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Modelación matemática Aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer y Segundo orden en 2 contextos Movimiento y circuitos eléctricos

Estudiante: Yuli Andrea Torres Cruz CC. 1024594967

Universidad Área Andina Ingeniería en sistemas Ecuaciones Diferenciales 2020

INTRODUCION

En el presente trabajo en centraremos el método de aplicación de las ecuaciones diferenciales en aquellas que relacionan las variables independientes con la variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes.

Se clasifican principalmente porque son: tipo, orden y lineal.

Estos procedimientos de ecuaciones nos pueden de servir de ayuda porque nos dan una solución óptima por medio de cálculos numéricos con los avances tecnológicos de la comunicación y la información.

Adicional nos encontraremos con contextos de movimiento y circuitos eléctricos por medio de presentaciones;

Ahora veremos dos ejemplos de ecuaciones diferenciales.

Problema Propuesto # 1

Situación: Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad, partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Usted debe realizar las siguientes etapas del problema:

A. Explicar las condiciones asociadas que describen el movimiento. B. Formular la ecuación diferencial referente al problema. C. Resolver la ecuación diferencial Diagrama de fuerzas

A: Posición de la masa M en el tiempo T=0 Pi: La posición de M en cualquier tiempo posterior a T

En cualquier problema de física que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En este ejemplo observamos que la variación se realiza respecto del eje x.

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, usted debe mostrar el procedimiento para llegar a la ecuación diferencial de segundo orden 𝑑2𝑥 = 𝑔. 𝑑𝑡2 Solución: 𝑣 = 𝑔𝑡 1 𝑥=

2

𝑔𝑡2

Solución:

𝐹 = 𝑚. 𝑎

Donde la fuerza del peso es : 𝑃 = 𝑚. 𝑔

𝑑𝑣 𝑚

𝑑𝑣

= 𝑚. 𝑔 ; 𝑑𝑡

=𝑔 𝑑𝑡

La masa cae del reposo, vemos que 𝑣 = 0 𝑦 𝑡 = 0, en otras formas seria (0) = 0. La fórmula matemática es el problema de valor inicial.

𝑑0 = 𝑔,

(0) = 0

𝑑𝑡 Vemos una ecuación de primer orden y su condición requerida, otra forma de presentar el problema es escribir.

𝑑2𝑥 𝑚

𝑑𝑡2 = 𝑚. ;

𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = 𝑔

Aquí vemos una ecuación de segundo orden las variables x y t, necesitamos dos condiciones para hallar x. una de ellas es (0) = 0; 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 0 en 𝑒𝑛 𝑡 = 0. La segunda se puede conseguir al percibir que 𝑣 = 0 en 𝑡 = 0. Escogemos el origen de nuestros procedimientos de coordenadas. Formula matemáticas es: 𝑑2𝑥

dx 𝑑𝑡2 =,

𝑥=0

𝑦

dt = 0 𝑒𝑛 𝑡 = 0

Resolvemos la ecuación 𝑑𝑣/𝑑𝑡 = 𝑔 por variables separadas tendremos: ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑔. 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑔. 𝑡 + 𝐶1 puesto que (0) = 0 cuando 𝑡 = 0, ∁1 = 0 lo cual queda;

𝑣 = 𝑔, esto es de 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑔. 𝑡 otra combinación produce:

1 1 ¿ g .t 2 C 2 x= g .t 2 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔. 𝑡. 𝑑𝑡 → 𝑥 2 + x= 2

𝑔. 𝑡2

Como que (0) = 0 cuando 𝑡 = 0, 𝐶2= 0 quedaría:

Como una aplicación, supongamos que deseamos conocer dónde está el objeto después 2seg. Entonces, por el sistema C.G.S

𝑥 = (981𝑠𝑒𝑔𝑐𝑚2 2

= 1960𝑐𝑚 ) (2 𝑠𝑒𝑔)

Por el sistema P.L.S

𝑋 = (32,2 𝑠𝑒𝑔𝑝𝑖𝑒𝑠2 2 ) (2 𝑠𝑒𝑔)

𝑥 = 64 𝑝𝑖𝑒𝑠 Luego para obtener la velocidad después de 2 segundos escribimos (en el procedimiento P.L.S) 𝑑𝑥

𝑝𝑖𝑒𝑠 2

= 𝑔. 𝑡 = 32 𝑑𝑡

𝑥 2 𝑠𝑒𝑔

𝑠𝑒𝑔 𝑣 = 64 𝑝𝑖𝑒𝑠 /𝑠𝑒𝑔

Problema propuesto situación # 2

Considere un circuito eléctrico consistente en una fuente de voltaje 𝐸 (batería o generador), una resistencia 𝑅, y un inductor 𝐿, conectados en serie como se muestra en la figura

Adoptamos una convención: la corriente fluye del lado positivo de la batería o generador a través del circuito hacia el lado negativo. Por la ley de Kirchhoff, la fuerza electromotriz, 𝐸, es igual a la caída de voltaje a través del 𝑑𝐼 Inductor, 𝐿 𝑑𝑡

, más la caída de voltaje a través de la resistencia, 𝑅𝐼, tenemos como la

ecuación diferencial requerida para el circuito: 𝑑𝐼 𝐸=𝐿

+ 𝑅𝐼 𝑑𝑡



Usted debe realizar las siguientes etapas del problema:



Explicar las condiciones asociadas que describen el circuito.



Formular la ecuación diferencial referente al problema.



Resolver la ecuación diferencial.

Solución:

La disminución del voltaje por medio de la resistencia en 𝑅𝐼 y la disminución de voltaje del condensador es 𝑄 de modo que la ley K Kirchhoff 𝑅𝐼 + 𝑄, no es como tal 𝐶 𝐶 una ecuación diferencial. No obstante, al ver que la corriente es la alteración de la carga con el tiempo, esto es, 𝐼 = 𝑑𝑄

, 𝑅𝐼 + 𝑄 = 𝐸 se convierte en 𝑅 𝑑𝑄 + 𝑄 = 𝐸, la

𝑑𝑡 /𝐶 /𝑑𝑡=𝐶 cual es una ecuación diferencial para la carga instantánea. Siguiendo las ecuaciones diferenciales que obtuvimos están las condiciones que se derivan.

La formulación matemática:

es la intensidad de corriente que fluye según el primer

circuito que se describe en el problema. Tenemos, por la ley de Kirchhoff, 𝑑𝑙 𝐸 = 𝑅𝐼 + 𝐿

ya que el interruptor se cierra en 𝑡 = 0, debemos tener 𝐼 = 0 𝑒𝑛 𝑡 = 0.

𝑑𝑡 𝑑𝐼 𝐸 = 𝑅𝐼 + 𝐿 𝑑𝑡 𝑢 = 𝐸 ∫ 𝑅 𝑑𝑡 → 𝑒𝑅𝐿 𝑑𝑡

𝑙 𝐸

𝑅

𝑑𝐼

= 𝐿

𝐼+ 𝐿

𝑑𝑡

𝑒𝑅𝐿 𝐸 = 𝑅 𝑒𝑅𝐿𝑑𝑡𝐼 + 𝑒𝑅𝐿𝑑𝑡 𝑑𝐼 𝑑𝑡 𝐿

𝐿

𝑑𝑡

𝑑 (𝑒𝑅𝐿 𝑡𝐼) = 𝐸 𝑑𝑡

𝑒𝑅𝐿 𝑡 (0) = 0

𝐿 𝐸

𝑅

∫ 𝑑 (𝑒𝐿𝐼) = ∫ 𝑅𝑡

𝐸

𝑒𝐿 𝑑𝑡 𝐿 𝐿 𝑅

𝑒𝐿 𝐼 =

𝑒𝐿 𝑡 + 𝐶

𝑅

𝐿

𝑅

𝐸

𝑅

𝑒𝐿 𝑡 𝐼 =

𝑒𝐿 𝑡 + 𝐶 𝑅

𝐸𝑒𝑅/𝐿 𝑡

𝐶

𝐼=𝑅

𝐸

𝐸

𝑒𝑅/𝐿 𝑡 + 𝑒𝑅/𝐿 𝑡 𝐸

𝐶

𝐼(𝑡) = 𝑅 + 𝑒𝑅/𝐿 𝑡 𝐼(𝑡) = 𝐸 + 𝐶 𝑒−𝑅/𝐿 𝑡𝑝𝑒𝑟𝑜 𝐶 = − 𝐸 𝑅

𝑅

;0=𝑅 +𝐶→𝐶=−𝑅

𝐸 −𝑅/𝐿 𝑡

𝐸 𝐼(𝑡) =

− 𝑅

𝑒 𝑅

𝐸 −R (𝑡) =

(1 − 𝑒 𝐿 𝑡) 𝑅

Conclusión

Las ecuaciones diferenciales nos permiten comprender de una mejor manera las situaciones que se nos presenten a diario para dar soluciones integrales, Utilizando métodos de solución, además de desarrollar la agilidad de resolver los problemas que se nos presenten en la carrera de ingeniería de sistemas apoyándonos, darnos una mejor visión para el desarrollo de software y problemas más complejos como la inteligencia artificial, robótica y electrónica.