• Author / Uploaded
• Nicolas Sanchez

Citation preview

Proyecto T3 Integrantes:  Gallardo Bardales, Kevin  Rojas Roncal, Matt Antony  Bolaños Figueroa, Carmen  Paredes Lozano, Bryan  Romero Gálvez, Gian Marko

Tema:

Transformaciones Lineales

Profesora:

Rodríguez Alvarado, Luz Maribel

Fecha: 19/05/2015

INDICE Introducción………………………………………………………… 3 Objetivos: …………………………………………………………….4 Específicos y General Marco Teórico……………………………………………………….5 1. Transformaciones lineales……………………………………5 1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades……..5

2. La matriz de una transformación lineal y…………………8 representación matricial de una transformación lineal 2.1 transformaciones ecuaciones………………………..9 lineales

y

sistemas

de

3. Ejemplos de transformaciones lineales…………………..14 (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

Conclusión……………………………………………….1 9

Bibliografía……………………………………………… 20

INTRODUCCIÓN Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática. Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL:

 Resolver problemas relacionados con transformaciones lineales, mediante la interpretación y representación en términos de matrices y determinantes OBJETIVOS ESPECIFICOS: 

Desarrollar ejercicios de transformaciones lineales

MARCO TEORICO 1. TRANSFORMACIONES LINEALES ¿Qué es una transformación lineal? Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial. 1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades

Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función tal que:

,

i) ii)

,

.

,

.

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones: i) Si

es una transformación lineal, entonces

En efecto tenemos que

.

. Por la ley de la cancelación en W, .

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso. ii)

es lineal si y solo si

,

Si T linéal, en tonces supongamos que , condiciones para que T sea lineal: a)

,

,

.

. Inversamente, . Probemos las dos

.

b) Nótese que usamos el hecho de que , lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i). iii)

es lineal si y solo si ,

.

La demostración se hace por inducción sobre n. a)

Si

b)

Supongamos válido para n. Probemos para

Por

la

, entonces

condición

, por la condición (ii) de T.

(i)

tenemos que,

Así que podemos concluir que,

:

de T, tenemos que, Y por hipótesis de inducción,

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii) de arriba. Ejemplo 1. Sea que

tal que , , y por otro lado, .

. Entonces T es lineal, ya que . Por lo tanto, vemos

Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como . Ejemplo 2. Sea

tal que .

,

. Entonces T es lineal, ya que

Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como . Ejemplo 3. Sea tal que la traza de A, es decir, , la suma de los elementos de la diagonal. Entonces T es lineal, ya que

Ejemplo 4. Sea ya que

tal que

. Entonces T es lineal,

Ejemplo 5. Sea tal que lineal ya que:

, la derivada de . Entonces T es

Ejemplo 6. Sea

, el espacio vectorial de todas las funciones continuas

en un intervalo cerrado y sea tal que Entonces T es lineal ya

. que:

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: 1. T(u+v) = T(u) + T(v) 2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

Clasificación de las transformaciones lineales 1. Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. 2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva). 3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).

4.

5.

Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo). Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

2. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Y REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Representación matricial de una transformación lineal. Sea T : V ↦−→ W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir T(ek) =m∑i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t(ek) respecto a la base ordenada {w1,...,wm}.  Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos una columna para cada uno de los n–elementos t(e1),..., t(en), formando así una matriz de orden m × n. Así toda T.L de un espacio n–dimensional V, en un espacio m dimensional W da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación matricial de T relativa a unas bases ordenadas {e1,...,en}, de V y {w1,...,wm}, para w. Teorema Dada una transformación lineal T: V → V donde dimV = n. Si T tienen una representación en matriz diagonal, existe entonces un conjunto de elementos independientes u1,...,u2 en V y un conjunto correspondiente de escalares λ1,...λn que satisfacen: T(uK) = λkuk para k=1, 2,...,n. Recíprocamente, si existe un conjunto independiente u1,...,un en V y un conjunto correspondiente de escalares λ1,...,λn que satisfacen (1), entonces la matriz A = diag(λ1,...,λn) es una representación de T respecto a la base (u1,...,un). Luego el problema de hallar una representación en matriz diagonal de una transformación lineal se reduce al de hallar el elemento sin dependientes u1,...,un y los escalares λ1,...,λn que satisfacen T(uk) = λkuk. Para k = 1, 2,...,n. Tales elementos u1,...,un y λ1,...,λn, se conocen como autovectores y autovalores respectivamente. Teorema Sea una matriz de n × n se dice que λ es un valor propio de A ssi P(λ)=det(A − λi) = 0 Esta es la ecuación característica de A, P(λ) se llama polinomio característico de A. Teorema Sea A una matriz real o compleja de orden n × n, entonces exite una matriz C compleja invertible de orden n × n talque C−1 AC = J

Donde J es la matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal son los valores propios de A. Mas aun la matriz de Jordan es única, excepto por el orden (dado por la base ordenada fija) en el que aparecen los bloques de Jordan. Una   manera   de   facilitar   el   trabajo   con   una   transformación   lineal,   es   asociarle   una matriz, para lo cual es necesario considerar un par de bases ordenadas.  Definición  Sean   dos   espacios   vectoriales   sobre   ,   además   bases   ordenadas   de   respectivamente   y     una   transformación   lineal   de   en   Se define la matriz asociada a  en las bases  a 

denotada por 

donde  Además si la base  del espacio de partida es igual al del espacio de llegada, la matriz asociada a la transformación lineal se denota por  2.1 TRANSFORMACIONES LINEALES

Y

SISTEMAS

DE

ECUACIONES

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices. Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si: a) Se intercambian dos renglones. Símbolo:

Ri

Rj .

b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRi Ri. c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Símbolo: + R j Rj .

kRi

Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo. Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y - 2z = 4 Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:

Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes.

(-4)R1 + R2

R2

(-3)R1 + R3

R3

(-(1÷ 3))R2

R2

(-1)R3

R3

(-5)R2 + R3

R3

Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:

Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución. La matriz final de la solución es una forma escalonada.

En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones: a) El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1. b) La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo. c) Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz. Ejemplo: Sea la matriz:

,

es "una matriz escalonada"

Guías para hallar la forma escalonada de una matriz. (a) Localizar la primer columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer renglón de esa columna. (b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglones restantes. (c) Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna. (d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en cada uno de los renglones restantes. (e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento. (f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada. Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo: Resuelve el sistema:

Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada, según se describe en las guías.

R1

R4

R2

R3

(1)R1 + R3

R3

(-2)R1 + R4

R4

(-1)R2

R2

(-(1÷ 2))R2

R2

(-1)R2 + R3

R3

(-1)R2 + R4

R4

(3)R3 + R4

R4

La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones:

(-(1÷ 2))R4

R4

Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que w = -1; de la tercera ecuación vemos que z = -2 . Sustituimos en la segunda ecuación, y obtenemos: y - 2z - w = 6 y - 2(-2) - (-1) = 6 y+4+1=6 y=1 Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación: x + z + 2w = -3 x + (-2) + 2(-1) = -3 x - 2 - 2 = -3 x=1 Por lo tanto, el sistema tiene una solución: x = 1, y = 1, z = -2, w = -1.

3. Ejemplos de transformaciones dilatación, contracción, rotación)

lineales

(reflexión,

Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo ) Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de en que gira cada vector un ángulo , para obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que

y

tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación que .

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo

y es lineal, ya que:

tal

Ejemplo 8. (Reflexión sobre el eje x) En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de que cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector una gráfica, vemos la situación como sigue:

en . En

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x) En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en que a cada vector lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos el siguiente subespacio de :

Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien, tiene un complemento directo, a saber,

De tal forma que cada vector se escribe en forma única como suma de un vector de más un vector de como sigue:

Notamos que la proyección sobre el eje x, manda a sobre , el cual es precisamente el término correspondiente a en la descomposición anterior! Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue: Definición. Sea V un espacio vectorial y sea un subespacio tal que existe el complemento directo de en V, es decir tal que , de tal forma que cada vector se escribe en forma única como: Con y transformación

. Definimos entonces la proyección sobre , como aquella tal que .

Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si , con y , entonces con y . Por lo tanto, de acuerdo a la definición de T, tenemos que: En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de la proyección sobre el eje x. Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificar sobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cual es el complemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede tener distintos complementos directos. El mismo eje x, tiene el siguiente complemento directo: En efecto, es claro que cada

se escribe como

es un subespacio de

y

. Además,

. Todo esto demuestra que

. Usando esta descomposición y la definición de proyección, tendremos que en este caso, la transformación queda dada como sigue: Así pues, por cada complemento directo que tengamos a la mano, podemos definir una proyección asociada a dicha descomposición.

Ejemplo contracción Una  contracción es una  transformación  que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.

Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal A 

k 0 cuando K=1/2 0 1

1/ 2 0 1 4 0 1 Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal. VA  2 4

Ejemplo dilatación o expansión Una dilatación es una transformación que incrementa distancias. Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical A 

VA  2 4

1 0  2 8 0 2

Expansión horizontal (k71) o contracción (0