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• HenryA.CastañetaYujra

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Ejercicios

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RESUMEN En este capítulo, primero se define la postura o configuración del cuerpo rígido. Se presentan sus representaciones. También se define la matriz de transformación homogénea que se ocupa tanto de la traslación como de la rotación de un sistema de coordenadas entre sí. En la última parte, se introducen los parámetros de Denavit y Hartenberg (DH) y se deriva la matriz de transformación homogénea correspondiente.

EJERCICIOS 5.1

Compruebe lo siguiente: a) b) c) d)

5.2 5.3

5.4

5.5

det (Q) = 1 (5.55a) Q–1 = QT (5.55b) Q9 = QT, donde Q9 se define según la ecuación (5.19). (5.55c) Para la rotación elemental con a alrededor de cualquier eje, X, Y o Z, Qk–1 = QkT, donde k = X, Y o Z.

¿Cuáles son los significados equivalentes de una matriz de rotación? Suponga que QA es la rotación del sistema fijo a un nuevo sistema A respecto al sistema F, y que QB es la rotación del sistema A a otro nuevo sistema B respecto al sistema A. ¿Cuál es la representación de matriz resultante del sistema B respecto a su sistema de referencia original F, es decir, Q? Suponga que [QA] es la rotación d del sistema fijo a un nuevo sistema A respecto del sistema F, y que [QB]F es la rotación del sistema A a otro nuevo sistema B, también respecto al sistema F. Busque la representación de matriz resultante del sistema B respecto al sistema de referencia original F, es decir, Q. ¿Debería el resultado ser el mismo que se obtiene en la pregunta 5.3? Suponga que QA y QB, como se definen en la pregunta 5.3, son dadas por

QA

5.6

LMC30∞ = M S 30∞ MN 0

OP 0P , y 1PQ

- S 30∞ 0 C 30∞ 0

QB

LMC45∞ = M S 45∞ MN 0

OP 0P 1PQ

- S 45∞ 0 C 45∞ 0

(5.55)

Ilustre las dos transformaciones de arriba en forma gráfica y busque Q = QA QB. Si TA fuese la matriz homogénea que representa una transformación del sistema fijo a un nuevo sistema A respecto al sistema fijo F, y si TB fuese otra transformación a un sistema B respecto al sistema A, busque la matriz de transformación resultante T.

110

CAPÍTULO

5

Transformaciones

5.7

Si [TA]F fuese la matriz homogénea que representa una transformación del sistema fijo a un nuevo sistema de referencia A respecto al sistema F, y si [TB]F fuese otra transformación a uno sistema B, también respecto al sistema F, busque la matriz de transformación resultante. Comente los resultados obtenidos en ésta y en la anterior pregunta. 5.8 Busque los parámetros DH del robot SCARA que aparece en la figura 5.28. 5.9 La figura 5.29 muestra un brazo articulado antropomorfo. Busque los parámetros DH. 5.10 Busque las matrices de transformación homogénea para la arquitectura de robot que se muestra en la figura 5.29. 5.11 Busque los parámetros DH del brazo esférico que se muestra en la figura 5.30. 5.12 ¿Cuáles son las matrices de transformación homogénea para la arquitectura de robot de la figura 5.30?

EJERCICIOS BASADOS EN MATLAB 5.13 Evalúe los valores numéricos de QA y QB. 5.14 Compruebe las ecuaciones (5.55a-c). 5.15 Utilizando los valores numéricos del ejercicio 5.5, demuestre la propiedad no conmutativa de las rotaciones, es decir, QAQB ≠ QBQA. 5.16 Usando las funciones “atan” y “atan2”, encuentre el ángulo formado por la línea que une el origen (0, 0) y un punto (2, 1). 5.17 Repita el ejercicio 5.16 para los puntos (0, 0) y (22, 21). Comente los resultados obtenidos usando “atan” y “atan2”. ¿Cuál es el correcto?

Z 3, Z 4

Z2

Z1 u2

u1

b2

b3

b1 a1

a2 u4

Figura 5.28 Un robot SCARA

b4