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UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN – TACNA

Facultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería en Informática y Sistemas

ECUACIONES DIFERENCIALES: “LA ECUACIÓN DE LA ONDA”

DOCENTE: Dr. Ramón Vera Roalcaba

PRESENTADO POR: Jhon Alvarado Achata Jakelyn Sintecala Mulluni Jesús Joseph Flores Yance Andrea Mollinedo Castillo Elvis Ruben Pacco Concori

TACNA-PERÚ 2016

ÍNDICE INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 2 CAPÍTULO I................................................................................................................................. 3 1.1

OBJETIVOS ................................................................................................................. 3

1.1.1 Objetivo General: ......................................................................................................... 3 1.1.2 Objetivos Específicos: .................................................................................................. 3 1.2

CONCEPTO .................................................................................................................. 3

CAPÍTULO II ............................................................................................................................... 4 2.1 LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ECUACIÓN DE LA ONDA ........................... 4 2.2 ECUACIÓN DE ONDA ESCALAR UNIDIMENSIONAL .............................................. 5 2.2.1 Obtención de la ecuación de onda ................................................................................ 5 2.2.2 Solución del problema de valor inicial ......................................................................... 6 2.3 LA ECUACIÓN DE ONDA ESCALAR TRIDIMENSIONAL ......................................... 8 2.3.1 Ondas esféricas ............................................................................................................. 8 2.3.2 Solución de un problema de valor inicial general ........................................................ 9 2.4 ECUACIÓN DE ONDA ESCALAR BIDIMENSIONAL ............................................... 10 CAPÍTULO III ............................................................................................................................ 12 3.1 CONCLUSIONES ........................................................................................................ 12 CAPÍTULO IV ............................................................................................................................ 13 4.1 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 13

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INTRODUCCIÓN

La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo, la mecánica cuántica y la dinámica de fluidos. La función de onda, también denominada “amplitud de probabilidad”, no tiene en sí misma significado físico directo: no es en sí misma algo determinable experimentalmente, pues carece de la realidad física por ejemplo de una onda elástica o una onda de sonido: no es un observable, es una onda abstracta y muy compleja, una función matemática cuya interpretación es estadística, y que proporciona toda la información que puede obtenerse experimentalmente sobre el sistema a que se asocia.

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CAPÍTULO I 1.1 OBJETIVOS 1.1.1 Objetivo General:  Conocer la solución de la ecuación de la onda aplicando las ecuaciones diferenciales. 1.1.2 Objetivos Específicos:  Usar las ecuaciones diferenciales para obtener la correspondiente representación de la ecuación de la onda.  Mostrar algunos ejemplos de la ecuación de la onda mediante métodos de resolución de ecuaciones diferenciales. 1.2 CONCEPTO La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación hiperbólica en derivadas parciales. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a una función 𝒖(𝒙, 𝒕) que satisface:

Donde ∆ ≡ ∇2 es el laplaciano y donde velocidad de propagación de la onda.

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𝒄 es una constante equivalente a la

CAPÍTULO II 2.1 LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ECUACIÓN DE LA ONDA Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, c deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

𝑣𝑝 =

𝑤 𝑘

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

𝜕2𝑢 = 𝑐(𝑢)2 ∆𝑢 2 𝜕𝑡 También hay que considerar que una onda puede ser transmitida en un portador móvil (Por ejemplo, la propagación del sonido en el flujo de un gas). En tal caso el escalar u contendrá un Número Mach (el cual es positivo para la onda que se mueva a lo largo del flujo y negativo para la onda reflejada). La ecuación de onda elástica en tres dimensiones describe la propagación de onda en un medio elástico homogéneo isótropo. La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas en la Tierra y las ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales. Aunque sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinales y transversales:

𝜌ü = 𝒇 + (𝜆 + 2𝜇)∇(∇ • 𝒖) − 𝜇∇ × (∇ × 𝒖) 4

Donde: 𝝀 y 𝝁 son los supuestos parámetros de Lamé que describen las propiedades elásticas del medio. 𝝆 es la densidad, 𝒇 es la función de entrada (fuerza motriz), y 𝒖 es el desplazamiento. Note que, en esta ecuación, la fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales. Esta ecuación es conocida a veces como la ecuación de onda vectorial. Hay variaciones de la ecuación de onda que también pueden ser encontradas en mecánica cuántica y relatividad general. 2.2 ECUACIÓN DE ONDA ESCALAR UNIDIMENSIONAL 2.2.1 Obtención de la ecuación de onda De la ley de Hooke: La ecuación de onda en el caso de una sola dimensión puede ser obtenida de la Ley de Hooke de la siguiente manera: imagínese una serie de pequeños pesos de masa 𝒎, interconectados por resortes sin masa de longitud 𝒉. Los resortes tienen una rigidez de 𝒌:

Aquí 𝒖(𝒙) mide la distancia en equilibrio de la masa situada en 𝒙. La segunda ley de Newton aplicada sobre la masa 𝒎 en el lugar 𝒙 + 𝒉 establece que:

𝜕2 𝐹 = 𝑚 • 𝑎(𝑡) = 𝑚 • 2 𝑢(𝑥 + 𝑡, ℎ) 𝜕𝑡 La fuerza aplicada en este caso está dada por la ley de Hooke: 5

𝑭𝑯𝒐𝒐𝒌𝒆 = 𝑭𝒙+𝟐𝒙 + 𝑭𝒙 = 𝒌[𝒖(𝒙 + 𝟐𝒉, 𝒕) − 𝒖(𝒙 + 𝒉, 𝒕)] + 𝒌[𝒖(𝒙, 𝒕) − 𝒖(𝒙 + 𝒉, 𝒕)] La ecuación de movimiento para la masa 𝑚 en el lugar 𝒙 + 𝒉 resulta:

𝒎

𝝏𝟐 𝒖(𝒙 + 𝒉, 𝒕) = 𝒌[𝒖(𝒙 + 𝟐𝒉, 𝒕) − 𝒖(𝒙 + 𝒉, 𝒕) − 𝒖(𝒙 + 𝒉, 𝒕) + 𝒖(𝒙, 𝒕)] 𝝏𝒕𝟐

donde la dependencia con el tiempo de 𝒖(𝒙) se hace explícita. Si la serie de pesos consiste en 𝑵 pesos espaciados uniformemente a lo largo de 𝑳 = 𝑵 𝒉 de la masa total 𝑴 = 𝑵 𝒎, y la rigidez total de la serie 𝑲 = 𝒌 𝑵

podemos escribir la ecuación anterior como:

𝝏𝟐 𝒖(𝒙 + 𝒉, 𝒕) 𝑲𝑳𝟐 [𝒖(𝒙 + 𝟐𝒉, 𝒕) − 𝒖(𝒙 + 𝒉, 𝒕) − 𝒖(𝒙 + 𝒉, 𝒕) + 𝒖(𝒙, 𝒕)] = 𝝏𝒕𝟐 𝑴 𝒉𝟐 Tomando el límite 𝑵 → ∞, 𝒉 → 𝟎 (y suponiendo que es suave) se consigue: 𝝏𝟐 𝒖(𝒙, 𝒕) 𝑲𝑳𝟐 𝝏𝟐 𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝝏𝒕𝟐 𝑴 𝝏𝒙𝟐 (𝑲𝑳𝟐 ) 𝑴

es el cuadrado de la velocidad de propagación en este caso particular.

2.2.2 Solución del problema de valor inicial La solución general de la ecuación de onda escalar unidimensional 𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝟐 𝒖 𝟐 = 𝒄 𝝏𝒕𝟐 𝝏𝒙𝟐 fue obtenida por d'Alembert. La ecuación de onda puede ser escrita de una forma factorizada:

[

𝝏 𝝏 𝝏 𝝏 − 𝒄 ] [ + 𝒄 ] 𝒖 = 𝟎. 𝝏𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝒕 𝝏𝒙

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Por consiguiente, si F y G son funciones arbitrarias, cualquier suma de la forma 𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝑭(𝒙 − 𝒄𝒕) + 𝑮(𝒙 + 𝒄𝒕) satisfará la ecuación de onda. Los dos términos son ondas viajeras: cualquier punto de la forma de onda dada por un argumento específico ya sea 𝐹 o 𝐺 se moverá con velocidad 𝑐 ya sea hacia el frente o hacia atrás: hacia el frente para 𝐹 y hacia atrás para 𝐺, estas funciones pueden ser determinadas para satisfacer condiciones iniciales arbitrarias: 𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙) 𝒖𝒕 (𝒙, 𝟎) = 𝒈(𝒙) El resultado es la fórmula de d'Alembert: 𝒇(𝒙 − 𝒄𝒕) + 𝒇(𝒙 + 𝒄𝒕) 𝟏 𝒙+𝒄𝒕 𝒖(𝒙, 𝒕) = + ∫ 𝒈(𝒔)𝒅𝒔 𝟐 𝟐𝒄 𝒙−𝒄𝒕 En el sentido clásico, si 𝑓(𝑥)𝜖𝐶 𝑘 y 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 entonces 𝑢(𝑡, 𝑥) ∈ 𝐶 𝑘 . Sin embargo, las formas de onda 𝐹 y 𝐺 también pueden ser generalizadas, tales como la función delta. En ese caso, la solución puede ser interpretada como un impulso que viaja hacia la derecha o hacia la izquierda. La ecuación de onda básica es una ecuación diferencial lineal la cual establece que la amplitud de las dos ondas que interactúan es simplemente la suma de las ondas. Esto también significa que el comportamiento de una onda se puede analizar al dividir la onda en sus componentes. La transformada de Fourier divide una onda sinusoidal en sus componentes y es útil para el análisis de la ecuación de onda.

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2.3 LA ECUACIÓN DE ONDA ESCALAR TRIDIMENSIONAL La solución del problema de valor inicial para la ecuación de onda en el espacio de tres dimensiones puede ser obtenida de la solución para una onda esférica. Este resultado puede utilizarse para obtener la solución en el espacio de dos dimensiones. 2.3.1 Ondas esféricas La ecuación de onda no se modifica al rotar las coordenadas espaciales, y por lo tanto uno puede esperar encontrar soluciones que dependan solo de la distancia radial a un punto dado. Estas soluciones deberán cumplir 𝟐 𝒖𝒕𝒕 − 𝒄𝟐 (𝒖𝒓𝒓 + 𝒖𝒓 ) = 𝟎. 𝒓 Esta ecuación puede ser reescrita como (𝒓𝒖)𝒕𝒕 − 𝒄𝟐 (𝒓𝒖)𝒓𝒓 = 𝟎; la cantidad 𝑟𝑢 cumple con la ecuación del onda de una sola dimensión. Por lo tanto, hay soluciones en la forma

𝒖(𝒕, 𝒓) =

𝟏 𝟏 𝑭(𝒓 − 𝒄𝒕) + 𝑮(𝒓 + 𝒄𝒕), 𝒓 𝒓

donde 𝐹 y 𝐺 son funciones arbitrarias. Cada término puede ser interpretado como una onda esférica que se expande o contrae a una velocidad 𝑐. Tales ondas son generadas por una fuente puntual y hacen posible señales agudas cuya forma solo se altera por una disminución en la amplitud cuando 𝑟 aumenta. Tales ondas solo existen en casos de espacios con dimensiones impares. Ya que vivimos en un mundo que tiene un espacio de tres dimensiones, podemos comunicarnos claramente con ondas acústicas y electromagnéticas.

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2.3.2 Solución de un problema de valor inicial general La ecuación de onda es lineal en u y se mantiene inalterada en las traslaciones en el espacio y el tiempo. Por lo tanto, podemos generar una gran variedad de soluciones al trasladar y asumir ondas esféricas. Hagamos que

sea una

función arbitraria de tres variables independientes, y hagamos que la forma de onda esférica F sea una función delta: es decir, dejemos que F sea un pequeño límite de función continua cuya integral sea la unidad, pero cuyo apoyo (la región donde la función es distinta de cero) se reduce al origen. Hagamos que una familia de ondas esféricas tengan su centro en

y hagamos que r sea

la distancia radial a partir de ese punto. Así:

Si u es una superposición de tales ondas con función de ponderación φ, entonces

el denominador 4πc es colocado por conveniencia. De la definición de la función delta, u también se puede escribir como

donde α, β, y γ son coordenadas en la unidad esférica S y ω es el elemento en S. Este resultado tiene la interpretación de que u(t,x) es t veces el valor medio de φ en una esfera de radio ct centrada en x:

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De ello se deduce que

El valor medio es aun una función de t, y por lo tanto si

Entonces

Estas fórmulas proporcionan la solución para el problema de valor inicial de la ecuación de onda. Estas muestran que la solución en un punto dado P, dando (t, x, y, z) sólo depende de la información en el esfera de radio ct que es intersecada por el cono de luz dibujado desde P. La solución no depende de la información en el interior de esta esfera. Así pues, el interior de la esfera es una laguna para la solución. Este fenómeno es llamado principio de Huygens. 2.4 ECUACIÓN DE ONDA ESCALAR BIDIMENSIONAL En un espacio de dos dimensiones, la ecuación de onda es

Podemos utilizar la teoría tridimensional para resolver este problema si consideramos a u como una función de tres dimensiones que es independiente de la 3ra dimensión. Si

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entonces la fórmula de la solución en tres dimensiones se convierte en

donde α y β son las dos primeras coordenadas en la unidad esférica, y dω es el elemento de área en la esfera. Esta integral puede ser rescrita como una integral sobre el disco D con centro en (x,y) y radio ct:

Es evidente que la solución en (t,x,y) dependa no solo de la información en el cono de luz donde

sino también de la información que está en el interior de ese cono.

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CAPÍTULO III 3.1 CONCLUSIONES 

Se pudo conocer la solución de la ecuación de onda, como ya es sabido ésta es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas.



Se hizo uso de las ecuaciones diferenciales para la obtención de la ecuación de la onda (que es una función de posición y tiempo), por ejemplo, en el caso de la ecuación de onda escalar unidimensional, la ley de Hook, fue una ley aplicada.



Mediante los ejercicios realizados en este informe, se logra mostrar algunos ejemplos con la aplicación de métodos para la determinación de ecuaciones diferenciales.

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CAPÍTULO IV 4.1 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

de Lis, J. C. S. Ecuaciones en Derivadas Parciales.



Básica, B. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Y ANÁLISIS FUNCIONAL GRUPO A.



Rafael D. Benguria. (2012). Clases de Métodos Matemáticos de la Física II. 2016, de Facultad de Física P. Universidad Católica de Chile. Sitio web: http://www.fis.puc.cl/~rbenguri/CURSOS/MMF2/CLASES/clase11.pdf

4.1.1 Linkografía 

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_de_onda

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