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• Niko Zegarra Terreros

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Prueba de Hipótesis Estadística Aplicada Mg. Adiel Omar FLORES RAMOS

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Propósito semanal • Dada una aseveración, identificar la hipótesis nula y la hipótesis alternativa, y expresar ambas de forma simbólica. • Dados una aseveración y datos muestrales, calcular el valor del estadístico de prueba. • Dado un nivel de significancia, identificar el valor (o los valores) crítico(s). • Dado un valor del estadístico de prueba, identificar el valor P. • Plantear la conclusión de una prueba de hipótesis en términos sencillos y sin tecnicismos.

Contenido • Hipótesis nula y la hipótesis alternativa. • Calcular el valor del estadístico de prueba. • Identificación del valor (o los valores) crítico(s). • Identificar el valor P. • Redactar la conclusión de una prueba de hipótesis.

HIPÓTESIS

Cualquier afirmación o conjetura que se hace a cerca de algo

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Cualquier afirmación o aseveración acerca de una propiedad de la población. Ejemplo: El promedio ponderado de los alumnos de UCCI en el semestre 2016-1 es superior a 14

PRUEBA DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA • Es un procedimiento estándar para probar una aseveración acerca de una propiedad de la población. • Llamado también prueba de significancia

HIPÓTESIS SIMPLE Cualquier hipótesis estadística que especifica completamente la distribución de la población, especifica la forma de la distribución y el valor de su parámetro.

HIPÓTESIS SIMPLE Ejemplo: El ingreso mensual promedio de los empleados de cierta empresa es de 900 nuevos soles, suponiendo que los ingresos se distribuyen normalmente con desviación estándar de 30

HIPÓTESIS COMPUESTA Cualquier hipótesis estadística que NO especifica completamente la distribución de la población

HIPÓTESIS COMPUESTA Ejemplo: El ingreso mensual promedio de los empleados de cierta empresa es SUPERIOR a 900 nuevos soles, suponiendo que los ingresos se distribuyen normalmente con desviación estándar de 30

HIPÓTESIS NULA (H0) Es la afirmación de que el valor de un parámetro de la población es igual a un valor aseverado. Es la hipótesis que es aceptada provisionalmente como verdadera y cuya validez será sometida a comprobación

HIPÓTESIS ALTERNATIVA (H1, Ha, HA) Es una hipótesis contraria a la hipótesis nula, se acepta en caso que la hipótesis nula sea rechazada.

PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS

1)H0:  = 0 y H1 :  ≠ 0 2)H0:  ≤ 0 y H1 :  > 0 3)H0:  ≥ 0 y H1 :  < 0 0 es el valor del parámetro desconocido 

TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS Depende de la hipótesis alternativa

Prueba de Hipótesis unilateral o Prueba de una cola

H0:  = 0 y H1 :  > 0 H0:  = 0 y H1 :  < 0

TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS Prueba de Hipótesis Bilateral o Prueba de dos cola H0:  = 0 y H1 :  ≠ 0

ERROR TIPO I Y II

DECISIÓN

ACEPTAR

H0 RECHAZAR

H0

H0

H0

VERDADERA

FALSA

CORRECTO 1-

ERROR TIPO II 

ERROR TIPO I 

CORRECTO (1-)

NIVEL DE SIGNIFICACIÓN () Es la probabilidad de cometer un error de tipo I

 = P(error tipo I)  = P(rechazar H0 cuando es verdadera)

POTENCIA DE UNA PRUEBA Es la probabilidad de cometer un error de tipo II

 = P(error tipo II)  = P(aceptar H0 cuando es falsa)

REGLA DE DECISIÓN Es la división de la distribución muestral del estadístico de la prueba en dos partes mutuamente excluyentes: Región Crítica (RC) : región de rechazo de H0

Región de Aceptación (RA) : región de no rechazo de H0 Depende de la hipótesis alternativa H1 del nivel de significación y la distribución muestral del estadístico Valor crítico: es cualquier valor que separa la región crítica y la región de aceptación

Método tradicional • Rechace H0 si el estadístico de prueba cae dentro de la región crítica. • No rechace H0 si el estadístico de prueba no cae dentro de la región crítica.

REGLA DE DECISIÓN: Método tradicional Prueba de Hipótesis Bilateral o Prueba de dos colas H0:  = 0 y H1 :  ≠ 0

Prueba de Hipótesis unilateral o Prueba de una cola a la izquierda H0:  = 0 y H1 :  < 0

Prueba de Hipótesis unilateral o Prueba de una cola a la derecha H0:  = 0 y H1 :  > 0

Redacción de la conclusión

Ejemplo • Suponga que un reportero asevera que “más de la mitad” (más del 50%) de los empleados consiguen trabajo por medio de redes de contactos. • Esta aseveración de p > 0.5 se convierte en la hipótesis alternativa, mientras que p =0.5 se convierte en la hipótesis nula. • Además, suponga que la evidencia muestral hace que rechacemos la hipótesis nula de p = 0.5. • Enuncie la conclusión en términos sencillos y sin tecnicismos.

Solución • La aseveración original no incluye la condición de igualdad, y rechazamos la hipótesis nula. Por lo tanto, la redacción de la conclusión final debe ser la siguiente: • “Los datos muestrales sustentan la aseveración de que la mayoría de los empleados consiguen trabajo por medio de redes de contactos”.

Ejercicios

ESTADÍSTICO DE PRUEBA • En un valor que se utiliza para tomar la decisión sobre la hipótesis nula • Se calcula convirtiendo al estadístico muestral en una puntuación de una distribución de probabilidad

ESTADÍSTICO DE PRUEBA Se utiliza la distribución muestral del estadístico de la prueba a realizar:

PASOS PARA UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS • Plantear la hipótesis nula H0 y alternativa H1 • Elegir el nivel de significación () • Elegir y estimar el estadístico de prueba • Establecer la regla de decisión • Tomar la decisión • Conclusión

Prueba de Hipótesis para una proporción

Ejemplo: Obtención de empleo por medio de redes de contactos • Una encuesta de n = 703 empleados seleccionados al azar, reveló que el 61% (o p’=0.61) de ellos consiguió trabajo por medio de una red de contactos. Utilice los datos muestrales, con un nivel de significancia de 0.05, para probar la aseveración de que la mayoría de los empleados (más del 50%) consiguen su trabajo por medio de redes de contactos.

Solución • Aseveración: • La mayoría de los empleados consigue trabajo por medio de redes de contactos. Es decir, p > 0.5.

• Datos muestrales • n=703 • p‘=0.61

Solución • Paso 1: La aseveración original en forma simbólica es p > 0.5. • Paso 2: El opuesto de la aseveración original es p ≤ 0.5. • Paso 3: De las dos expresiones simbólicas anteriores, la expresión p > 0.5 no contiene igualdad, por lo que se convierte en la hipótesis alternativa. La hipótesis nula es la afirmación de que p iguala el valor fijo de 0.5. Por consiguiente, podemos expresar H0 y H1 de la siguiente manera:

Solución • Paso 5: Para esta prueba se usa la distribución normal y, en virtud de que estamos probando una aseveración acerca de una proporción poblacional p, el estadístico de prueba p’ es relevante y la distribución muestral de las proporciones muestrales se aproxima por medio de una distribución normal.

Solución • Paso 6: El estadístico de prueba es z = 5.83, que se calcula de la siguiente manera:

Valor crítico de z = 1.645 Valor estadístico = 5.83 Estadístico de prueba cae dentro de la región crítica

Solución • Paso 7: Como el estadístico de prueba se localiza dentro de la región crítica, rechazamos la hipótesis nula. • Paso 8: Concluimos que existe suficiente evidencia muestral para sustentar la aseveración de que la mayoría de los empleados consiguen trabajo por medio de redes de contactos.

Prueba de Hipótesis para una media poblacional (σ conocida)

Prueba de aseveraciones acerca de una media poblacional (σ conocida) • Requisitos 1. La muestra es aleatoria simple. 2. Se conoce el valor de la desviación estándar poblacional σ. 3. Se satisface una o ambas de las siguientes condiciones: • la población se distribuye normalmente o • n > 30.

Ejemplo • A continuación se muestra un conjunto de datos donde se incluye los pesos de 13 dulces M&M rojos elegidos al azar de una bolsa que contiene 465 dulces. La desviación estándar de los pesos de todos los dulces M&M que están en la bolsa es σ = 0.0565 g. A continuación se presentan los pesos muestrales (en gramos), que tienen una media de x= 0.8635. En la bolsa se afirma que el peso neto del contenido es de 396.9 g, de manera que los dulces M&M deben tener un peso medio de al menos 396.9/465 = 0.8535 g para dar la cantidad anunciada.

Ejemplo • Utilice los datos muestrales con un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración de un gerente de producción de que los dulces M&M en realidad tienen una media mayor que 0.8535 g, por lo que los consumidores están recibiendo una cantidad mayor de la indicada en la etiqueta. 0.751 0.942

0.841 0.873

0.856 0.809

0.799 0.89

0.966 0.878

0.859 0.905

0.857

Solución

Solución

Solución • No existe evidencia suficiente para sustentar la conclusión de que la media poblacional sea mayor que 0.8535, como afirmó el gerente de producción.

Prueba de Hipótesis para una media poblacional (σ desconocida)

Prueba de aseveraciones acerca de una media poblacional (σ desconocida) • Requisitos 1. La muestra es aleatoria simple. 2. Se desconoce el valor de la desviación estándar poblacional σ. 3. Se satisface una o ambas de las siguientes condiciones: • la población se distribuye normalmente o • n > 30.

Elección de la distribución apropiada

Ejemplo: Temperaturas corporales • A un estudiante del propedéutico de la carrera de medicina se le pide realizar un proyecto en clase. Intrigado por las temperaturas corporales del conjunto de datos, planea recolectar su propio conjunto de datos para probar la aseveración de que la temperatura corporal media es menor que 98.6°F, como suele pensarse. Por limitación del tiempo impuesto por otros cursos y al deseo de mantener una vida social que vaya más allá de hablar en sueños, se da cuenta de que tiene tiempo para reunir datos únicamente de 12 personas.

Ejemplo: Temperaturas corporales • Después de planear cuidadosamente un procedimiento para obtener una muestra aleatoria simple de 12 adultos sanos, mide sus temperaturas corporales y obtiene los resultados listados a continuación. Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración de que estas temperaturas corporales provienen de una población con una media menor que 98.6°F. 98.0 98.6

97.5 99.4

98.6 98.4

98.8 98.7

98.0 98.6

98.5 97.6

Solución • Estadísticos • n=12 • x=98.39 • s=0.535

• Paso 1: La aseveración original de que “la temperatura corporal media es menor que 98.6°F” se expresa de manera simbólica como µ < 98.6. • El opuesto de la aseveración original es µ ≥ 98.6.

Solución • De las dos expresiones simbólicas obtenidas hasta ahora, la expresión µ < 98.6 no contiene igualdad, por lo tanto se convierte en la hipótesis alternativa H1. • La hipótesis nula es el supuesto de que µ = 98.6.

• Paso 4: El nivel de significancia es α = 0.05.

Solución • Paso 5: En esta prueba de una aseveración acerca de la media poblacional, el estadístico más relevante es la media muestral. Seleccionamos la distribución t de Student por las siguientes condiciones: tenemos una muestra aleatoria simple, desconocemos el valor de σ y los datos muestrales parecen provenir de una población con una distribución normal. • Paso 6: El estadístico de prueba es

Solución • Paso 7: Puesto que el estadístico de prueba t = -1.360 no cae en la región crítica, no rechazamos H0. • Interpretación: No existe evidencia suficiente para sustentar la aseveración de que la muestra proviene de una población con una media menor que 98.6°F.

Prueba de Hipótesis de una desviación estándar o de una varianza

Requisitos • La muestra es aleatoria simple. • La población tiene una distribución normal.

Ejemplo • Control de calidad: El mundo de la industria comparte esta meta común: mejorar la calidad reduciendo la variación. Los ingenieros de control de calidad desean asegurarse de que un producto tenga una media aceptable, pero también quieren producir artículos con una calidad consistente, eliminando los defectos. La Newport Bottling Company ha fabricado latas de bebidas de cola con cantidades que tienen una desviación estándar de 0.051 onzas. Se prueba una nueva máquina embotelladora, y una muestra aleatoria simple de 24 latas produce las cantidades (en onzas) que se listan a continuación.

Ejemplo • Las 24 cantidades tienen una desviación estándar de s = 0.039 oz. Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración de que las latas de bebidas de cola de la nueva máquina tienen cantidades con una desviación estándar menor que 0.051 oz.

Solución • Usaremos el método tradicional de prueba de hipótesis

Solución

INTERPRETACIÓN

INTERPRETACIÓN • No hay suficiente evidencia para sustentar la aseveración de que la desviación estándar de las cantidades con la nueva máquina sea menor que 0.051 onzas. • Quizás la nueva máquina produce cantidades de bebida de cola que son más consistentes, con una desviación estándar menor que 0.051 oz, pero aún no tenemos evidencia suficiente para sustentar esa aseveración.