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UNIDAD I. ACTIVIDAD I ECUACIONES DIFERENCIALES ING.GUTIERREZ PRADO WILFREDO JOSÉ

Equipo: Unidad 3 Alvares Perales Erick Alberto

15380001

Avalos Rocha Daniel Alejandro

16380070

Barrientos Torres Oliver

16380071

Díaz Facundo Aarón

16380098

López Sáenz Daniela Regina

16380143

Pérez Medellín Marcos Eduardo

16380174

Sánchez Vargas Alan Omar

16381047

Zúñiga Muñoz Jocelyn Abigail

16380234

Contenido I.I.I. Definiciones (ecuación diferencial, orden, grado, linealidad). ........................................ 1 I.I. II. Soluciones de las ecuaciones diferenciales .................................................................. 2 *Complete la Tabla con ejercicios de ecuaciones diferenciales ............................................ 5 Bibliografía ................................................................................................................................ 6

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I.I.I. Definiciones (ecuación diferencial, orden, grado, linealidad). Ecuación diferencial. Una ecuación diferencial es la relación que hay entre una función del tiempo y sus derivadas. (Braun, 1983) Orden El orden de una ecuación diferencial es el mayor de los órdenes de las derivadas de la función y que aparece en la ecuación. Así pues, (iii) es una ecuación diferencial de primer orden y (ii) es una ecuación diferencial de tercer orden. (Braun, 1983) Por ejemplo:

Segundo orden

𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 3 + 5 ( ) − 4𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

Grado Grado de una ecuación diferencial, es la potencia a la que está la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada de forma polinomial. (Jover, 1992) Linealidad. Una ecuación diferencial es lineal cuando cumple con las propiedades siguientes: a). La variable dependiente “y” y todas sus derivadas son de primer grado. b). Cada coeficiente depende solo de la variable dependiente “x”. Cuando una ecuación diferencial no cumple con las propiedades anteriores, se dice que es una ecuación diferencial no lineal. (Rainville, 1969 (reimp.1999))

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I.I. II. Soluciones de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta la identidad. (Jover, 1992); es decir, cuando una función

ø,

definida en algún intervalo I, se

sustituye en una ecuación diferencial y se transforma en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo. Soluciones explicitas e implícitas Una solución en la que variable dependiente expresa tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Podemos decir que, una solución explicita es una formula explicita 𝑦 = ø(𝑥) que podemos manipular, evaluar y diferenciar. (Rainville, 1969 (reimp.1999)). Por ejemplo:

𝑦 = 𝑒𝑥

2

, es una solución explicita de

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 2𝑥𝑦.

Una relación 𝑮(𝑥, 𝑦) = 0, es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦´, … , 𝑦 (𝑛−1) ), en un intervalo I, resumidamente, 𝑮(𝑥, 𝑦) = 0 define implícitamente a la función ø. Por ejemplo: La relación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial intervalo - 2 < x < 2. Derivando implícitamente obtenemos 2𝑥 + 2𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=−

𝑥 𝑦

en el

= 0.

Solución general La solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones). (Jover, 1992).

3 Ejemplo 1. La función 𝑡 = 2𝑥𝑦 2 + 3𝑥 2 𝑦 + 𝑔(𝑦) + 𝑓(𝑥) es la solución general de la ecuación diferencial parcial: δ2 t + 4y + 6x δyδx Porque:

δt δx

= 2y 2 + 6x + f´(𝑥) y

δ2 t δyδx

+ 4y + 6x;

Sustituyendo: 4𝑦 + 6𝑥 = 4𝑦 + 6𝑥. Solución particular La solución particular de una ecuación diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor especifico. (Jover, 1992). Ejemplo 2. La función 𝑦 = 𝑒 𝑥 (3 cos 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥) es solución particular de la ecuación diferencial: 𝑦" − 2𝑦´ + 5𝑦 = 0, porque: 𝑦´ = 𝑒 𝑥 (−6 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 2 cos 2𝑥) + 𝑒 𝑥 (3 cos 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥) 𝑦" = 𝑒 𝑥 (−12 cos 2𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛2𝑥 ) + 𝑒 𝑥 (−6 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 2 cos 2𝑥) + 𝑒 𝑥 (−6 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 2 cos 2𝑥) + 𝑒 𝑥 (3 cos 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥); Sustituyendo: 𝑒 𝑥 (−12 cos 2𝑥 − 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑥) + 2𝑒 𝑥 (−6𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 2 cos 2𝑥) + 𝑒 𝑥 (3 cos 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥) + 𝑒 𝑥 (12 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 4 cos 2𝑥) + 𝑒 𝑥 (−6 cos 2𝑥 − 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥) + 𝑒 𝑥 (15 cos 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥) = 𝑒 𝑥 (−12 cos 2𝑥 − 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 122𝑥 + 4 cos 2𝑥 + 3 cos 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 12𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 6𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 5𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 15𝑐𝑜𝑠2𝑥) = 𝑒 𝑥 (0) = 0 ∴0=0

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Solución singular La solución singular de una ecuación diferencial es una función cuya tangente a su gráfica en cualquier punto (𝑥𝜊, 𝑦𝜊 ) coincide con la tangente de otra solución, pero ya no coincide con esta última tangente en ninguna velocidad del punto (𝑥𝜊, 𝑦𝜊 ), por pequeña que ésta sea. (Jover, 1992). Ejemplo 3. La familia de rectas 𝑦 = 𝑐𝑥 + 2𝑐 2 es la solución general de la ecuación diferencial 𝑦 = 𝑥𝑦´ + 2(𝑦´)2 . La parábola 𝑥 2 + 8𝑦 = 0 es una solución singular. No es difícil comprobar que ambas son soluciones de la ecuación diferencial dada, en la siguiente figura 1, se muestra la solución singular y varias soluciones particulares.

figura 1.

Se observa que la parábola es tangente en cada uno de los puntos a una curva de la familia de rectas 𝑦 = 𝑐𝑥 + 2𝑐 2 , cuando sucede esto decimos que la parábola 𝑥 2 + 8𝑦 = 0 es la envolvente de la familia rectas 𝑦 = 𝑐𝑥 + 2𝑐 2 .

5

*Complete la Tabla con ejercicios de ecuaciones diferenciales

Tipo de ecuación diferencial Ordinaria

Orden

Grado

3er orden

1er grado

Es lineal Si, No Si

Ordinaria

3er orden

2do grado

No

dy d3 y d3 y + 18 ( 3 ) = 8x + ( 3 ) dx dx dx

Ordinaria

3er orden

5to grado

No

𝜕𝑦 𝜕 3 𝑦 𝑑𝑦 + = ( ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑥

Parcial

3er orden

1er grado

Si

Ecuación diferencial d3 y dy = 3x ( ) + 5y dx 3 dx 𝑑3𝑦

2

𝑑𝑦

(𝑑𝑥 3 ) = (𝑑𝑥 ) 3

5

6

Bibliografía Braun, M. (1983). Versión en español de la obra Differential Equations and Their Applications. Estados Unidos de América: Springer-Verlag New York, Inc. Jover, I. C. (1992). Ecuaciones diferenciales. Longman de México Editores S.A de C.V. . Rainville, E. D. (1969 (reimp.1999)). Ecuaciones diferenciales elementales. México: Editorial Trillas S.A de C.V. .