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• Luisa Fernandez Florez

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Caso problema: Dos problemas de aplicación de las Transformadas de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales en circuitos eléctricos y sistemas físicos simples Tarea del Eje 4. Ecuaciones Diferenciales

Luisa Mayeny Fernández Flórez (Grupo 011) Nelson Rodríguez Sánchez (Grupo 011) Johan David Ballesteros Cáceres (Grupo 011) Cristian  Camilo Revelo Sanabria (Grupo 012)

Fundación Universitaria del Área Andina Facultad de Ingenierías y Ciencias Básicas Ingeniería de Sistemas 2020

Introducción

Cuando se trata de utilizar las matemáticas para escudriñar los secretos de la naturaleza que percibimos diariamente, la mayoría de las veces como testigos de piedra, nos encontramos con desafíos más duros y exigentes. La historia nos ha demostrado eso. A Kepler le tomó casi toda su vida descubrir el patrón matemático oculto en los datos de posiciones y tiempos tomados por el astrónomo Ticho Brahe. Los resultados de su persistencia y talento matemático fueron expresados mediante ecuaciones que dieron la primera descripción del movimiento de los planetas alrededor del sol. Ese trabajo sirvió de base para una descripción mucho más completa dada por las leyes de newton y la teoría de la gravitación universal. La soberbia teoría de Newton se expresa completamente mediante ecuaciones diferenciales. De forma similar vino el extraordinario trabajo de James Maxwell quien utilizó ecuaciones diferenciales más complejas para describir los fenómenos electromagnéticos. En las ecuaciones diferenciales las incógnitas no son números; son funciones. Nosotros como estudiantes consultando algunas lecturas reconocemos la enorme importancia de las ecuaciones diferenciales, pues sin ellas sería imposible el avance de la ciencia y la tecnología. Para nosotros es un reto comprender cómo se solucionan las ecuaciones diferenciales más elementales. La lectura y reconstrucción de ejemplos nos ha tomado bastante tiempo, pero sentimos que vale la pena, a pesar de las dificultades dada nuestra novatada. De todas formas, hemos aprendido cosas nuevas y eso es muy gratificante. En este taller consideramos cómo varía la intensidad de la corriente eléctrica cuando sale de un condensador (capacitor) y pasa a través de una resistencia, y una boina (inductor). Luego la descripción del movimiento oscilatorio de dos masas unidas mediante dos resortes que pueden moverse sin fricción. La herramienta matemática para solucionar las situaciones planteadas son las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con coeficientes constantes. Quedamos impresionados por la diversidad de problemas de muchas áreas de las ciencias naturales, de la industria, la tecnología y las ciencias sociales que pueden abordarse mediante el empleo de ecuaciones diferenciales, pero también nos sentimos intimidados por su gran complejidad.

Situación problema 1 Circuito eléctrico De los circuitos usados en los contextos y aplicaciones de la Ingeniería y otras disciplinas, el circuito RLC (figura 1) aparece con frecuencia, ya que cada circuito real tiene una cierta resistencia finita. Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y condensador.

Figura 1. Fuente propia

Un circuito RLC en serie tiene una fuente de voltaje dada por V ( t ) =sen 100 t un resistor de 0.02 Ω, un indicador de 0.001 H un capacitor de 2 F Si la corriente y la carga iniciales en el capacitor son iguales a cero, determinar la corriente en el circuito para 𝒕 > 𝟎.

Solución Circuito eléctrico La ecuación para la corriente es:

R

dl d2 I dv dl d2 I d 2 I ( 0.02 ) dl 0.5/¿ 100 cos 100 t + L 2 + = ( 0.02 ) + ( 0.001 ) 2 + 0.5/¿ 100 cos 100 t 2 + + = ¿ dt dt ( 0.001 ) dt C dt dt dt ( 0.001 ) dt ( 0.001 )

d2 I dl +20 +500 /¿ 100000 cos 100 t 2 dt dt Y las condiciones iniciales son: I(0) = 0 y I′(0) = 0. Por tanto, la solución es: I ( t )=

3800 −10 t 2100 −10 t 3800 800 e cos 20 t− e sen 20 t− cos 100 t + sen 100t 377 377 377 377 Gráfica de la solución I (t)

Situación problema 2 Esta aplicación de las transformadas de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden se presenta con el propósito de determinar el movimiento de oscilación de dos resortes acoplados de forma horizontal mediante una ecuación lineal de segundo grado y transformadas de Laplace, considerando también conceptos básicos de la Ley de Hooke y las leyes de Newton.

En una superficie horizontal suave, una masa

m1=1 kg Está unida a una pared fija mediante un resorte con constante de resorte k 1=2

N m

Por su parte, otra masa m 2=2 kg Está unida al primer objeto mediante un resorte con constante de resorte k 2=4

N m

Los objetos están alineados en forma horizontal, de modo que los resortes tengan su longitud natural. Si ambos objetos se desplazan 𝟑 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 a la derecha de sus posiciones de equilibrio y luego se liberan, ¿Cuáles son las ecuaciones de movimiento de los dos objetos?

Figura 2. Fuente propia

Solución En este caso, las únicas fuerzas que se consideran son las fuerzas inherentes a los propios resortes; pues, como se recordará, la ley de Hooke afirma que la fuerza que actúa sobre un objeto debido a un resorte tiene una magnitud proporcional al desplazamiento del resorte a partir de su longitud natural y tiene dirección opuesta a su desplazamiento. Es decir, si el resorte se estira o se comprime, entonces este trata de regresar a su longitud natural. Como cada masa se puede mover con libertad, aplicamos la segunda ley de Newton a cada objeto. Así, sea x(t) el desplazamiento (hacia la derecha) de la masa de 2 kg, a partir de su posición de equilibrio y, de manera análoga, sea y(t) el desplazamiento correspondiente para la masa de 1 kg. La masa de 2 kg tiene una fuerza F, la cual actúa por su lado izquierdo, debido a un resorte, y una fuerza F2 que actúa por su lado derecho, debido al segundo resorte. Al aplicar la ley de Hooke, vemos que: F 1=kx F 2=k ( y−x)

Porque (y - x) es el desplazamiento neto del segundo resorte con respecto de su longitud natural. De esta forma, solo hay una fuerza que actúa sobre la masa de 1 kg: la fuerza debida al segundo resorte, que es:

F 3=−k 2( y−x) Así, al aplicar la segunda ley de Newton a estos objetos, obtenemos el sistema:

m2

d2 x d2 y ( ) =F + F =−k x +k y−x m =F 3=−k 2 ( y−x ) 1 2 1 2 2 dt 2 dt 2

o m1

d2 x + ( k 1 + k 2 ) x−k 2 y=0 dt 2

d2 y m 2 2 +k 2 y−k 2 x=0 dt

En este caso, debemos resolver el sistema: 2

d2 x +6 x−2 y=0 dt 2

d2 y +2 y−2 x =0 dt 2 Con las condiciones iniciales, que son: x (0)=3 , x ' (0)=0 ; y (0)=3 , y '( 0)=0. Por tanto, la transformada de Laplace de cada ecuación es: 2 ( s 2 X ( s )−sx ( 0 )−x ' ( 0 ) ) + 6 X ( s )−2 Y ( s ) =0 s2 Y ( s ) −sy ( 0 )− y ' ( 0 )+2 Y ( s )−2 X ( s )=0 Sustituyendo las condiciones iniciales: 2¿ s2 Y ( s ) −3 s+ 2Y ( s )−2 X ( s ) =0 ( 2 s 2 +6 ) X ( s )−2 Y ( s )=6 s −2 X ( s ) + ( s2 +2 ) Y ( s )=3 s

|

∆=

( 2 s 2+ 6 ) −2 =2 s4 + 10 s 2+8=2 ( s 4 +5 s2 + 4 ) =2 ( s 2+ 4 )( s 2+1 ) −2 ( s2 +2 )

|

6 s−2 ( 2 s 2 +6 ) 6 s 3 s ( s2 +2 ) −23 s 6 s3 +18 s 3 s 2+ 9 s 6 s3 +30 s 3 s 2+ 15 s X ( s )= = 2 = Y ( s ) = = = ∆ ∆ 2 ( s + 4 ) ( s 2+ 1 ) ( s 2+ 4 ) ( s 2+1 ) 2 ( s 2+ 4 )( s 2+1 ) ( s2 + 4 ) ( s2 +1 )

|

X ( s )=

|

|

|

3 s 3+ 9 s As+ B Cs+ D = 2 + 2 ( As+b ) ( s2 +1 ) + ( Cs+ D ) ( s2 +4 ) =3 s 3+ 9 s 2 2 ( s + 4 ) ( s +1 ) ( s +4 ) ( s +1 )

Entonces: X ( s )=

3 s 2 +9 s (s 2+ 4)( s¿¿ 2+1)+

s 2x (s ¿¿ 2+4 )+ 2 ¿ ( s +1)

¿

x ( t )=L−1 ¿ Y ( s )=

3 s3 +15 s As+ B Cs+ D = 2 + 2 2 ( s + 4)(s +1) ( s + 4) (s 2+ 1)

( As+ B ) ( s 2+1 ) + (Cs+ D ) ( s 2+ 4 )=3 s 3 +15 s Por tanto: Y ( s )=

3 s3 +15 s −s 4s = 2 + 2 y ( t ) =L−1 ¿ 2 2 ( s +4 ) ( s +1 ) ( s + 4 ) ( s +1 )

Solución circuito RLC Inicialmente se carga el condensador con una fuente de voltaje, manteniendo el interruptor abierto. La ecuación diferencial que describe el comportamiento de la corriente eléctrica I(t) es: d2 I dI 1 L 2 + R + I =0 dt C dt

Dividiendo entre L:

d 2 I R dI L + + I =0 d t 2 L dt C

Sustituyendo los datos:

R 0.02 L 0.001 1 = =20 , = = L 0.001 C 2 2000

La ecuación queda así:

d2 I dI I +20 + =0 2 dt 2000 dt

Supongamos una solución de la forma: I ( t )=ert donde r es una constante real o imaginaria.

Al poner en la ecuación se tiene:

d 2 ( ert ) d ( ert ) ert +20 + =0 dt 2000 dt2

Derivando y sustituyendo, da:

r e + 20 r e +

Factorizando:

1 (r +20 r + 2000 ) e =0

2

rt

rt

ert =0 200

2

rt

e rt ≠0 para todo número real, entonces, las soluciones se obtienen de la ecuación r 2 +20 r +

1 =0 2000

Al resolver esta ecuación se obtienen las soluciones: r 1=

−1 ≈ 0.000025 20 ( 1000+ √ 999995 )

199999 5 r 2=−10− ≈−20 20

√

La raíz r 1 da lugar a la solución I 1 ( t )=C 1 e (−0.000025)t La raíz r 2 da lugar a la solución I 2 ( t )=C 2 e−20 t La solución general es: I ( t )=I 1 ( t ) + I 2 ( t )=C1 e(−0.000025)t +C 2 e−20 t. En la práctica, e (−0.000025)t para valores pequeños de t : (0