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ECUACION DE LA ONDA LINEAL Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2007/08 Ecuación de onda Todas las ondas verifican la ecuación de onda:

Si y(x, t) cumple la ecuaci´on de onda, entonces y(x, t) es una onda.

f es una función cualquiera Si fuera armónica: y(x, t) = A sen(Kx ± ωt + δ)

Referencia: Kreyzig Cap. 9 La Ecuación de Onda La ecuación de onda de una onda plana de propagación en la dirección x es

donde v es la velocidad de fase de la onda e y representa la variable que cambia al paso de la onda. Esta es la ecuación de onda que aplica a una cuerda estirada o a una onda electromagnética plana. La descripción matemática de una onda, hace uso de las derivadas parciales. En dos dimensiones, la ecuación de onda toma la forma

la cual podría describir una onda sobre una membrana estirada.

La ecuación resultante debe admitir además que sobre la misma cuerda vibrante se propaguen simultáneamente dos o más señales, sin afectarse mutuamente. Por ello la solución general debe ser de la forma

5 Derivando una vez La solución general es una función de dos variables, x y t, siendo la velocidad de las ondas una constante. Necesitamos una ecuación que ligue las derivadas parciales respecto a la posición y respecto al tiempo. 5.1 Derivando respecto al espacio y al tiempo Comenzamos con las soluciones de la forma y = f(x − vt), donde f es una función arbitraria de una sola variable, esto es que podemos escribir estas soluciones en la forma esto es, y depende de x y t no de cualquier forma, sino a través de la combinación definida por s. Si ahora derivamos respecto a la posición x, aplicando la regla de la cadena

ya que

Si derivamos respecto al tiempo, nos resulta

donde la derivada de s respecto al tiempo vale

Eliminando f'(s) entre las dos derivadas obtenemos la relación

Esta ecuación en derivadas parciales la verifican todas las soluciones de la forma y = f(x − vt). Sin embargo, como veremos, eso no es suficiente para nuestros objetivos. 5.2 El problema del signo La ecuación anterior nos vale para las ondas que viajan hacia la izquierda, pero no para las que van hacia la derecha. Si realizamos un análisis similar para las soluciones de la forma

que no es la misma ecuación que en el caso anterior. Por ello, no nos vale ni una ni la otra, pues deseamos una ecuación que valga para los dos a la vez. 5.3 ¿Elevar al cuadrado? Una posibilidad de eliminar el problema del signo es elevar al cuadrado los dos miembros, de forma que obtenemos la ecuación diferencial

Esta ecuación la verifican tanto las soluciones de la forma f(x − vt) como las de la forma g(x + vt), pero no la combinación de ambas f(x − vt) + g(x − vt), por lo que tampoco nos vale.

Por ejemplo, consideremos las funciones sencillas

Para la primera tenemos

Del mismo modo, para la segunda

Pero, para la tercera

Por tanto, debemos seguir buscando una ecuación más general. 6 Derivando dos veces Volvamos a las soluciones de la forma y = f(x − vt), y calculemos su segunda derivada respecto a la posición

Si derivamos respecto al tiempo, nos resulta

Eliminando f''(s) entre las dos derivadas obtenemos la relación

Veamos si esta ecuación nos vale. 

Según acabamos de ver, es satisfecha por las funciones de la forma



Puesto que la velocidad aparece al cuadrado, también es satisfecha por las ecuaciones que viajan hacia la izquierda



Al ser la derivada de la suma la suma de las derivadas, también es satisfecha por una combinación de las soluciones anteriores

Puesto que cumple todas las condiciones, esta sí es la ecuación que estamos buscando. 7 Redefinición de onda 7.1 Ecuación de onda Reescribiendo el resultado anterior, tenemos que la ecuación de onda en una dimensión es

El procedimiento, a partir de este punto, es darle la vuelta al razonamiento. Se define la ecuación de onda como esta ecuación diferencial. Publicado por William Holguin Etiquetas: ONDAS LA ECUACIÓN DE UNA ONDA Supongamos que se tiene una cuerda de longitud infinita. En x=0 una fuente muévela primera partícula de la cuerda con movimiento armónico simple de ecuación: Y=Acoswt Las siguientes partículas de la cuerda se pondrán en movimiento cuando la onda producida por la primera partícula llegue a ellas con velocidad v. en este momento, las partículas tendrán un m.a.s.

Tomemos una partícula de la cuerda de abscisa x. después de un determinado tiempo x/v, la onda llega y la partícula vibrará, y tendrá un movimiento armónico simple de ecuación Y=Acoswt’ Siendo t’ el tiempo medido a partir de la llegada de la onda, tiempo relacionado con t(véase la figura ) por la relación t’=t - x/v Finalmente la ecuación de la vibración de la partícula respecto al tiempo t es: y = A cosω (t – x/v ) esta ecuación nos da la elongación de cualquier partícula de la cuerda a cualquier tiempo; es la ecuación de la onda podemos escribir la ecuación de otra manera A cos (wt – wx/v ) Como l=v*T=v2π/w o sea que w/v=2π/l Tenemos entonces que: A cos (wt –2π*x/l) Si hacemos k=2π/l que llamaremos número de onda angular (rad/m) (número de ondas que contiene un ángulo de 2π radianes, semejante a la frecuencia angular w=2π/T (número de periodos que contiene un ángulo de 2π radianes) Entonces la ecuación nos queda: y = A cos (ωt – kx ) CONCLUSIONES: La ecuación y = A cos (kx - ωt) es igual a la anterior y, por lo tanto, es también una onda que se propaga en el sentido positivo del eje x. No podemos representar esta ecuación en un diagrama plano, porque tenemos tres variables y, x y t. Para un valor fijo de t (por ejemplo t=0), la ecuación nos da y=Acoskx.

Esta curva sinusoidal representa la forma de la cuerda (o de la superficie del agua) a un momento dado. Es como si se tomara una fotografía de la cuerda al instante t. Para un valor fijo de x, o sea, un punto dado de la cuerda (por ejemplo x=0), la ecuación nos da y=Acos(-wt) = Acoswt. Es un movimiento armónico simple que llamaremos vibración u oscilación de una partícula. Si la onda viaja a la izquierda encontraríamos T’=t + x/v , y la ecuación de la onda será; Y=Acos(wt + kx) En nuestro análisis se ha supuesto que en t=0 y x=0, la elongación correspondiente es máxima. Si para t=0 y x=0 la elongación es y=0, la ecuación de la onda será y= Asen(wt - kx) porque Asen(w*0 –k*0) = A*0 =0. En conclusión, la ecuación de una onda transversal o longitudinal permite deducir de que lado viaja la onda, y cuales son su amplitud, su frecuencia, su periodo, su longitud de onda y su velocidad de propagación, o sea, toda la información acerca del fenómeno.

Ingenieria Industrial Dpto. Física Aplicada III – Universidad de Sevilla Ecuación de onda lineal

*Ecuación diferencial que cumple una perturbación que se propaga como una onda lineal *Ondas armónicas son una posible solución *Solución general: onda viajera

EJERCICIOS DE ONDAS 1.- Un foco F1 situado en el punto de coordenadas (0,0) emite ondas armónicas transversales de frecuencia ν = 500 Hz y amplitud 0.3 m. Las ondas se propagan en el sentido positivo del eje X con una velocidad de v = 250 m/s. Otro foco F 2 situado en el punto de coordenadas (0, 3) emite ondas de iguales características pero adelantadas π con respecto a las emitidas por F 1 a) ¿cuál es la longitud de onda y el periodo de las ondas emitidas por F 1? Escribir la función de onda. b) Calcular la amplitud resultante en el punto (4, 0). ¿Qué tipo de interferencia se produce? c) ¿Cuál sería la amplitud en el punto anterior si los focos emitieran en fase?

2.- Se generan ondas estacionarias en una cuerda sujeta por ambos extremos con una longitud de onda de 0.35 m para el armónico n y de 0.30 m para el armónico n+1. La velocidad de propagación de las ondas en la cuerda es de 130 m/s.

d) ¿De qué armónicos se trata? e) Calcula la longitud de la cuerda y la frecuencia que corresponde a cada armónico f) Dibuja la forma de la onda para n y expresa la función de ondas correspondiente si la amplitud de las ondas que generan la estacionaria es A =0.6 m. a)

b)

c)

3.- El edificio Sears, ubicado en Chicago, se mece con una frecuencia aproximada a 0,10 Hz. ¿Cuál es el periodo de la vibración?

Datos: f = 0,1 [Hz] T = ?

4.- Una ola en el océano tiene una longitud de 10 m. Una onda pasa por una determinada posición fija cada 2 s. ¿Cuál es la velocidad de la onda? Datos: λ = 10 [m] T = 2 [s] v=?

5.-Un grupo de nadadores está descansando tomando sol sobre una balsa. Ellos estiman que 3 m es la distancia entre las crestas y los valles de las ondas superficiales en el agua. Encuentran, también, que 14 crestas pasan por la balsa en 26 s. ¿Con qué rapidez se están moviendo las olas? Datos: λ = 6 [m] t = 26 [s] Nro. Crestas = 14 v=?

6.- El tiempo requerido por una onda de agua para cambiar del nivel de equilibrio hasta la cresta es de 0,18 s. a) ¿Qué fracción de la longitud de onda representa?, b) ¿cuál es el periodo de la onda?, c) ¿cuál es la frecuencia?

En la figura se observa que los 0,18 [s] corresponden al tramo que hay entre M y N, por lo tanto, corresponde a un cuarto de longitud de onda. Y, también, sería la cuarta parte del periodo, por lo tanto el periodo es: T = 4• ,0 18[s]= ,0 72[s]

7.- El edificio Platinum, ubicado en Santiago, se mece con una frecuencia aproximada a 0,10 Hz. ¿Cuál es el periodo de la vibración? Datos: Frecuencia f = 0,10 Hz Fórmula:

Reemplazamos los valores

Calculamos Tseg

El periodo (intervalo de duración entre dos crestas de una onda) es de 10 segundos.

8.- Una ola en el océano tiene una longitud de 10 m. Una onda pasa por una determinada posición fija cada 2 s. ¿Cuál es la velocidad de la onda? Datos: Longitud (λ) = 10 m Periodo (Tseg) = 2 seg Velocidad (V) = ¿ Fórmula:

Reemplazamos valores

La velocidad de una onda de 10 metros que pasa por una posición fija cada 2 segundos es de 5 m/s 9.- Ondas de agua en un plato poco profundo tienen 6 cm de longitud. En un punto, las ondas oscilan hacia arriba y hacia abajo a una razón de 4,8 oscilaciones por segundo. a) ¿Cuál es la rapidez de las ondas?, b) ¿cuál es el periodo de las ondas? Datos: longitud (λ) = 6 cm frecuencia (f) = 4,8 Hz Fórmula:

Periodo (T) = ¿ Velocidad (V) = ¿ Para calcular la velocidad (V) necesitamos conocer la longitud (6 cm) y el periodo (T), ya que la fórmula de V es

y la fórmula para determinar el periodo (T) la obtenemos de

reemplazamos valores y queda

entonces

quedará

La rapidez o velocidad de las ondas es de 28,8 cm/s; y el periodo de cada onda es de 0,2083333 seg.

10.- Ondas de agua en un lago viajan 4,4 m en 1,8 s. El periodo de oscilación es de 1,2 s. a) ¿Cuál es la rapidez de las ondas?, b) ¿cuál es la longitud de onda de las ondas? Datos: Distancia recorrida por las ondas: 4,4 m Tiempo en recorrer esa distancia: 1,8 seg Periodo: 12,2 seg Primero calculamos la velocidad

Ahora, calculamos la frecuencia (f)

Luego, calculamos la longitud de onda (l)

La rapidez o velocidad de las ondas es de 2,4444 m/s; y la longitud de cada onda es de 2,9333 m

11.- Calcular la longitud de onda de una nota musical con una frecuencia de 261 Hz. Considerando que la velocidad de propagación del sonido en el aire a 15° C es de 340 m/seg, entonces se tiene, v = 340 m/seg ;

f =261 Hz ;

por lo tanto la longitud de onda es,

12.- Determina la velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda de 7 m sometida a una tensión de 250 N sabiendo que su masa es de 12 kg. Datos Longitud de la cuerda l=7m Tensión a la que se encuentra sometida T=250N Masa de la cuerda m=12kg Sabemos que la velocidad de propagación en una cuerda viene dada por la expresión: v=√(T/u) Siendo T la tensión de la cuerda y μ su densidad. Para determinar la densidad de masa simplemente dividimos la masa de la cuerda entre su longitud: μ=m/l=12/7kg/m Con lo que ya estamos en condiciones de determinar la velocidad de propagación: v=√(T/u)=v25012/7=12.07 m/s Recuerda que esta velocidad es aquella a la que avanza la perturbación por el medio, la cuerda en este caso, y no la velocidad de vibración de la cuerda (de las partículas de la cuerda).