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• Maria Taype Vargas

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS SEMESTRE 2017-I

ECONOMETRÍA DE SERIES DE TIEMPO PRÁCTICA DIRIGIDA Mg. Econ. Miguel Ataurima Arellano [email protected] [email protected] [email protected]

Indicaciones El desarrollo de esta práctica calificada es domiciliaria y será desarrollada en forma grupal. Cada grupo estará conformado a lo más por cinco integrantes y deberá resolver 20 ejercicios. Observación: Si algún grupo que cuenta con cinco integrantes, requiere la incorporación de un sexto, deberá resolver 24 ejercicios. Fecha de entrega: Jueves 13 de Octubre de 2016 (1er. Examen Parcial)

Problemas 1. Sea un proceso de média móvil infinito. Probar que la sumabilidad absoluta de sus  coeficienPT ∞ j tes {ψj }j=0 implica sumabilidad cuadrática. Luego, pruebe que t presenta j=0 ψj L convergencia en media cuadrática conforme T → ∞, y que la sumabilidad absoluta de los coeficientes del proceso implican que el proceso es ergódico para la media.  Zt, si t es par    2. Sea Zt ∼ GW N (0, 1) y Xt = Z2 − 1   √  t−1 , si t es impar 2 (a) Muestre que Xt es W N (0, 1) pero no es ruido iid(0, 1). (b) Encuentre E [Xt+1 |Xt , . . . , X1 ] para t impar y para t par. Compare los resultados. T

3. Sean {xt }t=1 un conjunto de valores observados, la función de autocovarianza muestral se T −|j| γ bj 1 X (xt+|j| − x)(xt − x). i) Si xt = a + bt, donde a y define como ρbj = donde γ bj = γ b0 T t=1 b son constantes con b 6= 0, muestre que para cada j ≥ 1, ρbj → 1 conforme T → ∞. ii) Si Xt = A cos(ωt), donde A y ω son constantes (con A 6= 0 y ω ∈ h−π, π]), muestre que para cada j, ρbj → cos(ωj) conforme T → ∞.. P∞ 4 4. Derive los cuatro primeros valores {ψi }i=1 de Ψ(L) = j=0 ψj Lj correspondientes al proceso ARMA(2,1): Yt = φ1 Yt−1 + φt−2 + t + θ1 t−1 donde  ∼ N (0, σ 2 ). T

5. Considere una serie de tiempo de frecuencia semestral {Yτ }τ =1 que sigue el proceso AR(1): Yt = φ1 Yt−1 + t , donde t ∼ W N (0, σ2 ). Suponga el siguiente proceso ARMA Xt = αXt−1 + T /2 Vt + θVt−1 , donde {Xt }t=1 son observaciones anuales que agregan los datos semestrales, esto es Xt = Y2t−1 + Y2t . Determine los parámetros α y θ en función de φ1 y σ2 . 6. Muestre que la variable Zt definida como Zt = Xt + Yt , donde Yt = φ1 Yt−1 + t y Xt = δ4 Xt−4 + ut + θut−1 , puede ser descrita mediante un proceso ARMA(5,4).

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7. Considere un proceso ARMA(1,1), Yt = φ1 Yt−1 + t + θ1 t−1 donde t ∼ W N (0, σ2 ). Desafortunadamente, resulta que Yt es solo observable con error en medición, esto es, uno observa Zt = Yt +ut en vez de Yt , donde ut ∼ W N (0, σu2 ). Considerando que t y ut están mutuamente no correlacionadas en todos los rezagos: (i) Derive el modelo ARMA para Zt , y (ii) ¿Es posible recuperar los parámetros en el modelo para Yt a partir de los parámetros estimados para el modelo de Zt ? Y, ¿Cuándo se asume que σu2 es igual a σ2 ? 8. Considere el proceso ARMA(1,2), Yt = φ1 Yt−1 + t + θ1 t−1 + θ2 t−2 donde t ∼ W N (0, σ 2 ), y con |φ1 | < 1, y donde φ1 , θ1 y θ2 son diferentes de cero. Obtenga expresiones para las tres primeras autocorrelaciones de Yt . P  ∞ j 9. Sugiera un algoritmo recursivo para el cálculo de los pesos AR(∞), (Yt −µ) = t , j=0 ηj L P  q j con η0 = 1, asociado con un proceso MA(q), (Yt −µ) = Θ(L)t = t , con θ0 = 1. j=0 θj L Otorgue una expresión en forma cerrada para ηj como una función de las raíces de Θ(z) = 0, asumiendo que estas raíces son todas distintas. 10. La inspección visual de una serie de tiempo nos sugiere la posibilidad de representar los datos como una realización del proceso (modelo de descomposición clásico) Xt = mt +st +Yt , donde mt es el componente tendencial1 (función de lento cambio), st es el componente estacional2 (función con periodo d conocido), y Yt es un componente irregular (ruido aleatorio) que es estacionario en covarianzas. Una forma de extraer el componente tendencial es estimarlo utilizando métodos (filtros) no parámetricos de media móvil y suavizamiento espectral. Sea q un −1 Pq entero no negativo y considere el promedio móvil de dos lados Wt = (2q + 1) j=−q Xt−j de un modelo sin componente estacional, esto es X = m +Y . Entonces, para q+1 ≤ t ≤ n−q, t t t 1 Pq −1 Pq m + (2q + 1) Y ≈ m , asumiendo que m es aproxiWt = (2q + 1) t−j t−j t t j=−q j=−q mado linealmente sobre el intervalo [t − q, t + q] y que el promedio de los términos error sobre este intervalo son cero. El promedio móvil descrito nos proporciona las estimaciones −1 Pq m b t = (2q + 1) b t } como un j=−q Xt−j con q + 1 ≤ t ≤ n − q. Es útil pensar en {m proceso obtenido a partir de {Xt } mediante la aplicación del operador lineal o flitro lineal P∞ −1 m b t = j=−∞ aj Xt−j con pesos aj = (2q + 1) , −q ≤ j ≤ q. Este filtro en particular es un filtro paso-bajo debido a que toma los datos {X n t }o y remueve el componente de rápida fluctuación (o componente de alta frecuencia) Ybt , quedando el término tendencial estimado{m b t } o componente de lenta fluctuación (o componente de baja frecuencia). Considerando este filtro: (a) Si mt = c0 + c1 t, muestre que

Pq

t=−q

aj mt−j = mt .

(b) Si Zt , para t = 0, ±1, ±2, . . ., son variables aleatorias Pq independientes con media 0 y varianza σ 2 , muestre que el promedio móvil ηt = j=−q aj Zt−j es “pequeño” para σ2 . grandes q en el sentido de que E [ηt ] = 0 y Var [ηt ] = 2q + 1 11. Determine cual de los siguientes proceso ARMA son causales3 y cual de ellos es invertible. (En casa caso {t } denota un ruido blanco). (a) Yt = −0,2Yt−1 + 0,48Yt−2 + t (b) Yt = −1,9Yt−1 − 0,88Yt−2 + t + 0,2t−1 + 0,7t−2 (c) Yt = −0,6Yt−1 + t + 1,2t−1 (d) Yt = −1,8Yt−1 − 0,81Yt−2 + t (e) Yt = −1,6Yt−1 + t − 0,4t−1 + 0,04Yt−2 Así mismo, para los procesos que resulten ser causales, calcule  seisPcoeficientes Plos primeros 5 ∞ ∞ j {ψj }j=0 en la representación causal de {Yt }: Yt = Ψ(L)t = ψ L t = j=0 ψj t−j j=0 j 1 En

inglés: Trend component inglés: Seasonal component 3 Causalidad: Un proceso ARMA(p, q) {Y } de la forma Φ(L)Y = Θ(L) es causal, o una función causal de t t  t  2 En

{t }, si existen constantes {ψj } tales que

P∞

j=0

|ψj | < ∞ y Yt = Ψ(L)t =

P∞

j=0

ψj Lj

t =

P∞

j=0

ψj t−j para

todo t. Dicho de otro modo, causalidad es equivalente a la condición Φ(z) 6= 0 para todo |z| ≤ 1 .

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12. Para el proceso causal AR(2) definido mediante (1−z1−1 L)(1−z2−1 L)Yt = t , con |z1 | , |z2 | > 1, probar que:  h
−1 1−j i
−1 1−j σ 2 z12 z22  2 2  z2 , para z1 6= z2 z − z − 1 z − 1  2 1 1  (z z − 1) (z2 − z1 )    1 2   γj = r2 + 1  2 4 −j    σ r · r sen jθ + r2 − 1 tan θ    , para z1 = reiθ y z2 = z1 (r2 − 1) (r4 − 2r2 cos 2θ + 1) sen θ 13. Suponga que {Yt } es un proceso MA(1) no invertible Yt = t + θt−1 ,t ∼ W N (0, σ 2 ), donde P∞ −j |θ| > 1. Defina un proceso {ηt } como ηt = j=0 (−θ) Yt−j y pruebe que ηt ∼ W N (0, ση2 ). Exprese ση2 en términos de θ y σ 2 y muestre que Yt tiene la siguiente representación invertible 1 (en términos de ηt ): Yt = ηt + ηt−1 . θ 14. Denote a {Yt } la solución estacionaria única de las ecuaciones autoregresivas Yt = φYt−1 + t , con t = 0, ±1, . . ., donde t ∼ W N (0, σ 2 ) y |φ| > 1. Entonces Yt está dado por la P∞ 1 expresión Yt = − j=1 φ−j t+j . Defina la nueva secuencia κt = Yt − Yt−1 , muestre que φ κt ∼ W N (0, σκ2 ), y exprese σκ2 en términos de σ 2 y φ. Estos cálculos muestran que Yt es 1 la solución (única y estacionaria) de las ecuaciones causales AR: Yt = Yt−1 + κt , con φ t = 0, ±1, . . . 15. Pruebe que el valor del rezago 2 de la función de autocorrelación parcial del proceso MA(1): θ2 . Yt = t + θt−1 , para t = 0, ±1, . . ., donde t ∼ W N (0, σ 2 ) es α2 = − 1 + θ2 + θ4 16. Considere la serie de tiempo Yt = ψ 0 zt + t , donde ψ 0 zt = δ + αt es el componente determinístico con las constantes δ y α conocidas, y t es un proceso ruido blanco con varianza σ2 . (i) Determine si Yt es estacionario. (ii) Muestre que el proceso Zt = ∆Yt = Yt − Yt−1 (primera diferencia de Yt ) es estacionario. (iii) Muestre que la media del promedio móvil q X 1 vt = Yt−j es ψ 0 zt , y brinde una expresión simplificada para la función de auto2q + 1 j=−q covarianzas. 17. Considere el siguiente modelo caminata aleatoria con deriva (random walk with drift): Yt = δ + Yt−1 + t para t = 1, 2, . . ., con Y0 = 0, donde Yt es ruido blanco con varianza σY2 . Pt (a) Muestre que le modelo puede ser escrito como Yt = δt+ k=1 k . (b) Encuentre la función media y la función autocovarianzarde Yt . (c) Fundamente porque Yt no es estacionario en t−1 → 1 conforme t → ∞. ¿Qué implicancia tiene este covarianzas. (d) Muestre que ρ1 = t resultado?. (e) Sugiera una transofmración para hacer la serie estacionaria, y pruebe que la serie transformada es estacionaria. 18. Una serie de tiempo con componente periódico puede ser construida mediante una combinación de funciones sinusoidales Yt = A1 sen(2πfo t) +A2 cos(2πf  o t), donde A1 y A2 son variables aleatorias independientes con medias cero y E A21 = E A22 = σ 2 . La constante 1/f0 determina el periodo o tiempo que toma el proceso en completar un ciclo. Muestre que esta serie es débilmente estacionaria con función de autocovarianza γj = σ 2 cos(2πf0 j). 19. Considere dos series: Xt = Yt , Yt = t − θt−1 + ut , donde t y ut son series ruido blanco independientes con varianzas σ2 y σu2 respectivamente, y θ es una constante específica. (a) Exprese la función de autocorrelación, ρj para j = 0, ±1, ±2. . . . de la serie Yt como una función de σ2 , σu2 y θ. (b) Determine la función de correlación cruzada ρX,Y,j que relaciona Xt y Yt . (c) Muestre que Xt y Yt son estacionarias conjuntas. 20. Sea Xt un proceso normal estacionario con media µX y función de autocovarianzas γj . Defina la serie de tiempo no lineal Yt = exp (Xt ). (a) Exprese la función media E [Yt ] en términos de µX y γ0 . La función generadora de momentos de una variable aleatoria normal X con media Miguel Ataurima Arellano

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 1 2 2 µ y varianza σ es MX = E [exp (λX)] = exp µλ + σ λ . (b) Determine la función de 2 autocovarianza de Yt . La suma de las dos variables normales aleatorias Xt+j +Xt sigue siendo una variable aleatoria normal. 2

21. Sea t , para t = 0, ±1, ±2, . . . un proceso ruido blanco normal, y considere la serie Yt = t t−1 . Determine la función media y la función de autocovarianza de Yt , y determine si ésta es estacionaria. 22. Una función de valor real gt , definida sobre los enteros, es definida no negativa si y solo si a0 Ga ≥ 0 para todo n−vector positivo a = (a1 , a2 , . . . , an )0 6= 0 con Gij = g (ti − tj ) para i, j = 1, 2, . . . , n. (a) Probar que γh , la función de autocovarianza del proceso estacionario, es una función definida no negativa. (b) Verificar que la autocovarianza muestral γ bh es una función definida no negativa. 23. (a) Suponga que Xt es una serie de tiempo débilmente estacionaria P∞ con media cero y con función de autocovarianza sumable absolutamente, γj , tal que j=−∞ γj = 0. Probar que √ p T X → 0 , donde X es el promedio temporal. (b) Muestre un ejemplo de un proceso que satisfaga las condiciones de (a). ¿Qué tiene de especial este proceso?. 24. Sea Yt una secuencia iid(0, σ 2 ) para t = 0, ±1, ±2, . . .. (a) Para j ≥ 1 y k ≥ 1, probar que Yt Yt+j y Yτ Yτ +k no están correlacionadas para todo τ 6= t. (b) Para j ≥ 1 fijo, muestre PT 0 d que el j-vector presenta la convergencia σ −2 T −1/2 t=1 (Yt Yt+1 , . . . Yt Yt+j ) → (z1 , . . . , zj )0 donde z1 , . . . , zj son variables aleatorias iidN(0, 1).
[Observación: La secuencia Yt Yt+j para t = 1, 2, . . . es j-independiente y ruidoh blanco 0, σ 4 . Utilice el dispositivo Cramér-Wold].

i d PT PT −j (c) Muestre, para cada j ≥ 1, T −1/2 Y Y − Y → 0 conY Y − Y − t+j t t+j t t=1 t=1 PT −1 forme T → ∞ donde Y = T t=1 Yt .

Referencias Brockwell, P. (2002), Introduction to time series and forecasting. 2nd Edition, Springer-Verlag. Franses P., Dijk V. y Anne Opschoor. (2014). Time Series Models for Business and Economic Forecasting. 2nd. Edition, Cambridge University Press. Hamilton, J. D. (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press. Shumway R. y Stoffer D. (2011). Time Series Analysis and its Applications. With R Examples. 3th Edition, Springer-Verlag.

Ciudad Universitaria, Setiembre de 2016

Miguel Ataurima Arellano

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