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Unidad 2 Tarea 2 Conteo y relaciones de recurrencia.

Presentado por: Ricardo Alonso López Elías Arturo Rojas Luz Estefany Espinosa

Grupo 204041_6

Presentado a Luis Gerardo Argoty Hidalgo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. UNAD Escuela de Ciencias de la Educación

2019

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo se refiere a las

temáticas

para resolver mediante

la

interpretación de los conceptos de teoría combinatoria, relaciones y recurrencias que se tratara como base dentro de los conceptos esenciales del curso del curso de matemáticas discretas y sus diversas aplicaciones

Este trabajo aborda esta problemática que se realizó por el interés de conocer la temáticas básicas como teoría combinatoria, relaciones y recurrencias para el desarrollo del curso .Esto permitirá identificar características necesarias para obtener un resultado o comprobarlo.

Para el desarrollo de un aprendizaje significativo para que estudiante tenga una mejor claridad

sobre el tema pero

sobre todo una buena base en los

conceptos claves del curso de matemáticas discretas aplicándolo como futuro profesional.

OBJETIVOS

Objetivo general

Desarrollar un trabajo donde el estudiante le permita entender los conceptos de teoría combinatoria, relaciones y recurrencias que se tratara dentro de las temáticas del curso de matemáticas discretas

Objetivos específicos •

Identificar los conceptos

básicos de la teoría de combinatoria ,

relaciones y recurrencias •

Recolectar información sobre las temáticas de la unidad dos del curso

de matemáticas discretas •

Realizar un trabajo en donde se evidencie lo aprendido por el estudiante

durante el tema actual

Estudiante #1 1. a. ¿Cuantos números de cuatro cifras se pueden obtener, si no debe empezar por cero y no se puede repetir ningún dígito? Respuesta: 𝑛 𝑛! ( )= (𝑛 − 𝑝)! 𝑝! 𝑝 10 10! ( )= (10 − 4)! 4! 4 10 10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 ( )= (6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1)(4𝑥3𝑥2𝑥1) 4 10 10𝑥9𝑥8𝑥7 ( )= 4 (4𝑥3𝑥2𝑥1) 10 5040 ( )= 4 24 10 ( ) = 210 4 b. Se tiene tres cajas en una hay pelotas verdes, en otra amarillas y en la última naranjas. Si cada caja contiene al menos 8 pelotas. ¿De cuantas maneras se pueden determinar 8 pelotas? En este caso se está hablando de una combinación con repetición y no importa el orden, hay 3 tipos de pelotas únicamente y se quieren sacar 8, el número de posibles combinaciones estará dado por: (𝑁 + 𝑛 − 1 )! n(N − 1)! (N+n−1)!n ! (N−1)! Donde N=3, el número de tipos de pelotas que hay n=8 la cantidad de pelotas que sacare, como se pueden sacar 8 pelotas del mismo color, no importa si hay más de 8 pelotas del mismo color. Así: (3 + 8 − 1)! 10! 10 ∗ 9 ∗ 8! 10 ∗ 9 = = = = 45 8(3 − 1)! 8! ∗ 2! 8! ∗ 2 2 Así que la cantidad de maneras de determinar las 8 pelotas es de 45

Estudiante # 1 Recurrencia y relaciones 1. El número de bacterias de una colonia se duplica cada hora. Si an es el número total de bacterias en “n” horas. Halle una relación de recurrencia para encontrar el valor de an. 𝑎𝑛 − 5𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛+2 = 0 𝑎1 = 2𝑎0 𝑎2 = 2𝑎1 = 2 ∗ 2𝑎0 = 22 𝑎0

𝑎5 𝑦 𝑎6

𝑎3 = 2𝑎2 = 2 ∗ 2 ∗ 2𝑎0 = 23 𝑎0 𝑎2 𝑎1 𝑦 𝑎0

. . .

𝑎3 = 1 𝑦 𝑎4 = 4

𝑎𝑛 = 2𝑛 𝑎0 3𝜆 − 5𝜆 + 2 = 0 𝜆=

𝜆=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

5 ± √(−5)2 − 4(3)(2) 2(3) 5 ± √1 6 𝜆1 = 1 𝑦 𝜆2 =

𝑎𝑛 = 𝐴1 + 2 3

𝑎𝑛 = 𝐴1 (𝜆1 )𝑛 + 𝐴2 (𝜆2 )𝑛 2 𝑎𝑛 = 𝐴1 (1)𝑛 + 𝐴2 ( )𝑛 3 2 𝑎3 = 𝐴1 + 𝐴2 ( )3 = 1 3 𝑎3 = 𝐴1 +

8 𝐴 =1 27 2

2 𝑎4 = 𝐴1 (1)𝑛 + 𝐴2 ( )4 3

𝐴1 +

16 𝐴 =4 81 2

8 𝐴 =1 27 2

{ 16 𝐴1 + 𝐴2 = 4 (−1) 81 8 𝐴 =1 27 2 16 −𝐴1 − 𝐴2 = −4 81 𝐴1 +

8 𝐴 = −3 81 2 𝐴2 = −

243 8

𝐴1 +

8 243 (− )=1 27 8

2 𝑎𝑛 = 𝐴1 + 𝐴2 ( )𝑛 3

𝐴1 = 10 𝑎𝑛 = 10 −

𝑎1 = 10 −

243 2 𝑛 ( ) 8 3

243 2 1 41 ( ) =− 8 3 4

𝑎2 = 10 −

243 2 2 7 ( ) =− 8 3 2

𝑎5 = 10 − 𝑎6 = 10 −

243 2 5 ( ) =6 8 3

243 2 6 22 ( ) = 8 3 3

243 2 0 183 𝑎0 = 10 − ( ) =− 8 3 8

Estudiante 2 Ejercicio: Teoría de conteo A continuación, encontrará los argumentos para el desarrollo del ejercicio: Teoría de conteo:

2.a. ¿Cuántas placas se pueden obtener si deben utilizar cuatro letras distintas de 26 posibles y al final debe tener un número de tres dígitos sin repetir número? 𝑚 = 26 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠, 𝑛 = 4 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑃𝑚,𝑛 = 𝑃26,4 =

𝑚! 26! 26! = = (𝑚 − 𝑛)! (26 − 4)! 22!

26 ∗ 25 ∗ 24 ∗ 23 ∗ 22! = 26 ∗ 25 ∗ 24 ∗ 23 = 358800 (22!)

𝑦𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑚 = 10 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠 , 𝑛 = 3 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑃10,3 = 𝐶10,3 =

𝑚! 10! 10! = = (𝑚 − 𝑛)! (10 − 3)! 7!

10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ 7! = 10 ∗ 9 ∗ 8 = 720 (7!)

𝑅𝑡𝑎 = 𝐸𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 4 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑦 3 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑛 = 358800 ∗ 720 = 258′336.000 b. Se tiene tres cajas en una hay pelotas verdes, en otra, amarillas y en la última, naranjas. Si cada caja contiene al menos 8 pelotas. ¿De cuantas maneras se pueden determinar 8 pelotas si se debe tener al menos una de cada color?

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑟 3 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛 5 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑒𝑟. 𝑆𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎, 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑚 = 3, 𝑛 = 5

𝐶≔

(𝑚 + 𝑛 − 1)! (3 + 5 − 1)! 7! 7 ∗ 6 ∗ 5! 42 = = = = = 21 𝑛! (𝑚 − 1)! 5! (3 − 1)! 5! ∗ 2! 5! ∗ 2! 2

𝑅𝑡𝑎 = 𝐻𝑎𝑦 21 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 8 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟. Ejercicio: Relaciones y recurrencia. A continuación, encontrará los argumentos para el desarrollo del ejercicio: 2. Dada la relación de recurrencia 𝟑𝒂𝒏 – 𝟓𝒂𝒏−𝟏 + 𝟐 𝒂𝒏−𝟐 = 𝟎. conocidos 𝒂𝟑 = 𝟏 𝒚 𝒂𝟒 = 𝟒. Determine el valor de los términos 𝒂𝟓 y 𝒂𝟔 , y los términos 𝒂𝟐 , 𝒂𝟏 𝒚 𝒂𝟎 . 3𝑎𝑛 – 5𝑎𝑛−1 + 2 𝑎𝑛−2 = 0 3𝑎𝑛 = 5𝑎𝑛−1 − 2 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛 = 𝑎5 =

5𝑎𝑛−1 − 2 𝑎𝑛−2 3

5𝑎4 + 2 𝑎3 5(4) + 2 (1) 20 − 2 18 = = = =6 3 3 3 3

𝑎6 =

5𝑎5 + 2 𝑎4 5(6) + 2 (4) 30 − 8 22 = = = 3 3 3 3

𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑎2 , 𝑎1 𝑦 𝑎0 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑛 − 1 𝑜 𝑛 − 2. 2 𝑎𝑛−2 = −3𝑎𝑛 + 5𝑎𝑛−1

𝑎𝑛−2 =

−3𝑎𝑛 + 5𝑎𝑛−1 2

−3𝑎4 + 5𝑎3 −3(4) + 5(1) −12 + 5 7 = = =− 2 2 2 2

𝑎2 =

7 35 −6 − 35 41 −3𝑎3 + 5𝑎2 −3(1) + 5 (− 2) −3 − 2 2 𝑎1 = = = = =− 2 2 2 2 2 2 =−

41 4

7 41 21 41 ∗ 5 84 − 410 − 4 −3𝑎2 + 5𝑎1 −3 (− 2) + 5 (− 4 ) 8 𝑎0 = = = 2 = 2 2 2 2 =−

326 16 =−

163 8

Estudiante 3 TEORIA DE CONTEO: 3a. ¿De cuantas maneras se pueden pintar 12 puertas de tal manera que 3 de ellas sean verdes, 2 rosas, 2 amarillas y las restantes blancas? Solución: Usamos combinatoria tipo permutación con repetición 𝑷𝒏

𝑷𝑹𝒂,𝒃,𝒄 = 𝒂!𝒙𝒃!𝒙𝒄! 𝒏 N: 12 puertas a: 3 Verdes b: 2 rosas c: 2 amarillas d: 5 blancas Reemplazamos valores y simplificamos 𝟏𝟐!

𝑷𝑹𝟑𝟏𝟐𝟐 𝟐 𝟓 = 𝟑!𝟐!𝟐!𝟓! = 𝟑𝟗𝟗𝟏𝟔𝟖𝟎 𝟔𝒙𝟐𝒙𝟐

=

𝟑𝟗𝟗𝟏𝟏𝟔𝟖𝟎 𝟐𝟒

𝟏𝟐𝒙𝟏𝟏𝒙𝟏𝟎𝒙𝟗𝒙𝟖𝒙𝟕𝒙𝟔𝒙𝟓𝒙𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏 (𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏)(𝟐𝒙𝟏)(𝟐𝒙𝟏)(𝟓𝒙𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏)

= 𝟏𝟔𝟔𝟑𝟐𝟎 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒔

=

𝟏𝟐𝒙𝟏𝟏𝒙𝟏𝟎𝒙𝟗𝒙𝟖𝒙𝟕𝒙𝟔 (𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏)(𝟐𝒙𝟏)(𝟐𝒙𝟏)

=

3b. ¿De cuantas formas pueden distribuirse 12 libros idénticos de matemáticas entre cuatro estudiantes? Solución: N: 12 R: 4 𝑛!

𝑛𝐶𝑟 = (𝑛−𝑟)!𝑥𝑟! Reemplazamos valores y simplificamos 12!

𝑛𝐶𝑟 = (12−4)!4! = 12𝑥11𝑥10𝑥9 4𝑥3𝑥2𝑥1

=

11880 24

12𝑥11𝑥10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 8!4!

=

12𝑥11𝑥10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 (8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1)(4𝑥3𝑥2𝑥1)

=

= 𝟒𝟗𝟓 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒓

Relaciones y recurrencias

3. Dada la relación de recurrencia lineal con coeficientes constantes: 3an– 5an-1 + 2an-2 = n2 + 5. Encuentre la ecuación característica asociada a la relación de recurrencia Solución: 1. Se iguala la función a cero 𝟑𝒂𝒏 − 𝟓𝒂𝒏−𝟏 + 𝟐𝒂𝒏−𝟐 = 𝟎 2. Se reemplaza el valor de “a” por “x” 𝟑𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟐𝒙 = 𝟎 3. Se constituye un polinomio de segundo grado 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟎 Esta es la ecuación característica asociada a la relación de recurrencia