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Solución de Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior y Transformada de Laplace

Jose Alejandro Montealegre Arias Cristian Rafael Olmos Figueroa Johan Fabian Jimenez Pinzon Elbert Andres Vega Hurtado

Fundación Universitaria del Area Andina Ingeniería de Sistemas Ecuaciones Diferenciales Abril de 2022.

2

Objetivos ●

Para el desarrollo del presente taller es necesario que, previamente, los participantes de cada grupo realicen las siguientes acciones:

● Lectura del referente de pensamiento 4, analizando detalladamente la exposición de los ejemplos allí resueltos. ● Analizar las lecturas complementarias propuestas y los videos señalados en el referente de pensamiento o los recomendados por el docente. ● Elaborar una síntesis de pasos correspondientes a los procedimientos de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden según el caso que aplique. ● Participar en el desarrollo de los encuentros sincrónicos o acceder y visualizar las correspondientes grabaciones.

3

Instrucciones Dado que el desarrollo pasa por etapas de borrador, se solicita que una vez desarrollado cada ejercicio se transcriban de tal manera que el tutor pueda identificar claramente los procedimientos llevados a cabo en las soluciones planteadas. Puede ser a mano, pero se recomienda con total claridad. El escrito final debe ser escaneado o fotografiado para ser enviado al correspondiente espacio tareas del módulo. Todos los integrantes del grupo envían el mismo archivo con la solución, indicando en el envío cuales son los integrantes del grupo.

4

1.ecuación diferencial en la forma L(y)=g(x) 𝑥

a. 𝑦''' + 10𝑦'' + 25𝑦' = 𝑒 (𝐷

3

+ 10𝐷

2

𝑥

+ 25𝐷)𝑦 = 𝑒 2

𝑥

𝐷(𝐷 + 5) 𝑦 = 𝑒

=>

término de operación diferencial ● Ecuación algebraica asociada 3

𝑟

+ 10𝑟 2

𝑟 (𝑟

2

+ 25𝑟 = 0

+ 10𝑟

+ 25) = 0

𝑟(𝑟 + 5)(𝑟 + 5) = 0 𝑟 = 0 𝑟 + 5 = 0

=>

𝑟 =

−5

𝑟 + 5 = 0

=>

𝑟 =

− 5

𝑦1 = 0 𝑦2 =

−5

𝑦3 =

−5 −5𝑥

𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑒

−5𝑥

+ 𝐶3𝑒 −5𝑥

𝑦 = 𝐶1 + 𝐶4𝑒

Solución complementaria ● Función anuladora 𝑥

(𝐷 − 1)𝑦 = 𝑒 2

𝑥

(𝐷 − 1)(𝐷 (𝐷 + 5) )𝑦 = (𝐷 − 1) 𝑒 2

(𝐷 − 1)(𝐷 (𝐷 + 5) )𝑦 = 0

5

Nueva Ecuación homogénea b.

𝑥

𝑦''' + 2𝑦'' − 13𝑦' + 10𝑦 = 𝑥𝑒 𝐷

3

+ 2𝐷

2

𝑥

− 13𝐷 + 10 = 𝑥𝑒 𝑥

(𝐷 − 1)(𝐷 − 2)(𝐷 + 5) = 𝑥𝑒 => término de operación diferencial ● Ecuación algebraica asociada 3

2

𝑟

+ 2𝑟

− 13𝑟 + 10 = 0

(𝑟 − 1)(𝑟 − 2)(𝑟 + 5) = 0 𝑟 − 1 = 0

=>

𝑟 = 1

𝑟 − 2 = 0

=>

𝑟 = 2

𝑟 + 5 = 0

=>

𝑟 =

−5

𝑦1 = 1 𝑦2 = 2 𝑦3 = 𝑥

−5 2𝑥

𝑦 = 𝐶1𝑒 + 𝐶2𝑒

+ 𝐶3𝑒

−5𝑥

=>

solución complementaria ● Función anuladora 𝑥

(𝐷 − 1)𝑦 = 𝑥𝑒

𝑥

(𝐷 − 1)[(𝐷 − 1)(𝐷 − 2)(𝐷 + 5)]𝑦 = (𝐷 − 1)𝑥𝑒 (𝐷 − 1)[(𝐷 − 1)(𝐷 − 2)(𝐷 + 5)]𝑦 = 0 Nueva Ecuación homogénea 2. determinar el operador diferencial lineal que anula la función dada. a. 𝑥 + 3𝑥𝑒

3𝑥

6 𝑛

● El operador diferencial 𝐿1 = 𝐷 y 𝐿2 = (𝐷 − 𝑎) =>

𝑦1 = 𝑥 3𝑥

𝑦2 = 3𝑥𝑒

=>

𝐿1 = 𝐷

2

−𝑥

b. 𝑒

2

𝐿1 = (𝐷 − 3)

𝐿 = 𝐷 (𝐷 − 3)

𝑛

2

2

2𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥 - 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑛−1 𝑎𝑥

● El operador diferencial 𝑥 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝐵𝑥 y 𝑥 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 −𝑥

𝑦1 = 𝑒

𝑛−1 𝑎𝑥

𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝐵𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑛 = 1, 𝑎 =− 1, 𝐵 = 1 2

𝐿1 = 𝐷 + 2𝐷 + 2 2𝑥

𝑦2 = 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑛 = 1, 𝑎 = 2, 𝐵 = 1 2

𝐿2 = 𝐷 − 4𝐷 + 5 2

L = 𝐷 + 2𝐷 + 2 𝐿 = [𝐷 ●

2

− 2𝑎𝐷 + (𝑎

2

2

𝑛

+ 𝐵 )]

Solución 2

2

𝐿 = (𝐷 + 2𝐷 + 2)(𝐷 − 4𝐷 + 5)

7

3.

8

9

4.

5. Los puntos 5 y 6 se refieren a la siguiente ecuación diferencial. 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ + 9𝑦 =

4

− 𝑥𝑒 𝑥

a. Escriba la ecuación en la forma L(y)=g(x) 2

4𝑥

(𝐷 + 6𝐷 + 9)𝑦 = 𝑥𝑒

10

b. Determine el operador diferencial que anula a 𝑒 4𝑥 2

4𝑥

2

[(𝐷 + 6𝐷 + 9) =− 𝑥𝑒 ](𝐷 − 4)

c. Resuelva la ecuación diferencial homogénea asociada a la ecuación dada. 2

4𝑥

(𝐷 + 6𝐷 + 9)𝑦 = 𝑥𝑒 2

2

(𝑚 − 4) (𝑚 + 6𝑚 + 9) = 0 2

2

(𝑚 − 4) = 0

(𝑚 + 6𝑚 + 9) = 0 2

𝑚− 4 =0

(𝑚 + 3) = 0

𝑚= 4

𝑚+ 3=0 𝑚 =− 3

𝑚1 = 𝑚2 = 4

𝑚3 = 𝑚4 =− 3

−3𝑥

𝑦 = 𝑐1𝑒

−3𝑥

4𝑥

+ 𝑐2𝑥𝑒

+ 𝑐3𝑒

4𝑥

+ 𝑐4𝑥𝑒

6. Aplique los procedimientos necesarios para hallar la solución general de la ecuación dada 𝑦𝑝`` = 𝐴𝑒 4𝑥

4𝑥

4𝑥

+ 𝐵𝑥𝑒 4𝑥

𝑦𝑝` = 4𝐴𝑒

+ 4𝐵𝑥𝑒 4𝑥

𝑦𝑝` = (4𝐴 + 𝐵)𝑒 4𝑥

𝑦𝑝`` = 4(4𝐴 + 𝐵)𝑒

+ 4𝐵𝑥𝑒 4𝑥

+ 16𝐵𝑥𝑒 4𝑥

𝑦𝑝`` = (16𝐴 + 8𝐵)𝑒 4𝑥

(16𝐴 + 8𝐵)𝑒

4𝑥

+ 16𝐵𝑥𝑒

+ 𝐵𝑒

4𝑥

(49𝐴 + 14𝐵)𝑒

4𝑥

+ 4𝐵𝑒 4𝑥

4𝑥

4𝑥

4𝑥

+ 16𝐵𝑥𝑒

+ (24𝐴 + 6𝐵) + 24𝐵𝑥𝑒

(16𝐴 + 24𝐴 + 9𝐴 + 8𝐵 + 6𝐵)𝑒

4𝑥

4𝑥

+ 9𝐴𝑒

+ (16𝐵 + 24𝐵 + 9𝐵)𝑥𝑒 4𝑥

+ (49 𝐵)𝑥𝑒

● despejo b

49𝐴 + 14𝐵 = 0c

4𝑥

=− 1𝑥𝑒

4𝑥

+ 9𝐵𝑥𝑒 4𝑥

4𝑥

=− 𝑥𝑒

=− 𝑥𝑒

4𝑥

11

49 𝐵 =− 1 𝐵 =−

1 49

● despejo a

49𝐴 + 14𝐵 = 0 −14 49

𝐴=

𝐵

● reemplazo b 2 7

(−

𝐴=

2 343

𝐴 =−

1 49

)

● reemplazamos ‘yp‘ y ‘yc’ 4𝑥

𝑦𝑐 −3𝑥

𝑦𝑐 = 𝑐1𝑒

𝑦𝑝`` = 𝐴𝑒 −3𝑥

+ 𝑐2𝑥𝑒

𝑦𝑝`` =−

2 343

4𝑥

+ 𝐵𝑥𝑒 4𝑥

𝑒

−

1 4𝑎

4𝑥

𝑥𝑒

● solución general −3𝑥

𝑦 = 𝑐1𝑒

−3𝑥

+ 𝑐2𝑥𝑒

−

1 49

4𝑥

𝑥𝑒

+

2 343

4𝑥

𝑒

7. En cada uno de los siguientes casos usar la definición de transformada de Laplace L{f(t)} para hallar la transformada de la función dada. a.

12

b.

c.

13

8. Mediante el uso de la transformada de Laplace, resolver el siguiente problema de valor inicial.

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