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1.

2.

USAC FACULTAD DE INGENIERÍA ÁREA DE ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA 1 SECCION “C+“ Ing. Alba Maritza Guerrero Spínola Ph.D.

DISTRIBUCION EXPONENCIAL La variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial, con parámetro β, si su función de densidad está dada por (1/ β ) e-x / β , 0 donde β > 0. , f(x) =

x>0 en cualquier otro caso λ = 1/ β

β = tiempo medio entre eventos, tiempo medio entre fallas Con media  = β,

varianza 2 = β2

Con función acumulada: F(X) = 1 - e-

λ X

P(0  X  x )

Relación con la Poisson Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de eventos durante un período o espacio particular. Una llegada representa el evento de poisson. La relación entre la distribución exponencial y la poisson es bastante simple , λ = # eventos/ unidades de tiempo

, f(x) = λ

e- λ 0

X

λ = 1/ β

X≥0 X< 0

Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son situaciones donde se aplica el proceso de Poisson (la Distribución poisson permite calcular la probabilidad de números específicos de eventos durante un periodo o espacio particular) El parámetro β importante es el tiempo medio entre eventos. En teoría de confiabilidad donde la falla de equipo a menudo se ajusta a este proceso de Poisson , β se llama tiempo medio entre fallas. Muchas descomposturas de equipo siguen el proceso de Poisson, y por ello se aplica la distribución exponencial. Otras aplicaciones incluyen tiempos de sobrevivencia en experimentos biomédicos y tiempo de respuestas de computadoras,

EJEMPLOS:

1.

Algunas cepas de paramecios producen y secretan partículas asesinas que causan al contacto la muerte de un individuo sensible. Todos los paramecios incapaces de producir dichas particular son sensibles El número medio de partículas asesinas emitidas por un paramecio asesino es de una cada cinco horas. En la observación de estos paramecios ¿Cuál es la probabilidad de que deban esperarse cuando mucho cuatro horas antes de que se emita la primera partícula? Si se considera que la unidad de medición es una hora, se trata de un proceso de poisson con λ = 1/5 el tiempo en que se emite la primera partícula asesina tiene distribución exponencial con β = 1/ λ = 5 f(x) =

(1/ β ) e-x / β

= 1/5 e-x / 5

P(X ≤ 4)= 0ʃ4 f(x) dx = 0ʃ4 F(X) = 1 -

2.

e-X/B

1/5

e-x / 5 dx = - e-x / 5

∣

4

0

= 1 - e-4/5 = 0.5507

= 1 – e 4/ 5 = 0.5507

En un negocio de comida rápida tipo americano (hamburguesas, hot dog, etc) el tiempo que tardan en atender a un cliente sigue una distribución exponencial con parámetro λ= 0.2 clientes/ minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que, un mismo cliente sea atendido en un tiempo inferior a 3 minutos en al menos cuatro de las seis veces que ahí comió?

La probabilidad de que sea atendido en un tiempo inferior a 3 minutos, se resuelve por distribución exponencial β = 1/ λ = 1/0.2 = 5 f(x) =

(1/ β ) e-x / β

= 1/5 e-x / 5

P(X < 3)= 0ʃ3 f(x) dx = 0ʃ3

1/5

e-x / 5 dx = - e-x / 5

∣

0

= 0.4512

Por binomial se resuelve: En al menos cuatro de las seis veces que ahí comió, siendo p = 0.4512 q = 0.5488 (X ≥ 4) = P (X=4)+ P (X=5) + P(X=6) = 6 C 4 (0.45)4(0.55)2 + 6 C 5 (0.45)5(0.55)1 + 6 C 6 (0.45)6(0.55)0 = 0.2572

3.

La longitud de tiempo para que un individuo sea atendido en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos en al menos tres de los siguientes seis días? β = 4 y λ = 1/ β = 1/4 Se determina la probabilidad de atención en menos de 3 minutos mediante la función acumulada para una función de densidad exponencial F(X) =

1 - e-x / β

P(X