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CALCULO DIFERENCIAL Grupo: 100410_22 UNIDAD 2 - TAREA 3 LIMITES Y CONTINUIDAD

TUTOR. LUIS FERNANDO ARIAS RAMIREZ

ESTUDIANTE. DIEGO FERNANDO AGUDELO CODIGO. 1.014.198.478 LILIANA SIADO WEEBER CODIGO. 52.764.867 DIEGO MAURICIO SUAZA CODIGO. 79.733.193 EDWIN MONTOYA GUTIERREZ CODIGO. 6.019.361 ELKIN DARIO HERNANDEZ RESTREPO CODIGO. 98.602.155

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CEAD JOSE ACEVEDO Y GOMEZ BOGOTA D.C. JULIO DE 2.018

.INTRODUCCION. En el desarrollo del presente trabajo colaborativo abordaremos el análisis de las temáticas de la unidad 2 haciendo profundización en el tema de límites y continuidad, con el estudio de estas se nos permite determinar información relevante para el desarrollo de los problemas planteados, aplicando los conceptos y fórmulas de los documentos indagados por cada estudiante, aumentando nuestra capacidad de razonamiento, enseñándonos cómo se deben emplear de forma adecuada las fórmulas, para establecer similitudes y reconocer diferencias de manera autónoma.

.DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD. EJERCICIOS. EDWIN MONTOYA Ejercicios y Graficas Tarea 1 – ESTUDIANTE 1 Principio sustitución: 25 − (𝑥 + 1)2 lim (√ ) 𝑋→4 5+𝑥+1

25 − (4 + 1)2 25 − 16 + 8 + 1 0 lim (√ ) (√ ) = (√ ) = 0 𝑋→4 5+4+1 10 10

Forma indeterminada: a. lim = 𝑥→64

𝑥 − 64 √𝑥 − 8

=

𝑥 − 64 √𝑥 + 8 ∗ √𝑥 − 8 √𝑥 + 8

𝑥 − 64 √𝑥 + 8 (𝑥 − 64)(√𝑥 + 8) (𝑥 − 64)(√𝑥 + 8) ∗ = = = (√𝑥 + 8) 2 𝑥→64 √𝑥 − 8 √𝑥 + 8 𝑥 − 64 (√𝑥) − 82 lim

lim (√𝑥 + 8) = (√64 + 8) = 8 + 8 = 16

𝑥→64

b. √2ℎ + 3 − ℎ (√2ℎ + 3 − ℎ) ∗ (√2ℎ + 3 + ℎ) = ℎ→3 ℎ−3 (ℎ − 3) ∗ (√2ℎ + 3 + ℎ) lim

2

lim

ℎ→3

(√2ℎ + 3) − ℎ2 (ℎ − 3) ∗ (√2ℎ + 3 + ℎ)

lim −

ℎ→3

=−

=

2ℎ + 3 − ℎ2 (ℎ − 3) ∗ (√2ℎ + 3 + ℎ)

(ℎ + 1)(ℎ − 3) (ℎ − 3) ∗ (√2ℎ + 3 + ℎ) (3 + 1)

√( 2 ∗ 3) + 3 + 3

=−

=− 4

√9 + 3

(ℎ + 1) √2ℎ + 3 + ℎ =−

4 2 =− 6 3

Límites al infinito

4𝑥 5 − 6𝑥 4 + 3𝑥 2 4𝑥 5 4𝑥 2 lim = 3= =∞ ℎ→∞ 3𝑥 3 + 5𝑥 2 + 6𝑥 3𝑥 3

Regla para el caso de límites, en +∞ o en -∞, de cocientes de polinomios Si p(x) y q(x) son dos polinomios tales que el término de mayor grado de p(x) es 𝑎𝑥 𝑚 y el término de mayor grado de q(x) es 𝑏𝑥 𝑛 , entonces se tiene: 𝑝(𝑥) 𝑎𝑥 𝑚 = lim 𝑥→∞ 𝑞(𝑥) 𝑥→∞ 𝑏𝑥 𝑛 lim

Limites Funciones Trigonométricas 𝑠𝑒𝑛3∅ 3 = ∅→∞ 2∅ 2 lim

Graficar Función a Trozos encontrando el punto de continuidad

𝑥 = √𝑥 + 𝑎 ; 𝑆𝑖 𝑥 < 7 𝑥 = 4 + 𝑥 ; 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 7

LILIANA SIADO WEEBER. Ejercicios y Graficas Tarea 1 – ESTUDIANTE 2 Principio sustitución: (𝑥 2 − 9)(𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥) 𝑋→3 𝑥 2 − 3𝑥 lim

(32 − 9)(33 + 2(3)2 − 9) 𝑋→3 9−9 lim

(9 − 9)(27 + 18 − 9) 𝑋→3 9−9 lim

0

lim = 0

𝑋→3 0

DIEGO FERNANDO AGUDELO Ejercicios y Graficas Tarea 1 – ESTUDIANTE 3

1) Principio de sustitución lim (3𝑥 − 7) 𝑥→3

Se reemplaza x por 3 R/ lim (3(3) − 7) 𝑥→3

lim 9 − 7

𝑥→3

lim = 2

𝑥→3

2) Forma indeterminada: 3 √𝑥 − 1 lim 𝑥→1 𝑥 − 1 lim

√5 + 𝑛 − √5 √2𝑛

𝑛→0

R/ 2.1) 3

√𝑥 − 1 𝑥→1 𝑥 − 1 lim

Se evalúan los límites por separado y reemplazando valores en las variables por lo que tenemos: 3

lim √1 − 1

𝑥→1

lim 1 − 1

𝑥→1

0

Lo anterior nos arroja un resultado 0; desarrollamos la fracción, se multiplica nuestra expresión por lo tanto: 3

√𝑥 2 ∗ 3√𝑥 + 1

𝑙𝑖𝑚(𝑥 → 1) =

(∛(𝑥 − 1)) ∗ (∛(𝑥^2 ) + ∛(𝑥 + 1) 3

(𝑥 − 1) ∗ (√𝑥 2 + 3√𝑥 + 1)

Para esta resolución utilizamos la forma (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) = 𝑎3 + 𝑏 3 𝑥−1

lim

𝑥→1 (𝑥

3

3

− 1) ∗ (√𝑥 2 + √𝑥 + 1)

Se simplifica la expresión y se obtiene: lim

1 3

𝑥→1 (√𝑥 2

3

+ √𝑥 + 1)

Por último evaluamos el límite sustituyendo el valor de x por 1 lim

1 3

𝑥→1 (√12

3

+ √1 + 1)

=

1 = 0.33 3

2.2) lim

√5 + 𝑛 − √5

𝑛→0

√2𝑛

lim √5 + 𝑛 − √5

𝑛→0

lim = 0

𝑛→0

El valor de √2𝑛 se reemplaza por el limite que representa n, en este caso 0 y al multiplicar este por 2 tenemos que el resultado es 0 y esta es la razón por la que se elimina de la operación. Como el resultado es una indeterminación se transforma la expresión. lim

√2𝑛

𝑛→0 2(√5 +

lim

𝑛 + √5)

√2(0)

𝑛→0 2(√5 +

0 + √5)

√0

lim

𝑛→0 2(2 ∗

√5)

Después de evaluar obtenemos que el límite de la expresión es 0.

3) Límites al infinito. √𝑥 2 − 1 𝑥→∞ 2𝑥 + 1 Se factoriza en factor de x lim

√1 − 12 𝑥 lim 𝑥→∞ 2𝑥 + 1 1 𝑥2 lim 1 𝑥→∞ 𝑥(2𝑥 + ) 2 𝑥 √1 −

Se simplifica y obtenemos √1 − 12 𝑥 lim 1 𝑥→∞ 2+2 Evaluamos el límite, cuando reemplazamos x por infinito tenemos como resultado 0. lim

√1 − 0 2+0

lim

√1 2

𝑥→∞

𝑥→∞

lim =

𝑥→∞

1 2

4) Límites y funciones trigonométricas

5𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 2) lim [ ] 𝑥→0 𝑥 2 + 2𝑥

5 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 2) lim [ ] 𝑥→0 22 + 2(2)

DIEGO MAURICIO SUAZA Ejercicios y Graficas Tarea 1 – ESTUDIANTE 4 1. Desarrollar mediante el principio de sustitución:

𝟑 𝐥𝐢𝐦 ( + 𝟏) 𝒙→𝟑 𝒙 lim 3

𝑥→3

lim 𝑥

+ lim 1 𝑥→3

𝑥→3

3 ( + 1) = 2 3 𝟑 𝐥𝐢𝐦 ( + 𝟏) = 𝟐 𝒙→𝟑 𝒙 2. Forma indeterminada:

a. 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒙→−𝟏 𝒙+𝟏 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏) 𝒙→−𝟏 (𝒙 + 𝟏) 𝐥𝐢𝐦

𝐥𝐢𝐦 𝒙 + 𝟏

𝒙→−𝟏

𝐥𝐢𝐦 (𝒙) + 𝐥𝐢𝐦 𝟏

𝒙→−𝟏

𝒙→−𝟏

−𝟏 + 𝟏 = 𝟎 b. √𝒗 + 𝟏 − 𝟐 𝒗→𝟑 𝒗−𝟑

𝐥𝐢𝐦

(√𝒗 + 𝟏)𝟐 − 𝟐𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒗→𝟑 𝒗−𝟑 𝒗+𝟏−𝟒 𝒗→𝟑 𝒗−𝟑

𝐥𝐢𝐦

𝒗−𝟑 𝒗→𝟑 𝒗 − 𝟑

𝐥𝐢𝐦

𝟑−𝟑 𝟎 = 𝟑−𝟑 𝟎

3. Límites al infinito:

𝐥𝐢𝐦 √𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝒙

𝒙→∞

𝐥𝐢𝐦 (√𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝒙) ∗

𝒙→∞

𝐥𝐢𝐦

√𝟑𝒙 + 𝟐 + 𝒙

(√𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝒙)𝟐 − 𝒙𝟐 √𝟑𝒙 + 𝟐 + 𝒙

𝒙→∞

𝐥𝐢𝐦

√𝟑𝒙 + 𝟐 + 𝒙

(𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝒙) ∗ (−𝟏) √𝟑𝒙 + 𝟐 + 𝒙

𝒙→∞

𝐥𝐢𝐦

𝒙→∞

𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟐 √𝟑𝒙 + 𝟐 + 𝒙

𝟑 𝟐 𝟏−𝒙− 𝟐 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞ 𝟑 √ + 𝟐𝟐 + 𝟏 𝒙 𝒙 𝒙 𝟏−𝟎−𝟎 √𝟎 + 𝟎 + 𝟎

=

𝟏 =∞ 𝟎

4. Límites de funciones trigonométricas:

𝟐𝒙 − 𝟏 𝐥𝐢𝐦 ( ) 𝒙→𝟎 𝒄𝒐𝒔 𝒙

5. Graficar función a trozos encontrando el punto de continuidad (Geogebra) 𝒂𝒙𝟐 − 𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 > −𝟐 𝒇(𝒙) = [ ] 𝟐𝒙, 𝒔𝒊 𝒙 < −𝟐

ELKIN DARIO HERNANDEZ Ejercicios y Graficas Tarea 1 – ESTUDIANTE 5 EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 3: LIMITES Y CONTINUIDAD Principio de sustitucion: lim (𝑥 2 − 3𝑥 + 1)

𝑥→−3

= (−3)2 − 3(−3) + 1 =9+9+1 = 19

Forma indeterminada: 𝑥−64

lim

𝑥→64 (√𝑥)−8

𝑥 − 64

lim

𝑥→64 (√𝑥) −

∗

√𝑥 + 8

8 √8 + 8

(𝑥 − 64)(√𝑥 + 8)

lim

𝑥→64 √𝑥 2

+ 8√𝑥 − 8√𝑥 − 64

(𝑥 − 64)(√𝑥 + 8)

lim

𝑥→64

√𝑥 2 − 64

lim

(𝑥 − 64)(√𝑥 + 8) 𝑥 − 64

𝑥→64

lim √𝑥 + 8

𝑥→64

lim √64 + 8

𝑥→64

lim 8 + 8

𝑥→64

= 16

𝑥 3 −1

lim 𝑥 2 −1

𝑥→1

(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 − 1) 𝑥→1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) lim

(𝑥 2 + 𝑥 − 1) 𝑥→1 (𝑥 + 1) lim

lim

𝑥→1

𝑥(𝑥 + 1) − 1 (𝑥 + 1)

𝑥(𝑥 + 1) 1 − 𝑥→1 (𝑥 + 1) (𝑥 + 1) lim

lim 𝑥 −

1 (𝑥 + 1)

lim 1 −

1 (1 + 1)

lim 1 −

1 (2)

𝑥→1

𝑥→1

𝑥→1

2−1 𝑥→1 2 lim

=

1 2

Limites al infinito: 𝑥 4 +3𝑥

lim [ 3 2 ] 3𝑥 −4𝑥

𝑥→∞

𝑥(𝑥 3 + 3) 𝑥→∞ 𝑥(3𝑥 2 − 4𝑥) lim

𝑥3 + 3 𝑥→∞ 3𝑥 2 − 4𝑥 lim

𝑥3 3 3+ 3 lim 𝑥 2 𝑥 𝑥→∞ 3𝑥 4𝑥 − 3 𝑥3 𝑥 3 3 𝑥 lim 4 𝑥→∞ 3 𝑥 − 𝑥2 1+

lim 1 + lim lim

3

𝑥→∞ 𝑥 3

𝑥→∞

3

𝑥→∞ 𝑥

− lim

4

𝑥→∞ 𝑥 2

1+0 1 = 0−0 0

Limites de funciones trigonometricas: lim 𝑠𝑒𝑛 5𝑥

𝑥→0

X

Sen 5X

0.9

0.070

0.8

0.062

0.7

0.054

0.6

0.047

0.5

0.039

0.4

0.0314

0.3

0.023

0.2

0.015

0.1

0.000785

0.01

0.0000785

0.001

0.00000785

0.0001

0.000000785

0.00001

0.0000000785

0.000001

0.00000000785

Respuesta 0.000785 Graficas a trozos encontrando el punto de continuidad (Geogebra): 3𝑎𝑥 2 −4 { 4𝑥−7

4𝑥

, 𝑠𝑖 𝑥 > 2

𝑠𝑖 𝑥 < 2

𝑓(𝑥) =

.PROBLEMAS. PROBLEMAS ESTUDIANTE 1.- EDWIN MONTOYA PROBLEMAS DE APLICACIÓN A LIMITES DE ELECTRONICA, SISTEMAS, TELECOMUNICACIONES y AUTOMATIZACION PARA LIMITES 2. La ley de coulomb para cargas eléctricas expresa como C (coulomb) cargas del mismo signo se repelen y cargas de signos opuestos se atraen con una fuerza que depende de las cargas y de la distancia de separación al cuadrado(𝑚2 ). En base a ello y conociendo que la constante de coulomb es de 𝐾 = 9 ∗ 109

𝑁𝑚2 𝑐2

y el producto de las cargas 𝑞1 ∗ 𝑞2 = 10𝑐 2 , calcule la fuerza de las cargas

cuándo la distancia es de 10 metros. Se tiene la expresión 𝐹(𝑟) = lim 𝐾 ∗ 𝑟→10

𝑞1 ∗ 𝑞2 𝑟2

Reemplazando los datos del enunciado se llega a: 𝑁𝑚2 10[𝐶 2 ] 𝐹(𝑟) = lim 9 ∗ 109 [ 2 ] ∗ 𝑟→10 𝐶 𝑟2

𝐹(𝑟) = lim 9 ∗ 109 ∗ 𝑟→10

10 [𝑁𝑚2 ] 𝑟2

9 ∗ 1010 [𝑁𝑚2 ] 𝐹(𝑟) = lim 2 𝑟→10 𝑟 𝐹(10) =

9 ∗ 1010 [𝑁] = 900000000[𝑁] = 9 ∗ 108 [𝑁] 102

3. En un equipo electrónico es necesario controlar la corriente y el voltaje puesto que se encuentra diseñado para funcionar con ciertos parámetros en cuanto a flujo de corriente o voltaje. Cuando se exceden estos valores límites se pueden dañar los equipos. Determine para qué valor de voltaje la corriente tiende a menos infinito. Se tiene la expresión: 𝑉(𝑖) =

3𝑖 6 + 3𝑖 3 + 2 7𝑖 6 + 𝑖 3 − 1

Se pide evaluar: 3𝑖 6 + 3𝑖 3 + 2 𝑖→∞ 7𝑖 6 + 𝑖 3 − 1

𝑉(∞) = lim Se dividen todas las i por la de mayor potencia

3 + 3𝑖 −3 + 2𝑖 −6 𝑉(±∞) = lim 𝑖→∞ 7 + 𝑖 −3 − 1𝑖 −6 𝑉(±∞) =

3 + 3 ∗ ∞−3 + 2 ∗ ∞−6 7 + ∞−3 − ∞−6

𝑉(±∞) =

3+3∗0+2∗0 7+0−0

Entonces la solución es: 𝑉(±∞) =

3 7

9. Las variables de procesos son aquellas que pueden cambiar las condiciones de un proceso industrial ya sean, sus aspectos físicos, químicos o ambos según la composición de la sustancia, que pueden afectar al producto. En un nuevo proceso aplicado a la industria automotriz, es necesario determinar si existe continuidad en la viscosidad dinámica (𝑃) de un nuevo compuesto que se desea utilizar dado por la siguiente función.

𝑓(𝑃) = {

−𝑃 𝑠𝑖 𝑃 ≤ 0 log 𝑃 𝑠𝑖 𝑃 > 0

Para que la función sea continua, debe tener el mismo valor en la frontera de las dos funciones a trozos, es decir, se debe cumplir que: −𝑃 = log(𝑃) En P=0 Es decir, 0 = log(0) 0 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 En este caso, el log 0, no está definido. Tiende a más o menos infinito. Lo que si es verificable en la expresión es que no se cumple la igualdad, por lo tanto, no existe continuidad. 10.10. Los Diodos Schottky se utilizan cuando se necesita una caída de tensión directa muy pequeña para circuitos con tensiones de salida pequeñas. Tienen limitada su capacidad de bloquear tensión. Calcular el valor de a para que la función que define el funcionamiento del diodo shottky sea continua.

𝑓(𝑉) = {

𝑉+1 𝑠𝑖 𝑉 ≤ 1 3 − 𝑎𝑉 2 𝑠𝑖 𝑉 > 1

se comprueba la igualdad para asegurar continuidad: 𝑉 + 1 = 3 − 𝑎𝑉 2 En V=1 Entonces, 1 + 1 = 3 − 𝑎 ∗ 12 2 = 3 − 𝑎 ∗ 12 2= 3−𝑎 𝑎=1 Entonces la ecuación a trozos queda definida como:

𝑓(𝑉) = {

𝑉 + 1, 3 − 𝑎𝑉 2 ,

𝑠𝑖 𝑣 ≤ 1 𝑠𝑖 𝑣 > 1

PROBLEMAS SOBRE LÍMITES APLICADOS A LAS CIENCIAS DE LAS SALUD. 1. Durante una Reacción química en la cual una sustancia A se descompone, la masa (en gramos) 1 de A restante en un tiempo 𝑡 está dada por𝑚(𝑡) = 9 − 3𝑡 + 4 𝑡 2 . Encuentre 𝑚´(𝑡) e interprete esta cantidad. Evalúe 𝑚´(6). Se tiene la expresión: 1 𝑚(𝑡) = 9 − 3𝑡 + 𝑡 2 4 Su derivada es: 2 𝑚′ (𝑡) = −3 + 𝑡 4 1 𝑚′ (𝑡) = −3 + 𝑡 2 La derivada representa la tasa de cambio de la masa de A restante. Es decir, evidencia la información de cómo esta masa restante cambia en el tiempo. A partir de la ecuación es claro que a través del tiempo se aumenta la cantidad de masa restante, puesto que la derivada es una recta con pendiente positiva. Finalmente, se tiene: 𝑚′ (6) = −3 +

1 6 ∗ 6 = −3 + = −3 + 3 = 0 2 2

2. Según la ley de Schütz-Borisoff, la cantidad 𝑦 de sustrato transformada por una enzima en un intervalo de tiempo 𝑡 está dada por 𝑦 = 𝑘√𝑐𝑎𝑡 , donde 𝑐 es la concentración de la enzima, 𝑎 es la concentración inicial de sustrato y 𝑘 es una constante. ¿Cuál es la razón a la cual el sustrato está siendo transformado? Se tiene la expresión 𝑦(𝑡) = √𝑐𝑎𝑡 Para encontrar la razón a la cual el sustrato está siendo transformado se debe derivar. En primer lugar, se reescribe la expresión:

1

𝑦(𝑡) = (𝑐𝑎𝑡)2 1 1

𝑦(𝑡) = (𝑐𝑎)2 𝑡 2 Entonces la derivada es: 1 1 1 𝑦 ′ (𝑡) = (𝑐𝑎)2 ∗ 𝑡 2−1 2 1 1 1 𝑦 ′ (𝑡) = (𝑐𝑎)2 𝑡 −2 2 1

𝑦

′ (𝑡)

1 𝑐𝑎 2 = ( ) 2 𝑡

Entonces la razón solicitada es: 1

1 𝑐𝑎 2 ( ) 2 𝑡 PROBLEMAS SOBRE CONTINUIDAD APLICADOS A LAS CIENCIAS DE LA SALUD. 1. Un laboratorio farmacéutico es capaz de producir 750 unidades en cada turno de ocho horas. Por cada turno trabajado, hay un costo fijo de US 1000 (luz, calefacción, impuestos, etc.). El costo variable por unidad es de US 1. a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno. b) Analice su continuidad. Se tienen los siguientes datos: 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑛 = 750 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜: 𝑐𝑓 = 1000 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝑐𝑣 = 1 a. La ecuación de costo de x unidades por turno es: 𝑐𝑡 = 1 ∗ 𝑥 + 1000 Reduciendo 𝑐𝑡 = 𝑥 + 1000 b. Se puede saber que la función es continua, porque su ecuación es la de una recta. Por lo tanto, es continua. Otra forma de saberlo es que su dominio es continuo. No tiene puntos de indeterminación.

1. El costo de transportar una flota de ambulancias depende de la distancia 𝑥, en kilómetros, que se transporta la flota. Sea (𝑥) el costo de mover una flota de ambulancias𝑥 kilómetros. Una empresa cobra: Costo por km (en US) 2 1,50 1,25 a) Escriba analíticamente la función costo.

Distancia (en km) si 0 < 𝑥 ≤150 si 150 < 𝑥 ≤ 400 si 𝑥 > 400

La función costo es: 2𝑥, 𝑐(𝑥) = {1.5𝑥, 1.25𝑥,

0 < 𝑥 ≤ 150 150 < 𝑥 ≤ 400 𝑥 > 400

b) Calcule 𝑐 (130) y (400) e interprete los resultados. Se calculan los valores solicitados: 𝑐(130) = 2 ∗ 130 = 260[𝑈𝑆$] 𝑐(400) = 1.5 ∗ 400 = 600[𝑈𝑆$] Como es de esperarse a partir de los enunciados de los valores, es más económico el costo unitario al acumular más kilómetro de viaje. En el caso de la primera se encuentra al valor en el intervalo. En el caso del segundo cálculo el valor se encuentra en la frontera, por lo que siempre es importante definir a que trozo de la función pertenece. En este caso se evalúa en la segunda condición. c) ¿Para qué valores de x es discontinua? Es discontinua para los valores en los que se cambia de trozo, porque la función no tiene los mismos valores. Para la primera, 2𝑥 = 1.5𝑥 En x=150 2 ∗ 150 = 1.5 ∗ 150

2 = 1.5 Por lo que es descontinua en x=150 Y para la segunda 1.5𝑥 = 1.25𝑥 En x=400 Donde sucede lo mismo y resulta 1.5 = 1.25 Entonces también es discontinua en x=400 Así, tiene dos puntos de discontinuidad, en x=150 y x=400. PROBLEMAS DE LÍMITESAPLICADOS AL ÁREA DE INDUSTRIAL, LÓGISTICA Y OPTIMIZACIÓN. Problema 1: La siguiente formula ayuda a calcular el monto total bajo interés continuo: 𝑆 = 𝑃𝑒 𝑟𝑡 ; es el monto total 𝑆 de un capital 𝑃 dólares después de 𝑡 años, a una tasa anual de interés 𝑟 compuesta continuamente. Con base a esta información, resuelve: Si se invierte n $300 a una tasa anual del 5% compuesto continuamente, calcular el monto acumulado al final de 4 años. 𝑆 = 𝑃𝑒 𝑟𝑡 Se tienen los siguientes datos: 𝑃 = $300 𝑟 = 0.05 𝑡 = 4 𝑎ñ𝑜𝑠 Entonces, el monto total a recibir será: 𝑆 = 300 ∗ 𝑒 0.05∗4 = $366.4208 Problema 5: La población de cierta ciudad pequeña años a partir de ahora se pronostica que será: 10.000 𝑁 = 20.000 + (𝑡+2)2 𝑁=20.000+10.000(𝑡+2)2 Determine la población a largo plazo, esto es, determine lim 𝑁. 𝑡→∞

Para encontrar el límite se hace:

lim 20000 +

𝑡→∞

10000 (𝑡 + 2)2

Se expande el polinomio: lim 20000 +

𝑡→∞

𝑡2

10000 + 4𝑡 + 4

Se realiza la división entre la potencia más grande en la fracción 10000 𝑡2 lim 20000 + 4 4 𝑡→∞ 1+𝑡 + 2 𝑡 = 20000 +

0 = 20000 1

Entonces, lim 20000 +

𝑡→∞

10000 = 20000 (𝑡 + 2)2

Así, la población a largo plazo será de 20000 individuos. PROBLEMAS DE CONTINUIDAD APLICADOS AL ÁREA DE INDUSTRIAL, LÓGISTICA Y OPTIMIZACIÓN Problema 1: Supóngase que la tarifa telefónica de larga distancia para una llamada desde Hazleton, Pennsylvania, a los Ángeles, California, es de $0.10por el primer minuto y de $0.06 por cada minuto o fracción adicional. Si y = f(t) es una función que indica el cargo total 𝑦 por una llamada de 𝑡 9 minutos de duración, haga el bosquejo de la gráfica de f para 0 < t ≤ 2 Utilice esta gráfica para 9

determinar los valores de t en los cuales ocurren discontinuidades, donde 0 < t ≤ 2 . Se tiene que para el primer minuto 𝑓(𝑡) = 0.10𝑡 Para t=1 Y luego del primer minuto, 𝑓(𝑡) = 0.1 + 0.06 ∗ (𝑡 − 1) Para t>1. Entonces la función a trozos es:

0.10𝑡, 𝑓(𝑡) = { 0.1 + 0.06 ∗ (𝑡 − 1),

𝑡=1 𝑡>1

Donde 𝑡 ∈ 𝑁. Se toma un zoom para ver la excentricidad. En este caso, no es una discontinuidad, porque claramente la línea nunca se divide. Esta es una excentricidad. Eso significa que en ese punto la curva no tiene una derivada. Problema 5: (Costo de un empleado) Denotemos con 𝑓(𝑥) el costo por semana que una empresa gasta en el contrato de un empleado que trabaja x horas por semana. Este costo consta de (1) un costo fijo de $20, (2) un sueldo de $6 por hora durante las primeras 35 horas, (3) un salario extra de $9 la hora por horas laboradas más allá de las 35 pero sin llegar a las 45 horas, y (4) un salario extraordinario de $12 por horas laboradas sobrepasando las 45. Estudie la continuidad y la diferenciabilidad de 𝑓(𝑥) y dibuje su gráfica. 1. Se tiene un costo fijo de 20. 2. 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑑𝑜 = 6 ∗ 𝑡 Para 0 < 𝑡 ≤ 35 3. 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑑𝑜 = 9 ∗ 𝑡 Para 35 < 𝑡 ≤ 45 4. 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑑𝑜 = 12 ∗ 𝑡 Para 𝑡 > 45 Así, se tiene la función costo f(t), como: 20 + 6 ∗ 𝑡, 𝑓(𝑡) = { 20 + 9 ∗ 𝑡, 20 + 12 ∗ 𝑡,

𝑠𝑖 0 < 𝑡 ≤ 35 𝑠𝑖 35 < 𝑡 ≤ 45 𝑠𝑖 𝑡 > 45

La gráfica del salario es:

A partir de la gráfica se puede evidenciar como para las fronteras de los intervalos de la función a trozos, se encuentran discontinuidades. Esto es notable desde la ecuación puesto que, al transcurrir los intervalos, se altera el salario sin tener en cuenta el que había anteriormente. Puesto que la función no es continua no es diferenciable. Sin embargo, se podría realizar una

PROBLEMAS ESTUDIANTE 2.- LILIANA SIADO WEEBER Problema 4: Si c es el costo total en dólares para producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad para una producción de q unidades está dado por: 𝑐 = 𝑐/𝑞 Así, si la ecuación de costo total es𝑐 = 5000 + 6𝑞, entonces. Por ejemplo, el costo total para la producción de 5 unidades es $5030, y el costo promedio por unidad en este nivel de producción es $1006. Por medio de la determinación de lim𝑞→∞ , demuestre que el costo promedio se aproxima a un nivel de estabilidad si el productor aumenta de manera continua la producción. ¿Cuál es el valor límite del costo promedio?

Si consideramos que Th es la variable y Tc es nuestro valor del intervalo (a) entonces: Lim. E = Lim. Th – Tc = Lim x – a Th →Tc Th →Tc Th x →a a Dándole un valor arbitrario a “a” tenemos: Lim. x – 1 = 1 – 1 = 0/1 = 0 x →1 x 1 Hay continuidad y la grafica es: y=(x-1)/(x)

PROBLEMAS SOBRE LÍMITES APLICADOS A LAS CIENCIAS DE LAS SALUD. 2. Al principio de un experimento se encontró que en un cultivo de bacterias había 10000 individuos. Se observó el crecimiento de la población y se encontró que en un tiempo posterior (𝑕𝑜𝑟𝑎𝑠) después de empezado el experimento, el tamaño de la población (𝑡) se podía expresar por la fórmula: 𝑝 𝑡 = 2500 2 + 𝑡 2 . Determine la fórmula de la razón de crecimiento de la población en cualquier tiempo 𝑡 y en particular calcule la razón de crecimiento para 𝑡 = 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 y para 𝑡 = 2 𝑕𝑜𝑟𝑎𝑠.

𝐏 ′ (𝐭) = 𝟐𝟓𝟎𝟎(𝐭 𝟐 + 𝟒) = 𝐏 ′ (𝐭)𝟐𝟓𝟎𝟎(𝟐𝐭) = 𝐏 ′ (𝐭) = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎𝐭 𝟏 𝟏 𝟏 𝐏 ′ ( ) = 𝟓𝟎𝟎𝟎 ( ) = 𝐏 ′(𝟒) = 𝟏, 𝟐𝟓𝟎 𝟒 𝟒 ′ (𝟐) 𝐏 = 𝟓𝟎𝟎𝟎(𝟐) = 𝐏 ′ (𝟐) = 𝟏𝟎, 𝟎𝟎𝟎

4. Una enfermedad infecciosa y debilitante se propaga lentamente en una población. El número de individuos infectados después de 𝑡 meses está dado mediante la fórmula: 𝑁(𝑡) = 1000(𝑡 3⁄2 + 𝑡 2 ) . Encuentre 𝑁´(𝑡). Evalué 𝑁´(9).

𝑵(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎𝟎 (𝟑⁄𝟐 𝒕−

𝟏⁄ 𝟐

+ 𝟐𝒕)

𝟏⁄ 𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝟎𝒕 𝟏 𝟏𝟓𝟎𝟎(𝟗) ⁄𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝟎(𝟗)

𝑵(𝒕) = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝒕−

𝑵(𝒕) = 𝑵(𝒕) = 𝟔𝟕𝟓𝟎 + 𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟒, 𝟕𝟓𝟎 𝑵′ (𝒕) = 𝟕𝟓𝟎(𝟗) + 𝟐𝟎𝟎𝟎

PROBLEMAS ESTUDIANTE 3 - DIEGO FERNANDO AGUDELO

PROBLEMAS ESTUDIANTE 4 - DIEGO MAURICIO SUAZA

Problema 7: La ingeniería social involucra una serie de técnicas utilizadas para que los usuarios desprevenidos ejecuten archivos infectados o abran enlaces a sitios web comprometidos. Este método es empleado por numerosos gusanos de correo electrónico (Email-worms) y otros tipos de malware. La tarea de los hackers y creadores de virus es convencer a los usuarios que hagan por si mismos clic a un enlace o abran un archivo infectado. Un ejemplo clásico de este género es el gusano “Love Letter”, que creó una verdadera avalancha de infecciones en mayo de 2000. Se hizo a razón de la siguiente función y es necesario determinar si la infestación fue continua en el tiempo de 5 segundos.

𝑥 2 + 25 𝑓(𝑡) = { 𝑥 − 5 0

𝑠𝑖 𝑥 ≠ 25 𝑠𝑖 𝑥 = 5

}

𝑥 2 + 25 lim 𝑥→5 𝑥 − 5 52 + 25 50 = 5−5 0 𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 =𝟎 𝒙→𝟓 𝒙 − 𝟓

𝐥𝐢𝐦

Cuando el tiempo es 5 segundos la función no es continua (Julio, 2018)

PROBLEMAS ESTUDIANTE 5 - ELKIN DARIO HERNANDEZ

PROBLEMAS DE APLICACIÓN A LIMITES DE ELECTRONICA, SISTEMAS, TELECOMUNICACIONES Y AUTOMATIZACION PARA LIMITES. 4. Un proceso industrial de manufactura de metalurgia extractiva consiste en limpiar de arsénico un concentrado de cobre, mediante una flotación diferenciada de enargita y otros sulfuros de cobre. Las variables operacionales analizadas son la velocidad de rotación (Revoluciones/minuto) y el diámetro del impulsor en metros. En la siguiente expresión.

𝑁=

𝐷𝑎2𝜌

Donde: N es la velocidad en revoluciones por minuto 𝐷𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝜌 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝐾𝑔/𝑚3 𝜇 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛𝐾𝑔/𝑚𝑠

Determine el lim ́ ite de velocidad cuando el diámetro es de 4 metros y

𝜌 𝜇

=68.56

𝐷𝑎2 𝑝 𝐷𝑎→4 𝜇

𝑁 = lim

= lim

𝐷𝑎→4

5. Todo canal de trasmisión de datos introduce errores en la información trasmitida. La relación de la tasa de errores BER se define como el número de bits erróneos recibidos 𝑁𝑒 y el número de bits trasmitidos . Determine la tasa de errores de un canal si el número de bits recibidos tiende al infinito y se define por la siguiente expresión. 𝑉𝐸𝑅 = lim

3𝑁𝑒

𝑁𝑒 →∞ √𝑁 2 𝑒

+ 3𝑁𝑒2 + 𝑁𝑒 3𝑁𝑒 𝑁𝑒2

= lim

𝑁𝑒 →∞

𝑁 2 3𝑁 𝑁 √( 𝑒2 + 2𝑒 + 𝑒2 ) 𝑁𝑒 𝑁𝑒 𝑁𝑒

3 𝑁𝑒 = lim 𝑁𝑒 →∞ 3 1 √(1 + + ) 𝑁𝑒 𝑁𝑒

= lim

𝑁𝑒 →∞

=

3 𝑁𝑒 √(1 +

4 𝑁𝑒 )

3 lim 𝑁 𝑁𝑒 →∞ 𝑒 4 √( lim 1 + lim 𝑁 ) 𝑁𝑒 →∞ 𝑁𝑒 →∞ 𝑒

=

=

0 √1 + 0 0 √1

=0

PROBLEMAS SOBRE LIMITES APLICADOS A LAS CIENCIAS DE LA SALUD.

4. Una enfermedad infecciosa y debilitante se propaga lentamente en una población. El número de individuos infectados después de 𝑡 meses está dado mediante la fórmula: 3

(𝑡) = 1000(𝑡 2 + 𝑡2). Encuentre 𝑁 (́ 𝑡). Evalué 𝑁 (́ 9). 3

lim = 1000( (9)2 + (9)2 )

𝑁(𝑡)→9

= 1000((√9)3 + (9)2 )

= 1000((3)3 + 81)

= 1000(27 + 81)

= 1000(108)

= 108000

PROBLEMAS SOBRE CONTINUIDAD APLICADOS A LAS CIENCIAS DE LA SALUD. 4. La población de bacterias de cierto cultivo sigue la ley: 𝑝(𝑡) = indica los dia ́ s transcurridos desde su inicio.

(3𝑡 2 +1)(4𝑡+1) miles (2𝑡+1)

de bacterias, donde 𝑡

1. a) ¿Qué población había al principio del estudio? 2. b) ¿Qué población habrá al cabo de una semana? 3. c) ¿hacia qué valor tiende a estabilizarse la población?

CONCLUSION 

Se logró adquirir algunos de los conceptos esenciales, necesarios para el cálculo. En adición entender los conceptos y herramientas del cálculo diferencial y relacionarlos unos con otros tanto con el álgebra como con la geometría analítica, para así poder implementarlos en la resolución de situaciones en diversas áreas tales como física, ingeniería, economía, administración, entre otras.



Se aprendió a utilizar las fórmulas para aplicarlas en las progresiones geometrías y aritméticas.



La herramienta Geogebra fue utilizada para graficar los ejercicios planteados, la cual fue muy útil para comprender su aplicación.

BIBLIOGRAFÍA



https://www.youtube.com/watch?v=k6fB0JD2bvM

Comenzado el Estado Finalizado en Tiempo empleado Puntos Calificación

jueves, 26 de julio de 2018, 19:16 Finalizado jueves, 26 de julio de 2018, 20:15 58 minutos 45 segundos 9,0/10,0 27,0 de 30,0 (90%)

Pregunta 1 Finalizado Puntúa 1,0 sobre 1,0

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Enunciado de la pregunta ÍTEM DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente. El límite de limx→−11−x2−1√1−1−x2√limx→−11−x2−11−1−x2 es: Seleccione una: a. 00

b. 11 c.

−1−1

d. 1010 Pregunta 2 Finalizado Puntúa 1,0 sobre 1,0

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Enunciado de la pregunta

limx→∝7x7−5x5+3x2−32x2+5x3−7x5−21x7limx→∝7x7−5x5+3x2−32x2+5x3−7x5−21x7 es: Seleccione una: a. -1/3 b. -3 c. 1/3 d. 3 Pregunta 3 Finalizado Puntúa 0,0 sobre 1,0

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Enunciado de la pregunta ÍTEM DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente. Calcular el límite de la siguiente función: Seleccione una: a. 0 b. Indeterminado c. -0,333333333 d. 3 Pregunta 4 Finalizado Puntúa 1,0 sobre 1,0

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Enunciado de la pregunta El límte de una constante k, es: Seleccione una: a.

∞∞

b.

−∞−∞

c. La misma constante k d. Cero Pregunta 5

limx→3x2−99x−x3limx→3x2−99x−x3

Finalizado Puntúa 1,0 sobre 1,0

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Enunciado de la pregunta ÍTEM DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente. Aplicando las reglas sobre límites, el resultado de la siguiente expresión limn→∞n3−2n+1n2−3limn→∞n3−2n+1n2−3 es: Seleccione una: a. 11 b.

∞∞

c. 1313 d. 00 Pregunta 6 Finalizado Puntúa 1,0 sobre 1,0

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Enunciado de la pregunta

ÍTEM DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente.

limx→∝(x+2−−−−−√)−(x−2−−−−−√)limx→∝(x+2)−(x−2) es: Seleccione una: a. 4 b. 0 c. 2 d. 3 Pregunta 7 Finalizado Puntúa 1,0 sobre 1,0

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Enunciado de la pregunta ÍTEM DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente.

limt→4t−4t2−t−12es:limt→4t−4t2−t−12es: Seleccione una: a.

1/41/4

b.

1/71/7

c.

1/81/8

d.

1/31/3

Pregunta 8 Finalizado Puntúa 1,0 sobre 1,0

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Enunciado de la pregunta El límite de f(x)=x cuando la variable y tiende a 20 es: Seleccione una: a. 5 b. 5y c. No existe d. x Pregunta 9 Finalizado Puntúa 1,0 sobre 1,0

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Enunciado de la pregunta El límite, cuando b tiende a 4, de Seleccione una: a.

∞∞

4b2−2b4b2−2b, es:

b. 8 c. 0 d. 56 Pregunta 10 Finalizado Puntúa 1,0 sobre 1,0

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Enunciado de la pregunta ÍTEM DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: A. 1 y 2 son correctas. B. 1 y 3 son correctas. C. 2 y 4 son correctas. D. 3 y 4 son correctas. Sea: limx→02x+1x2+2xlimx→02x+1x2+2x Calcular el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x = 0: 1. −∝−∝ 2. +∝+∝ 3. 0 4. 1 Seleccione una:

a. B b. D c. C d. A Finalizar revisión Saltar Navegación por el cuestionario

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