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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

Presentado a: Álvaro Javier Cangrejo Tutor

Entregado por: Laura Fernanda Garzòn Vidales Código: 1109421052 Yeni Paola Ramirez Sanchez Código: 28951870 Johan Enrique Susa Clavijo

Código: 6538264 XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx

Grupo: 100412_204

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA 28 de noviembre 2019

INTRODUCCIÓN

El desarrollo de la actividad de ecuaciones diferenciales, resolviendo problemas y ejercicios por medio de Series de Potencia y Transformada de Laplace, la cual nos permite analizar y evaluar la solución de una situación y problema planteado, se desarrollarán los ejercicios, permitiendo profundizar en cada tema, dejando en evidencia los conocimientos adquiridos.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL: Desarrollar correctamente los ejercicios planteados de ecuaciones diferenciales mediante series de potencia y Transformada de Laplace argumentando lo aprendido durante el curso

OBJETIVOS ESPECIFICOS:  Reconocer las temáticas a desarrollar  Emplear adecuadamente los principios y conceptos estudiados  Solucionar correctamente los ejercicios planteados

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante

Rol a desarrollar

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1.

Johan Enrique Susa Clavijo

Alertas

Yeni Paola Ramírez Sánchez

Compilador

Laura Fernanda Garzon Vidales

Entregas

El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo.

Para una ecuación dada:

𝑦 ,, + 𝑝(𝑥)𝑦 , + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0

se representa primero 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) por series de potencias en potencias de 𝑥 (o de (𝑥 − 𝑥0 ) si se desea obtener soluciones de potencias de 𝑥 − 𝑥0 ). En muchas ocasiones 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) son polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.

∞

y = ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯ 𝑚=0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:

∞

y , = ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 𝑚−1 = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2 + ⋯ 𝑚=1

∞ ,,

y = ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚−2 = 2𝑎2 + 3 ∗ 2𝑎3 𝑥 + 4 ∗ 3𝑎4 𝑥 2 + ⋯ 𝑚=1

Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de 𝑥 y la suma de los coeficientes de cada potencia de 𝑥 que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a 𝑥, los términos que incluyen a 𝑥 2 etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en 𝑦.

De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

Johan Enrique Susa Clavijo Código 6538264 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝟎 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑦 " + 2𝑦 ´ + 𝑦 = 0

Ecuación general, vamos a reemplazar cuando ∞

𝑦 = ∑ 𝐶𝑛 𝑋 𝑛 𝑛=0

∞ ´

= 𝐶0 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 3 …

𝑦 = ∑ 𝑛 𝐶𝑛 𝑋 𝑛−1 𝑛=1

∞ ´´

𝑦 = ∑ 𝑛(𝑛 − 1) 𝐶𝑛 𝑋 𝑛−2 𝑛=2 ∞

∞

∞

∑ 𝑛(𝑛 − 1) 𝐶𝑛 𝑋 𝑛−2 + 2 (∑ 𝑛 𝐶𝑛 𝑋 𝑛−1 ) + ∑ 𝐶𝑛 𝑋 𝑛 = 0 𝑛=2

𝑛=1

𝑛=0

∞

Aplicamos la propiedad de sumatoria

∑(n + 2)(n − 1 + 2) Cn+2 X n−2+2 n=2

Reemplazamos en la ecuación general lo anterior

∞

∞

+ 2 (∑(n + 1) Cn+1 X

n−1+1

) + ∑ Cn X n = 0

n=1

n=0

∞

∞ n

n

Operamos

∑(n + 2)(n − 1 + 2) Cn+2 X + 2 (∑(n + 1) Cn+1 X ) n=2

n=1

∞

+ ∑ Cn X n = 0 n=0 ∞

Factorizamos a Xn

n

∑ X ((𝑛 + 2)(𝑛 + 1)Cn+2 + 2(𝑛 + 1)Cn+1 + Cn ) = 0 n=0

((𝑛 + 2)(𝑛 + 1)Cn+2 + 2(𝑛 + 1)Cn+1 + Cn ) = 0

Despejamos a Cn+2

(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)Cn+2 = −[2(𝑛 + 1)Cn+1 + Cn ] −[2(𝑛 + 1)Cn+1 + Cn ] Cn+2 = (𝑛 + 2)(𝑛 + 1) Cn+2 =

−[2(𝑛 + 1)Cn+1 + Cn ] (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)

C0+2 =

−[2(0 + 1)C0+1 + C0 ] (0 + 2)(0 + 1)

C2 =

−[2C1 + C0 ] 2

Cn+2 =

−[2(𝑛 + 1)Cn+1 + Cn ] (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)

C1+2 =

−[2(1 + 1)C1+1 + C1 ] (1 + 2)(1 + 1)

C3 =

Remplazamos n=0

−[4C2 + C1 ] 6

Para n=1

Cn+2 =

−[2(𝑛 + 1)Cn+1 + Cn ] (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)

C2+2 =

−[2(2 + 1)C2+1 + C2 ] (2 + 2)(2 + 1)

C4 =

−[8C3 + C2 ] 12

Cn+2 =

−[2(𝑛 + 1)Cn+1 + Cn ] (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)

C3+2 =

−[2(3 + 1)C3+1 + C3 ] (3 + 2)(3 + 1)

C5 =

Para n=3

−[10C4 + C3 ] 20

Cn+2 =

−[2(𝑛 + 1)Cn+1 + Cn ] (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)

C4+2 =

−[2(4 + 1)C4+1 + C4 ] (4 + 2)(4 + 1)

C6 =

Para n=2

Para n=4

−[12C5 + C4 ] 30

𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 3 −[2C1 + C0 ] 2 −[4C2 + C1 ] 3 𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑋 − 𝑥 − 𝑥 2 6 −[8C3 + C2 ] 4 −[10C4 + C3 ] 5 − 𝑥 − 𝑥 12 20 −[12C5 + C4 ] 6 − 𝑥 30

Solución De la ecuación 𝐶0 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 3 reemplazamos

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Yeni Paola Ramírez Sánchez Cód. 28951870

b. 𝒚′′ − 𝒙𝟐 + 𝒚′ = 𝟎 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑛 ∑∞ 𝑛=0 𝐶𝑛𝑥

= 𝐶0 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑥 +… 2

3

Las potencias son la sumatoria de coeficientes multiplicados por un valor de X elevado a un exponente. Y n toma diferentes valores.

𝑦 ′′ − 𝑥 2 + 𝑦 ′ = 0 ∞

𝑦 = ∑ 𝐶𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=0

Se interpreta con una serie de potencias. Y se derivan para y’’ y y’

∞

𝑦 ′ = ∑ 𝑛𝐶𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑛=1 ∞

𝑦 ′′ = ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛 𝑥 𝑛−2 𝑛=2 ∞

∞

∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛 𝑥

𝑛−2

Remplazamos las expresiones de la ecuación inicial

+ ∑ 𝑛𝐶𝑛 𝑥 𝑛−1 − 𝑥 2 = 0

𝑛=2

𝑛=1 ∞

∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝐶𝑛 𝑥 𝑛−2 𝑛=2

𝑘 = 𝑛 − 2; 𝑛 = 2 ; 𝑘 = 0; 𝑛 = 𝑘 + 2

Tomamos el término y lo interpretamos en función de k

∞

∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝐶𝑘+2 𝑥 𝑘 𝑘=2 ∞

∑ 𝑛𝐶𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑛=1

Tomamos el segundo término y lo interpretamos en función de k

𝑛 = 𝑘; 𝑘 = 1 ∞

∑ 𝑘𝐶𝑘 𝑥 𝑘 𝑘=1

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Laura Fernanda Garzòn Vidales c. 𝑦 ′′ − 2𝑥 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

∞

La ecuación se soluciona por:

𝑦 = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=0

∞

𝑦′ = ∑ 𝑛𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1 Se halla la primera y segunda derivada

𝑛=1 ∞

𝑦′′ = ∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥 𝑛−2 𝑛=2 ∞

La ecuación seria:

∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥 𝑛−2 − 2𝑥 = 0 𝑛=2 ∞

Se hace un 𝑘

∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 𝑥 − 2𝑥 = 0 𝑘=0

𝑘 =𝑛−2→ 𝑛=𝑘+2

∞

2𝑎2 + ∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 𝑥 𝑘 − 2𝑥 = 0

Se hace a k=0

𝑘=1 ∞

2𝑎2 + 6𝑎3 𝑥 − 2𝑥 + ∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 𝑥 𝑘

Se hace k=1

𝑘=2

=0 2𝑎2 + 6𝑎3 𝑥 − 2𝑥 + 12 𝑎4 𝑥 2

Se hace k=2

∞

+ ∑(𝑘 + 2)(𝑘 + 1)𝑎𝑘+2 𝑥 𝑘 = 0 𝑘=3

La solución seda por la formula

Y así seguidamente

𝒚 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 𝒙𝟑 + 𝒂𝟒 𝒙𝟒 + 𝒂𝟓 𝒙𝟓 +⋯ 𝟐

𝟑

𝟐𝒂𝟐 + 𝟔𝒂𝟑 𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟐 𝒂𝟒 𝒙 + 𝟏𝟐𝟎𝒂𝟓 𝒙 + ⋯.

Los primeros términos son:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d.

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e.

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa 𝑚 sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

𝑑2 𝑥

dx

m 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡)

𝑑2 𝑞

dq

L 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑞 = 𝐸(𝑡)

Es una función que representa una fuerza externa 𝑓(𝑡) o un voltaje 𝐸(𝑡) en ecuaciones diferenciales se resuelve este problema para funciones 𝑓(𝑡) continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo

La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función 𝑦(𝑡) está definida para 𝑡 ≥ 0 y la integral impropia converge para 𝑠 > 𝑠0 . Entonces la transformada de Laplace 𝑦(𝑡) existe 𝑠 > 𝑠0 y está dada por: ∞

ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)𝑑𝑡 0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. Escriba aquí la ecuación.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Yeni Paola Ramírez Sánchez

b. ℒ{2𝑡 + 𝜋𝑒 3𝑡 }

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ∞

ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)𝑑𝑡

RAZÓN O EXPLICACIÓN

la transformada de Laplace 𝑦(𝑡) existe si 𝑠 > 𝑠0 y está dada por:

0 ∞

ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ (2𝑡 + 𝜋𝑒 3𝑡 )𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 0 ∞

∞

ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ 2𝑡𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝜋𝑒 3𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 0 ∞

∞

0

𝑢=𝑡

0

→ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡

𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 →

ℎ = (3 − 𝑠)𝑡

→

1 𝑣 = − 𝑒 −𝑠𝑡 𝑠 𝑑ℎ = 𝑑𝑡 (3 − 𝑠)

∞ ∞ 1 1 −𝑠𝑡 𝜋 ℒ{𝑦(𝑡)} = 2 (− 𝑡𝑒 −𝑠𝑡 ) + ∫ 𝑒 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 ℎ 𝑑ℎ (3 − 𝑠) 0 𝑠 0 𝑠

ℒ{𝑦(𝑡)} = (−

2𝑡 −𝑠𝑡 2𝑒 −𝑠𝑡 𝜋 𝑒(3−𝑠)𝑡 ∞ 𝑒 − 2 + )| (3 − 𝑠) 0 𝑠 𝑠

ℒ{𝑦(𝑡)} = (−

2𝑡 −𝑠𝑡 2𝑒 −𝑠𝑡 𝜋𝑒3𝑡 𝑒−𝑠𝑡 ∞ 𝑒 − 2 + )| (3 − 𝑠) 𝑠 𝑠 0

ℒ{𝑦(𝑡)} = −𝑒 −𝑠𝑡 (

𝑡→∞

Partimos en dos integrales

0

ℒ{𝑦(𝑡)} = 2 ∫ 𝑡𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 + 𝜋 ∫ 𝑒 (3−𝑠)𝑡 𝑑𝑡

ℒ{𝑦(𝑡)} = lim −𝑒 −𝑠𝑡 (

Introducimos la función dada en la integral

Sacamos las constantes de la integral y sumamos los exponentes de euler Para la primera integral: hacemos integración por parte.

Para la segunda integral un cambio da variable simple Reemplazamos los cambios resolvemos las integrales

y

Transformando factorizando

y

la

ecuación

∞ 2𝑡 2 𝜋𝑒3𝑡 + 2+ )| (𝑠 − 3) 0 𝑠 𝑠

2𝑡 2 𝜋𝑒3𝑡 2(0) 2 𝜋𝑒3(0) + 2+ ) + 𝑒 −𝑠(0) ( + 2+ ) (𝑠 − 3) (𝑠 − 3) 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 ℒ{𝑦(𝑡)} =

2 𝜋 + 𝑠 2 (𝑠 − 3)

Reemplazamos en los límites obtenemos la respuesta, sabiendo que:

0, 𝑠𝑖 𝑘 < 0 ∞ ∫ 𝑒 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = { 1, 𝑠𝑖 𝑘 = 0 0 ∞, 𝑠𝑖 𝑘 > 0

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Laura Fernanda Garzon Vidales c ℒ{𝑡 2 − 𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡}

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

Se resuelve por el método de series de potencia. 2

ℒ{𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡}

Se usa la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

ℒ{𝑡 2 } − {𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡} 𝐿{𝑡 2 } =

2 𝑠3

Se utiliza la tabla de transformadas de Laplace: 𝐿{𝑡 𝑛 } =

𝐿{sin(𝜋𝑡)} =

𝓛{𝒕𝟐 − 𝒔𝒊𝒏𝝅𝒕} =

𝑠2

𝑛! 𝑠 𝑛+1

Se tiene en cuenta nuevamente la tabla de transformadas de Laplace:

𝜋 + 𝜋2

𝐿{sin(𝑎𝑡)} =

𝟐 𝝅 − 𝟐 𝟑 𝒔 𝒔 + 𝝅𝟐

𝑠2

𝑎 + 𝑎2

La solución sería:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

{

𝑦 , − 3𝑦 = 𝑒 2𝑡 } 𝑦(0) = 1

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial ℒ{𝑦 , − 3𝑦} = ℒ{𝑒 2𝑡 } ℒ{𝑦 , } − 3ℒ{𝑦} =

1 𝑠−2

𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) − 3𝑌(𝑠) = 𝑠𝑌(𝑠) − 1 − 3𝑌(𝑠) = 𝑌(𝑠) =

1 𝑠−2

1 𝑠−2

𝑠−1 (𝑠 − 2)(𝑠 − 3)

𝑌(𝑠) = −

1 2 + 𝑠 − 2 (𝑠 − 3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: 𝑦(𝑡)

1 1 ℒ −1 {𝑌(𝑠)} = −ℒ −1 ( ) + 2ℒ −1 ( ) 𝑠−2 𝑠−3 𝑦(𝑡) = −𝑒 2𝑡 + 𝑒 3𝑡

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Yeni Paola Ramírez Sánchez

b. 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑥; 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ℒ{𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 2𝑦} = ℒ{𝑥}

Aplicamos transformada de La place en ambos lados de la igualdad

ℒ{𝑦 ′′ } + ℒ{𝑦 ′ } + 2ℒ{𝑦} = ℒ{𝑥}

Partimos en varias sumas

ℒ{𝑦 ′′ } = 𝑠 2 ℒ{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0)

Tenemos las ecuaciones de las transformadas para los diferenciales de y

ℒ{𝑦 ′ } = 𝑠ℒ{𝑦} − 𝑦(0) ℒ{𝑥} =

1 𝑠2

𝑠 2 ℒ{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0) + 𝑠ℒ{𝑦} − 𝑦(0) + 2ℒ{𝑦} =

𝑠 2 ℒ{𝑦} − 2𝑠 − 2 + 𝑠ℒ{𝑦} − 2 + 2ℒ{𝑦} = (𝑠 2 + 𝑠 + 2)ℒ{𝑦} − 2𝑠 − 4 = 1

ℒ{𝑦} =

1

ℒ{𝑦} = 1

ℒ{𝑦} =

1

ℒ{𝑦} =

1

7

4

4

+ (2𝑠 + 1) + 3 1 2

7

2

4

1

+ 2 (𝑠 + ) + 3 2

1 2

7

2

4

(𝑠 + ) + 1

ℒ{𝑦} =

2 (𝑠 + ) 2

1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

+

la

ecuación

Reemplazando iniciales y transformadas

en los valores agrupando las

Completamos cuadrados y desarrollamos la ecuación para llevarla a alguna de las soluciones en tabla

+ 2𝑠 + 4

(𝑠 + ) + 𝑠2

1 𝑠2

en

+ 𝑠 + 2)

𝑠2 + 𝑠 + +

𝑠2

1 𝑠2

Reemplazando diferencial

+ 2𝑠 + 4

𝑠2 (𝑠 2

𝑠2

1 𝑠2

1

3 1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

+

𝑠2 1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

1

ℒ{𝑦} =

2 (𝑠 + ) 2

1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

3

+

1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

1

ℒ{𝑦} =

2 (𝑠 + ) 2

1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

3

+

1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

+

+

𝑠 2 (𝑠 2

1 𝑠4

1

𝑦1 (𝑡) = ℒ

−1

{

1 + 𝑠 + 2)

+ 𝑠 3 + 2𝑠 2 1

2 (𝑠 + ) 2

1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

} = 2ℒ

−1

(𝑠 + )

2 { } 1 2 7 (𝑠 + ) + 2

4

𝑡 7 𝑦1 (𝑡) = 2𝑒 −2 cos (√ 𝑡) 4

𝑡

𝑦1 (𝑡) = 2𝑒 −2 cos ( 3

𝑦2 (𝑡) = ℒ −1 (

1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

(𝑠 + 𝑎) ℒ −1 { } = 𝑒 −𝑎𝑡 cos(√𝑏 𝑡) (𝑠 + 𝑎)2 + 𝑏

√7 𝑡) 2 1

) = 3ℒ −1 (

1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

4 𝑡 7 𝑦2 (𝑡) = 3 (√ 𝑒 −2 𝑠𝑒𝑛 (√ 𝑡)) 7 4

𝑦2 (𝑡) = 3 (

𝑦2 (𝑡) =

2

6

𝑒 −2 𝑠𝑒𝑛 (

𝑡

√7

ℒ{𝑦3 } = ℒ{𝑦3 } =

𝑡

√7

𝑒 −2 𝑠𝑒𝑛 (

)

Desarrollamos la transformada inversa de la segunda 1 1 −𝑎𝑡 ℒ −1 { }= 𝑒 𝑠𝑒𝑛 (√𝑏 𝑡) (𝑠 + 𝑎)2 + 𝑏 √𝑏

√7 𝑡)) 2

√7 𝑡) 2

1 𝑠4

Desarrollamos las tres trasformadas inversas por separado, empezamos con la primera

Realizamos la tercera transformada inversa, descomponiendo en división

+ 𝑠 3 + 2𝑠 2

𝑠−1 1 1 + 2− + 𝑠 + 2) 2𝑠 4𝑠

4(𝑠 2

𝑠−1 𝑦4 (𝑡) = ℒ −1 { 2 } 4(𝑠 + 𝑠 + 2) 1

Desarrollamos las trasformadas inversas por separado 𝑦4 (𝑡) y 𝑦5 (𝑡), para la primera parte de ella completaremos cuadrados y descomponemos el numerador. Recordemos que:

3

𝑠+ − 1 2 2 𝑦4 (𝑡) = ℒ −1 { } 1 2 7 4 (𝑠 + ) + 2

1 𝑦4 (𝑡) = ℒ −1 { 4

𝑠+

1

3

2 1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

4

−

2 1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

}

(𝑠 + 𝑎) ℒ −1 { } = 𝑒 −𝑎𝑡 cos(√𝑏 𝑡) (𝑠 + 𝑎)2 + 𝑏 1 1 −𝑎𝑡 ℒ −1 { }= 𝑒 𝑠𝑒𝑛 (√𝑏 𝑡) 2 (𝑠 + 𝑎) + 𝑏 √𝑏

1 𝑦4 (𝑡) = ℒ −1 { 4

𝑠+

1

2 1 2

3 } − ℒ −1 { 7 8

2

4

(𝑠 + ) +

1 1 2

7

2

4

(𝑠 + ) +

}

1 𝑡 3 −𝑡 √7 √7 𝑦4 (𝑡) = 𝑒 −2 cos ( 𝑡) − 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡) 4 2 2 4√7 1 1 𝑦5 (𝑡) = ℒ −1 { 2 − } 2𝑠 4𝑠 𝑦5 (𝑡) =

Desarrollamos el resto transformada inversa

de

la

1 −1 1 1 1 ℒ { 2 } − ℒ −1 { } 2 𝑠 4 𝑠

1 1 𝑦5 (𝑡) = 𝑡 − 𝐻(𝑡) 2 4 𝑦5 (𝑡) = 𝑡

𝑡 1 − 𝐻(𝑡) 2 4

6 −𝑡 1 𝑡 √7 √7 √7 𝑡) + 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡) + 𝑒 −2 cos ( 𝑡) 2 2 4 2 √7 3 −𝑡 𝑡 1 √7 − 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡) + − 𝐻(𝑡) 2 2 4 4√7

𝑦(𝑡) = 2𝑒 −2 cos (

𝑦(𝑡) =

9 −𝑡 21 − 𝑡 𝑡 1 √7 √7 𝑒 2 cos ( 𝑡) + 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡) + − 𝐻(𝑡) 4 2 2 2 4 4√7

𝑦(𝑡) =

9 −𝑡 3√7 − 𝑡 𝑡 1 √7 √7 𝑒 2 cos ( 𝑡) + 𝑒 2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡) + − 𝐻(𝑡) 4 2 4 2 2 4

La suma de todos los resultados es la solución al sistema. Simplificamos

Racionalizando obtenemos

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Laura Fernanda Garzòn Vidales

c. 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ = 7; 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Se aplica la función de Laplace a cada termino ℒ {𝑦 ′′ + 𝑦 ′ } = ℒ {7} ℒ{𝑦``} + ℒ{𝑦`} =

7 𝑠

𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦`(0) + 𝑠 𝑌(𝑠) − 𝑦(0) = 𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠 ∗ 1 − 0 + 𝑠 𝑌(𝑠) − 1 = 𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠 + 𝑠 𝑌(𝑠) =

7 𝑠

Se aplica la definición de derivadas

7 𝑠

7 +1+𝑠 𝑠

7 + 𝑠 − 𝑠2 𝑌(𝑠)(𝑠 + 𝑠) = 𝑠 2

𝑌(𝑠) = 𝑌(𝑠) = 𝑌(𝑠) =

7+𝑠+𝑠2 𝑠

Se Despeja la función Y(s)

)

𝑠(𝑠 + 1)

7 + 𝑠 + 𝑠2 𝑠3 + 𝑠2

7 1 1 + + 𝑠 3 + 𝑠 2 (𝑠 2 + 1) (𝑠 + 1)

ℒ −1 { ℒ −1 { 7ℒ −1 {

(

1 } = 𝑒 −𝑡 (𝑠 + 1)

Se aplica transformadas inversas de Laplace

1 } = 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) (𝑠 2 + 1) 1 } = 7 (𝑡 − 1 + 𝑒 −𝑡 ) + 1)

𝑠 2 (𝑠

𝑦(𝑡) = 𝑒 −𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 7𝑡 − 7 + 7𝑒 −𝑡 𝒚(𝒕) = 𝟖𝒆

−𝒕

El resultado sería:

+ 𝒔𝒆𝒏(𝒕) + 𝟕𝒕 − 𝟕

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

d.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PASO 4 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de

solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Problema: Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Solución

PASO 8 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante

Yeni Paola Ramírez S.

Laura Fernanda Garzón

Ejercicios sustentados

Enlace video explicativo

A transformadas de Laplace B https://screencast-oTransformadas matic.com/watch/cqXOr9UBDI de Laplace C https://youtu.be/HjX0bqzzUvQ transformadas de Laplace D transformadas de Laplace

CONCLUSIONES  Se aplicaron los conocimientos adquiridos durante el desarrollo de la unidad 3  Conocimos la aplicación de las series de potencias y Transformadas de Laplace 

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS