variación de parámetros.
la forma general de las ecuaciones
+ xy dy = 0, variables separables. 4x2y2 dx + X3y dy = 0, homogénea y variable separable. x2y' + xy = y2, homogénea y variables separables. y' + y = v', homogénea.
1. A. 4x2y dx B. C. D.
+ eXy = 0, lineal, variables separables. eX(y dx + dy) = 0, exacta, lineal. eX(y dx + dy) = 0, variables separables. 2.J x + y2 dx + .J x2 + y2 dy = 0, exacta.
2. A. y' B. C. D.
3.
la opción u opciones que presentan
apropiado
A. F(y)
B. F(x)
para la ecuación
D. F(x, y)
+ ~) y
B. x = x
+
x2
C. Y =--H 2 1
D. x =-(x 2
dx
un factor
+~ y
de integración
cosh xy dy = O.
9. Resolver 10. Elegir 1 diferenci
=Y =x
C. F(x, y)
(cosh. xy
+
8. Resolver con la e
2
Escoger
A. x = x
A. e" - xy y
B. e" - xy
x
C. eX-xy
=-
= xy
D. eX_ xy
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119
AUTOEVALUACIóN 2
4. Demostrar el siguiente teorema : Dada la ecuación M(x, y) dx
+ N(x,
y) dy = O,
la condición suficiente y necesaria para que sea exacta es: oM
oN
oy
ox
5. Establecer las propiedades de linealidad. 6. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método apropiado:
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eY y' = in x 7. Encontrar la opción que contiene la solución general de:
(x
+ y) dx -
(x
+ y + 3) dy = O
3
A. x
= x
+ y + -In 12(x + y) + 31+ e
B.
x
=
+ y +-
c.
Y
=-
4
3 In 2
x
X2
D. x
2
12(x + y) + 31 + e
y2
+ - + xy + 3y + e 2
3 = -12 (x + y) + -In 12(x + y) + 31+ e 4
8. Resolver la siguiente ecuación diferencial: (y4 - x4 ) dx con la condición inicial: y(l) = 1 9. Resolver por el método apropiado: (x
+ xy3 dy
+ y ) dx + (x + y -
= O,
2) dy = O
10. Elegir la opción que contiene la solución de la siguiente ecuación diferencial: (eX - y) dx + (e Y - x) dy = O A. eX - xy
=e
B. e Y - xy = e C. eX -
xy
D.
xy
eX -
+ eY = + eY =
e
O
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120
ECUACIONES
ORDINARIAS
11. ¿Cuáles serían los posibles factores integrantes
(--
y
y
l+r
+ --tan-
"oRDEN
1. Son cor bles. L y no eSI
=O
1
AUTOEVAL
Respuestas
de la ecuación?:
+ tan- xdy
x) dx
1
DE PRIMER
x
A. tan=' y
2. Son cor
1 B. Y
3. A. Las
1 C. -
4. Ver el
x
5. Ver el
12. Hallar la forma que debe tener la función u(x) para que y solución de la siguiente ecuación: 1 y' -
.,j 1 -
x2
y
= x esen
= u(x)
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D. x
_1
x
13. Escoger la opción que contiene un paso intermedio de la solución de la siguiente ecuación diferencial por fórmula general de las lineales: Y
,1
1
+ -y
=-casx x
x
A. y=e-SdX¡x[feSdx¡Xcasxdx+c] B. y
= eSdx¡X [f e- SdX¡Xcos x dx + c]
C. y
= x [ f x-2 cos x dx +
D. y = x-
1
6. La ecu
v(x) sea
c]
7. Es hom interme
y como
lo es.
8. Es hom
[J cos x dx + cJ
14. Resolver la siguiente ecuación diferencial: y'
+ e-X
y
=
x
ee-
para
y(O)
=e
y como
15. Escoger la opción que contiene la solución de la siguiente ecuación:
xy dx - (X2 - x) dy. A. y
= (x-1)
B. y(x - 1)
= c(x-1) cy = x-l
C. y D.
=c
O
Para y( .. La s
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121
AUTOEV ALUACIóN 2
Respuestas de la autoevaluación 2 1. Son correctas A y B. La opción C falla al decir que es de variables separables. La opción D contiene una ecuación que sí es de variables separables y no es homogénea.
2. Son correctas A, B Y C. 3. A. Las demás opciones no cumplen el teorema M y =
Nr'
4. Ver el texto.
6. La ecuación es de variables separables: e Y dy e'¡
=
= ln x dx
x In x -
+e
x
y = ln[ x [n x - x
=x + y y
7. Es homogénea. Tomando v
dy
+ e]
= dv -
dx, se obtiene como paso
intermedio:
dx = v + 3 dv, 2v + 3 y como solución, la opción D. La opción C fue resuelta como exacta y no lo es.
8. Es homogénea. Tomando
y
= vx, dx X
y como solución general:
Para y( 1) = 1, e = 1 La solución particular es:
se obtiene como paso intermedio: v 3 dv
2v 4
-
1
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5. Ver el texto.
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ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
9. Es exacta, ya que My = 1 = N x. fx
f=
=x + y
X2
2" + xy + f(y)
= x + l' (y) = x + y -
fy
2
y2 f(y) = - - 2y 2 X2 + y2
+ 2xy -
4y
= e,
+e
solución general.
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f'(y)=y-2
10. Es exacta porque M y = - 1 = Nx • La correcta es C. Las opciones A y B presentan parte de la solución nada más y la opción D supone condiciones iniciales que no nos han dado. La solución debe quedar en su forma general, con la constante de integración. 11. D. Como se comprueba por el teorema de exactas. 12. La solución de la homogénea es: Y
=e
u=
e
f
sen
-1
x
=
v
1.( X )
--dx =
e
sen
Jx
v(x)
e
-1
x
sen
-1
x
dx
esen -lx
X2
-7 U
y=
13.
= - + e es la forma que debe tener u para que
UV
2
=
e
sen
_1
r x (-
2
+ e)
sea la solución general.
D . En la A falta un factor de la función r(x). En la B además del error apterior, tiene cambiados los signos. En la C el error es de signos intercambiados.
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AUTOEVALUACIóN 2
14. Y y
=
e-
Je -X dx
= ee-
x
(x
para y(O) x
f e
f e -X dx
e
e- X
dx
]
+e
+ e)
=e
y = ee- (x
[
~
e
=1
+ 1).
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15. C. y D. La opción A no tiene la constante de integración y no se dieron condiciones iniciales. La B contiene un error en el manejo de funciones logarítmicas.
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ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
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124
Agustín Louis, Barón de Cauchy (1789-1857)
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BIOGRAFÍA
125
Cauchy nació en París el 21 de agosto de 1789, es decir, un mes después de la toma de la Bastilla. A los pocos días, el padre llevó a toda su familia a la provincia para escapar de la revolución y del régimen del terror. A los 11 años regresó a París para estudiar y Lagrange reconoció en él grandes cualidades matemáticas. En contraste con sus ideas políticas y religiosas -conservadoras hasta la terquedad-, Cauchy fue un gran innovador en matemáticas. El cálculo diferencial tal como lo legaron Newton y Leibniz contenía aún algunos conceptos nebulosos, de poco rigor . Cauchy emprendió la tarea de reestructurarlo sobre bases sólidas y rigurosas, con la doble meta de poder "enseñar el análisis con la claridad de la geometría" y de dejar la materia sentada sobre buenos cimientos. Esta tarea fue llevada a su último término por Weierstrass en Alemania. El trabajo de Cauchy apareció por primera vez en 1821 en el curso de análisis que dio en la escuela politécnica. A pesar de su constitución débil, Cauchy fue un trabajador infatigable, de hecho uno de los matemáticos más prolíficos, junto con Euler y Cayley. Entre otras muchas cosas, destacó su contribución a la teoría de las permutaciones, al establecimiento de la noción de grupo y al desarrollo de todas las bases de la teoría de la función de una variable compleja. Se interesó también en la teoría de las ecuaciones diferenciales y dejó su nombre a la famosa ecuación de Cauchy-Euler, ecuación resuelta por Euler antes que naciera Cauchy, pero investigada por éste en el caso más general de la variable compleja. Con toda seguridad el lector conoce también otro de sus legados de importancia: el conjunto de conceptos de límite, continuidad y derivada. El que se enseña en los textos actuales es, esencialmente, el que estableció Cauc1lY. Cuando murió, el 22 de mayo de 1857, sus capacidades extraordinarias para las matemáticas lo habían hecho miembro de diez de las más famosas academias europeas.
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Agustín Louis, Barón de Cauchy
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ECUACIO ES ORDINARIAS DE PRIMEn. ORDE
Comentarios "Una mano hizo el número. Juntó una piedrecita con otra, un trueno con un trueno, un águila caída con otm águila, una flecha con otm y en la paciencia del gmnito una mano hizo dos incisiones, dos heridas, dos surcos: nació el número." Pablo Neruda (Fragmento)
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28325 6 7 4 5 4 9
Propiedades metafisicas del número 2
Representa el principio de dualidad, de la diversidad, de lo par e impar. Pitágoras lo llama audacia, fuente, distribución, armonía, paciencia. El signo 2 está formado por una recta y una curva, símbolos de lo espiritual y lo material. Es la imaginación, principio de sabiduría, razón, discreción, adaptación, equilibrio, asociación. Representa la concordancia de fuerzas opuestas, la relación d e los sexos, el equilibrio de espíritu y materia. Pregunta: ¿Quién descubrió la notación literal?
Aportaciones de Cauchy
Problema de Cauchy. Determinación en términos analíticos de una superficie que satisface a una ecuación diferencial dada y que contiene a una curva dada sobre la cual hay una serie de planos que deben resultar tangentes a la superficie buscada. Teorema de Cauchy. Establece que es nula la integral de una función de variable compleja sobre una curva que no contenga ningún punto singular. Principio de convergencia de Cauchy. Dada una suces ión an = al, a2 , a3 •. . , si la diferencia entre dos elementos de la misma puede hacerse tan pequeña como se quiera, en valor absoluto, la .sucesión es convergente. La demostración rigurosa de la existen cia del límite de una función usando las famosas o y E. Sistema de numeración babilónico alrededor de 2000 A.C.
e o
10
11
20
60
600
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127
COMENTARIOS
VERTICALES
HORIZONT ALES 1. Máquina usada en las votaciones hacer automáticamente el escrutinio. 2. ED Mdx
13M
= 13y
cumple --
3. Consonante.
+
Ndy
=
O en las que se
de agua. Desafíos,
alen
9. Existe. volar.
Adjetivo
10. Nota musical. mano.
posesivo. Partes
(plural).
5. Guanajuato. Consonantes. posesivo (al revés).
Pronombre
6. Palas que se usan en el tenis. Vocal.
provoca-
7. Consonante. Dentro de. Símbolo químico del Argón. Consonante . 8. Artículo plural femenino. nera. Consonante.
que se multiplica
4. Oxido de hierro hidratado, se usa en pintura. Sufijo aumentativo. Consonante.
Esbozo, dibujo ligero.
6. Globo, dirigible.
. Pitágno 2 mateación, rela-
1. Cierto tipo. de ED de primer orden. 2. Preposición inseparable que denota privación. Se alegra. Tuesto sobre las brasas. 3. Cantidad Consonante.
13N --o Vocal. 13x
4. Disposición o aptitud para hacer guna cosa. Siglas de un país ubicado América del Norte. 5. Corriente ciones.
para
7. Espantarían,
atemorizarían.
8. Consonante.
IAOT. Artículo
9. Vocal en plural.
Ironías,
neutro.
burlas.
De esta maSirve
CRUCIGRAMA
para
del cuerpo hu-
1
2
3
4
5
6
789
1 2 3
erficie a dada super-
4
~
*
6
ión de lar. si como sando
7
~
8 9 10
f*
~
* * *
5
~
~
~ ~
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RDEN
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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
'H
Les gustaba ípradti car porque era rápido
y eoccitante y /les satisfacía ,esa hambre por
aprender que (creCía con cada lección. Pero ni uno de .el1os, ni siquiera Pedro Pablo Gaviota, haTijo, llegado a creer que el vuelo de las ideas ¡podía ser tan 'real como el vuelo del vient@ y 'las plumas". Juan Salvad()).f Gaviota. R. Bach
La matemática es una abstracción de la l'.ealidad. Es 'poner en símbolos lo que nos rodea. lEs una herramienta poderosa ~ue nos conduce a través de la aplicación rigurosa de sus leyes y de la lógica a soluciones precisas,. Ante una situación real: ajuste de especificaciones en las ár,e as de inge niería, sistemas computacion ales, economía, etc. El camino :a seguir tes : Establecer la ecuacíiÍ>n diferencial quecraduce fuelmente al lenguaje simbólico el fenómeno a estudiar. Catalogar y resolver d.icha ecuación. Analizar la solución. Para mayor facilidad se expondr.án juntos los problemas concernientes a varias ramas del saber.
Geometría 1. Un problema típico de esta área es obtener la ecuación de una curva que pase por un punto prefijado y de la que conocemos su pendiente.
[129]
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3
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
EJEMPLO 1 La pendiente de una curva en cualquier punto (x, y) vale x + 2y. Determinar la ecuación de dicha curva si, además, sabemos que pasa por el origen de coordenadas. 1) "Traducimos" al lenguaje simbólico la primera parte de la información.
La pendiente se representa en geometría analítica por la letra m y en
dy -)o - -
dx
= x + 2y es la traducción literal del enunciado.
La simbología de la segunda parte de la información es y(O) que la curva pasa por el origen. 2) Esta ecuación es lineal, no homogénea y de primer orden dy
- - - 2y
dx
Donde ¡(x)
=-
2, r(x) -)o
=x
=x
y
= e- S_ 2dx [ f e S-2d I X dx + e J
y
=
Y
= e2I ( _ _x e- 2I
e
23J
f
[
2I
e-
x dx -
2
1
x
+ eJ 1 _ e- 2 4
,l;
+ e)
2
y = - - - - +ee x 2 4 Para y(O) = O: 1
0=0 - -
4
1
+ e,
e=4
I .¿ x y = _ _x _ l _ +_ o
4y
2
4
=-
2x - 1
4
+e
2X
•
=
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. 1 por 1a expreslOn . , -dy ca'1 cu 1o d'f 1 erencla -, dx
O, puesto
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131
GEOMETRíA
3) La curva pedida tiene esta ecuación y se verifica derivando la solución general y sustituyéndola en la ecuación.
2. Otro problema interesante es el de obtener la ecuación de las trayectorias ortogonales de una familia de curvas. Aquí va a ampliarse el concepto usando coordenadas polares.
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y
~--------~----------------------------------------.x
Figura 3.1
Sea una curva
e
y su tangente T, O; se puede escoger el - e2; pero son linealmente independientes en el intervalo O es la fuerza de restitución del resorte (ley d e Hooke). Fb ~ - bx', b > O es la fu erza debida a la resistencia de l aire y actúa siempre en direcc ión opuesta a la velocidad; por e llo ti end e a re tardar el movimiento. F , y F b son nega tivas porqu e van en sentido opuesto al eje x considerauo. Por la segunda ley de New ton, la fuerza neta qu e ac túa sobre la masa (masa) (ace leración ). es: F
=
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290
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Entonces: F = Fr + Fb + F(t) representa la aplicación de todas las fuerzas sobre la masa m. Es decir: mx" = - kx - bx' + F(t) o sea x" + 2nx' + a2 x = f(t), donde :
2n
= !!...., a = ~, f = F, m m m 2
EJEMPLO 2: A un resorte, que se estira 50 cm al aplicarle una fuerza de 4 N, se le cuelga un peso de 19.6 N. A este peso se le aleja de su posición de equilibrio jalándolo 1 m hacia abajo. Si se suelta el peso, estudiar el movimiento en los casos: a) No hay resistencia del aire, b) si la resistencia del aire es 8dx/ di Y c) si además de la resistencia del aire hay una fuerza aplicada al peso de 80 sen 2t. El peso W del objeto es 19.6 y.como W = mg, la masa
w 19.6 m = - = - = 2kg g 9.8 a) Sea x el alargamiento del resorte, por la ley de Hooke Fr este caso: F r = 4 N para x = 0.5 m. Entonces
en
k-~ - 8. - 0.5 Fb
Además
= kx;
=O y
F(t)
= O.
d2 x La ecuación del sistema es: m - 2
=-
o sea
x"
dt
cuya solución es: x = el eas 2t
kx
+ 4x = O
+ e2 sen 2t.
Aplicando las condiciones iniciales : cuando t = O, x = 1 Y x' = O se obtiene el 1, el = O. Por tanto: x = eas 2t representa un movimiento
=
oxmónico de amp1itud 1m,
~- := !.- = 2rr.
rr
+ perio d o: 22n
0.318ciclasj segunda
= n seg
' y f recuanCla:
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es la ecuación que rige una oscilación forzada. Las condiciones iniciales del proceso son: x(O) = xo y x'(O) = Vo.
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291
OSCILADORES
b) En este caso, la ecuación es:
d 2x dx m--= - kx - 8 dt 2 dt X"
cuya solución es: x
+ 4x' + 4x =
O
= e- 2t (el + e2t).
Aplicando de nuevo las condiciones iniciales:
= e _2t (1 + 2t)
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x
El factor de amortiguamiento es e-l!. c) En este caso, tenemos la ecuación:
d'x dx m-- = - 8x+80 sen 2t - 8 dt" dt' x" = - 4(x - IOsen2t) - 4x', x" Su solución es x
=
Xh
+ 4x' + 4x = 40 sen 2t. + Xp,
donde: Xp
Xh
= -
= e- 2t (el + C2t)' y
5 cos2t.
Para las condiciones iniciales dadas:
x = e- 2t (6
+ 12t)
- 5 cos 2t,
La partee- 2t (6 + 12t) representa un movimiento transitorio y-S cos 2t es el movimiento estable.
Ejercicios 5.2 l. Un resorte cuelga verticalmente; su extremo superior está mo inferior pende una caja que pesa 196 N. Una vez tira de la caja hacia abajo haciéndola desplazar 0.25 m biendo que k = 80 N/m y que la resistencia del aire
fijo y del extreen equilibrio se y se suelta. Saes despreciable,
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APLICACIONES
DE LAS ECUACIONES
DE SEGUNDO
ORDEN
hallar: a) la ley del movimiento de la caja y b) el tiempo necesario para que la caja se mueva desde la posición inicial hasta 0.0625 m por debajo de la posición de equilibrio.
CAíDA
LIBRE Y LEY
7. Dos pesos igua ellos se despre gerencia: x(O)
Respuestas: a) x = (cos 2t)j4
2. Resolver
1 suponiendo
el problema a) de vj4 y b) 4v.
Respuestas:
Respuesta: x
= 0.659 segundos. que hay una
a) x = e-1/160t(0.25 cas 1.996t
resistencia
del aire:
+ 0.00078 sen 1.996t)
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b) t
3. Una masa de 98 N de peso se cuelga de un resorte con lo que éste interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que ~ = 4.9 N/m, hallar el movimiento de la masa si al soporte del resorte se le imprime una fuerza de y = sen..J2i, t metros.
Respuesta: x =
- 0.7.J2i 0.49 - 2g
sen O.7t
+
0.49 0.49 - 2g
sen-l2it.
4. Se suspende
una masa de 10 kg de un resorte, el cual se alarga 0.6533 metros. La masa se pone en movimiento desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 1 m/ seg dirigida hacia arriba. Hallar el movimiento resultante si la fuerza debida al aire es de 80v newtons.
Respuesta:
x
= (e-51
-
e-31)j2.
5. Supongamos que al sistema del problema anterior se le aplica una fuerza externa: I(t) 10 sent. Hallar el movimiento resultante de 'la masa.
=
9
Respuesta: x = - --
20
e-31
+ --25 52
e-51
+ --1
130
(7 sent - 4 cost},
6. De un resorte que tiene una constante k = 50 se suspende un peso de 49 N. El peso se pone en movimiento desde el reposo, estirándolo 0.98 metros hacia arriba de la posición de equilibrio y aplicando una fuerza externa f(t) = 10 sen 2t. Si no hay resistencia del aire, hallar el movimiento del peso. Respuesta:
x
=-
0.98cos
foil -
0.21 sen .,¡yot
1 + -sen2t. 3
=
8. Una cadena de soporte hacia a cadena cuelga lizarse toda la
Respuesta:
t:;=
9. Se cuelga de un 0.6125 metros.A 1 m hacia arriba que hay una res Respuesta:
r
=
10. Un resorte cue de mkg. Si la está sin alargar.
Respuesta:
VI
Caída libre y le Se va a considerar por dos fuerzas: la cional a la veloci la masa permanec Por la segunda
La fuerza de la g = 9.8 m/seg2•
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CAíDA LIBRE Y LEYES DEL MOVIMIENTO
293
7. Dos pesos iguales están colgados del extremo de un resorte. Si uno de ellos se desprende, hallar la ecuación del movimiento del otro peso. Sugerencia: x(O) b.
=
Respuesta:
x
= b GaS
/'f;
t.
8. Una cadena de 8 metros de longitud se desliza sin rozamiento, desde un
Respuesta: t
= 2.49
segundos.
9. Se cuelga de un resorte una masa de 2 kg, de tal manera que el resorte Se alarga 0.6125 metros. A esta masa se la aleja (aparta) de su posición de equilibrio jalándola 1 m hacia arriba y se la suelta. Hallar el movimiento resultante de la masa, sabiendo que hay una resistencia del aire de 16v
Respuesta: x = e - 4 ' (-1 - 4t). 10. Un resorte cuelga verticalmente. En su extremo libre se coloca una masa de m kg. Si la masa se mueve con velocidad Va m / seg cuando el resorte está sin alargar, hallar la velocidad en función del alargamiento. k
Respuesta: v 2 = 2gx - -
m
X2
+ va
2
•
Caída libre y leyes del movimiento Se va a considerar la caída vertical de un cuerpo de masa m que está afectado por dos fuerzas: la aceleración de la gravedad y la resistencia del aire proporcional a la velocidad del cuerpo. Suponemos que tanto la gravedad como la masa permanecen constantes y que la dirección positiva es hacia abajo. Por la segunda ley de Newton:
dv F = ma = m --. dt La fuerza de la gravedad dada por el peso w del cuerpo es: w = mg, donde
g
= 9.8 m / seg
2
•
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soporte hacia abajo. Si el movimiento se inicia en el momento en que la cadena cuelga 1 metro del soporte, hallar el tiempo que tardará en deslizarse toda la cadena.
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294
APLICACIONES DÉ- LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
La fuerza debida a la resistencia del aire es - kv, k ~ O, negativa por ser opuesta a la velocidad; k es la constante de proporcionalidad. Entonces la fuerza neta sobre el cuerpo es:
F= mg - kv o sea
dv m - - = mg - kv dt
de donde
Tt+
dv
k m v=g,
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es la ecuación del movimiento del cuerpo. Si la resistencia del aire es despreciable, entonces k O Y la ecuación es:
=
dv dt
-=g.
La velocidad lírrúte se define así:
VI
=
:g .
Si la resistencia del aire no es proporcional a la ve10cidad sino al cuadrado de la velocidad u otra relación, entonces las ecuaciones deben modificarse.
EJEMPLO 1 Un paracaidista junto con su paracaídas cae partiendo del reposo. El peso total es w kilogramos. Sobre el sistema actúa una berza debida a la resistencia del aire que es proporcional a la velocidad. Si la caída es vertical, hallar :
¡ kv
a) La ecuación del movimiento. b) La ecuación con los siguientes 98 kg, Y k 10. datos : w
=
w=mg
=
c) La distancia recorrida por el paracaidista. a) La fuerza neta e3:
F = mg - kv
/
Figura 5.2
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295
CAíDA LIBRE Y LEYES DEL MOVIMIENTO
dv m-- =mg-kv dt
de donde
dv
k
=
y -. +- v g es la ecuación diferencial del sistema con las con di_ dt m ciones siguientes: para t O, v O.
=
=
La solución de esta ecuación es: mg v = - - (I - e- ktjm ) k
= mg = 98 kg.
Entonces m
: . v = 9.8 (1 - e- t ), cuando t ~
98 = -= 10 kg, g = 9.8 m/seg 9.8 00,
2
v se aproxima a mg que es la velocik
dad límite constante. c) Como v
dx = dt
tenemos: dx
mg = -(1 k
Con condiciones iniciales: x
e- ktjm ) dt
= O para t = O.
y para los datos del inciso b):
x
= 9.8 (t + e-
t
-
1).
EJEMPLO 2 Una partícula se mueve a lo largo del eje x según la ecuación: d 2x dx -+9-+20x=0 df dt
A partir de un punto a 2 m a la derecha del origen, la partícula en el tiempo t Oseg se dispara hacia la izquierda con una velocidad v = 12 m/seg. Hallar:
=
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b) w
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
a) El tiempo en que la partícu la pasa por el origen. b) El desplazamiento máximo negativo. c) La velocidad máxima (posit iva). Solución: La ecuación auxiliar correspondiente a esta ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes es:
con raíces Al
=-
4, A2
=-
5.
Por tanto, las ecuaciones del desplazamiento y de la velocidad, son:
Encontramos los valores de el y e2 mediante las condiciones iniciales; aSI: para t = O ~ x = 2 Y también para t
=O ~ v =-
12, C•1 --
- 12= - 4c¡- 5c 2
e2
a) Cuando la partícula pasa por el origen: x
4e- S ! 1 ffitlltip licando por _ 2
= 2e -
_? -
= 4.
= O. Entonces :
4!
eS!
t = ln 2 = 0.6931 segundos. b) El desplazamiento máximo negativo se dará cuando v
= O.
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+ 9A + 20 = O
A2
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297
CAíDA LIBRE Y LEYES DEL MOVIMIENTO
= 20e- 5t ~ t = ln 2.5. x = - 2e- 41n2 .5 + 4e-51n2.5 = - 2 (2.5)_4 + 4 (2.5)-5
Be- 4t
Entonces:
X
= _
(2.5)-5
=-
0.01024 m.
c) La máxima velocidad se tendrá para:
JOOe- SI
t
de donde Entonces
v
=
O
= 32e- 41
= In (25/8).
8e- 41n (2S j8) _ 20e- S1n¡2S j8¡
__8 (25) _4 - 20 (25) -s 8 8
= 5(25 / 8)-S v
=
0/)]677 m / seg.
Ejercicios 5.3 1. Hallar el ti empo necesario para qu e un cuerpo ca iga a la Tierra desd e la a ltura de 400000 kilóm etros si la altura se mide desde el centro de la Tierra y sabiendo qu e su radio es 6400 kilóme tros aproximadamente. R es puesta: y2y"
=-
k, t
= 122
horas .
2. Una partícula se mueve a lo largo del eje .r de acuerdo con la ' ley : d 2x
-
dt
2
dx
+ 4 - + 13.r = dt
O
=
Si esa partícula empieza su movimi ento en .r O, con una velocidad inicial d e 6 metros por segundo hacia la izquierda, hallar : a) :r en función de t. b) Los tiem pos en qu e se producen las paradas. Respuestas: a) .r = - 2e - 21 sen 3t. b) t = 0.33
nn:
+-
3
radi anes, n = 0,1 ;'!,3, .. .
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dv dt
- - = - 32e- 4t + IODe- sl =
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
3. Una partícula de masa m se mueve por el eje x con una fuerza de repulsión que es inversamente proporcional al cubo de la distancia desde el punto Xo al origen. Determinar la ley del movimiento.
4. Un cuerpo de masa m cae desde cierta altura con una velocidad v. Durante la caída, el -c uerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de ola velocidad. Hallar la ecuación del movimiento.
k
fIg -
m
5. Si en el problema anterior m
t.
=
=
=
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m Respuesta: x = - In cosh
4 kg, g 9.8 m l seFf, k 3.673. Hallar: a) la velocidad al cabo de dos segundos. b) El tiempo necesario para caer a una distancia de 8 metros.
Respuesta: v
= 3.26mlseg, t = 2.68
segundos.
6. Un hombre y su barca pesan 98 kg. La fuerza ejercida en la dirección del movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la velocidad. Determinar: a) la velocidad 20 segundos después de que la barca haya empezado a moverse. b) La distancia recorrida al cabo de esos 20 segundos. Respuesta: a) v
= 2.4 mlseg, x = 36.97
metros.
Circuitos eléctricos
Se puede establecer la siguiente analogía entre un sistema mecánico y un circuito eléctrico : Sistema mecánico
Circuito eléctrico
d 2x dx m- 2 kx - b - + F(t) dt dt Desplazamiento: x dxldt Velocidad: v Masa : m Amortiguamiento: b Constante del resorte: k Fuerza externa: F(t)
d 2q dq 1 L= - R - - - q + E(t) df dt c Carga: q (culombios) Corriente: 1 = dqldt (amperios) Inductancia: L (henrios) Resistencia: R (ohmios) Capacitancia: C (faradios) Voltaje aplicado, fem, E(t) (voltios)
=-
=
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299
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Tendremos presentes las siguientes leyes: Segunda ley de Kirchhoff : la suma algebraica de los cambios de potencial en el recorrido de cualquier malla de un circuito es cero. Es decir: el voltaje aplicado en un circuito cerrado es igual a la suma de las caídas de voltaje en el resto del circuito. La caída de voltaje a través qe la resistencia es: IR. La caída de vohaje a través de la induct;lllcia es: L dI. dt
EJEMPLO 1
=
Un circuito tiene una fem R 100,e- st voltios, una resistencia de 10 ohmios y una capacitancia de 0.02 faradios. Si q(O) = O, hallar : a) la carga y la intensidad de la corriente en cualquier instante t, b) carga máxima y el tiempo necesario para obtener la carga máxima. Voltaje proporcionado E = JOOe- St • R
Caída de voltaje en la resistencia IR = 101. Caída en el condensador q/ c
=
q / 0.02
=
= 10
E
50q.
a) Por la segunda ley de Kirchhoff: 10 1
+ 50q =
JOOe -
st
C = 0.02 F igura 5.3
dq
,
como 1 = dt
entonces:
dq 10 dt o
dq
+ 50q =
-dt + 5q =
JOOe- St
lOe- St con q(O)
cuya solución es : q
'
= lOte - Sto
=°
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1
La caída de voltaje a través del condensador es: - q. e
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
La intensidad de la corriente es I dq 1= dt
dq = -, dt
es decir:
= lOe-S! - 50te- S! = lOe - SI (] -5t)
dq b) La carga máxima ocurre cuando : dt
=O
entonces: lOe - 51 (1 - 5t)
= O, t = 0.2 segundos
q
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Para este ti empo, la carga es: 2
= 2e- 1 = - = 0.735 culombios. e
EJEMPLO 2
Un circuito consta de una inductancia 1 = 0.25 henrios, una resistencia R =] ohmio, una capacitancia e = 0.2 faradios, una fem E = JO sen 2t voltios y un interruptor k. Hallar: a) la ecuación diferenoial de la carga en cualquier momento t . b) La carga y la intensidad de la corriente en t si al cerrar el interruptor en t = O, la carga es nula. Caída en la resistencia IR
= 1.
Caída en la inductancia dI dI L - - = 0.25 - - o dI dt
e
E
Caída en el condensador
1
q q -= =5q. e 0.2
= 0.25
Figura 5.4
a) Aplicando la segunda ley de Kirchhoff: dI 1+ 0.25dI
+ 5q
= lOsen2!
= 0.02
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Como /
301
EU:~CTHICOS
dq = -dt '
d 2q entonces: 0.25 - dt 2 d 2q
dq
2
dt
dq
+ -- + 5q dt
- - + 4 - - + 20q
o
dt
= 10 sen 2t
= 40 sen2t,
es la ecuación diferencial que rige a este circuito, con las condiciones guientes: en t 0, q 0, / O.
=
b) La solución
La solución
C¡p
=
=
SI-
es:
C¡h
es:
qh
= e- 2t (el Gas 41 +
qp
= - GOS 2t + 2 sen 2t
y la solución general es: q = e-U (el Gas 4t
C2
sen 4t),
+ e2 sen 4t) -
Gas 2t
+ 2 sen 2t.
Que para las condiciones inicial es dadas queda: q = e- 2t (eos4t - -
1 ?
sen4t) - c;as2t
+ 2sen2t.
La intensidad .de la corriente es: 1 = dq j dt ; entonces :
/ = e- t (-
3 sen 4t - 4 Gas 4t)
+
2 (sen 2t
+
2 cas 2t).
La parte transitoria de q y de 1 es: qh yq' h Y la permanente es: qp y q' p.
Ejercicios 5.4 1. Un circuito consta de una induGtaneia de L = 0.5 henrios, una resistencia R 20 ohmios, un condensador cuya capacidad es e 0.0025 faradios y una f em E 100 voltios. Hallar la carga y la corriente, sabiendo que en t O, q O e 1 O.
= =
=
=
=
=
Respuesta: q = 0.25 [e-"Ot (- ca~ 20t - sen 20t) 1 10 e- 20t sen 20t.
=
2.
+ 1},
=
Un circuito eléctrico consta de una induGtancia de L 0.2 henrios, una resistencia R 4 ohmios y un condensador de e 0.01 faradios. Hallar la
=
=
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ClHCUITOS
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302
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
carga q y la corriente 1 en la tiempo t, si en t 1 = - 1 amperio.
= O, q = 0.5 culombios e
Respuesta: q = e- lOt (0.5 cas 20t + 0.2 sen 20t), 1 e- lOt ( - 12sen20t - cas20t).
=
3. Resolver el problema 1, sabiendo que la fem aplicada es E 1 = -[e 65
+4 Respuesta 1
_ 20t
( -
.
7 cas 20t - 9 sen 20t)
+7
cas 10t
sen lOt].
1 = -[e-~Ot (320
65
+ 40
sen 20t-40 cas 20t)-70 sen 10t
cas 10t].
=
=
=
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Respuesta: q
= 50 cas lOt.
10 hernios, R 90 ohmios, e 0.005 faradios y un voltaje E = 500 sen t. En t = O no hay carga en el circuito, pero sí hay una corriente inicial de 0.5 amperios, hallar la carga del condensador.
4. Un c ircuito tiene L
R espuesta: q
9 = -(16ge 442
4t
-
11ge -
St
)
25 + -(221
9 cas t
+ 19 sen t).
Flexión de vigas
Consideramos vigas horizontales a aquellas que son uniformes en forma y material. El eje de simetría (línea punteada) se llama curva elástica y su ecuación da información acerca de la flexión de la viga producida por su propio peso y por cargas externas. En mecánica se demuestra que el momento de flexión de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre la viga está dado por:
M= El R
É--- ---- - ---- -- --o Figura 5.5
Donde E es el módulo de elasticidad de Young que depende del material y del diseño de la viga, 1 es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en x, tomado con respecto a una línea horizontal que pasa por el centro
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CUNDO ORDEN
FLEXIóN
0.5 culombios e
de gravedad de la sección. El producto una constante. R es el radio de curvatura de la curva elástica con ecuación:
El se llama rigidez
a la flexión
y es
~---t!----~ x
[1 + (y'/P/2 R=-----y"
= 50 cos lOt. os lOt
303
DE VIGAS
Figura 5.6
Como y' en todos sus puntos es muy pequeña,
entonces:
n lOt
faradios y un pero sí hay una sador.
de ahí que:
M
= Ely".
El momento M en la sección transversal es la mentos de las fuerzas exteriores. Suponemos que momentos positivos y las fuerzas hacia abajo dan y se toma positivo hacia arriba. El desplazamiento y de la curva elástica desde la viga.
suma algebraica de los molas fuerzas hacia arriba dan momentos negativos, el eje el eje x se llama flecha
de
19 sen t).
EJEMPLO
1
Viga simplemente apoyada. Una viga uniforme, de longitud 1 5 metros, apoyada según se muestra en la figura 5.7 se flexiona bajo su propio peso, que es de w = 2 kgjm. Hallar la ecuación de la curva elástica.
=
n forma y maiea y su ecuapor su propio
I~/ZZZZZZVZZZZZ~/.~
Figura 5.7
y
as las fuerzas
~~
x
l-x
O
x
wl
wl
2
2
del material transversal de por el centro
•Q
P wx
.w(l-x) Figura 5.8
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1 R=~ y"
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Como la viga está simplemente apoyada, cada extremo soportará la mitad wl del peso de la viga: - = 5. 2 Tomando un punto P a una distanc:ia x del origen, observamos primero las fuerzas qu e actúan a la izquierda de P:
Una fuerza hacia arriba:
wl 2
• Una fuerza hacia abajo wx en el centro de OP; entonces el momento total de flexión en P es:
wl
x 2
wl
w
2
2
= - x - wx (- ) = - x - -
M
2
X2
Para demostrar Cjue el momento flector en P es independi ente del segmento estudiado, vamos a ver Cju é pasa en PQ. Hay dos fuerzas:
•
wl Una fuerza hacia arriba - a una distancia 1- x de P. 2
•
Una fuerza hacia abajo w(l - x) a una distancia - -- de P. 2
l-x
Entonces: M
u;!
= 2
(1 -
M = wl x _
2
(l-x) x) - 1(;(1 - x ) - -
2
~r 2
y
(igual que antes)
=
Sustituyendo el valor de M en la ecuaClOn M E/y", teni endo en cuenta que y O cuando x O Y cuando x = l, tenemos :
=
=
E/y" .
= wl2 x _
1(' X 2.
2
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•
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FLEXIóN DE VIGAS
Integrando:
, wl 3 w 4 E/y = - x - - x 12
24
+ex+c 1
2
.
3
Para las condiciones dadas
C2
wl = 0, = - -. 24 el
Por tanto:
= -~ (- x 24EI
4
+ 2lx
3
-
[3x)
y en particular para este caso: Y
.
1 12E/
= - - (_x 4
+ 1Ox
3
-125x).
EJEMPLO 2 Viga cantilever. (Apoyada en un extrelllo y libre en el otro.) Una viga uniforme de longitud l = 5 metros y con w = 2 kg/m tiene libre un extremo. Hallar la curva elástica y la flecha del extremo libre.
!I
x
o
...
l-x
----t------==========----------¡~------¡_--+x
Q w(l-x) Figura .5.9
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y
.
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Para calcular M es más sencillo estudiar el segmento a la derecha de P, en el que actúa la fuerza w(l- x): M
=-
l-x w(l- x) ( - - ) 2
Sustituyendo en la ecuación: M
= -w -(l-xy = 2
=
(5 - xY.
Ely", tenemos:
" - w(l- xy E/y = 2 '
°
y la pendiente de
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'con las condiciones siguientes : cuando x = 0, y = la tangente y' = O. Integrando:
Ely'
Para x
= 0,
y'
= 0,
= -w2 . -31 (1- xl + el e l = -W- 1
3
entonces
6
Integrando de nuevo:
Ely = - -w (l - x )4 - -W 24
Para x = 0, y = 0, entonces
e = 2
Ely = -
W
_
24
y
Z3
6
w
_
24
x
+ e2
y
l4
xr _ 6 f3 x + 24
(l _
W
W
l4
W
= - - (- x 4 + 4lx3 - 6f2x!). 24El
La flecha será la deformación máxima que ocurre cuando x = 1, _
Ymax -
-
W
--
8 El
14
•
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FLEXIÓN DE VIGAS
En particular, para este caso, la curva elástica es: Y
1
= - - (12EI
X
4
+ 20x3 -
150r)
625
y la flecha:
Yma..r
= 4EI - hacia aba¡·o.
Una viga horizontal de 8 metros de longit.ud está empotrada en un ex~ tremo y apoyada en el otro. Hallar: a) la ecuación de la curva elástica si la viga tiene una carga uniforme 4 kg/ m y soporta un peso de 100 kg en el punto medio·. b) El punto en el cual la flecha es máxima.
y
i 1 .1---------- l-x--------_~I 1 a; para toda n,
n=1 ec
~ L a;
diverge.
11=1
I) Criterio
y positiva
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x~ 1.
de comparación por limite.
Sean ~an y ~bn dos series de términos positivos.
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324
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
, an = c > O
1) Si ltm n -+t;lJ b n
~
an
'"
L
2) Si lím - = O Y si n -+CQ b n
Ambas series ·c onvergen o ambas divergen.
b n converge,
n =l
tan converge.
~
n =l
an 3) SI ltm n -+~ b n
= +
I
00
y si
L 00
b n diverge,
n =l
tandiverge.
~
n =l
g) Criterio de la razón o cociente. Sea
t
an una serie
n =l
y lím n --+-.r..
~
I I= a
n
1
+
an
< L >
Si L
L
L
1 la serie converge, 1 la serie diverge,
=
1 no hay información acerca de la convergencia o diverge ncia.
Definición 6.2. Una serie alternante es de la forma: t(-lt+1an=a1 - a2+ ... + ( - lt+1a n + n =l
Pruebas de convergencia de las series alternantes a) Para que una serie alternante sea convergente deben cumpHrse: 1) lím an
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•
=
O y,
n .... "
b) Prueba de la razón, la cual -da convergencia absoluta.
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PRUEBAS DE CONVERGENCIA DE LAS SERIES
325
Clases de convergencia '" Si L:
(-
n=l
y
t lanl
Ir+
1
también converge,
t (- 1r+
~
a n converge
1
an es absolutamente convergente.
110:::1
1
a n converge
n =l
y
t
n=1
~
lanl
diverge
t (- 1r+ a 1
n
es condicionalmente convergente.
n :: 1
Definición 6.3. Una serie de potencias es de la forma:
(alrededor de x
= a,
según Taylor), o
t
C n Xn
11,=1
(alrededor de a
= O,
según Maclaurin).
Convergencia de las series de potencias Teorema 1. Sea
t
cnxn una serie de potencias
11, ::: 0
~
exactamente se cumple una de las tres:
1. La serie converge solamente cuando x = O. 2. La serie es absolutamente convergente para toda x E: R (Reales).
> O tal que la serie es absolutamente convergente para todos los valores de x tales que IXI < R Y diverge cuando Ixl > R. R es el radio de convergencia de la serie.
3. Existe un número R
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t (- Ir+
Si
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.'326
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Definición 6.4. El intervalo de convergencia absoluta es el intervalo abierto que contiene los valores de x para los cuales la serie de potencias converge. El conjunto de convergencia absoluta es la totalidad de los valores de x para los cuales la serie de potencias converge, es decir, consta del intervalo abierto más los extremos del mismo, en caso de que también la serie converja en ellos.
FORMA DE ENCONTRAR LA CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIAS Prueba de la razón:
", n + 1
y evitar así la forma in-
determinada oo· O, vemos que:
lím n ln (_ n_) n n--> oo n+1 lím(- -t=e n-->oo n + 1
_1_((n + + Jf n) 1) -
n In (- - ) n +1
n
' ---l lm n-4 C(1
=e
=e
1
= e
n
(n
, n + 1 1tm - - - -- - - - 1
lim ~ (~) n-->oo IIm(- ~-) n +
n-->",
1
=e
n2
1
lím ( - 1)
=e :. Ixllím (_
n--> oo n
Haciendo
= e-
I
+ 1r n_
_ ·lím _1_ = n-->., n + 1
Ixl O
oo
21 (l) (l).
= Ix -
:. Ix - 21
-Yn --
Como -
n
3
n
3
+
converge.
~Vn .LJ -3 - - converge. n=l n + 1
.~
1
:. el conjunto de convergencia es [1 , 3].
EJEMPLO 5 Hallar el radio de convergencia de la serie:
e1 j{n+l ) xn+~
lím n -+oo
=
1-----1 = e 1/ n xn+l
Ixllím e-1jn(n+l)
Ixllím e1j{n+l) - ljn n~ CX)
= Ixl (1)
n -->",
~
Ixl
oo
(n
I
1
+ 1) 3
+ (x - sr
n3 n
= ~ 3
.~
1
Ix -
Sllím _n_ = n-> oo
3'lx - SI
0
+ ~)
k
k
y por transitividad
(k
+
1)e
L'" (x-
'S.
";.,,..II,d-1
Entonces
X21l
cc
¿-;¡
los numeradores:
+ 2/ > (k +
k (k
3"
cc
3. "L..J -x" 2'"
4.
,l.*1'Ir,' -
x"
cc
¿n +
2.
>(1 ~jk +
k para toda k,
6.
"' x" ¿; 11=1
7.
t(xt~ n,
n=l
8.
2
n
n=1
ec
9. ¿nlx 11=1
nI
ec
10.
¿g;;X 11:::;::1
L cc
y
nl en -'-n-
es divergente,
"'
"=1 n el conjunto
de convergencia
es (-e
+
1, e
+
1),
12. Ejercicios 6.1 de las siguientes
Conjunto de convergencia ec
11=.1
:t
(x
11=1
Encontrar el intervalo, el conjunto y el radio de convergencia series de potencias:
n " 1. "W n -+ 2 x
2
1l.¿~ n "=l !
(-1, 1)
13.
n:::;::l
Radio 1
t(x
14.
'" " ¿~ ,,=1
n!
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PRUEBAS
DE CONVERGENCIA
cc
2.
'1
El
1)
2
rn
cc
4.
+
1
3n
co
'5.
2
2
(- 3' 3)
3
[-1, I]
1
(1,3)
1
[-1,1)
1
L7 n=1 ~
1,
1
[-1, I]
+
n
3. L-xn n 2 n=l
'1 1'1
k
xn 2
335
DE SERIES
I: (x n=l .,
2r
n
6. L~ n=l n
i: i:
7.
(X n=l n!
8.
(x n=! n
2
Ir
+ 2r +1
"-
9. L
nl x"
00
(-00,00)
[-3,
1
-1]
Sólo converge
en x
=O
O
Sólo converge
en x
=O
O
n=1
10.
t
n_x ! n gn
n=l
se
2
n 11. L -x n=!n! 12. e las siguientes
13. ia
t
3t
-
yrn
2r
(x n n
2
(-00,00)
00
[2,4)
1
[0,4]
2
2
n=l
Radio 1
t(x n=!
n
., xn 14.
(-00,00)
Lnl
n=l
.
00
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EDIANTE SERIES
lt~
•
~rtl.••• I • • 1,111"\1
, ·~NI·
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336
RESOLUCI6N
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
tr
MEDIANTE
SERIES
28.
n
15.
n=! oc
(-1,1)
1
n Absolutamente convergente para toda x =1=- O
1 n
x2 (-00, O) U (2,00)
'"
t
";.,,.,IIUW\
'c.-1':r,
j,,;:~-
19.
I\¡!,.'!
",., "
,"
n=!
xn+'
i:
5 (x -
n
t
20.
n=l
Diverge
en todos Reales
En los sig convergencia 3
n! (x - 3r n
Sólo converge
5
en x
=3
O
z
L xn
21.
(-1,1)
1
(-00,00)
00
[-1,1)
1
n=l
cc
2n
L ,(x n=! n.
22.
1;(.
L
23.
n
-
2r
xn n In n
30. ~ 3 n! ~--n(x n=l n
los
[~~) 5 ' 5
4r
n3n
n=!
l: '
Ir
+ 1)1
(n
1
n
*
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Yn
n=! (x 18.
In n
n=l
cc
L
t (x + 2)'
29. Lsen"2(:
n=l
17.
ee
31.
¿ 11=1
A. B.
c. D.
.,
32.
n=l
.rn
L (-1 r 2n + 1
A.
1
(-I,IJ
n=l
B.
cc
L (-lr+'
25.
L (- 1r (x %
-
4
1
(.!,~J 3 3
n
3 (x n
n=l
26.
3r
i:
C.
3
D.
r
(3,5)
1
33.
n=l
27.
¿ 11=1
:r.
24.
e
DE
n=2
L n!x
16.
PRUEBAS
¿ 11=1
2
(-Ir
n=I
(n '+., 1) (x n
5)n
1
(4,6J
A. B.
*
No
está
definido
el radio
de
convergencia
para
intervalos
de
este
tipo,
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ES MEDIANTE
SERIES
1
PRUEBAS DE CONVERGENCIA
28.
t
onvergente
"
ec
30.
[-3, -1)
1
[2,4J
1
e e 3+-) 3' 3
3
ln n 1
29. Lsen2"(x n=l n
*
337
+ 2r
(x
n=2
. =1= O
DE SERIES
3n
- 3r
,
L ~.(x - 3r n=l
e
(3--
n
os los
3 5
nr
=3
31.
" (3jn L - (x - 2r n=l
5
A. Conjunto
o
de convergencia
B. Radio de convergencia 1
00
1
32.
C. Conjunto:
(~~) \3'
D. Conjunto:
(~,
absoluta
R
=1
3
Y
R
=~
1; J
y R
=1
3
" L n (x + 3r (n + 1)!
n=l
1
1 3
1
33 •
A. Conjunto:
(-3,3.)
B. Conjunto:
(-00,
C. Conjunto:
[-3,3J
D. Conjunto:
sólo x
~
L..J n=l
1
este tipo.
(n
+ 1)! 7n
(x -
=3 y R = YR = 3
y R (0)
= -3
Ir
A. Intervalo:
[-1, 1J
B. Intervalo:
[-1, 1)
00
1 [-, 3
11
--y 3
el conjunto
de
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En los siguientes ejercicios escoger la opción que contiene convergencia absoluta y el radio de convergencia.
.
¡",. ,,,,,,r
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338
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
C. Radio: R = 1 D . Sólo converge en x = 1 '"
34."
n ~ (x -
2
4t
A. Intervalo: (3,5), R
=1
B. Conjunto: (-00,3)U(5,00) C. Conjunto: [3, 5)
35.
t
n=l
=4
n; (x - 3t n. 1
A. Intervalo: (3 - - , 3 e
+ -1 ) e
B. Intervalo : (-3 , 3), R=3 1
C. Intervalo: [-3,3), R=e
D. Conjunto: [-3,3)
36.
i= n=l
(x
+ 3t
n
3
3n
A. Conjunto: (-00 , -6) U (O, (0)
B. Conjunto: (-6, O], R = 1 C. Conjunto: [-6, 0), R = 3
D. Conjunto: (-00 , -6] U [O, (0)
A. Conjunto: (-1 , 1), R = 1
B. Conjunto: [-1, 1), R
=1
C. Conjunto : (-1 , 1), R = 1 D . Conjunto: [-1, l), R
=1
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D. Sólo converge en x
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339
DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIES
Respuestos:
31.C. 32.B. 33.D. 34.B. 35: A. 36. C. 37. A.
Desarrollo de una función en series
f(x)y"
+ g(x)y' + h(x)y = r(x)?
Donde f, g, h Y r son funciones polinomiales, racionales o trascendentes. Después de algunas necesarias definiciones se expondrá el método de solución de tales . ecuaciones, mediante series de potencias. Son muchas las funciones que pueden desarrollarse en series de potencias. Para hacerlo se usa la J órmula de Taylor:
t
¡rn)(a) (x -
ar
nI donde f(n)(a) significa la derivada n-ésima de la función evaluada en x = a y a es el valor alrededor del cual se desarrolla la serie. Si a = O, entonces la serie se llama de Maclaurin.
EJEMPLO 1 Enoontrar la serie de potencias de la función:
,~
y = ln Gas x
para a = O
y = In Gasx
y(O) = ln
sen x y = - - - = - tan x Gas x
y' (O)
I
y" (O) y'" yIV
= - 2 sec x tan x = _ 2 sec x - 4 sec x tan x 2
4
2
2
GOSO
=-
=-
tan O
sec!x
y'" (O) = O yIV
=O
(O) = -2
=O
=-
1
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¿Cómo podremos aplicar estos conceptos a la resolución de ecuaciones diferenciales, y por qué las hemos repasado? Hasta ahora el estudio de las ecuaciones diferenciales se ha limitado a considerar las que tenían coeficientes constantes y coeficientes variables en las de Cauchy-Euler, pero ¿cómo resolver ecuaciones de la forma:
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340
RESOLUCIóN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
yV = -16 sec'x tan x - 8 sec 2x tan3x, yV (O) = O yV/ = -16 sec6 x - 64 sec'x tan2x - 16 sec 2x tan'x - 24 sec'x tan2x yVÍ(O) = -16, etc. OxO -+ In cos x = - -
OXl
X2
r
x'
x6
2
12
4S
Ox5
2x'
16x6
+ -- -2/ + -3/- - -4/- + -- -+ ... 1/ S/ 6/
01
In cos x
Ox
3
= - - - - - - -
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Algunas series pueden expresarse cómodamente por su término n-ésimo.
EJEMPLO 2 Hallar la serie de potencias correspondiente a: 1
y=x
para a
1 , O/ y=-=x x
y (1)
, 1 1/ y=--=--
r
y"
2
2/
r
r 6 x4
y'"
y/v
Y
v
r
3/ x' 4/
= 24
r
r
120
S/
~
~
=1 -
(x - 1)
=--
=1
=1
y' (1)
= - 1/
y" (1)
= 2/
y'" (1)
=-
yIV (1)
=
yV (1)
= -sI
3/
4/
Etcétera. -+ y
+ (x - zy -
(x -
=L(-1t(x-1t, n=l
en 0O
(a n + b n ) (x - xot
71=0
Para toda Ix - xol
0, esta serie converge por 10 menos en el intervalo O < x
O tal que la serie es absolutamente convergente para toda x que satisface Ixl < R y diverge cuando Ixl > R. Para encontrar la convergencia : Prueba de la razón. lím n-+ oo
c
I
xn+ll n+l n en
X
=L
donde L
r2 .
8) Según sean solución: rI -
r2
"*
rI
Y r2 hay tres casos con sus correspondientes formas de
entero 00
YI
=
X'·I
2::
Cn
xn,
co "* O
n=O 00
Y2
= XT2 2:: b n xn, bo"* o. n=O
YI
= xT ten xn, Co"*
O
n=O
Y2
=
00
YI
ln
X
+ xT 2:: bn xn. n=l
rI -
r2
= entero positivo
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7) Se obtiene la fórmula de recurrencia para obtener el valor de cada n = O, 1,2, . .. y se establece la serie solución.
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DE ECUACIONES
RESOLUCIóN
=
y¡
MEDIANTE
SERIES
AUTO EVALUACIÓN
Propiedades:
ec
XT¡
¿ cnxn,
=1=O
Co
cc
¿ b;
+X2
In x
y¡
r(I)
r(n
n=o
=k
Y2
DIFERENCIALES
T
r(-~
b, =1=O.
z",
2
n=O
y
y
= e¿ y¡
+ b¿ Y2
9) Para encontrar recurrencia la
será la solución
y¡ se usa el método T
general
por la
T¡
general
Autoevaluaciónl
en los tres casos.
anterior sustituyendo en la fórmula obtenida en la ecuación de índices.
de
1. Encontrar alrededor
la de
2. Escoger la op
~.:;~;
.
a) Variación
~
b) Directamente
.ii·~~:p,·,
..•,.'"
.~
probar el mismo o bien usar:
de parámetros
(todo
el proceso)
= y¡
la fórmula
Y2
coeficiente
de y'
coeficiente
de y
~., •• I,.,I!'·JI
donde
p(x)
=
..
procedimiento:
e-
J
SP(X)dX
dx
y/
"
e) Por diferenciación.
Ecuación de Bessel xV'
+
xy'
+ (r -
y
es el parámetro.
=O
y2) Y
sustituir
T2
en
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"
10) Para obtener Y2, se puede la fórmula de recurrencia,
radio de con
A . Conjunto B. Conjunto C. Conjunto D. Conjunto
3. Encontrar el
4. Calcular la s sión de 10-5:1
Solución: Si
y
=1= entero
y =
Si
y
= entero
y
=
C¡ ]
C
Jx)
+C
2 ]
_Jx)
J v (x) + C 2J v (x)
¡
f
e- SP(X)dx ] v
2(X)
5. Definir funci dx
6. Enunciar el mediante
ser
Función Garnrna Definición: Fórmula
r(n)
=
l'"
de recurrencia:
7. t'::' e=' dt r(n
+ 1) = n r(n)
Escoger la o y" + f(x)y'
A.
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ES MEDIANTE
SERIES
AUTOEVALUACIóN
417
6
Propiedades: r(1) = 1 r(n+1)=nf 1
r(-¡) =
ndo en la fórmula de ción de Índices. ento: sustituir rz en
Autoevaluación 6 1. Encontrar la serie de potencias correspondiente a la función alrededor de x = o.
y
= XZ e-X
2. Escoger la opción que contiene el conjunto de convergencia absoluta y el
L'"
radio de convergencia de la serie:
n:O
A. Conjunto
(-1,1)
R=1
B. Conjunto (-1,1]
R =1
C. Conjunto [-1,1)
R=1
D. Conjunto [-1,1]
R=1
xn --o
Vn
3. Encontrar el radio de convergencia de la serie:
t n=o
2nxn n
+2
4. Calcular la siguiente integral, mediante series de potencias con una precisión de 10-5:
i
l
o
sen x dx x
5. Definir función analítica en un punto. 6. Enunciar el teorema de existencia y unicidad de las soluciones obtenidas mediante series de potencias. 7. Escoger la opción que contiene la definición de punto singular regular de y" + f(x)y' + g(x)y O.
=
A. Es un punto en donde las funciones f(x) y g(x) no tienen, ni pueden tener una representación en series de potencias.
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es casos.
F
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418
RESOLUCIÓN
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
MEDIANTE
B. Es el punto Xo que al formar los siguientes productos g(x) (x - xof hace que sean analíticos en xO.
SERIES
f(x) (x - xo) y
AUTOEVALUACI,
11. Elegir la obtenida p
C. Es el punto Xo que al formar los siguientes productos f(x) (x - xof y g(x) (x - xo), hace que sean desarrollables en series de potencias.
A. Y
= Ca
D. Es el punto donde una ecuación tiene representación tencias, no importando punto.
si están definidas
en series de poo no las funciones en dicho
B. Y = Ca
+ ba(1
=
=
~;;;: "
e't~~~'
.'
la siguiente
ecuación
diferencial:
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8. Resolver mediante series de potencias y" + xy' y, alrededor de x o.
9. Seleccionar la opción que contiene la solución de la siguiente ecuación diferencial:
lr,:I,c1
•.
+ xy = x3 -
y"
e1~"··'
x +x----+--+
x
x
12
180
x3
x4
x6
6
12
180
3
A. y=co(1
4
6
+_3_X8_
+- - - +-
6
1-6+
1 3 __ X2 + -x5
=
2
40
a (1 -
6+
C
:x: _
+ 2"
- ... ) + Cl( -
9
x x 180-12960+'"
X3
D. y
40
:x: 2
3
+-
40
x5
+ ... )
X8
(
2
...
- 2:40
C. Y=Co
3
)
2240
B. y = Co (1 - x
1
:x: ",)+Cl(---X5
6
x3 ~X5
40
_
3 --XS_
2240
6
X
x'
x'
12- 504+'"
9
x_+ 12960
+_3
(
+c¡ -x+
)
= Ca
D. Y
= Ca
12. Dadas: la Con
rl
=
Encontrar
13. Escoger la tenida al
x2y" + 3xy
...
__
180
)
C. y
",)+Cl(-X+---+
x4
x7
12
504
... ) A. xV'
+
_
X7
2240
y =CO
10. Encontrar la ecuación de índices, la solución completa Yl y la forma general de la solución Y2 (método
xu"
de Frobenius)
+ (1
- x) y'
B. t2u"
de:
+ y =O
y=-
+
1
x
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419
AUTOEVALUACIóN 6
11. Elegir la opción que contiene la solución general de 5xy" obtenida por el método de Frobenius: A. y = Ca X 4 / 5 (1 - ~ 9
x B. y = Ca (1 - -
9
+ -x:- - --r- + .. .) + ba Yl In x 252
=
Ca
14364
12
X
D. y
9" +
4 5 X / (1
x:
xZ
252 -
14364
TI
+ ... ) + b a X
~ + ~ - ... ) + b a (I
-
9
252
+ 2ry =
12. Dadas: la ecuación xY" - y' Con
+ .. .)]
+ -r - ... )
- x
C. y = Ca (1 -
- x
O,
_
X
xZ
4 5 /
(1 - x
+ 12
- ... )
+ x: - ... ) 12
O
= 2, = O Y la solución: Tz
Yl=CaX• .2 ( l - -2 x '.- + -1- x 6 - -1- x9 15 180 8910
+ ...
)
Encontrar Yz. 13. Escoger la opción que contiene una ecuación de Bessel y su solución obtenida al reducir la siguiente ecuación: xZY"
+ 3xy' + (- ~ + r) y = 2
y
A. x:u"
y B.
=
~u"
O, usando las siguientes transformaciones:
u = -, x =t t
+ xu' + (x: - ~) u = Ca IV372(x)
o
Y
O, con solución:
+ Cl 1 _~x)
+ tu' + (f
3 - -) U 2
=
O, con solución:
u
=-
x
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+ ba(1
+ ... ) + ba[YlInx + (1
+ y' + y =
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420
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
C. ru"
y
+ xu' + (r - ~) u = 2
O, con solución:
1 = -[c o JV3i2 (x) + clJ._V312(x) X
D . fu" y =
+ tu' + (f - ~) u 2
Co
J 3/ i x)
= O,
f
dx(2 -J )i 3/ 2 x
con solución:
+ Cl J_ 3/ 2(X)
+ xy' + (l-r -1)y =
ry"
B. czfz(x)
+ c2flx)
x C. clJz(-) 4
16
O
dx --xJ/(x)
J J
+ c2Ji-x
dx x!/ (x / 4)
)
4
15. Encontrar la solución de la siguiente ecuación de Bessel: _.2 ;¡;
y"
+ xy , + (x 2 - -4 ) y = 9
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14. Esc oger la opción que da la solución de:
O
Respuestas de la autoevaluación 6
2. C. Como converge en x = - 1, las opciones A y B están erróneas, y como diverge en x = 1, las opciones B y D están mal.
3.
R=~ 2
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421
AUTOEVALUACIóN 6
4. 0.94608 5. Ver pág. 346 del texto. 6. Ver pág. 359 del texto. 7. B. La opción A define un punto singular irregular. La opción C tiene los
x:
x6
X4
8. y = co(1+-- - + --+ ... )+CIX. 2
24
240
9. C. Las opciones A y B toman de forma incorrecta la fórmula de recurrencia que debe ser: -C _ k
Ck
+2
(k
y 20 C s
.
1
+ 2) (k + 1)'
+ C2 =
k
=
1,2,4,5,6, ...
1 para k = 3.
La opción D tiene un error en el signo.
10. Ecuación de Índices car2 = O :.Yl =
t
m cmx , Y2=Yl lnx
+
m= O
y Yl
=
t
bmx
m
m=l
ca(l - x).
11. D. Las opciones A y B suponen que Como
1'1 -
T2
4 5
1'1 -
4 entonces Yl = 5
= - - O= -
La opción C contiene el error de poner
12 • Y2
= ba (1
- -2 X3 3
T2 -=1=-
+ -1
18
6 1 9 X - -- X 567
+
) Oo'
TI
X
número fraccionario. 4j5
~ cmx
en la Y2 y
m
1'2
en la Yl'
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factores intercambiados. La opción D no analiza el caso de la singularidad para ver si es removible.
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422
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
13. B. La opción A no tiene expresada correctamente la ecuación de Bessel, pues aunque sí tiene la forma, tiene la variable incorrecta en la solución : falta dividir entre x. La opción C supone que el parámetro es urr entero. La opción D no toma la raíz de y2 y no divide entre x como sugiere la
transformación usada.
14. C. La opción A no toma bien el parámetro y no transforma la ecuación a una de Bessel.
La opción D no toma bien el parámetro.
15. Y
= cJz/i x ) + el _2/lx)
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La opción B tampoco hizo la transformación.
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423
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BIOGRAFíA
Federico Guillermo Bessel (1784-1846)
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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
Federico Guillermo Bessel
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Esencialmente astrónomo, Federico Guillermo Bessel alcanza, sin embargo, cierta notoriedad también en matemáticas. Nacido en Rusia, pero de nacionalidad alemana, consigue el puesto de director de un observatorio a los 26 años, al tiempo que se convierte en amigo del gran Gauss. En tanto que astrónomo recopila datos observacionales y forma un catálogo de estrellas. Es el primero en calcular la distancia de la Tierra a una estrella (61 del Cisne), explicando que el aparente movimiento de ésta se debe, en realidad, a la rotación de nuestro planeta alrededor del Sol. Graci~s a un heliómetro de su fabricación, detecta unas perturbaciones en la órbita de Sirio y Proción y prevé la existencia de compañer·os para esas estrellas. En matemáticas establece la ecuación diferencial que lleva su nombre, al estudiar el movimiento de cuerpos celestes y, resolviéndola, crea las famosas funciones de Bessel. Su aseveración en cuanto a los compañeros de Sirio y Proción resulta verificada poco después de su muerte, acaecida en 1846.
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425
COMENTARIOS
Si hay quien lo sabe, yo lo sé más que ese, y si lo ignora, más que ese lo ignoro. Lucha entre este saber y este ignorar es mi vida, su vida, y es la vida . . . Juan Ramón Jiménez.
Rompecabezas
=
Un tipógrafo compuso X acba en vez de X = acb a . Pero, ¡oh sorpresa!, el número X no se alteró. ¿Cuál es ese número? Solución: X = 2592
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Comentarios
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RESOLUCIóN
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
MEDIANTE
SERIES
COMENTARIOS
Problema
t.
."•., "
,.'l'.i~\1J'
trtJ:~f.JP
PARADOJAS
-"
..
l,t"ft:~LI
¡!I"..s.~.~1
1 Si 1 - 2
1
1
1
+ -3 - -4 + -5 - -6 + ... = ln 2
reordenando
ln 2
1
obtenemos: 1
1
1
3
5
246
1
1
= (1 + - + - + ...) _ (_ + _ + _ + ... ) =[(1
=1
11
111
+-+-+ 35 1
1
2
345
... )]-2(-+-+-+ 246
6
11111
+r+x +x +
entonces
Euler probó
3
1
4
1- x
para x 1+2
¿Es posible
este resultado
Representa e del Verbo en adaptación, 1 número 6 es guientes virt
1. Dar h 2. Propof 3. Instrui
4. Vivir 5. Ser to 6. Dedic
Numeración
1
...)=0
= O.
Si 1 + x
oo.)
Propiedades
-
111
+-+-+_+_+_+
-(1+-+-+_+_+_+ 2 3 456 ln 2
111
oo.)+(-+-+-+ 246
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Los pasatiempos y las paradojas fueron ya populares en la antigüedad; los hombres de todas las épocas agudizaron su ingenio con los juegos. Sabemos que Kepler, Pascal, Fermat, Leibníz, Euler, Lagrange y otros, dedicaron mucho tiempo a solucionar rompecabezas. Las investigaciones en el campo de los pasatiempos matemáticos surgen de la misma curiosidad, están guiadas por los mismos principios y requieren las mismas facultades que los estudios relacionados con los descubrimientos más profundos de las matemáticas puras.
Supongamos una cuerda q de la soga pe cuerda. ¿Qué
= 2 y quedó
sorprendido
+ 4 + 8 + 16 + ... =
o tiene algún
"pequeño"
del resultado: -1 error?
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COMENTARIOS
427
Problema Supongamos que un mono de 10 kg de peso cuelga de uno de los extremos de una cuerda que pasa por una polea, en un tiempo t O; del otro extremo de la soga pende un peso también de 10 kg. El mono decide trepar por la cuerda. ¿Qué es lo que sucede y cuál es la ecuación representativa del proceso?
=
Representa el principio de movimiento y de reposo. Simboliza la actuación del Verbo en cada ser, la aptitud generativa, la concordia, la estabilidad, la adaptación, la ten.tación y la virtud que la resiste. Según los pitagóricos, el número 6 es la panacea nupcial y para que lo sea, se deben ejercitar las siguientes virtudes: 1. Dar hospitalidad. 2. Proporcionar comodidad a los enfermos. 3. Instruir a los niños en edad temprana. 4. Vivir de acuerdo con la ley. 5. Ser tolerante con el vecino. 6. Dedicar una parte de cada día a la meditación y a la oración.
Numenición hindú (aprox. 200 a 300 A.C.)
- 1
2
o
7 4
7
10
20
T 100
1000
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Propiedades metafisicas del número 6
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428
RESOLUCIóN
DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
MEDIANTE
SERIES
5. (Por) En consecuencia, por Dificultad, obstáculo, inconveniente.
HORIZONTALES
tanto.
1. Series de forma cnxn. 6. Símbolo químico del sodio. Símbolo químico del Niobio. País de Asia Antigua, patria de los elamitas.
2. Compostura que se hace en el casco de la nave. Papá ... 3. Vocal. Donad.
Hijo de Dédalo.
7. Consonante. cal.
Imaginan,
piensan.
Vo-
4. Aspire, solicite. Vocal. 8. Habitantes enojo.
5. Abreviatura de universidad. Gran astrónomo alemán que trabajó las ecuaciones: x?y" + xy' + (x? - y2)y = O. ¡tl.i
6. Terminación de los alcoholes. ción. Vocal. Vocal. Vocal.
.'
"1~·1 .•'
Cólera,
9. Vocales. Reptil de piel escamosa, cuerpo y cola largos y extremidades cortas.
Nega-
10. Suma de los términos de una sucesión. Consonante. Nota musical.
ti:"'".,
·r"'¡·~~
Perú.
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.... ,.. •..~.,..~"
del antiguo
7. Matemático que desarrolló un procedimiento para resolver ecuaciones alrededor de puntos singulares mediante series.
11. Artículo neutro. Artículo singular. Pronombre personal.
femenino
8. Rey, en francés. El, en francés. Consonante. Connsonante. 9. Vocal. Cetáceo de hasta 10 m de largo, cabeza redonda, color azul por el lomo y blanco por el vientre; persigue a las focas y ballenas. Uno de los cuatro elementos básicos de la Naturaleza. 10. Conjunto de reglas o principios sobre una materia enlazados entre sí, Vocal en plural.
CRUCIGRAMA 1 1
2
3
4
5
6
7
8
•
• •
•
3
•
4
VERTICALES de capital. Vocal. Animal
2. Apócope de papá. Apellido novelista mexicano. Vocal.
7
de
un
3. Colocación de algo en el lugar que le corresponde. Corrientes de agua. 4. Miembro de los clérigos de San Cayetano. RT.
10
•
•
•
•
•
•
8 9
•
•
•
6 1. Abreviatura doméstico.
10 11
•
2
5
9
Transformación: cambio, variación, metamorfosis.
•
•
• • •
1ntroducción Nuestro
planeta
• Otras cíclicas:
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MEDIANTE SERIES secuencia, por , inconveniente.
tanto.
o del sodio. Símbolo País de Asia Antigua,
antiguo Perú.
Vo-
7
Cólera,
de piel escamosa, cuerxtremidades cortas.
Transformadas de Laplace
érminos de una suceta musical. . Artículo ersonal.
femenino
Transformación: cambio, variación, metamorfosis. Modificación: giro, mutación, metempsicosis.
RAMA 6
7
8
9
10 11
Transfiguración,
•
tú -
•
yo
conversión, pura "yo-tuosis" .
•
•
• •
Introducción Nuestro planeta
• •
• •
es el reino de las transformaciones, Semilla
~
Trigo
~
unas lineales: Pan
Otras cíclicas: Larva
•
Crisálida
Huevo
"
Mariposa [429]
,¿
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aginan, piensan.
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430
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Otras más, reversibles: ED
~
TL
~
EA
~
Sol. A.
~
TL _1
~
Solución de la ED.
Donde: ED = Ecuación diferencial TL = Transformada de Laplace EA = Ecuación algebraica racional
TL _1
=
Solución de la ecuación algebraica racional
= Transformada inversa
de Laplace
La TL tiene inversa, por eso se le llamó reversible.
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Sol. A.
Pierre Simon de Laplace estableció una transformación mediante la integral siguiente: Definición 7.1.. Transformada de Laplace. Sea f(t) una función definida para t ~ O; a la expresión : !l'{f(t)}
=
ioo e- st f(t) dt = F(s)
se le llama transformada de Laplace de la función f(t), si la integral existe.
Notación: !l'{f(t)} significa que el operador !l' se aplica a la función f(t) para generar una nueva función, llamada F(s) . EJEMPLO 1 Hallar !l' {e} donde e es un real; por definición: !l'{c}
=
ioo e- st e dt
= lim e {b e- st dt b
~
00
}o
e = blim ...,,,,
_:_st
1:
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431
INTRODUCCIÓN
_e - sb s
+1
= lim c -- - - b ~
= -es
00
para
s> O,
Nota, Para abreviar, la integral impropia se expresará sin la función límite, aunque naturalmente se sobreentiende,
Hallar: .P{t}, Por definición: .P(f(t)}
=
l'"
e-st t dt
usando integración por partes:
= _ ~ e-st I'" - ~ e - st \ '" . s
o
o
S
Veamos el primer término:
, - -t1tm se st
t -> '"
t + l'tm--, st t ->
o
se
Aplicando la regla de L'Hopital: -1
lim--st =O t -> '" s'le y el segundo límite también es cero (esto ocurrirá no importa la potencia a que esté elevada la variable t), Por tanto:
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EJEMPLO 2
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432
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
EJEMPLO 3 Hallar: 2W}. Por definición:
=
i'"
e-st t 2 dt
21'"
= _ _f e-st 1'" + _ s
o
s
te-st dt
o
= _ _f e- st 1'" + ~[_ ~e-st 1'" + ~ s
o
= _ _f e- st 1'" _ s
o
s
2t e-st s
s
1'o"
o
_ ~ e-st S
1'"
So
1'o"
2 = -0+-. S3
e-stdt]
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2{f}
Observamos, después de estos ejemplos, que la transformada de una constante es la constante dividida entre la variable s; la transformada de t es l/s2, 2 y la transformada de f es - . Entonces, podemos deducir, por la definición, S3
que:
2{tn } = ~ para n = 1,2,3, ... sn+l donde 01 = 1. EJEMPLO 4 Hallar: 2{eat }. Por definición:
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433
INTRODUCCIÓN
= - -1 - e-(S-a)t s-a
1
2'{eat } = - - , s-a
1'" = O + --1 s-a
o
s> a .
EJEMPLO 5 Hallar : 2'{cas w t}.
2'{cas w t}
=
Su "'e-st cas w t dt
= -
= _
~e-stcaswtl '" s
o
L'" e-stsenwtdt o
~e-stcoswtl'" + w e-stsenwt 1'" s
_ w
o
21'"
~
--+ (1
w s
+
o
S2
e-st cas w t dt
o 2
w
~
)
S'" e-stcaswtdt = -
_1-caswt 1'" sed o
o
+ -w--senwt \'" s" e st ,o
1
s
1
J'" o
e-st cas wt dt
=
s 2 1 +~ s2
s
Notamos que cuando t -+ 00, entonces: e-st -+ O Y cas wt, sen wt; por mucho que crezca t siempre están entre -1 y 1, limitados; por tanto, al crecer t sin límite, el cociente:
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Por definición:
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TRANSFORMADAS
Gas w t ,o e' t
INTRODUCCII
sen w t " , se acerca mas y mas a cero. est
La demostración
i. g, h
Sean
DE LAPLACE
rigurosa
definidas
la da el teorema: abierto 1 que contiene a a,
en un intervalo
E: 1 Y si
si f(x) ~ g(x) ~ h(x), x
lím f(x) y lím h(x) existen y son iguales a L, X""';Q
X-)Q
EJEMPI lím g(x) existe y es igual a L. X""
Hallar: ,
a
¡l'
r.(:';;::
..
~¡:.~' tl".:·II!:~
.'
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~
Por defi
Podríamos obviar esta dificultad, suponiendo que podemos encontrar la transformada de Laplace para eiat (lo cual puede demostrarse también para los complejos)
~'Iw4>~:i1
~
. !é'{e,wt}
= __1 ._
(ver' ejemplo
s - tw s
él
+ iw +w
2
iwt
y como sabemos que e imaginarias, se obtiene:
. !é'{e,wt}
s
-
i'"
4) .
+w
2
+t--i'"
w +w
2
= Gas w t + i sen w t, igualando las partes reales
= !é'{Gas w t + i sen w t} =
s+iw
él
y las
_
+w
2
En es mada:
y
s
!é'{Gas w t}
=
82
+w
!é'{sen w t}
=
S2
+w
2
w
2
SI
Teon función constant !é'{af(t) Demost.
EJEMPLO Hallar:
6
!é'{f(t)}
si f(t)
= {~
O~t
!é'{a f(!,
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435
INTRODUCCIóN
= _ ~e-st 1" = ~e-s. s
S
1
EJEMPLO 7 eat _ e-at Por definición: senh a t = - - - -
2
.P{senh a t}
=
1
1
2
2
_.P{e at } - _.P{r at }
1 (
-2
=
1
s-a -
a -2-
- 2'
s - a
1
s+a
)
s> lal ·
En este ejemplo, hemos aplicado una importante propiedad de la transformada : su linealidad. Teorema 1. La transformada de Laplace es un operador lineal: para cada función f(t) y g(t) cuya transformada d e Laplace exista y para cualesquiera constantes a y b, tenemos: .P{a f(t)
+ b g(t)}
= a .P{f(t)} + b .P{g(t)} .
Demostración: .P{a f(t)
+
b.g(t)}
= la" r
st [a f(t)
+
b g(t)] dt,
por definición de transformada
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Hallar: .P{senh a t}.
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436
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
= a loo e- st f(t) dt + b loo e- st g(t) dt, puesto que la integral también es lineal
= a Z{f(t)}
+ b Z{g(t)}
O
EJEMPLO 8
Z{e- 3t
+e+t 3
-
2}. 2}
+ ZW}
= Z{e- 3t }
- Z{2}, por linealidad,
usando los ejemplos 4, 3 Y 1 respectivamente: 1
31
2
S4
S
=--+--s -
+3 S4 -
+ 6s + 18 sys + 3) 6s
3
Transfonnada inversa de Laplace Definición 7.2. Transformada inversa de Laplace. Si .
29.
= et (3 f
2t
=
26. y/v +
y=--+2 24 6 et
=
+4
y(O)
t4
b) por las fórmulas básicas. 2l.
4
t cosh 2 t
+ t)
(-
= e-t
+ -1
t e='
2
1, y(O)
20. y'" - 4 y"
3
y(O)
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13. y" - 2 y'
sen t
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INTEGRACIÓN
DE LAS TRANSFORMADAS
22. y" - 4 y'
+ 13 Y = O
Respuestas:
= 1, y'(O) = O y" - 6 y' + 13 Y = 2 y(O) = 1, y'(O) = 1 y" - By' + 17 y = et y(O) = 1, y'(O) = 2 y" + 4 y' + 5 Y = t y(O) = 1, y'(O) = - 3 y(O)
23. 1 __ 1 e-2t _) 27 27
24.
25.
+ t) cosh 2 t
483
=. e2t (cos 3 t -
Y
= -132 + ¿t(11-cos 2 t 13
-10)sen 2 t 13
y
= -101 et + e4t (-109 cos t -
17 - sen t) 10
y
29 = e-2t(-cost 25 t
+--5 26. y/v
=O = y'(O) = y"(O) = O, =4
+ 29 y" + 100 y
y(O) y"'(O)
27. y/v _ 2 y'" +9y
+ 10y"
-
= y'(O) = O, = 1, y"'(O) = 2 y/v _ y = O y(O) = 2, y'(O) = - 1, y"(O) = 4, y'''(O) = - 2
Y
2· = t e' + 25 - et -
29. y'" - 2y" y(O)
6 e"
+ y'
Factores
complejos
30. y/v
+ 2 y" + y
y(O) y"(O)
s: a) complejos, 31.
= -4931e=' + -4
Y
= e2t + 4 cos t
Y
= t cos t -
Y
= cos 2 t + t sen 2 t
et -
cos t
+-
2
repetidos.
=O = y'(O) = O, = 2, y"'(O) = -
u" + By" + 16 Y = O y(O) y'(O)
2 - cos 3 t 25
y
- 2y =0
= 5, y'(O) = 2, y"(O) = O
4 -sen 5 t 105
3 - -sen3t 50
y"(O)
28.
4 25
= 21 -2 sen 2 t -
y(O)
7 e-2t + _e-3t 4
22 - -sent) 25
Y
1By'
=0
2 - sen 3 t) 3
y
sen t
+ t sen
2
= 1, = y"(O) = y"'(O) = O
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ADAS DE LAPLACE
t
sen t
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TRANSFORMADAS
32. y"
+y
= 2, y'(O) = 1
y(O)
33. y"
+ 9 Y = GOS3 t
= y'(O) = O
y(O)
34. y"
+ 25 Y = 2 sen. 5 t
y(O)
35. yN y(O)
.'
".,
1,'1'1
~¡;ti' 'o trf·lIIl,r,
.'
,#11
= sen. t
= 1, y'(O) = O
+ 2 y" + y = sen
t
= y'(O) = y"(O) = y"'(O) = O
1 - t Gas t 2
DE LAPLACE
+ -3
y
= 2 Gas t -
Y
1 = -tsen3t 6
Y
= Gas 5 t -
Y
= - sen t - - t Gas t - - t sen t
44 . .P{tésenw
I 1 - t Gas t 5
1
+~
25
3
1
8
8
8
En los siguientes ejercicios usar el teorema de la derivada para encontrar F(s).
l
sen 5 t
3
D
INTEGRACIÓN
sen t
2
45. .P{t e-t
Gas
Usando el teore
46. .P\ sen; t
2
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484
de la transformada
..0'\ e-
at
47 .
_
¡
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ORMADAS DE LAPLACE
t cos t
+ -3 2
INTEGRACIÓN
DE LAS TRANSFORMADAS
485
sen t
2w(s -1)
45. 2{t e=' cosh. t}
,s-Z
+ 2s + 2
(~+ 2sl 1 sen 5 t 25
+~
1 t cost - - t2 sen t
Usando el teorema de la integral de la transformada, hallar F(s).
I
46. 21 se~h t
B
~1
at
ada de la transformada
47.
e-
Respuestas: ~ln~
¡
e="
~
2
s -
1
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t cos t
ln s + b s+a 1
48. 21 Gasa t ~ Gasb t
~
-ln--2 S2
+b
2
+a
2
49. Demostrar:
50=
e-3t
_
e="
dt = ln2
t
50. Hallar:
J= o
s
Gas6 t - Gas4 t dt t
ln-
2 3
5I. Probar:
1= o
sen t --dt=t
1t
2
Os
ya 1
52. 2te:
4]4
1
S
- - tan- -. 2 4
En los siguientes ejercicios escoger la opción correcta. 53. y" - 6y'
'4f+96
7t
4 t/
3 A. -e
2
4t
+ By = 1 --e
2
-2t
1,
y(O)
= 1,
y'(O)
=7
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TRANSFORMADAS
486
B. ~ _ ~ 8
e2t
DE LAPLACE
e,
+ 21 e4t
4
e2!
8 D.~
C. 21 e4t _ ~ e2t 8 4 D . 1 --e
INTEGRACI
2
3 ae 10 +-e 4 8
+
57. y"
4t
A.-
5 4
1 1 A. _e3t - _e-2t 6 4
= se",
y(O)
13
B. ~
3
_e2t 60
-
= O, y'(O) = y"(O) = 1
+-e 10
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+ 4y
54. y'" - y" - 4y'
'j !~Il:1
•••,,"" ~I .,..~~I' '
B.
fl¡··· " ~¡'FI" I
,'1"",,1•
C.
4
-
+
_et
3
5
D. - e
t __
6
__
13
4
1 2t
e-2t
te=',
1
1
36
4
A. - e" __
e-2t
3 _e 4
60
55. y" - 4y=
B. te:"
+ _e 4
12
4
5 2t
12
1 2t + _e
_et
1
1 _e-2t
y(O)
e="
3 3t
+ _e
10
= y' (O) = O
+ te:"
+ -1 e-t
1
1
4
C. - e=" - _ e2t + te='
D e='
( 31 +"92) + 1
56. y" = Zte",
e 2t(
y(O)
36
-
~
2
-
D.
4"1
3
+
58. y"
A. e
B. e
e,
1
2
2
59. y" 21
4e-
= O, y'(O) = - 4
t) + ~ - ~ 7 1) -T+Tt
A. e2t (~ 2 B.
e2t
t
-
2
e
D. e
3
36
e.
+
A. 2
B. 2
e, u
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487
INTEGRACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS
D.
57. y"
2t
1)
l
7 \-:2t+-:2
-:21 {1
- 7te 2t (t - 1) ]
+ 36y = O, 5
A. _e 6t
4
y(O)
3 + _e -
= 2,
y/ (O)
=3
= 1,
Y/rO)
6t
4
1
.
B. - - GOS 6t - 2 sen 6t 2
+ -1
C. 2 GOS 6t
3 D. _e 6t 4
5 +~ e-
B.
=e
t
y(O)
,
(1710 GOS t + 10J...- sen ~/ 17
~ +~e
e- 2t (J...- Gas t _ sen 20 20 /
C. e- 2t
(J...- GOS t 20
D. e- 2t (J...- Gas t 10
59. y"
6t
4
58. y" + 4y' + 5y A. e _2t
sen 6t
2
+ y = cost, +-
B. 2 Gas t
+ -2
+ 17 sen 10
t sen t
1
C. - t sent 2 1
D. - sen t 2
+ -1
2
t) + ~ 10
= Y/rO) = O
t sen t
2
1
_ 17 sen ~ 20)
y(O)
1
A. 2t GOS t
t
10
t sen t
et
=O
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C. e
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488
TRANSFORMADAS
Usando
el teorema
de la derivada
DE LAPLACE
U sando
de la transformada:
A.
6s2 - 2 (s2 + q
B.
248- 24s3 (S2+ q
A.
i
C. 2lni
(s2 + 1/
lO
'/
.'
,#"
61. 2{f
GOSt
+f
sen t}
3 A. 2s - 6s
(s2 + 1/
2(S3 + 3s
2
B.
-
(S2 +
3s - 1)
1l
6s2 - 2 (s2 + q
c.
2(s D. (s2
+ II +q
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2 - 6s2
D.
No eJÓ
iB ln. i-
24s3 - 24s (s2 + q
C.
el teor
63. 2 \COSht
60. 2(t3sent}
~r.f.'1 .
INTEGRACIÓN
i
1 2
D. -ln-
s:
64.
B.
2 TI
C. -4
D.
TI -
t
Respuestas:
53. B. La o La o
62. 2{te
2t
A. B.
cosñ 3t}
conJ
s2+9 54. D. La o
(S2 - 91 s(s - 2/
+ 54(8-
[(8 - 21-
c.
s2 - 4s + 13 (~- 4s - 51
D.
2~ + 548 (s2 - 9y
9l
2)
pasa conti
55. D. La B, a tore
coefi
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INTEGRACIÓN
de la integral de la transformada:
Usando el teorema
63.
489
DE LAS TRANSFORMADAS
2·¡
cosht ~ cosh2t
A. No existe porque
¡
ln s, cuando s ~
00,
es
00
~-4
B. ln---
~-l
~-4
C. 2ln--
S2 -
1 D. -ln-2 64.
2¡sen A.
1
4
S2 -
=¡ 1
S2 -
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ADAS DE LAPLACE
tan=' 2s
1t 1t
B. - - tan- 2s 2 1t
C. -
4
D.
1
- tan=':s
1t -
tan::' s
Respuestas: 53. B. La opción A tiene el error de considerar ., L a operen condiciones
e
se o1Viidéo d e computar
C(O) --o H'(O)
2{I}
1
= O en vez de -.
s
La opción D aplica otras
iniciales.
54. D. La opción A tiene desordenados pasar al denominador
los coeficientes.
el factor s - 3; 2 {e3t}
La opción B olvidó 1 = ---. La opción
s-3
e
contiene los errores de A y B.
+ 1y~ La opción B, además de tener equivocados los coeficientes, no consideró los factores (s - 2) Y (s + 2). La opción e también tiene el error de A y los coeficientes intercambiados.
55. D. La opción A no considera el factor lineal repetido (s
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490
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
56. D. La opción A tiene intercambiados los paréntesis. La opción B, como t 1 la e, confunden los factmes y para e2t debe ser (2 - 2)' así como 1 7 para eo t debe ser - - - t. s 2
57. C. La opción A toma los factores complejos (s ± 6i) como reales (s ± 6). La opción B tiene intercambiados los coeficientes. La opción D tiene los errores de A y B.
59. C. La opción A supone que Q21 que Q11
= 1 Y debe ser
cero. La opción
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58. D. La opción A tiene intercambiados los coeficientes e incompleta la solución (falta el factor s - 1). La opción B no aplicó bien la fórmula, faltó multiplicar por 2 la exponencial. La opción e contiene los errores de A y B.
B supone
= 1 Y debe ser cero. La opción D supone que Q12 = ~4 y debe
ser cero.
60. C. La opción A contiene F"(s) en vez de - F'''(s) . La opción B no consideró el cambio de signo. La opción D contiene los errores de A y B. 61. B. Las opciones A y e tienen sólo 2'{f cas t} y 2'{f sen t} respectivamente. La opción D equivoca los signos del numerador.
62. C. La opción A está incompleta, le falta aplicar el primer teorema de traslación. La opción B toma 2'{t2 e2t cash 3t} . La opción D contiene los errores de A y B. 0
2
-
1
63. D. La opción A no considera el cociente In - - -, cuando o ~ 00, apli¿ - 4 cando la regla de L'Hopital queda In 1 O. La opción B no completó ro{cash t - t cash 2 t } adecuadamente la integral. La opción e da 4.;z;
=
64. B. La opción A considera que el resultado de la integral es 2 tan- 1 20 La opción
e
supone que es
res de A y C.
~ tan 2
_1
e
o. La opción D contiene los erro-
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491
FUNCIóN ESCALóN UNITARIO
Función escalón unitario Esta función es un elemento básico para representar fuerzas discontinuas o impulsivas, como las vibraciones en sistemas mecánicos o algunas situaciones en circuitos eléctricos. Definición 7.5. La función escalón unitario V (t - a) [o también Va(t)] se define:
Si a = O
= 1°1
t< a t ;::: a,
a ;::: O.
~
V(t)
= Vo(t) =
l
o t< 1
O
t ;::: O
U(t)
U(t)
•
1
a Figura 7.4
Frecuentemente esta función se presenta combinada con otras. Veámoslo en el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 1 Sea la función y = f(t) = t 2 Observar cuidadosamente las siguientes gráficas: a) f(t)=f!
b) f(t) = t 2 , t;:::O c) f(t -
31,
d) V (t - 3)
e) f(t - 31 V(t - 3), t;::: O
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V(t - a)
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492
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
FUNCIÓN ESCAL
EJEMPLO 2 Hallar la tran y
y
y
EJEMPLO 3
(b)
Yj
~
,,,-?,
.,
If'41
(t - 1) U(t - 1) = ~~_ 1
t t
(2 - t) U(t - 2) = lo2 _ t
t2
para
para.
t
t
>1 ~
>2
~
t-1
+2-t 1
l~-t
t3
para
t
>3
~
1 +3-t 4-t
(t-4)U(t-4)=
1~-4
t4
para
t >4
~
Ejercicios 7.4 Hallar la transfo
I
I
1. f(t)
= k[U(t
I
I
2. f(t)
= k U(t
I
I
3.
I
'1
t-] -
(3-t)U(t-3)=
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Similarmente trabajamos con los demás términos:
4. f(t)
= 1~
5. f(t)
=
t-4 +t-4
-O
t
r 1 1
2 3
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FORMADAS DE LAPLACE
TRASLACIÓN
SOBRE EL EJE T
t - 1 f(t)
¡
1
=
4-t O
e-S s-u:»:
1
2
¡ •
501
l rt
= (-sen
1
C.
t-«;« 3t,
t
D.
> 1t 47. Es t 1t
!t
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511
TRASLACIóN SOBRE EL EJE T
En los siguientes ejercicios eJcoger la opción correcta:
44. La transformada de f(t) = (-t viene dada por:
S2
.
. , f() 45 . L a f unClOn t =
12tt 2
B. t
2
~
V(t - 2)
2
t V(t - 2)
-
C. t2 V(t - O) - 2t V(t - 2) D. t 2 V(t - O)
46. La 2-
11:2 (e-
C
=
s
- t 2 ) V(t - 2)
+ 2 e-
1t-1 3t _ 5
t)= A. f( B. f(i)
+ (2 t
+
2S
está dada por:
1 7t
dada por: 46. A.
1 + e-TlS S2
+1
B. 1 - s e== S2 + 1
47.
B.
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SOBRE EL EJE T
TRASLACIÓN
e-
7TS
D.
(1 - s)
s2+1
7Ts
3
50. La 2-1 lse-2--'
I(t)
=
/,
+
r r
s
A.
513
1
¡
sen t
B. I(t)
=
cos t
está dada por:
t
< 1t/2
t
> 1t/2
t
TI
TI
TI
2
2
2
= Gas (t ....,. - ) V(t - -) = sen t V(t - -)
--
TI/ 2
Funciones periódicas Definición 7.7. Sea f(t) definida para toda t > O Y P periodo p f(t + p) f(t) .
>
O, f es periódica con
=
EJEMPLO 1 Sea
y
=
sen x
= sen (x + 2 TI) = sen x Gas 2 TI es periódica con periodo 2 TI.
y
+ Gas x sen 2 TI =
EJEMPLO 2 Sea
y(t)
=
1~
0< t
O 2{f(t - a) U(t - a)}
=
Transformada de una función periódica con periodo p 2{f(t)}
=
1 1 - e- sp
lP
e-st
o
f(t) dt
Teorema de convolución Si 2{f(t)}
21 i'
= it'(s)
y
2{g(t)}
f('t) g(t - 't) d't!
= G(s)
entonces
= 2{f} ~{g} = F(s) G(s).
Método para encontrar transformadas inversas cuando en el denominador hay: a) Factores lineales Sea ~
G(s) (s - a) (s + b)(s - e)
2- 1 {F(s)} Donde
= F(s)
= A e at + Be- bt + c eet
A -
G(a) H'(a)'
B _ G(-b) - H'( -b)'
C
=
G(e) H'(e)
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Integral de la transformada
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534
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
RESUMEN
b) Factores lineales repetidos G(s)
G(s)
H(s)
(s -
G(s) Q(s)=-(s-a/ H(s)
,
ay
5. sen
t4 t3 t2 ~ 2-1{F(s)} = ea! (A5 - + A4 - + A3 - + A2t 4! 3! 2! Q(a) A --
Donde
Q'(a) A ---
O!'
5 -
6.
Q"(a)
1! '
4 -
+ Al)
A ---
2! '
3 -
Q"I(a) A --2 -
3! '
c) Factores complejos para
=a
cada a
~ 2-
1
+ i~:
1G(s) ~ = 2e"'t (Ql
G(s)
Q(s)
GaS
=s _ a
+ i~
~t - Q2 sen ~t) G(a
H(s) ~ Y Ql, Q2 se obtienen
de Q(a
+ i~)
= (a
+ i~)
+ i'~) _
a
+ i~
d) Factores complejos repetidos Para y(t)
el caso m
= 2e
7t
[(Q11
=2
+ tQ21) GaS
donde Q( s) produce
~t -
Q21 y Q22
(Q12 + tQ22)sen ~t] y Q'(s)
produce
uJ
cos
QIV(a) A --1 -
7. senh
4!
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Sea F(s)=-=
8. eash
9. tn ea!
10.
ea!
s
11.
ea!
e,
12. t se
Q11 y Q12 13. tea
Tabla f(t)
de Laplace
de transformadas
2{f(t)}
1. 1
lfs
2.
t
1/S2
3.
r,
n
t", n>
4. ea!
= 1,2,3, .. , O
=--= F(s)
n!/sn+l
14. sen
15. sen
r (n)/sn+l 1
-s-a
16. sen
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RESUMEN
535 f(t)
w
sen wt S2
6.
F(s)
+ W2 S
Gas wt S2
+ 10
2
a
7. senh at
S2 _
a2
8. Gash at
9.tn eat ,
n=I,2,3, ...
nI
10. e at sen wt
w
11. e at Gas wt
s - a (s - a) 2 + w 2
12. t sen wt
13. t Gas wt
14.
sen wt - wt Gas wt
15. sen wt
16.
+ wt Gas wt
sen at senh at
2ws
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5.
!é'(f(t)}
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536
TRANSFORMADAS
DE LAPLACE
5. Escoger
Fórmulas
17.
e" f(t)
F(s -
18. (-ttf(t),
n
19.
f(n) (t),
20.
i
n
= 1,2,3,...
= 1,2,3,...
A.
a)
F(n) (s) snF(s) - sn-l feO) -
t
...
-
t":"
C.
(O)
s
f(t - a) U(t - a), a> O
22.
i
6. Resolver:
e-as F(s)
t
7. Hallar
F(s) G(s)
Autoevaluación 7 1. Usar la definición t
para
A.
t~l
la opción 1
(s
1
C.--
(s
(s -
la opción 1
+ 5/ 1
C.-s-S
a .sf{e-
}
de Laplace
de:
8. Escoger 1
A . -e 9
c.
ge
9. Hallar
10. Escoge A. 28
1
D.
s-5
A.
que contiene
St
B. _1_ s+5
+ 5y
3. Escoger
la transformada
O~tO
Y
En gener
donde n es e.
EJEMPL Obtener e Como el ~
T=
EJEMPL Hallar el a)
GOS
nx
b) sen 2n
c) sen
2
d) tan x
e) Const
Demostración:
~
+ T) = f(x). g(x + T) = g(x),
f(x
Para n = 0,
sen (x
1l
Definición 8.1. Función periódica. Sea f(t) definida para toda t T > O, f es periódica con periodo T
= f(x +
La función s + 2n) nor de todos
Las series trigonométricas son de la forma: ao
f(x)
= f(x),
f) tan-
x 3
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SERIES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES PERIóDICAS
549
pero f(x + 2T) = f(x + T) porque f es periódica con periodo T, entonces tenemos: f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = f(x + 3T) = ... = f(x + nT) D Para n = 0,
± 1, + 2, ± 3, + 4,
... , y
X E
R
Obtención del mínimo periodo
En general, el mínimo periodo ocurrirá cuando: periodo natural de la función
T =---------------------donde n es el coeficiente del ángulo.
EJEMPLO 1 Obtener el menor periodo de f(x)
= cos 2x.
Como el periodo de la función coseno es 2n 2n ~ T = --- = n 2 T = n , para f(x) = cos 2x.
EJEMPLO 2 Hallar el periodo menor de las funciones: a) cos nx b) sen 2nx
2nnx c) sen -- k d) tan x
e) Constante x f) tan-. 3
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La función sen x tiene periodos 2n, 4n, 6n, .. " ya que sen (x + 2n) = sen (x + 4n) = sen (x + 6n) = .. . = sen x. Sin embargo, el menor de todos ellos es 2n.
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550
SERIES DE FOURIER
a) El periodo de la función coseno es 2n
T
=2
es el periodo de f(x)
= cos nx.
b) El periodo de la función seno es 2n -+
T
= 2n = 1 2n
= 1 es el periodo de f(x) = sen 2nx.
T=~=~ 2nn
n
k 2n nx
k
T = --;; es el periodo de f(x) = sen - -k - o d) La función tan x tiene periodo T =n. e) La función constante tiene cualquier número positivo como periodo, por tanto no tiene periodo mínimo. f) Como la función tan x tiene periodo n
-+
T = ~=3n. 1/3
EJEMPLO 3 Podemos convertir en periódica una función que de por sí f(x) = eX para - n < x < n y f(x) = f(x + 2n)
nO lo sea:
Su gráfica es:
~----~--~r---~----~----~--~------+
1t
31t
1t
F igura 8.1
x
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c)
T
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SERIES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES PERIóDICAS
551
Integrales que se utilizan frecuentemente:
f f
sen nx dx
~
= -
~ sen nx + G
GOS nx dx =
x sen nx dx
x n
1
= - 2 sen nx - - GOS nx + G n
1
x GOS nx dx = - 2 GOS nx n
f f J
X2
X2
+ (-3 - -) GOS nx + G
2x GOS nx dx = - GOS nx
+ (- -
eax sen bx dx
J J J f
x n
+ - sen nx + G
2x sen nx dx = - 2 sen nx n
~
sen nx GOS nx dx =
J
+G
GOS nx
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f f
2
X2
n
n
X2
n
~ sen
2
nx
2n
2 -3) sen nx n
+G .
+G
= e= (a sena bx+-b b GOS bx) + G 2
2
eax (a GOS bx - b sen bx)
e ax GOS b x dx =
a2
sen mx sen nx =
+b
sen (m - n) x
.
2 (m - n)
sen mx GOS nx dx = -
GOS mx GOS nx dx =
.+ e
2
-
+ n) x 2 (m + n)
sen (m
Gos(m - n)x 2 (m - n)
sen (m - n) x 2 (m - n)
+
-
-1- G
+ n)x +G 2 (m + n)
Gos(m
+ n) x +G 2 (m + n)
sen (m
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552
SERIES DE FOURIER
Ejercicios 8.1 1. De las siguientes funciones periódicas hallar tres periodos que les correspondan:
a)
GOS
2x
x e) sen-
d) sen 2x
f) Gas 3x
x
c)
b ) Got x
GOS
2
Respuestas: a) 2n, 4n, 6n, .. . b), c), d) n, 2n, 3n,
2n 4Tt
3' 3'
f)
2n, .. .
2. Encontrar el mínima periodo de las siguientes funciones: a) sen x
c) tan x
e) sen2x
g) sen 2nx
i) sen 3nx
b) Gas x
d) Got x
f) Gas 2x
h) Gas 2nx
j) Gas 4nx
Respuestas: a), b) 2n c), d), e), f) n g), h) 1
2 3
i)
1
j)
2
3. Graficar las siguientes funciones en el mismo sistema de coordenadas : 1
a) Gas x, Gas x
+
b) sen x, sen x
+-
-Gas2x, Gas x
+
1
-Gas2x
x = 4'
-n
1
-
2 2 3 1
sen 3x, sen x
1
+-
sen 3x
1
+-
3 3 5
Graficar las siguientes funciones:
4. f(x)
+