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• Apaza Suyo Edson

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"AÑO DE LA LUCHA CONTRA LA CORRUPCIÓN E IMPUNIDAD"

FACULTAD

: ING QUIMICA Y METALURGICA

E.A.P

: ING METALURGICA

CURSO

: ECUACIONES DIFERENCIALES

DOCENTE

: RAVINES MIRANDA Santiago Pedro

TEMA

: Circuito eléctrico simple y Ley de enfriamiento de la temperatura de newton

CICLO

: III

ALUMNOS

: Apaza Suyo, Edson Requiz Suloaga Francis Sánchez Calixto Junior Sotelo de la Cruz Yuri Vásquez Chávez Luis

INTRODUCCIÓN Todo cambio de estado significa un cambio en la cantidad de la energía del sistema, sea este mecánico, térmico o eléctrico. Como el suministro o la disipación de energía no puede realizarse con amplitud infinita este cambio requiere un tiempo determinado. Se pasa de un estado al otro en forma gradual, el tiempo de transición se denomina período transitorio. Una vez que el sistema se estabiliza en el nuevo estado se dice que se encuentra en su período estacionario, de régimen o forzado. En todos los casos esa "inercia" en responder es debida a la presencia de elementos capaces de almacenar energía: una masa, un resorte, etc. Nuestro estudio se referirá a los circuitos eléctricos, pero podremos observar la semejanza que existe con otros sistemas. Esta es la base de la computación analógica para el estudio de sistemas dinámicos. Las ecuaciones diferenciales de los circuitos eléctricos simple Dado que hemos considerado que los elementos de las redes serán lineales, bilaterales e ideales, surge que los parámetros L, C y R son constantes, y por ello las ecuaciones diferenciales de los circuitos serán a coeficientes constantes, y en ellas son aplicables los teoremas de linealidad y superposición. Ya que las ecuaciones diferenciales representan circuitos pueden aplicarse los conceptos de estímulo y respuesta. El tipo más simple de estímulo para una red es el provisto por la energía acumulada inicialmente en los elementos del circuito (inductancias y/o capacitores). Esta energía hace que la corriente circule, pero a medida que esto ocurre la energía es disipada en las resistencias, si existen, por lo que, con el tiempo, decrecerá hasta cero. La respuesta de una red excitada por almacenamiento inicial de energía y luego dejada en libertad es una característica de la misma y es denominada comportamiento natural, o respuesta transitoria, porque las corrientes y tensiones (que constituyen la respuesta) decrecen a cero luego de cierto tiempo. También se la conoce como comportamiento libre (no forzado) ya que es producido en el circuito en sí, sin ninguna fuente externa. Desde el punto de vista matemático el comportamiento natural de un circuito es la solución de la ecuación diferencial con todas las fuentes igualadas a cero. A esta solución se la denomina función complementaria u homogénea. La respuesta de un circuito a una excitación por una fuente impulsiva es muy similar al comportamiento natural. El impulso existe sólo entre t = 0- y t = 0+. Antes y después de este intervalo es cero, tal como sería para obtener la función complementaria de la ecuación diferencial. La única forma por la cual el impulso afecta al circuito es almacenar (o extraer) energía durante el período de existencia. Es decir que, luego de pasado el impulso, la energía almacenada produce el comportamiento natural.

La respuesta de un circuito a la excitación por la función escalón puede encontrarse por integración de la respuesta a un impulso. El teorema de la linealidad se extiende a la integración y a la diferenciación del estímulo y de la respuesta, ya que son operaciones matemáticas lineales. Alternativamente, la respuesta puede obtenerse directamente de la ecuación diferencial apropiada. En este caso un valor final, o solución estacionaria, existe, es proporcional a la excitación y no decrece a cero con el tiempo. El valor estacionario es simplemente la solución para el circuito en t = + y es idéntica al valor de corriente continua. La solución completa de una ecuación diferencial de circuito es la suma del comportamiento natural y la solución estacionaria. La solución estacionaria por sí misma no satisface las condiciones iniciales (t=0+) en el circuito. La solución transitoria provee una transición suave desde el estado energético inicial del circuito, representado por los valores iniciales de las corrientes y tensiones, al estado energético final representado por valores finales de las corrientes y tensiones. Una excitación más general puede descomponerse en un tren de impulsos o escalones y tratar el caso por superposición. Es posible también resolver directamente la ecuación diferencial correspondiente a la excitación general. En este caso la solución completa de la solución diferencial es la solución transitoria más una solución que es del mismo tipo que la excitación. Esta última se conoce también como solución estacionaria, aunque no es una constante. Un término más adecuado es el de solución forzada. Matemáticamente esta solución es llamada la integral particular de la ecuación diferencial.

DEDICATORIA El trabajo de investigación lo dedicamos a nuestros padres; a quienes les debemos todo lo que tenemos en esta vida. A Dios, ya que gracias a él tenemos esos padres maravillosos, los cuales nos apoyan en nuestras derrotas y celebran nuestros triunfos A nuestros profesores quienes son nuestros guías en el aprendizaje, dándonos los últimos conocimientos para nuestro buen desenvolvimiento en la sociedad.

LA DEFINICIÓN DE UN CIRCUITO SIMPLE Un circuito eléctrico simple consiste en tres elementos principales: una fuente de corriente de cableado y una carga eléctrica. La fuente de corriente provee energía, el cableado lleva la energía a la carga y esta usa la energía. La electricidad fluye en un lazo continuo desde la fuente a la carga ida y vuelta. FUENTE La fuente de la electricidad puede ser una batería, una fuente de poder de corriente directa (DC), o una corriente alternativa (AC) de la grilla de energía. En un circuito simple, la fuente tiene las conexiones, una fuente de corriente y un camino de regreso. CABLEADO El cableado conduce la electricidad de la fuente a la carga ida y vuelta. El cableado está hecho de cobre o aluminio, y generalmente se aísla para evitar choques y corto circuitos. CARGA Una carga eléctrica consume energía eléctrica y hace algo útil. Una carga puede ser un motor, una bombilla, una televisión o una tostadora. La carga puede no usar toda la energía que la fuente provee, pero no puede usar más energía de la que provee la fuente. LEY DE OHM Una relación matemática breve gobierna a los circuitos simples. La Ley de Ohm dice que el voltaje a través de una carga iguala a la corriente a través de la carga multiplicada su resistencia. Si sabes dos de estos tres elementos (voltaje, corriente o resistencia) el tercero puede determinarse fácilmente. ¿QUÉ ES UN CIRCUITO ELÉCTRICO? Se denomina así a la trayectoria cerrada que recorre una corriente eléctrica. Este recorrido se inicia en una de las terminales de una pila, pasa a través de un conducto eléctrico (cable de cobre), llega a una resistencia (foco), que consume parte de la energía eléctrica; continúa después por el conducto, llega a un interruptor y regresa a la otra terminal de la pila. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO - Generador de corriente eléctrica (pila o batería): Fuente de energía que genera un voltaje entre sus terminales logrando que los electrones se desplacen por el circuito. - Conductores (cables o alambre): Llevan la corriente a los demás componentes del circuito a través de estos cables. Los cables están formados por uno o más alambres hechos de un material conductor.

- Interruptor: Dispositivo de control, que permite o impide el paso de la corriente eléctrica a través de un circuito, si éste está cerrado y que, cuando no lo hace, está abierto. - Receptores: Son los encargados de recibir y transformar la energía eléctrica en otro tipo de energía. Un receptor se caracteriza por su resistencia óhmica. Consume energía eléctrica aportada por la fuente de tensión, y la transforma en otra forma de energía, produciendo un efecto útil como puede ser luz, calor, etc. Un ejemplo de receptor son las ampolletas, que transforman la energía eléctrica en energía radiante. Otro ejemplo es un motor eléctrico, que transforma la energía eléctrica en energía cinética. - Resistencia eléctrica se define como la mayor o menor oposición que presentan los cuerpos al paso de la corriente eléctrica. Es decir, la dificultad que opone un conductor al paso de la corriente eléctrica. Se representa por “R” y su unidad es el Ohmio (Ω). Los elementos de un circuito se combinan de diferentes maneras. Estos deben formar una trayectoria cerrada para que la corriente eléctrica pueda circular. Existen otros dispositivos de control llamados fusibles (tapones automáticos), que pueden ser de diferentes tipos y capacidades. Un fusible es un dispositivo de protección tanto para ti como para el circuito eléctrico. Sabemos que la energía eléctrica se puede transformar en energía calórica. Hagamos una analogía, cuando hace ejercicio, tu cuerpo está en movimiento y empiezas a sudar, como consecuencia de que está sobrecalentado. Algo similar sucede con los conductores cuando circula por ellos una corriente eléctrica (movimiento de electrones) y el circuito se sobrecalienta. Esto puede ser producto de un corto circuito, que es registrado por el fusible y ocasiona que se queme o funda el listón que está dentro de él, abriendo el circuito, es decir impidiendo el paso de corriente para protegerte a ti y a la instalación. TIPOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS Dependiendo de la manera en que se conectan los componentes de un circuito, estos pueden estar conectados en serie, en paralelo y de manera mixta, que es una combinación de estos dos últimos. Circuito en serie - Los componentes están conectados de modo que las cargas eléctricas circulan por un solo trayecto. - La corriente eléctrica es la misma en cada componente - Si conectamos varias ampolletas en serie, estamos aumentando la resistencia, por lo que, como resultado, disminuye la corriente eléctrica y la intensidad de luz en cada ampolleta baja notoriamente.

- Una desventaja es que, si se corta el paso de corriente en cualquier punto del circuito, cesa la conducción, lo que provocaría que todas ampolletas se apaguen. Circuito en paralelo - Los componentes están conectados de modo que se presenta más de un camino para el paso de las cargas eléctricas. - Cada ampolleta está conectada directamente a la pila, de modo que todas tienen el mismo voltaje. - Al aumentar la cantidad de ampolletas en paralelo, no aumenta la resistencia, sólo disminuye la corriente, por lo que cada ampolleta brilla con igual intensidad. - Los circuitos de nuestras casas son en paralelo, de modo de conectar distintos aparatos eléctricos que requieren distinta corriente para funcionar - Cada aparato eléctrico presenta a su vez un interruptor y puede prenderse o apagarse independientemente del resto. Viaje de los electrones Una corriente eléctrica es un flujo de electrones que circulan a través de un material conductor. Se define también como el transporte de carga eléctrica de un punto a otro. Como debes saber, en este tipo de circuitos, los electrones viajan desde el polo negativo al polo positivo, tal como lo muestra el siguiente esquema. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Calcular la corriente total que circula en el siguiente circuito con resistencia en serie, y considerando que la fuente es de 120 voltios.

2. En el circuito mostrado determine la intensidad de corriente eléctrica que suministra la batería.

3. Circuito eléctrico en paralelo, hallar la corriente en cada una de las resistencias.

4. Circuito eléctrico mixto- serie paralelo. Hallar la resistencia equivalente total y la intensidad total.

5. Hallar las resistencias voltajes que hagan falta.

LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON La experiencia ha demostrado que, bajo ciertas condiciones, una buena aproximación de la temperatura de un objeto puede ser obtenida utilizando la ley del enfriamiento de Newton, a saber: la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia entre el medio y el cuerpo. Aquí supondremos que la constante de proporcionalidad es la misma cuando la temperatura aumenta o disminuye. Por ejemplo, suponga que un termómetro, que ha presentado una lectura de 700 P en el interior de una casa, es colocado fuera, donde la temperatura del aire es de 10°F. Tres minutos más tarde se descubre que la lectura del termómetro es de 25°F. Deseamos predecir las temperaturas en varios instantes posteriores. Sea u (OP) la temperatura del termómetro en el tiempo t (minutos); el tiempo será medido desde el instante en que el termómetro es colocado en el exterior. Tenemos que cuando t = O, u = 70 y cuando t = 3, u = 25. De acuerdo con la ley de Newton, la velocidad de cambio de la temperatura con respecto al tiempo, du/dt, es proporcional a la diferencia de temperatura (u - 10). Ya que la temperatura del termómetro está disminuyendo, es conveniente seleccionar (- k) como la constante de proporcionalidad. Así la u será determinada a partir de la ecuación diferencial:

𝑑𝑢/𝑑𝑡 = − 𝑘 (𝑢 − 10), y las condiciones de que: 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 𝑂, 𝑢 = 70. 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 3, 𝑢 = 25. Necesitamos conocer la lectura del termómetro en dos instantes diferentes ya que hay dos constantes por determinar, k en la ecuación (1) Y la constante "arbitraria" que aparece en la solución de la ecuación diferencial (1). De la ecuación (1) se deduce de inmediato que: u = 10 + C𝑒 −𝑘𝑖 . Entonces la condición (2) conduce a 70 = 10 + e, de lo cual e = 60, de modo que tenemos: u = 10 + 60𝑒 −𝑘𝑖 Ahora el valor de k será determinado usando la condición (3). Poniendo t = 3 y u = 25 en la ecuación (4), obtenemos: 25 = 10 + 60𝑒 −𝑘𝑖 1 1

1

4

3

de lo cual 𝑒 −3𝑘 = , de modo que k = In 4. Por lo tanto, la temperatura está dada por la ecuación: 1

u = 1O+60exp( tln4). 3

Ya que In 4 = 1.39, la ecuación (5) puede ser remplazada por u = 10 + 60 exp (- 0.46t).→

PROBLEMAS DE APLICACIÓN: 1. Un cuerpo que tiene una Temperatura de 70 °F es depositado (en el tiempo= 0) a un lugar donde la Temperatura se mantiene a 40 °F. Después de 3 minutos, la temperatura del cuerpo ha disminuido a 60 °F. a) ¿Cuál es la Temperatura del cuerpo después de 5 minutos? b) ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50 °F? SOLUCIÓN: Si T(t) es la temperatura del cuerpo en °F después de t minutos, entonces la ecuación diferencial que modela a T(t) es:

𝑇 ´ (𝑡) = 𝑘[𝑇(𝑡) − 𝑇𝑎] Donde Ta = 40 °F es la temperatura fija del medio circundante. Las condiciones adicionales son T(0) = 70 y T(3)= 60 Luego, la temperatura T(t) está dada por la solución del PVI:

𝑇 ´ (𝑡) = 𝑘[𝑇(𝑡) − 40]. Con T(0) = 70 y además T(3) = 60. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑑𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 40) → = 𝑘𝑑𝑡 → ∫ = 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 → 𝐿𝑛(𝑇 − 40) = 𝑘𝑡 + 𝐶 𝑑𝑡 𝑇 − 40 𝑇 − 40 → 𝑇 − 40 = 𝑒 𝑘𝑖 + 𝐶 → 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑖 + 40 Ahora: T(0) = 70 T(0) = C𝑒 𝑘0 + 40 = 70 C + 40 = 70 𝐶 = 30 Por lo que: T(t) = 30 𝑒 𝑘𝑡 + 40, entonces: 60−40 2 T(3) = 60 → 30 𝑒 3𝑘 + 40 = 60 → 𝑒 3𝑘 = 30 = 3 2

1

2

→ 𝐿𝑛 𝑒 3𝑘 = 3k = Ln (3) → K = 3Ln(3) ≈ −0.1352 Luego: T(t) = 30 𝑒 −0.1352𝑡 + 40 a) ¿Cuál es la Temperatura del cuerpo después de 5 minutos? T(5) = 30 𝑒 −0.1352(5) + 40 = 55.2594 → T(5) ≈ 55.26 °F b) ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50 °F? T(t) = 50 → 30 𝑒 −0.1352𝑡 + 40 = 50 → 𝑒 −0.1352𝑡 =

50−40 30

10

= 30 =

1 3

1 𝐿𝑛3 1.0986 → −0.1352𝑡 = 𝐿𝑛 ( ) = −𝐿𝑛3 → 𝑡 = = ≈ 8.1258 𝑚𝑖𝑛. 3 0.1352 0.1352

2. Un termómetro en el que se lee 70 °F se coloca en un lugar donde la temperatura es 10 °F. Cinco minutos más tarde el termómetro marca 40 °F. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que el termómetro marque medio grado más´ que la temperatura del medio ambiente? Sea 𝑇 (𝑡) la temperatura (𝑒𝑛°𝐹) del termómetro en el instante 𝑡 ≥ 0 min. Observamos que 𝑇 (0) = 70 , Ta = 10 y T (5) = 40: El PVI por resolver es

𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 10). 𝑐𝑜𝑛 𝑇(0) = 70 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑇(5) = 40 𝑑𝑡

La solución es 𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎 + 𝐶𝑒ᴷᵗ → 𝑇(𝑡) = 10 + 𝐶𝑒ᴷᵗ

Utilizamos la condición inicial:

𝑇(0) = 70 → 𝑇(0) = 10 + 𝐶𝑒ᴷ⁽⁰⁾ = 70 → 𝐶 = 60 → 𝑇(𝑡) = 10 + 60 𝑒ᴷᵗ

La segunda condición nos permite calcular K:

𝑇(5) = 40 → 𝑇(5) = 10 + 60𝑒 5 ᴷ = 40 → 𝑒 5 ᴷ = 0.5 →= 𝑙𝑛(0.5) → 𝑘 =

≈ −0.1386

𝑙𝑛0.5 5

En conclusión: 𝑇(𝑡) − 10 + 60𝑒‫־‬⁰’¹³⁸⁶

Sea t₁ el minuto en que 𝑇(𝑡₁) = 10.5 °𝐹: 𝑇(𝑡₁) − 10 + 60𝑒‫־‬⁰’¹³⁸⁶ᵗ − 10.5 → 𝑒‫־‬⁰’¹³⁸⁶ − → (0.1386)𝑡1 = 𝑙𝑛(0.0083) → 𝑡1 =

0.5 → 60

𝑙𝑛0.0083 ≈ 34.57 𝑚𝑖𝑛 −0.1386

Por lo tanto, el tiempo que debe transcurrir para que el termómetro marque medio grado más que la temperatura ambiente es t₁ ≈ 34 minutos, 34 segundos. 3. Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior donde la temperatura en 5°F.Despues de 1 min el termómetro marca 35°F y después de 5 min marca 30°F. ¿Cuál era la temperatura del termómetro en la habitación? Sea 𝑇(𝑡) la temperatura (en °F) del termómetro en el instante 𝑡 ≥ 0 min. Tenemos: 𝑇₀ = 5, 𝑇 (1) = 55, 𝑇 (5) = 30&𝑇 (0) = 𝑇₀ , que es la temperatura a determinar.

Al resolver la ED, resulta:

𝑇(𝑡) = 𝑇₀ + 𝐶𝑒ᴷᵗ → 𝑇(𝑡) = 5 + 𝐶𝑒ᴷᵗ

Usando la condición inicial:

𝑇(0) = 𝑇₀ → 5 + 𝐶𝑒ᴷᵗ = 𝑇₀ → 𝐶 = 𝑇₀ − 5 → 𝑇(𝑡) = 5 + (𝑇₀ − 5) 𝑒ᴷᵗ

Usando ahora las dos condiciones dadas:

𝑇(1 ) = 55 → 5 + ( 𝑇₀ − 5) 𝑒ᴷ = 55 → ( 𝑇₀ − 5) 𝑒ᴷ = 50 → 𝑇₀ − 5 = 50𝑒‫־‬ᴷ (3.1) 𝑇(5) = 30 → 5 + ( 𝑇₀ − 5) 𝑒⁵ᴷ = 30 → ( 𝑇₀ − 5) 𝑒⁵ᴷ = 25 → 𝑇₀ − 5 = 25𝑒‫־‬⁵ᴷ (3.2)

Las expresiones (3.1) y (3.2) conforman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (T₀ y K). Entonces, por igualación:

50𝑒‫־‬ᴷ = 25𝑒‫־‬⁵ᴷ (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒^5 ᴷ) → 50𝑒⁴ᴷ = 25 → 𝑒⁴ᴷ = 0.5 → 4 = 𝐿𝑛(0.5) 𝑘 = (𝑙𝑛(0,5))/4 = −0.1733 → 𝑘 ≈ −0.1733 Utilizando el valor de k en (3.1):

𝑇₀ − 5 = 50 𝑒‫־‬ᴷ → 𝑇₀ = 5 + 50𝑒⁰’¹⁷³³ → 𝑇₀ = 64.46 °𝐹 Es la temperatura que marcaba el termómetro en la habitación.

4. Una taza de café cuya temperatura es 190° F se coloca en un cuarto cuya temperatura es 65°F.Dos minutos más tarde la temperatura del café es 175°F .¿Después de cuánto tiempo la temperatura del café será 150°F.? Sea T(t) la temperatura (en °F) del café en el instante t ≥0 min.Observamos que T(0)=190.T.=65 y T(2)=175 El PVI por resolver es 𝑑𝑇 𝑑𝑡

=K(T−65). Con T(0)=190 y además T(2)=175

para determinar la temperatura del café en cualquier instante ≥ 0min. Sabemos que T(t)= T® + 𝐶𝑒 𝐾𝑇 → T=65 + 𝐶𝑒 𝑘𝑇 Usando la condición inicial , tenemos: T(0)= 190 → T(0) =65 +𝐶𝑒 𝑘0 →190 →C=125→T(t) =65 +12𝑆𝑒 𝑘𝑡 Ahora usamos la segunda condición: 110

22

22

T(2) = 175 → 𝑇(2) = 65 + 12𝑆𝑒 𝑘.2 = 175 → 𝑒 2𝑘 = 125 =25 → 2k = Ln (25)→

1

22

→ k= 2 Ln (55) ≈ − 0.0639 → k ≈ - 0.0639. Entonces: T(t)= 65 + 125𝑒 ∗0.0639 que esta temperatura (en °F) del café en el minuto t ≥ 0 . Sea t1 el instante que T(t1)=150. Tenemos entonces: T(t1) = 65 + 12𝑆𝑒 0.0639 𝑡1 = 150 → 𝑒 −0.0639𝑡1 = 0.68 → - 0.0639 t1 = ln 0.68 → 𝑙𝑛0.68

→t1=−0.069 ≈ 6.0354 min.

Por lo tanto deben transcurrir t1≈ 6min , 2s para que la temperatura del café sea de 150 °F.

5. Un ganadero salió una tarde a cazar un lobo solitario que estaba diezmando su rebaño. El cuerpo del ganadero fue encontrado sin vida por un campesino, en un cerro cerca al rancho junto al animal cazado, a las 6:00 hora del día siguiente. Un médico forense llego a las 7:00 y tomo la temperatura del cadáver , a esa hora anoto 23°C;una hora más tarde , al darse cuenta de que en la noche , y aún a esas horas , la temperatura ambiente era aproximadamente de 5 °C, el medico volvió a medir la temperatura corporal del cadáver y observo que era de 18.5°C.¿A qué hora murió el ganadero aproximadamente?

Podemos suponer por las información proporcionada, que la temperatura ambiente se mantuvo constante como To = 5 °C y también que hasta el instante de su muerte ,cuyo momento desconocemos la temperatura corporal del ganadero fue de 36 °C. tiene mucho sentido que el forense haya tomado dos mediciones de la temperatura del cuerpo , para determinar el valor de k . Podemos denotar por T(t) la temperatura del cuerpo al tiempo, medido en horas, por comodidad, hagamos t = 0 a las 7:00 h y t =1 a las 8:00 h, así que tenemos el PVI: 𝑑𝑇 𝑑𝑡

=K(T−To). Con T(0)=23°C y además T(1)=18.5 °C

Con To =5 °C SE BUSCA DETERMINAR EL TIEMPO( NEGATIVO) to en el que T(to)= 36°C. Al resolver la sabemos que : T(t)= T® + 𝐶𝑒 𝐾𝑇 → T=S+ 𝐶𝑒 𝑘𝑇 → = 18.5°𝐶. Al usa la condiciones tenemos: T(0)= 23 → 23−5 = 18 = 𝐶𝑒 𝑘0 →190 →C=18→T − 5= 18𝑒 𝑘𝑡 13.5 )= −0.2877 18

T(1) =18.5 →18.5−5 = 13.5 =18𝑒 𝑘 → 𝑒 𝑘 = (

En síntesis , por lo anterior : T(t) = 5 +18𝑒 −0.2877𝑡 es la solución del PVI para determinar To , consideramos T(to) = 36 y resolvemos : 31 36 = 5 + 18𝑒 −0.2877 𝑡𝑜 = 36 – 5 → 𝑒 −0.2877𝑡𝑜 =18 → 31

31

ln( )

18 → − 0 − 2877𝑡𝑜 =ln 18 → to = (−0.2877 )= - 1.8895≈1h 53 min

Comprobamos que el deceso ocurrió aproximadamente 1 h y 53 min (antes de las 7:00 hora de la primera toma de temperatura), esto es, alrededor de las 5:07 horas

CONCLUSION El desarrollo de la electricidad y sus aplicaciones tienen un notable impacto en la sociedad y en nuestras vidas. El conocimiento acumulado por la humanidad hasta nuestros días ha transitado por un largo y arduo camino y es resultado del esfuerzo y la constancia de científicos de la talla de Coulomb, Volta, Ampere, Franklin, Faraday, Maxwell, entre otros. Desde la antigüedad se conocía que el ámbar (electrón para los griegos) al frotarlo con otro material adquiría la propiedad de atraer pequeños cuerpecillos. Más adelante se conoció que otros cuerpos también adquirían esa misma propiedad al ser frotados. A esta propiedad se le denominó electrización. Este fue uno de los primeros fenómenos de tipo eléctrico conocidos por el hombre, al igual que las descargas eléctricas en la atmósfera. Los cuerpos pueden electrizarse por diferentes vías: frotamiento, contacto y por

inducción. Las sustancias y materiales se clasifican en conductores, aisladores, semiconductores y superconductores de la electricidad. En dependencia de las características de cada una es el uso que se le da en la práctica. La corriente eléctrica es el flujo ordenado y dirigido de partículas eléctricas. La ley de Ohm establece que: En los resistores, la intensidad de la corriente es directamente proporcional al voltaje aplicado a sus terminales e inversamente proporcional a la resistencia. Los efectos de la corriente al pasar por los distintos materiales, es la base del funcionamiento de los equipos electrodomésticos como la plancha, que se calienta al pasar la corriente por su resistencia, o el ventilador que gira al transformarse la energía eléctrica en mecánica, en el alumbrado de los focos incandescentes se utiliza el efecto luminoso de la corriente. En ocasiones los fenómenos asociados a la corriente son perjudiciales, el calentamiento de los dispositivos electrónicos en las computadoras es un ejemplo de ello. En dependencia de las necesidades, los dispositivos en los circuitos se acoplan en serie, por ejemplo, los fusibles que protegen el circuito central en las casas y edificaciones, en paralelo, como el alumbrado y los electrodomésticos en las casas o mixtos en adornos de luces. Las características principales de los circuitos, intensidad, voltaje y resistencia, Es necesario estudiar las características de la corriente eléctrica, no solo para planificar estrategias de ahorro, sino porque un mal manejo de la corriente es causa de graves accidentes para la salud y la economía en general. El modelo matemático que representa a la ley de enfriamiento de Newton arroja un resultado satisfactorio del fenómeno de transferencia de calor involucrado, lo cual queda comprobado al realizar físicamente el experimento, con lo cual se cumple con el objetivo de que el estudian-te obtenga aprendizaje significativo al ligar el conocimiento en forma integral a través de reaccionar teoría-práctica.

BIBLIOGRAFÍA https://ecuacionesdiferencia1es.files.wordpress.com/2015/06/ecuaciones-diferencialesrainville-bedient-bedient.pdf http://matematicasn.blogspot.com/2012/08/ley-de-enfriamiento-de-newton-pdf.html https://es.wikihow.com/hacer-un-circuito-el%C3%A9ctrico-simple