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Universidad de La Laguna Facultad de Física

Relatividad General

TEMA 1: TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

Transformación de Lorentz Ecuaciones de transformación Deducción Consideremos dos sistemas inerciales S y S’, de coordenadas respectivas (x, y, z, t) y (x’, y’, z’, t’) en movimiento relativo. Las ecuaciones de transformación buscadas relacionarán las coordenadas espacio-temporales de un mismo suceso en ambos sistemas de referencia. Para la deducción aplicaremos los postulados fundamentales de la teoría de la relatividad especial1: 1. Las leyes de la Física se verifican en cualquier sistema inercial 2. La velocidad de la luz en el vacío es constante Sin embargo esos postulados no son suficientes. Es preciso realizar suposiciones adicionales, lógicas pero independientes, acerca del espacio-tiempo. Para ello se supondrá que es espacio-tiempo es: •

•

Homogéneo. Es decir, que todos los puntos del espacio y del tiempo son equivalentes. Dicho de otro modo: una longitud o un intervalo de tiempo no dependen ni de la posición ni del instante del tiempo en que se miden. Esta suposición es mucho más restrictiva de lo que parece, pues implica que las ecuaciones de transformación deben ser lineales, y que por tanto sus coeficientes solamente pueden depender de la velocidad relativa entre ambos sistemas. Si no fuera así, las longitudes y los intervalos temporales dependerían de la posición o del tiempo. Como todo sistema de ecuaciones lineales con coeficientes reales puede escribirse en forma matricial, adoptaremos dicha representación para la transformación buscada (1). Isótropo: Es decir, que sus propiedades no dependen de la dirección. Eso implica que la transformación debe permanecer invariante bajo una rotación. Dicho de otro modo, que la matriz de transformación debe ser simétrica2. Por tanto, la transformación no dependerá de la dirección relativa de movimiento entre ambos sistemas coordenados.

Haciendo uso de esta última hipótesis se impondrá, para simplificar, pero sin menoscabo de la generalidad, que el movimiento relativo entre ambos sistemas inerciales tiene lugar solamente a lo largo del eje x, desplazándose S’ en sentido positivo, a una velocidad v, y que ambos ejes x coinciden siempre (x ≡ x’) mientras que los y, z, son paralelos entre sí.

1

De hecho puede considerarse que ambos postulados se reducen al primero puesto que la constancia de la velocidad de la luz en el vacío puede considerarse una ley de la física, pero se considera aparte por motivos históricos. 2 Podría pensarse que la contracción de las longitudes en el sentido del movimiento establece una anisotropía espacial, pero la isotropía espacial se manifiesta en que esta contracción no depende de la dirección del movimiento.

Jordi Cepa

Departamento de Astrofísica

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Universidad de La Laguna Facultad de Física

Relatividad General

Nótese que estas son hipótesis que conducen a condiciones bastante restrictivas, en las que reside el carácter clásico (no cuántico) de la Relatividad. Finalmente se considerará t = 0 y t’ = 0 el instante en que los orígenes O y O’ de ambos sistemas coincidan. Esta suposición tampoco resta generalidad a la deducción puesto que se trata solamente de elegir un origen de tiempos común. En consecuencia, como ya se ha mencionado, la transformación lineal más general buscada adoptará la siguiente forma, en notación matricial:

 x'   a11     y '   a12  z'  =  a    13  t'   a    14

a12 a 22 a23 a24

a13 a23 a33 a34

a14  x    a24  y  , a34  z    a44  t 

(1)

donde los aij pueden depender solamente de v, y de tal manera que cuando v