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• Mark Valvas Robles

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de Noviembre del 2014 2

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES RESORTES 1. APARTADOS Y DEFINICIONES: El sistema de resorte simple que se muestra en la figura, consiste de una masa

m

unida al extremo inferior del resorte que está suspendido verticalmente

de un soporte. El sistema se encuentra en su posición de equilibrio cuando está en descanso. La masa se pone en movimiento por medio de uno o más de los siguientes medios: desplazando la masa de su posición de equilibrio, proporcionándole una velocidad inicial, o sometiéndola a una fuerza externa

F (t ).

Ley de Hooke: La fuerza restauradora

F

de un resorte es igual y opuesta a

las fuerzas aplicadas al mismo y es proporcional a la extensión (contracción)

l

del resorte como resultado de la fuerza aplicada; es decir,

donde

k

F=−kl ,

indica la constante de proporcionalidad, generalmente llamada

constante del resorte. 2. EJEMPLO: Una bola de acero que pesa

2 pies

128 lb se suspende de un resorte, que se estira

de su longitud natural. La fuerza aplicada responsable de los

de desplazamiento es el peso de la bola,

128 lb . De este modo,

2 pies

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

F=−128 lb . La ley de Hooke proporciona entonces:

−128=−k ( 2 ) ,o k=64 lb / pies . Por conveniencia, elegimos la dirección descendente como la positiva y tomamos el origen como el centro de gravedad de la masa en la posición del equilibrio. Asumimos, que la masa del resorte es muy pequeña y se puede no tomar en cuenta; además, la resistencia del aire, cuando está presente es proporcional a la velocidad de la masa. De este modo, en cualquier tiempo

1¿ F (t) , medida en la

, Hay tres fuerzas que actúan sobre el sistema: dirección positiva; como por

t

2 ¿ Una fuerza restauradora dada por la ley de Hooke

F s=−kx , k >0 , y

3¿

Una fuerza debida a la resistencia del aire dada

Fa =−ax , a> 0 , donde

a

es

Obsérvese que la fuerza restauradora

la

Fs

constante

de

proporcionalidad.

siempre actúa en una dirección

que tenderá a regresar el sistema a su posición de equilibrio: sí la masa está debajo de la posición en equilibrio, entonces positiva. Obsérvese también que como

x

es negativa y

a>0 , la fuerza

Fa

−kx

es

debida a la

resistencia del aire actúa en la dirección opuesta a la velocidad y de esta forma tiende a retardar, o amortiguar, el movimiento de la masa. Ahora, de la segunda ley de Newton tenemos que

m ´x =−kx −a ´x + F (t) , o

bien

´x +

Si el sistema comienza en posición inicial

F (t) a k ´x + x= …(α ) m m m

t=0

con una velocidad inicial

v0

y desde una

x 0 . También tenemos las condiciones iniciales: x ( 0 )=x 0 ´x ( 0 )=v 0 …(β)

La fuerza de gravedad no aparece explícitamente en

(α ) . Pero está presenta

de todas formas. Automáticamente compensamos esta fuerza midiendo la distancia entre el extremo final de la longitud natural del resorte. Esto es, el movimiento de un resorte que vibra puede estar dado por:

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

´x +

F (t) ' a k ´x + x=g+ m m m

Si el origen;

x=0 , es el punto terminal del resorte sin estirar antes de que

agregue la masa.

3. APLICACIÓN: Una bola de acero que pesa

2 pies

128 lb

se suspende de un resorte, que se estira

de su longitud natural. La bola que es puesta en movimiento sin

velocidad inicial, desplazándola

6 pulgadas por encima de su posición de a¿

equilibrio. Asumiendo que no hay resistencia del aire, encuentre: expresión para la posición de la bola en cualquier tiempo posición de la bola en

a¿

t

existe ninguna fuerza aplicada externamente, de modo que tampoco hay resistencia del medio circundante, así que 2

técnicas de masa y del ejemplo anterior tenemos que se convierte en

característica son

la

(α ).

No

F ( t )=0, y

a=0 . El movimiento

es libre y no amortiguado. Aquí g ¿ 32 pies/ seg , m=128/32=4

(α )

b¿

t=π /12 seg .

La ecuación del movimiento está gobernada por la ecuación

ecuación

y

una

unidades

k =64 lb/ pies .

La

´x + 16 x´ =0 . Las raíces de la ecuación

λ=± 4 i , de modo que su solución es:

x ( t )=c 1 cos 4 t+c 2 sen 4 t En

t=0,

la posición de la bola es

x 0=

−1 pie 2

(se requiere el signo menos

porque la bola es desplazado al principio por encima de la posición de equilibrio, la cual es la dirección negativa. Aplicando esta condición inicial, encontramos que:

−1 =x ( 0 )=c 1 cos 0+c 2 sen 0=c 1 2 De modo que la expresión inicial se convierte en:

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

x ( t )=

−1 cos 4 t+c 2 sen 4 t 2

La velocidad inicial está dada como

v 0 =0 pies /seg .

Derivando obtenemos:

v ( t )=x ( t )=2 sen 4 t +4 c2 cos 4 t De donde:

0= y ( 0 )=2 sen 0+ 4 c 2 cos 0=4 c2

De esta manera:

x ( t )=

c 2=0 , y finalmente la ecuación quedaría simplificada así:

−1 cos 4 t 2

Como la ecuación de movimiento de la bola de acero en cualquier tiempo

b¿

En

t=π /12 seg . x

( 12π )= −12 cos 412π =−14 pie

t.

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

CAÍDA DE CUERPOS 1. APARTADOS Y DEFINICIONES: Considérese un cuerpo de masa siendo influido por gravedad

g

m que cae verticalmente y que sólo está y una resistencia del aire que es proporcional

a la velocidad del cuerpo. Asúmase que tanto la gravedad como la masa permanecen constantes y, por conveniencia, escójase la dirección descendente como positiva.

Segunda ley del movimiento de newton: La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la razón de cambio del momento del cuerpo respecto del tiempo; o bien para una masa constante:

F=m Donde

dv … ( Ec .1) dt F

es la fuerza neta sobre el cuerpo y

ambas en el tiempo

v

la velocidad del cuerpo,

t.

Para el problema que nos ocupa, existen dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo: a) La fuerza debida a la gravedad dada por el peso iguala a

w

del cuerpo que se

mg .

b) La fuerza debida a la resistencia del aire dada por

−kv ,

donde

k ≥0

es una constante de proporcionalidad. Se necesita el signo menos

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES porque esta fuerza se opone a la velocidad; es decir actúa en la dirección ascendente, o negativa (véase la figura). La fuerza neta sobre el cuerpo es, por lo tanto, resultado en

mg−kv=m

F=mg−kv .

F

Sustituyendo este

( Ec .1) , obtenemos:

dv dt

O bien:

dv k + v =g …(Ec .2) dt m

Como la ecuación de movimiento para el cuerpo. Si la resistencia del aire es despreciable o no existe, entonces

(Ec .2) se simplifica a:

dv =g …( Ec .3) dt Cuando

vl =

k >0, la velocidad límite

mg …(Ec .4) k

vl

está definida por:

k =0

y

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

2. APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES:

64 lb

1. Un cuerpo que pesa

con una velocidad inicial de

se deja caer desde una altura de

100 pies

10 pies /seg . Asuma que la resistencia del aire

es proporcional a la velocidad del cuerpo. Si se sabe que la velocidad límite es de

128 pies /seg ,

encuentre:

a) Una expresión para la velocidad del cuerpo en cualquier tiempo b) Una expresión para la posición del cuerpo en cualquier tiempo Solución: a) Localizamos en sistema de coordenadas en la figura (a). Aquí, . Dado que

w=mg ,

tenemos que

mg=64,

o bien

técnicas de masa.

v 0 =10 pies/ seg w=mg

t=0, x=0

m=2

t . t.

w=64 lb unidades

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

figura (a) Dado que

k=

bien

v l =128 pies/ seg ,

1 2

de

( Ec .4)

tenemos que

128=64 /k , o

.

( Ec .2) , obtenemos la ecuación

Sustituyendo estos valores en diferencial:

dv 1 + v =32 dt 4 Que tiene solución: −t / 4

v =c e En

t=0,

+128 …(1) sabemos que

v =10 . Sustituyendo estos valores en

(1) ,

tenemos:

10=c e 0 +128 , o bien La velocidad en cualquier tiempo

t

c=−118

está dada por:

v =−118 e−t / 4 +128 …(2) b) Como

v =dx /dt ,

donde

x

es el desplazamiento,

(2) se puede

volver a escribir como:

dx =−118 e−t / 4 +128 dt Esta última ecuación, en forma diferencial, es separable; su solución es:

x=472 e−t /4 + 128t +c 1 …(3)

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES En

t=0 , tenemos que

x=0

(véase la figura (a)). De este modo,

(3) da:

0=472 e0 +128 ( 0 )+ c1 El desplazamiento en cualquier tiempo

O bien

t

c 1=−472

está dado por:

x=472 e−t /4 + 128t−472

2. Un cuerpo de masa inicial

v0 .

m

se arroja verticalmente al aire con una velocidad

Si el cuerpo experimenta una resistencia del aire proporcional a

su velocidad, encuentre: a) La ecuación del movimiento en el sistema de coordenadas de la figura b. b) Una expresión para la velocidad del cuerpo en cualquier tiempo c) El tiempo en el cual el cuerpo alcanza su altura máxima.

t.

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

figura (b) Solución: 1. En este sistema de coordenadas, la ecuación ( Ec .2)

tal vez no sea

la ecuación del movimiento. Para deducir la ecuación adecuada, vemos que hay dos fuerzas sobre el cuerpo: a) La fuerza debida a la gravedad, dada por

mg .

b) La fuerza debida a la resistencia del aire, dada por

kv ,

que

impide la velocidad del cuerpo. Dado que estas dos fuerzas actúan en la dirección descendente o negativa, la fuerza neta sobre el cuerpo es:

−mg−kv .

Utilizando (Ec .1)

y reagrupando

obtenemos:

dv k + v =−g …( α) dt m Como la ecuación del movimiento. 2. La ecuación

(α )

es una ecuación diferencial lineal, y su solución es

k −(¿¿ m) t−mg/k v =c e ¿

En

k t=0, v=v 0 ; de aquí −(¿¿ m) t−mg/k , v 0=c e ¿

velocidad del cuerpo en cualquier tiempo

o

t

es:

c=v 0+ ( mg/k ) .

La

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

k mg …(β ) k mg ¿ v= v 0 + e k

−(¿¿ m) t−

(

)

3. El cuerpo alcanza su máxima altura cuando necesitamos

t

v =0.

Por esto,

cuando

v =0 . Sustituyendo

v =0

( β)

en

y resolviendo para

hallamos:

k −(¿¿ m) t−

(

0= v 0 +

mg k

mg ¿ e k

)

k −(¿¿ m) t= e¿ −( k /m ) t=ln

t=

1 v k 1+ 0 mg

1 v k 1+ 0 mg

( )

v k m ln 1+ 0 k mg

(

)

t ,

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

2. De un resorte vertical cuya constante de rigidez es igual a 300 suspende de 118

kg .

Si el peso se levanta 76.6

mm

kg /m.

Se

sobre su posición

de equilibrio y luego se suelta, calcular el instante en el que el peso se halla ah 38.3 mm

debajo de su posición en equilibrio y moviéndose hacia abajo.

Hallar también la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento. Solución: 

k =300



( Newton):

kg m N ∙ 9.8 2 =2940 m m s

Ecuación del resorte sin amortiguamiento:

m



N

La constante del resorte en

d2r d2r d2 r ( ) +kx=f r → 118 + 2940 x=0→ + 25 x=0 2 2 2 dx dx dx

Resolviendo:

r 2 +25=0→ r =±5 i x=C 1 cos ( 5 i )+ C2 se n(5 i) 

Condiciones iniciales:

∀ t=0

;

x=−0.0076 mm

C1 cos ( 0 )+C 2 se n ( 0 )=−0.0776 →C 1=−0.076 x=−0.0076 cos ( 5 i )+C 2 se n(5 i)

;

v =0

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dx =−0.383 se n ( 5 t )+ 5C 2 cos(5 t) dt → 0.383 se n ( 0 )+5 C 2 cos ( 0 )=0 3π 2 ( 5 t )=0.076 se n(¿) C2 =0 → x=−0.076 cos ¿ 5 t+

A)

∀ x =0.0383 m

3π 2 3π 5t + 2 (¿)=0.5 (¿)→ se n¿ 0.0383=0.076 se n¿ 5t +

5 t+

3π π 2π =2 π + →t= 2 6 15

B) El periodo:

ω=5 rad /s → T =

La Frecuencia:

Amplitud:

2π 2π = ω 5

1 5 ω=5 rad /s → γ= = Hz T 2π

∆=√ C12 +C22= √ 0+ 0. 0766→ ∆=0.0766

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CIRCUITOS ELÉCTRICOS: Ecuaciones que usaremos para el análisis de circuitos eléctricos:

V R =I ∙ R t

dI Q V L =L ∙ V C = Q ( t )=∫ I ( t ) dt dt C 0

Ejemplo 01. Un circuito RLC tiene una fuente de voltaje

R=100 Ω

,

L=4 H

y un capacitador de

E ( t ) =20V C=0.01 F .

una Si la

corriente inicial es igual a cero y la carga inicial en el condensador es igual a

4 C . Determinar la corriente del circuito para R1

V1

L1

C1

t> 0.

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Solución:

L

d2 I dI 1 + R + I =0 2 dt c dt

4

d2 I dI +100 +100 I =0 2 dt dt 2

d I dI +25 +25 I =0 2 dt dt Tenemos una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes de orden superior. Por lo tanto obtenemos nuestra ecuación característica:

r 2 +25 r +25=0

Desarrollando la ecuación obtenemos nuestro SFS.

r=

−25 ± √ 252−4(25)(1) −25 ± 5 √21 = 2 2

Luego la solución será:

I ( t )=C 1

(e −25+52 √ 21 )t +C e(−25−52 √ 21 )t

Para determinar las constantes

I ( 0 ) =0 y q ( 0 )=4,

2

C1

y

C2

usamos

para luego reemplazar en la ecuación equivalente.

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

L

d [ I (t ) ] 1 + R ∙ I ( t ) + ∙ q ( t )=E(t ) dt c 1 ( 4 )=20 0.01

4 I ' ( 0 )+ 100 ( 0 )+ ' I ( 0 )=−95

Luego, para obtener

I' ( t ) =

En

( −25+5 √ 21 C1 e 2

t=0

I ' (0) derivamos

I (t ):

−25+5 √ 21 t 2

) + −25−5 √ 21 C e( −25−52 √ 21)t 2

2

las ecuaciones resultantes son:

I ( 0 ) =C1 +C 2=0 −95=

−25+ 5 √ 21 −25−5 √ 21 C1+ C2 2 2

Desarrollando este sistema de ecuaciones obtenemos:

C1 =

19 −19 C 2= √ 21 √ 21

Por lo tanto la intensidad de corriente para cualquier

I ( t )=

19 ( e √21

−25+5 √ 21 t 2

)−

19 ( e √ 21

−25−5 √21 t 2

)

t> 0 es:

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