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DEBER 4. ECUACIONES LINEALES. 5TO CIENCIAS. EJERCICIO 1: Si el triple de un número se resta de ocho veces el número el resultado es 45. Hallar el número. X: sea el número a calcular. 8 x  3 x  45 5 x  45

x9 EJERCICIO 2: La Suma de dos números es 27 y su diferencia es 7. Hallar los números. X: uno de los números. Y: el otro número. x  y  27 x y 7 17  y  27

2 x  34

y  10

x  17

EJERCICIO 3: Se han comprado dos piezas de una máquina de la misma medida y el mismo fabricante. Una de ellas se compró al precio de lista y la otra con rebaja del 25 por ciento. Si por las dos piezas se pagaron $52,50. ¿Cuánto se pagó por cada una? X: Precio de las piezas sin descuento. x  0.75 x  52.50 1.75 x  52.50

x  30 R/ La pieza sin descuento cuesta $30.00 y la segunda pieza con el descuento del 25% cuesta $22.50. EJERCICIO 4: La edad de un padre es el triple de la de su hijo y dentro de 10 años será el doble. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Actual Dentro de 10 años Hijo X X+10 Padre 3x 3x+10 3x  10  2 x  10 3x  10  2 x  20

x  10

R/ Actualmente el hijo tiene 10 años y el padre 30 años.

EJERCICIO 5: La edad de un padre es el cuádruplo de la de su hijo. Hace tres años era el quíntuplo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Actual Hace 3 años Hijo X X-3 Padre 4x 4x-3 4 x  3  5 x  3 4 x  3  5 x  15

R/ El hijo tiene actualmente 12 años, el padre 48 años.

x  12 EJERCICIO 6: La edad de un padre es ahora el duplo de la de su hijo, pero hace 20 años era el cuádruplo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Actual Hace 20 años Hijo X X-20 Padre 2x 2x-20 2 x  20  4 x  20 2 x  20  4 x  80 60  2 x

R/ El hijo tiene actualmente 30 años y el padre 60.

x  30 EJERCICIO 7: Hace cinco años la edad de un padre era el triple de la de su hijo y dentro de cinco años será el doble. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Hace 5 años Actual Dentro de 5 años Hijo X X+5 X+10 Padre 3x 3x+5 3x+10 3x  10  2 x  10 3x  10  2 x  20

R/ La edad actual del hijo es 15 años y el padre 35 años.

x  10 EJERCICIO 8: Hace cuatro años un padre tenía ocho veces la de su hijo. Actualmente la edad del padre es cuatro veces la de su hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Hace 4 años Actual Hijo X X+4 Padre 8x 8x+4

8 x  4  4 x  4  8 x  4  4 x  16 4 x  12

x3 R/ Si la de edad del hijo hace 4 años era de 3 años, actualmente tiene 7 y el padre tendrá 28 años. EJERCICIO 9: La suma de las edades de dos hermanos es 25 años. La edad del menor es dos tercios de la edad del mayor. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? X: edad del menor. x + y = 25 x = 2/3y 2 5 25 * 3 y  y  25  y  25  y  y  15 x  10 3 3 5 R/ el mayor tiene 15 y el menor 10 años.

EJERCICIO 10: Una madre lleva a su hija 24 años. Dentro de seis años la edad de la madre será el triple de la de la hija. ¿Cuál es la edad actual de cada una? Actual Dentro de 6 años Hija X X+6 Madre X+24 x+30 x  30  3 x  6 x  30  3 x  18 2 x  12

x6 R/ La hija tiene actualmente 6 años, la madre 30. EJERCICIO 11: Juan tiene 11 años y Pedro 28. ¿Dentro de cuántos años la edad de Pedro será el doble de la de Juan? Actual A futuro Pedro 28 28+X Juan 11 11+x x  28  2 x  11 x  28  2 x  22

x6 R/ Dentro de 6 años. EJERCICIO 12: La edad actual de Manuel es el triple de la edad que tenía hace 20 años. ¿Cuál es su edad actual? Actual Hace 20 años Manuel x X-20

x  3 x  20  x  3x  60 2 x  60

x  30 R/ La edad actual de Manuel es de 30 años. EJERCICIO 13: Ángel tiene 20 años y Betty tiene 12. ¿Cuándo la edad de Ángel será el doble de la de Betty? Actual A futuro Angel 20 20+X Betty 12 12+x x  20  2 x  12 x  20  2 x  24

x  4 R/ Hace 4 años la edad de Angel era el doble de la Betty.

EJERCICIO 14: El denominador de un quebrado excede en tres unidades al numerador. El triple del denominador excede al cuádruplo del numerador en cuatro unidades ¿Cuál es el quebrado? 3 x  3  4  4 x x  Quebrado x5 x3 3x  9  4  4 x

R/ El quebrado sería

5 8

EJERCICIO 15: El denominador de un quebrado excede en dos unidades al numerador. Si se suma 1 al numerador y al denominador el nuevo quebrado equivale a 2/3. Hallar el quebrado primitivo. x x 1 2  Quebrado  x2 x3 3 3 x  1  2 x  3 3x  3  2 x  6

x  3/ 5 R/ El quebrado primitivo es:

EJERCICIO 16: Un rectángulo y un cuadrado tiene la misma área. El largo del rectángulo es 6 m mayor que el lado del cuadrado y su ancho es 4 m menor que el lado del cuadrado. Hallar las dimensiones y el área del cuadrado y del rectángulo. X

x-4

X A = x²

x 2   x  6 x  4

x+6 A = ( x + 6 )( x – 4 )

x 2  x 2  2 x  24 0  2 x  24 2 x  24

Cuadrado: Lado = 12 m.

x  12 Rectángulo: ancho = 8 m, largo = 18 m. Área = 144 m² EJERCICIO 17: La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es 61. Hallar los números.

 x  1 2  x 2  61

x 2  2 x  1  x 2  61 2 x  1  61 2 x  60

x  30 R/ Los números son 30 y 31, pero también -30 y -31.

EJERCICIO 18: La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 80. Hallar los números.

 2 x  3 2   2 x  1 2  80





4 x 2  12 x  9  4 x 2  4 x  1  80 4 x 2  12 x  9  4 x 2  4 x  1  80 8 x  72

x9 R/ Los números son 21 y 19, pero también -21 y -19. EJERCICIO 19: En un número de dos cifras la cifra de las decenas excede en 5 a la cifras de las unidades. Sí se invierte el orden de las cifras resulta un nuevo número que sumado con el anterior da 121. Halla el número. Un número de dos cifras: 10x + y. x=y+5

10 x  y  10 y  x  121 10( y  5)  y  10 y  y  5  121 10 y  50  y  10 y  y  5  121 22 y  66

y 3 R/ El número es 83. EJERCICIO 20: Dividir un ángulo de 90° en dos partes cuyas medidas estén entre sí como 7:8. x  y  90 7 y  y  90 x 7 8  x  y  90 y 8 15 y  90 x  48  90 8 7 x y y  48 8 x  42

y  48

x  42

EJERCICIO 21: Un ganadero tiene 528 reses que quiere poner a pastar en dos terrenos. Uno de 15 ha y otro de 33 ha, de modo que haya en cada parcela el mismo número de cabezas de ganado por hectáreas. ¿Cuántas reses debe poner en cada una? Podemos seguir dos vías para resolver el ejercicio: Si tenemos 528 reses en total, podemos hallar la relación de ese total por las hectáreas totales. Sería: 528  11 48

Por lo tanto para el área de 15 ha, tendríamos que repartir 15x11=165 reses y para el área de 33 ha. serían 33x11=363 reses. Otra vía: x + y = 528 reses. y = 528 - x

x y  15 33 x 528  x  15 33 33 x  15 528  x 

11x  5 528  x 

11x  2640  5 x 16 x  2640

x  165

y  363

EJERCICIO 22: Alberto tiene $3.30 en monedas de 10 centavos y de 20 centavos. Sí tiene en total 24 monedas. ¿Cuántas son de cada clase?

x. Monedas de 10 cent. y. Monedas de 20 cent. 0.10 x  0.20 y  3.30 0.10 x  0.20 24  x   3.30 0.1x  4.8  0.2 x  3.30 0.1x  1.5

x  15

x+ y = 24

y = 24 – x

y9 R/ Son 15 monedas de 10 cent. y 9 de 20 cent.

EJERCICIO 23: Un hombre tiene $45 en billetes de 5 y de 1. Sí el número de billetes de 1 es el cuádruplo del número de billetes de 5. ¿Cuántos billetes tiene de cada denominación? x. Billetes de $5.00 y. Billetes de $1.00 5x + y = 45 y = 4x 5 x  4 x  45 9 x  45

x5 R/ Tiene 5 billetes de $5.00 y 20 de $1.00. EJERCICIO 24: La entrada en un cine cuesta $10 los mayores y $6 los menores. Una noche entraron 320 personas y pagaron $2720.00. ¿Cuántos mayores y cuántos menores entraron? M. Mayores. N. Menores. M + N = 320 10M + 6N = 2720 10 320  N   6 N  2720 3200  10 N  6 N  2720 4 N  480

N  120

M  200 R/ Entraron 120 menores y 200 personas mayores.

EJERCICIO 25: La diferencia entre las cifras de las decenas y la cifra de las unidades de un número de dos cifras es 6.Sí al número se le agrega el duplo de la suma de los valores absolutos de sus cifras se obtiene 87. Halla el número. Un número de dos cifras: 10x + y x – y = 6 x = 6 + y 10 x  y  2 x  y   87 10 x  y  2 x  2 y  87 10 y  6  y  2 y  6   2 y  87 10 y  60  y  2 y  12  2 y  87 15 y  15

y 1

x7 R/ El número es 71.