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1. Enuncie el Teorema de Gauss–Márkov. ¿Bajo qué supuestos es válido el teorema? El Teorema de Gauss-Márkov establece los supuestos que debe cumplir un estimador MCO (Mínimo Cuadrados Ordinarios) para que se considere ELIO (Estimador lineal insesgado óptimo).  



i.

ii.

iii. iv. v. vi.

Bajo supuestos 1,2 y 3 el estimador MCO es lineal e insesgado. Ahora bien, no siempre que se cumplen los tres primeros supuestos se puede asegurar que el estimador es insesgado. Para que el estimador sea también consistente debemos tener una muestra amplia, cuanto más mejor. Bajo supuestos 1, 2, 3, 4 y 5 el estimador MCO es lineal, insesgado y óptimo. Es decir, es un estimador lineal insesgado óptimo Supuesto de regresión 1 El valor de Y por cada valor de x es Y = β1 + β 2 + ϵ Supuesto de regresión 2 E (ϵi) = 0 E (Yi) = = β1 + β2 + x Supuesto de regresión 3 Varianza (Ei) = G2 (Homocedasticidad) Supuesto de regresión 4 Covarianza (Ei, Ej) = 0 Supuesto de regresión 5 X no es aleatoria Supuesto de regresión 6 E ‫ ٮ‬N (0, G2)

2. Para el modelo de regresión lineal sin constante, 𝑦 = 𝛽𝑥 + 𝜖, encuentre por el método de mínimos cuadrados el estimador de β. β es una función lineal en los parámetros. Como el error es aleatorio, la función de distribución dependerá de la función de distribución del error.

3. Para el conjunto de N=40 datos de gasto en salud e ingreso semanal en dólares se encuentra que la 𝐶𝑜𝑣 (𝑌, 𝑋) = 47875,0473, la varianza de la variable explicativa 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 468919,897 y la varianza de la variable dependiente 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 12695,6964. El promedio de la variable dependiente es 𝐸(𝑌) = 12695,6964 y el promedio de la variable explicativa es 𝐸(𝑋) = 1960,475

A. Proponga el modelo econométrico Y = β1 + β 2 + ϵ

B. Calcule el valor de los parámetros β2 = 47875,0473 / 468919,897 β2 = 0.1020 β1 = 12695,6964 – 0,1020 (19,60,475) β1 = 12495,5389 C. Interprete los resultados β2 = Por cada aumento en 1 unidad de la variable X la variable Y aumenta en 0.1020 D. Si la desviación típica de los coeficientes es 𝑑. 𝑠. (𝛽̂1) = 43,4102 y 𝑑. 𝑠. (𝛽̂2) = 0,0209 indique si los coeficientes son estadísticamente significativos al 5% de nivel de significancia. H0: β2 = 0 H1: β2 ≠ 0 t* (5%, 38) = 2,024 t=

0.1020 = 4,88 0.0209

H0: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0 t* (5%, 38) = 2,024 t=

12495,5389 = 287,8479 43,4102

E. Con los datos dados calcule el intervalo de confianza para 𝛽2. Interprete el resultado. ^β2 – t* se (^β2) ˂ β2 ˂ ^β2 + t* se (^β2) 0.1020 – 2.024 (0.0209) ˂ β2 ˂ 0.1020 + 2.024 (0.0209) 0.0596 ˂ β2 ˂ 0.1443 ^β2 esta entre 0.0596 y 0.1443

^β2 = 0.1020, si el ingreso aumenta en 1 unidad ($100) entonces el gasto en salud aumenta en $ 0.1020

F. Pruebe la hipótesis de que 𝛽2 pueda valer 0,2 frente a la alterna que sea menor que 0,2. Explique económicamente el resultado obtenido H0: β2 = 0.2 H1: β2 ˂ 0.2 0.1020−0.2 t= = -4,68 0.0209 t* (5%, 38) = 1,68 Rechazo la hipótesis nula y acepto la alternativa hay significancia estadística al 5%

G. Pruebe la hipótesis de que 𝛽2 = 0,12 frente a la alterna que sea menor que 0,12. Explique económicamente el resultado obtenido. H0: β2 = 0.12 H1: β2 ˂ 0.12 0.1020−0. 1 2 t= = -0,86 0.0209 t* (5%, 38) = 1,68

No rechazo la hipótesis nula, al 5% no hay significancia estadística 4. El director general de una firma de ingeniería desea saber si la experiencia de un técnico influencia la calidad de su trabajo. Se selecciona una muestra de veinticuatro (24) técnicos y se registra sus años de experiencia y la calidad de su trabajo. El modelo RATING = β1 + β2 EXPER + e se obtiene por mínimos cuadrados ordinarios con los siguientes resultados

A. Interprete los coeficientes Por 1 unidad de experiencia que aumente, la calificación aumentara en 0.076 B. Construya el intervalo de confianza al 95% para el coeficiente de EXPER. ^β2 – t* se (^β2) ˂ β2 ˂ ^β2 + t* se (^β2)

0.076 – 2.073 (0.044) ˂ β2 ˂ 0.076 + 2.073 (0.044) - 0.0152 ˂ β2 ˂ 0.1672 Con un nivel de significancia del 95% β2 está entre -0.0152 y 0.1672 ^β2 = 0.076, Si la experiencia laboral aumenta en 1 unidad, entonces la clasificación aumenta en 0.076. C. Indique si los coeficientes son estadísticamente significativos. H0: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0 3.204 t= = 4,519 0.709 t* (5%, 22) = 2,073 Rechazo la hipótesis nula, hay significancia estadística

H0: β2 = 0 H1: β2 ≠ 0 0.1020 t= = 4,88 0. 0209 t* (5%, 22) = 2,073 Rechazo la hipótesis nula, hay significancia estadística

D. Pruebe la hipótesis nula de que el coeficiente de EXPER es cero contra la alterna de que es positivo con un nivel de significancia del 5%. H0: β2 = 0 H1: β2 > 0 0.076 t= = 1,72 0.044 t* (5%, 22) = 1,71

Rechazo H0: β2 = 0, entonces acepto la H1: β2 > 0 ^β2 estadísticamente es significativo al 5%. E. Pruebe la hipótesis nula de que el coeficiente de EXPER es cero contra la alterna de que es negativo con un nivel de significancia del 5%. H0: β2 = 0 H1: β2 ˂ 0 0.076 t= = 1,72 0.044 t* (5%, 22) = 1,71

5. Suponga que para el conjunto de datos 𝑥 = {1, 2, 3, 4, 5}, 𝑦 = {−3.4, −5.3, −11, −9.1, −16.5}, queremos encontrar la relación lineal 𝑦𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑥𝑖 + ϵi A. Estime el coeficiente por MCO 𝛽2 B. Estime el coeficiente por MCO 𝛽1

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6. Para la regresión estimada ln 𝐼𝑃𝐶𝑡 = 0.018 + 0.0035 𝑡 con t mensual, donde IPC es el índice de precios al consumidor. A. Indique qué variable macroeconómica mide el coeficiente del tiempo β2 es la variable macroeconómica que mide el coeficiente del tiempo y crece en 0.35% y por la tanto corresponde al crecimiento del IPC. B. Calcule tasa de crecimiento semestral. IPC = 0.018 + 0.0035 (6) IPC = 0.039 (3.9%)

7. Los resultados de estimación de la regresión 𝑝𝑟𝑖𝑐𝑒 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑝𝑖𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎 + 𝛽2 𝑐ℎ𝑖𝑚𝑒𝑛𝑒𝑎 + ϵ

A. a. Calcule el valor medio del precio si una vivienda tiene chimenea, pero no tiene piscina.

107.936 + 72.389 = 180.325 B. Calcule el precio promedio si la vivienda tiene chimenea y piscina. Tenga presente que las variables piscina y chimenea son binarias. 107.936 + 77.538,7 + 72.389 = 257.863 8. Para el modelo presentado, indique que coeficientes son significativos y cuáles no, evaluando únicamente el p-valor.

Los coeficientes const y sqft son significativos Const = significancia estadística al 1%, valor – p es menor a 0,01 Sqft = significancia estadística al 1%, valor – p es menor a 0,01