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CAPITULO 3 La ecuación de la onda (parte 2) En esta parte del capítulo veremos los dos métodos más importantes para resolver problemas que involucran a ecuaciones en derivadas parciales en particular a la ecuación de la onda. 1) Formula de d´Alembert. 2) Método de separación de variables (método de Fourier).

Jean le Rond d´Alembert (1717-1783) Matemático,filósofo y enciclopedista francés. Apasionado de las matemáticas, la cual aprendió de forma autodidacta, en el año 1739 presenta su primer trabajo en la prestigiosa Academia de Ciencia de parís de la cual formaría parte dos años después con tan solo 24 años. En 1743 publico su tratado de la dinámica donde formula el conocido principio de d´Alembert, el cual establece que la suma de las fuerzas que actúan en un cuerpo y las fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. a esto se le llama equilibrio dinámico. En el campo de la matemática, trabajo en el estudio de las ecuaciones diferenciales y en las ecuaciones en derivadas parciales. En su estudio de las ecuaciones en derivadas parciales, desarrollo una fórmula para poder encontrar la solución general de un tipo de ecuación en derivadas parciales de tipo hiperbólica, “la ecuación de la onda”. A esta fórmula se le conoce como la formula de d´Alembert.

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Matemático y físico francés conocido por su trabajo en la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas series de Fourier. Las cuales aplico para obtener la solución de ecuaciones en derivadas parciales tales como la ecuación de la onda y ecuación de calor. En 1822 publico su theorie analytique de la chaleur(teoría analítica del calor). Tratado en el cual estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión de calor solucionándola mediante la aplicación de series infinitas trigonométricas (series de Fourier). También conocido por desarrollar la transformada de Fourier, la cual es una transformación matemática que se usa para transformar señales de tiempo en señales de frecuencia, tiene muchas aplicaciones en la física e ingeniería. Sus trabajos sirvieron para mejorar el modelado matemático para el estudio de fenómenos físicos y contribuyeron a los fundamentos de la termodinámica.

1) La fórmula de d´Alembert: Deducción de la formula de d´Alembert: dada la ecuación homogénea de la onda: ∂2 u ∂t2

− c2

∂2 u ∂x2

=0

(-ꝏ< x 0) …..(1)

Tales que satisfacen las condiciones iniciales: u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x)

(-ꝏ< x 0)…(10) u(x, 0) = sen3(x),ut(x, 0) = 0 (0 ≤ x ≤ π) u(0, t) = 0, u(π, t) = 0 (t ≥ 0) Solución: usando el método de separación de variables hacemos u(x,t)=X(x)T(t)..(10.1) Derivamos dos veces respecto y respecto a x tenemos: uxx(x,t)=X´´(x) y utt(x,t)=T´´(t) luego reemplazando en (10)y separando variables tenemos

𝑋 ′′ (𝑥) 𝑋(𝑥)

=

𝑇 ′′ (𝑡) 𝑇(𝑡)

= λ …(11)

Para λ