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Dos problemas de la aplicación de las transformadas de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos y sistemas físicos simples Eje 4

Presentado por:

Erika Milena Cruz Ruiz Nicolas Fernando Murcia Sutaneme John Jairo Lasso Melo Jerszinho fray Rafael García Forero

Docente Silvia Rebeca Vega Riaño

Fundación universitaria del Área Andina Ecuaciones Diferenciales Bogotá 2020

Introducción

Durante los ejes de ecuaciones diferenciales se distinguieron y mostraron diferentes maneras para desarrollar ejercicios dependiendo de su tipo, grado y las fórmulas concretas para llegar a cabo la solución de los ejercicios planteados en cada módulo a evaluar. Mostrando la respuesta de cada uno de ellos mediante gráficos y cambiando los resultados de la variable para evidenciar el cambio que puede generarse sí es modificada una variable o varias.

En este punto final donde los puntos resaltantes de cada uno de los modelos que se evaluaron se van a poner en práctica en este último, demostraremos la empleabilidad de la solución de ecuaciones con la transformada de Laplace, focalizando como eje principal el despeje de ecuaciones, determinación de variables dependientes y sobre todo la rectificación mediante gráficas de demostración como comportamiento de las situaciones empleando amplias modalidades de solución y ejecución de la ecuación a trabajar en este espacio que es la transformada de Laplace, todo con el cubrimiento de lo aprendido durante este proceso de comprensión de ejercicios y planteamiento de problemas de ecuaciones diferenciales.

Objetivo General -

Utilizar mediante parámetros establecidos los procedimientos de Laplace, recopilando todo el conocimiento adquirido basado en solución de problemas de ecuaciones diferenciales, compilando las propiedades de las ecuaciones para poder demostrar el resultado y realizar la gráfica de su comportamiento.

Objetivos específicos -

Mostrar resultados mediante la exposición de los ejercicios a resolver, teniendo en cuenta su manera de resolverlo y los pasos para seguir en el desarrollo del mismo.

-

Aplicar de manera debida los procedimientos de Laplace, en la práctica de realización de diferentes problemas planteados para llegar a su solución

-

Demostrar el comportamiento de los ejercicios planteados de corriente y la segunda ley de Newton mediante esquemas demostrado lo realizado durante los ejercicios y evidenciando los debidos modos para resolver la transformada de Laplace con conocimientos previamente adquiridos de los 3 ejes.

Situación problema 1 Circuito eléctrico De los circuitos usados en los contextos y aplicaciones de la Ingeniería y otras disciplinas, el circuito RLC (figura 1) aparece con frecuencia, ya que cada circuito real tiene una cierta resistencia finita. Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador. Figura 1

Fuente. https://flahoz.webs.ull.es/EM%20II/RLCenCC.doc

Un circuito RLC en serie tiene una fuente de voltaje dada por: V ( t ) =sen 100 t Resistor de 0.02 Ω Inductor de 0.001 H Capacitor de 2 F

Si la corriente y la carga iniciales en el capacitor son iguales a cero, determinar la corriente en el circuito para t >0

Para la solución de este problema tenemos en cuenta la ley de Kirchhoff, donde se indica que:

V R +V C +V L −V E=0(1) Dónde:

V R=R

di : Voltaje de la resistencia dt t

1 V C = ∫ i(t): Voltaje en el capacitor C 0 V L=L

d2i : Voltaje de la Bobina dt 2

V E Voltaje de alimentación, que teniendo en cuenta el enunciado es alterna Ahora, se remplaza en la ecuación 1 t

di 1 d2 i R + ∫ i(t)+ L 2 =V (t) dt C 0 dt Se debe de tener en cuenta que i=q y como en la ecuación anterior se tiene una integral lo que hace es deriva para evitas que esta afecte más adelante, por lo que se tiene finalmente la siguiente ecuación:

R

dq 1 d2 q + q+ L 2 =v(t) dt C dt

Se remplaza los valores dados por el enunciado

0.02

dq 1 d2 q + q+0. 001 2 =100 cos 100 t (2) dt 2 dt

Se divide toda la ecuación 2 por O.OO1

dq d2q 20 +500 q+ 2 =100000 cos 100 t(3) dt dt A continuación, se le aplica Laplace a la ecuación 3, obteniendo

20 s Q ( s ) +500 Q ( s ) +s 2 Q ( s )=

100000 s s2 +10000

Se despeja Q(s)

100000 s s 2+ 10000 100000 s

Q ( s ) ( 20 s+500+ s 2 )= Q ( s )=

(s2 +10000) ( 20 s+500+ s 2 )

(4)

Finalmente, se aplica la transformada inversa de Laplace a la ecuación 4 para obtener la ecuación solución determinado la corriente cuando i>0

100 ( e−10 t ( 38 cos ( 20 t )−21 sin ( 20 t ) ) +2( 4 sin ( 100t )−19 cos ⁡(100 t)) ) i ( t )= 377

.

Situación problema 2 Esta aplicación de las transformadas de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden se presenta con el propósito de determinar el movimiento de oscilación de dos resortes acoplados de forma horizontal mediante una ecuación lineal de segundo grado y transformadas de Laplace, considerando también conceptos básicos de la Ley de Hooke y las leyes de Newton. En una superficie horizontal suave, una masa m=1 kg está unida a una pared fija mediante un resorte con constante de resorte K 1=2

N m

Por su parte, otra masa m=2 kg está unida al primer objeto mediante un resorte con constante de resorte K 2=4

N m

Los objetos están alineados en forma horizontal, de modo que los resortes tengan su longitud natural. Si ambos objetos se desplazan 𝟑 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 a la derecha de sus posiciones de equilibrio y luego se liberan, ¿Cuáles son las ecuaciones de movimiento de los dos objetos?

Fuente: Propia Problema 2 Ecuaciones diferenciales

Masa – Resorte

F 1=−K 1 x F 2=x ( y . x ) F 3=−x 2 ( y −x ) d2 x + ( K 1 + x 2) X −x 2 y =0 dt2 d2 y M 2 2 + K 2 y−K 2 x=0 dt 2 d x 2 2 +6 x−2 y=0 dt 2 d y +2 y−2 x =0 d t2 M1

Condiciones iniciales

x ( 0 )=3 x ' ( 0 ) =0 y ( 0 )=3 y ' ( 0 )=0 Aplicando trasformada de Laplace ∫ {}

2 ( s 2 x ( s )−sx ( 0 )−x ' ( 0 ) ) +6 x ( s ) −2 y ( s )=0 s2 y ( s ) −sy ( 0 ) − y ' ( 0 ) +2 y ( s )−2 x ( s )=0 Aplicando condiciones iniciales

2 ( s 2 x ( s ) )− ( 6 s )+ 6 x ( s )−2 y ( s )=0 s2 y ( s ) −3 s+ 2 y ( s )−2 x ( s )=0

( 2 s 2 +6 ) x ( s ) −2 y ( s )=6 s ( s2 +2 ) y ( s )−2 x ( s )=3 s (2 s 2+ 6) −2 = −2 (s2 +2)

|

∆=

|

( 2 s 2 +6 ) ( s2 +2 ) −(−2 )(−2 )=2 s 4 +4 s 2+ 6 s 2+ 12−4 ∆=2 s 4 +10 s2 +8=2 ( s 4 +5 s 2 +4 )=2(5 2+ 4)( s2 +1)

6 s −2 3 s ( s2 +2 ) 6 s ( s2 +2 ) +6 s 6 s 3 +12 s+6 s X ( s )= = 2 = ∆ 2 ( s + 4 )( s 2+ 1 ) 2 ( s2 +4 ) ( s2 +1 ) 2 ( 3 s 3+ 9 s ) 6 s 3+ 18 s 3 s3 +9 s X ( s )= 2 = = 2 ( s +4 ) ( s 2 +1 ) 2 ( s2 + 4 ) ( s2 +1 ) ( s2 +4 ) ( s 2 +1 )

|

|

( 2 s 2+ 6 ) 6 s

y ( s )=

|

|

3s

−2 ∆

=

3 s ( 2 s 2 +6 ) +12 s

=

6 s 3+ 18 s+12 s 2 ( s 2 +4 ) ( s 2+ 1 )

2 ( s 2+ 4 )( s 2+ 1 ) 2 ( 3 s 3 +15 s ) 3 s 3+ 15 s y ( s )= 2 = 2 ( s + 4 )( s 2+1 ) ( s2 + 4 ) ( s2 +1 ) 2 2 3 s 3 +9 s As+ B Cs+ D ( As+ B ) ( s +1 ) + ( Cs+ D ) ( s +4 ) x ( s )= 2 = + = ( s + 4 )( s 2+1 ) ( s2 + 4 ) ( s 2 +1 ) ( s2 + 4 ) ( s2 +1 ) A s 3 + As+B s2 + B+C s3 + 4 Cs+ D s 2 +4 D=3 s 2+ 9 s ( A+C ) s 3+ ( B+ D ) s 2 + A ( s ) +4 C ( s )+ ( B+ 4 D )=3 s2 + 9 s A+C=3 B+ D=0 A+ 4 C=9 B+4 D=0 A B

(

1 0 1 0

0 1 0 1

C D

10 01 40 04

3 0 F 3−F 1 F 4−F 2 9 0

)

( ( ( ( (

1 0 0 0

0 1 0 0

10 01 30 03

3 0 F3 1 3 6 0

1 0 0 0

0 1 0 0

10 01 10 03

3 0 F 1−F 3 2 0

1 0 0 0

0 1 0 0

00 01 10 03

1 0 F4 1 3 2 0

1 0 0 0

0 1 0 0

00 01 10 01

1 0 F 2−F 4 2 0

1 0 0 0

0 1 0 0

00 00 10 01

1 0 2 0

) ) ) ) )

()

()

A=1 B=0 C=2 D=0 X ( s )=

s 2s + 2 ( s + 4) (s + 1) 2

−1

Aplicando trasformada inversa de Laplace

∫ {} ❑

−1

x ( t )= ∫ ¿ ¿ ❑ 2 2 3 s3 +15 s As+ B Cs+ D ( As+ B ) ( s +1 ) +(Cs+ D)(s + 4) y ( s )= 2 = + = (s + 4)(s 2 +1) ( s 2+ 4) (s 2+ 1) ( s2 + 4)(s 2 +1)

3 s 3 +15 s= A s3 + As+ B s 2+ B+C s 3+ 4 Cs+ D s 2 +4 D ( A+C ) s 3+ ( B+ D ) s 2 + ( A +4 C ) s + ( B+4 D )=3 s 2+ 15 s A+C=3 B+ D=0

A+ 4 C=15 B+4 D=0

( ( ( ( ( (

1 0 1 0

0 1 0 1

10 01 40 04

3 0 F 3−F 1 F 4−F 2 15 0

1 0 0 0

0 1 0 0

10 01 30 03

3 0 F3 1 3 12 0

1 0 0 0

0 1 0 0

10 01 10 03

3 0 F 1−F 3 4 0

1 0 0 0

0 1 0 0

00 01 10 03

−1 0 F4 1 3 4 0

1 0 0 0

0 1 0 0

00 01 10 01

−1 0 F 2−F 4 4 0

1 0 0 0

0 1 0 0

00 00 10 01

−1 0 4 0

) )

()

)

) ) )

()

A=−1 B=0 C=4 D=0 y ( s )=

−s 4s + 2 2 ( s +4 ) ( s +1 )

−1

Aplicando trasformada inversa de Laplace

∫ {} ❑

−1

y ( t ) =∫ ❑

{

−s 4s + 2 =−cos 2t +4 cost 2 s + 4 ( s +1 )

}

Gráficas

Conclusiones Se puede tener en observación como la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes (presentes en los circuitos eléctricos) en una manera simple y mecánica que solo se basta en seguir los pasos mencionados para encontrar una solución al problema por lo tanto la transformada de Laplace en la que se resulta ser una herramienta matemática muy útil al momento de resolver problemas relacionados a los circuitos eléctricos. También analizamos los procesos que brinda la transformada de Laplace para el análisis de circuitos eléctricos, en la que se reflexiona sobre la versatilidad que ofrece esta herramienta en el desarrollo de dichas destrezas y la satisfacción como estudiante en el dar solución a situaciones que veíamos anteriormente muy complejas Como herramienta de análisis motiva a nosotros como estudiantes de ingeniería en el deseo de aprender y poder aplicar nuevos elementos metodológicos que le permite dar sentido en la importancia en la que se tiene la matemática en la formación de futuros ingenieros.

Bibliografía

·

Operational mathematics, Churchill, R. V., (517.7C473-1a2)

· Matemáticas avanzadas para ingeniería, Kreyszig, E., (517. K889-2 / 517. K889-1 / 517. K889) R.A. Serway y R.J. Beichner, Física II Para Ciencias e Ingeniería, McGraw-Hill, 2001, pp. 877-878

·

Irwin, D. (2001). Análisis Básico de Circuitos en Ingeniería (5°ed ed.).

Prentice-Hall. ·

Garvanzo Vargas, G. M. (2007). Factores asociados al rendimiento

Académico en estudiantes universitarios, Una reflexión desde la calidad de la educación superior pública. Obtenido de http://www.revistas.ucr.ac.cr/index.php/educacion/article/viewfile/1252/1315 https://ebookcentral-proquestcom.proxy.bidig.areandina.edu.co/lib/bibliotecafuaasp/reader.action? ppg=38&docID=3227903&tm=1529681844923https://ebookcentral-proquest-