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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CUADERNO DE CÁLCULO VECTORIAL

NOMBRE: MICHELLE VÉLEZ

NRC: 1342

ING. EDWIN GONZÁLEZ

ABRIL 2015-AGOSTO 2015

CÁLCULO DE ÁREAS -

Diferencial en “x”

y

dA = ydx

y=f(x)

∫

∫

y

a

-

dx

b

x

Diferencial en “y”

y x=f(y)

d

dA = xdy

dy

∫

x

∫

c x Con dos funciones y

y=f(x) ∫ “DE ARRIBA HACIA ABAJO” y=g(x) x a

dx

b

y x=f(y)

d

dA = xdy

dy c

∫ “DE IZQUIERDA A DERECHA”

x=g(y) x

¤ EJERCICIOS -

Calcular el área bajo la función: y=2x; entre x=1 y x=4

y = 2x

∫

-

Calcular el área bajo la función: y=

; entre x=0 y x=-3

y=

∫ -

Calcular el área entre:

ヘ

| ∫ -

Calcular el área entre:

y

√

√

√

(

√

√

Newton Rapson:

)

;

∫ -

√

Calcular el área entre:

∫ [

]

∫ (

) √

| |

( [

|

√

√ √

|

√ (

) √ )]

√

√ √

√ √

√ -

Calcular al área de

y su asíntota

√

∫ √

∫

√ √ ∫√

√ √

∫ √

∫

√

(√

)

√

√

√

√ ∫

√

∫

√

∫

∫

(|

-

t 0 1 2 3 -1

| )

(

)

Hallar el área de las abscisas ya la curva

x 2 3.71 8.39 21.08 1.36

y 0 0 -2 -6 0

puntos de corte

∫

∫

∫

[

-

t 0 π/2 Π 3π/2 2π

Hallar el área que encierra

x a 0 -a 0 a

y 0 b 0 -b 0

a=4; b=2

∫

∫

-

]

Hallar el área que encierra

|

con a=1

|

(

)

t 0 π/6 π/3 π/2 2π/3

x 1 1.23 1.5 1 -0.5

y 0 0.131 0.851 1.97 2.59

5π/6

-2.23

1.91

Π

-3

0.08

3π/6

-2.23

-1.79

4π/3

-0.5

-2.59

3π/2

1

-2.96

5π/3

1.5

-0.93

11π/6

1.23

-0.1

2π

1

0

∫

∫

∫

Calculo de área en coordenada polar

y (r,θ)=>eje polar

θ

r=f(θ)

x

(

)

(

)

dθ r θ1

r θ2

∫

EJEMPLOS -

Calcular el área que encierra la siguiente función

θ

r

0

-4

π/2

0

Π

4

3π/2

0

2π

-4

∫

∫ (

-

)

|

|

Calcular la mitad del área del lazo interno que encierra la siguiente función

θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3

r 1 0 -0.73 -1 -0.73

5π/6

0

Π

1

3π/6 4π/3

2 2.73

3π/2

3

5π/3

2.73

11π/6

2

2π

1

∫

∫

-

Calcular el área común entre

|

|

∫

-

Hallar el área fuera del círculo

Círculo t 0 π/2 Π 3π/2 2π

x 2 0 -2 0 2

∫

, y dentro del cicloide Cicloide

y 0 2 0 -2 0

t 0 π/2 Π 3π/2 2π

x 0 0.6708 Π 5.71 2π

y 0 1 2 1 0

Cambiando la ecuación del circulo de coordenada paramétricas a rectangulares:

Reemplazando en la ecuación de la cicloide:

Aplicando Newton Rapson se obtiene el valor de “t”(punto de intersección) t = 2.22 ∫

∫

VOLUMENES DE REVOLUCION

VOLUMEN DE REVOLUCIÓN RESPECTO AL EJE X

∫ ∫ ∫

VOLUMEN DE REVOLUCIÓN RESPECTO AL EJE Y

∫ ∫ ∫

MÉTODO DE ARANDELAS

∫

∫

MÉTODO DE CASQUETES

∫

Ejercicios Hallar el volumen de revolución entre

∫

∫

Alrededor del eje X con dy

(√

)

(

)

(

)

alrededor del eje X

∫ (√

)

Hallar el volumen de revolución de un arco de la cicloide { del eje x

∫

∫

∫

∫

∫

[

]

Hallar el volumen de una esfera de radio R X2+y2=R2

y2 = R2 - X2

=>

∫

|

| )

[( [

]

(

)]

alrededor

Hallar el volumen de revolución comprendido entre las curvas alrededor del eje y

;

∫

∫ (

)|

(

)|

Hallar el volumen del solido que se genera alrededor del eje X acotado por:

∫

∫

Hallar el volumen de revolución alrededor del eje y √

∫ Parametrizar

√

si

;

Si

Si

∫

INTEGRAL DE LA SUPERFICIE DE ARCO L=√ L=√ ∫ √

EN PARAMÉTRICAS ∫ √(

)

(

)

EN POLARES ∫ √

Ejercicios Hallar la longitud de arco de ∫ √

desde A(1;1) hasta B(4;8)

∫ √

(

)

∫ √

∫ √

Hallar la longitud de arco de la curva

en el intervalo

∫ √

∫ √

(

∫ √

(

∫ √

(

)

)

)

Hallar la longitud de arco de ∫ √

(

en el intervalo

)

∫ √

Hallar la longitud total de la cardioide r=2-2cosϴ ∫ √ ∫ √

ÁREAS DE VOLUMENES DE REVOLUCIÓN. Área de volumen de revolución respecto al eje X. √

∫

Área de volumen de revolución respecto al eje Y. ∫

√

Área de volumen de revolución respecto al eje X. ∫

√

Área de volumen de revolución respecto al eje Y. √

∫

En Coordenadas Paramétricas.

Área de volumen de revolución respecto al eje X. ∫

√

Área de volumen de revolución respecto al eje Y. ∫

√

En Coordenadas Polares.

∫

√

√

∫ Ejercicios

Hallar la superficie de revolución de una esfera de radio R.

√

∫

(

)

(

)

√

∫

∫

∫

|

Hallar la superficie de revolución al girar un arco de cicloide alrededor del eje X. {

∫

√

√

∫

√

∫

∫

√ (

)

Hallar la superficie de revolución al girar la pequeña curva eje de las Y.

, alrededor del

(

)

(

) (

) √

∫

√

∫

∫

√

Hallar el área de revolución de la curva alrededor del eje Y.

entre

Alrededor del eje X √

∫

√

∫

Alrededor del eje Y. ∫

√

∫ √

, alrededor del eje X y

MOMENTOS Y CENTROIDES

∑

∑ ∑

∑ ∑

Concepto de densidad de línea. 





de Volumen. (

)

(

)

(

)

de Área

de línea

∫

√

∫ √

Si

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ (

)

∫

Centroides para Longitudes de Arco ∫

∫

∫

∫

√ √

Coordenadas Paramétricas ∫

√

∫

√

Coordenadas Polares ∫

√

∫

√

Centroides para Áreas Coordenadas Rectangulares ∫

∫

Coordenadas Paramétricas ∫

∫

Coordenadas Polares ∫

∫

Ejercicios Hallar el centroide de un arco que tiene por ecuación

∫

∫

√

∫

√ ∫

√ ∫ √

√

∫

√

∫ √

Hallar el centroide de una lámina semicircular de radio R.

∫

∫

∫

∫ (

)

∫

[

]

[

]

[

]

Ahora asumiendo que el ejercicio anterior se trata de un alambre

∫

∫ Realizando en Coordenadas Polares

√

∫

√

∫

∫

| Longitud de Arco Total: Longitud de Arco Arriba:

Hallar el centroide respecto a un alambre doblado de la siguiente figura.

Segmento

L

AB

24

12

0

288

0

AC

10

0

5

0

50

BC

26

12

5

312

130

600

180

9/2

27/2

60

Asumiendo que es una lámina.

Hallar la ubicación del centroide de la siguiente figura

(

)

Área 9/2

1

3

16

4

1

65

16

12

6.5

4

78

48

146.5

77.5

32.5

∑

∑

TEOREMA DE PAPPUS 1. Si se desea encontrar el área que se genera al rotar sobre una recta cualquiera.

|

| √

2. Si se desea hallar el volumen de un sólido de revolución.

Ejercicios Hallar la superficie de revolución de la figura indicada respecto a la recta L si L pasa por

|

| √

|

| √

√

Suma de los lados

√

Hallar el área de la superficie de revolución de la figura cuando ésta gira alrededor de . Ecuación de la recta L 2

1

2

2

4

√

3

1

3√

√

√

√

√

√

√

√

√

|

| √ (

√ )

Hallar el volumen de revolución de la curva pasa por la recta , en el intervalo

, alrededor de la recta que

∫

∫

∫

∫

(

)

|

| √

( )

Hallar el área de la superficie de revolución de la rotación del arco alrededor de la recta L. ,

Puntos de corte

{

intersección de ambas curvas.

en

∫

√ ∫

√

√

∫

∫

√

Integración numérica

(

)

(

)

(

)

* * * * (

(

)

)

Distancia entre dos puntos

√

División de un segmento en una razón dada A

Si

entonces:

B

Formas de ecuación de la recta en ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Despejando:

Directriz de la recta

Recta en el espacio

Despejando x, y, z:

Forma vectorial de la recta

Ejercicios Hallar la ecuación de la red que pasa por le punto ⃗

Dada la recta

Encontrar la ecuación de la recta ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|

⃗⃗⃗⃗⃗

(

)

Hallar la distancia entre en un punto P ubicado en ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

|

|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ | |

|

Hallar el punto simétrico de Vector directriz :

|

|̅̅̅̅̅|

̅̅̅̅ ̅ | ̅|

√

√

(

|̅̅̅̅

| | | | |

√ )

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅

Punto simétrico: (-1,-1,2)

Funciones vectoriales

En una función f :

Ejemplo: ̅̅̅̅̅̅

√

√

Hallar el dominio de ̅̅̅̅̅̅ Dominio en i :

Dominio en j:

√

-4

-1 +

+

-

-4

2

Intersecaccion:

-1

0

2

GRAFICAR: La curva de intersección entre Si:

√

/⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Dominio:

√

-

-

+

-

-2

2

GRAFICAR: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Función vectorial que representa

;

Resolución:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

)

Hallar la función vectorial de la unión de 2 puntos:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Limites de una funcion vectorial

|

|

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

|

Demostrar que el límite de la función vectorial ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

|

|

|

Analisis: √

|

|

|

|

Si d =1

|

| |

|

|

|

| | |

Hallar el limite de Limite i:

Limite en j:

√

√

| |

|

Limite en k: √

√

√

√

√

√

Continuidad de una función vectorial Una función vectorial es continua en un punto dado por t= así: 1.2 Una función vectorial es continua en el intervalo de I, si es continua: En todos los conjuntos del intervalo Existen discontinuidades removibles evitables. Cuando.Existe discontinuidad no evitable o esencial cuando

Analizar la continuidad de la función vectorial si r(t)=

No es continua, por lo tanto no se cumple.

Derivadas de una función vectorial La derivada de una función vectorial r se define como

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Dada una función vectorial

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

hallar ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Hallar la derivada de la función vectorial usando la derivación si ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Derivada en i:

.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Propiedades de la derivada de una función vectorial r, u son funciones vectoriales 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Dt Dt Dt Dt Dt Dt

7) Si ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ejercicios Hallar la derivada enésima de la función sabiendo

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Dadas las funciones ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

a)Dt Dt

=

⃗ ⃗

⃗ )(

(

(

)(

)

⃗⃗⃗

⃗)

(

⃗

) (

)

b) Dt Dt (

)

(

)

Integración de Funciones Vectoriales ⃗ donde f, g, h son funciones continuas en (a,b), entonces la integral definida o antiderivada: ∫

[[∫

]

[∫

]

Ejercicios Hallar la función primitiva de ⃗

⃗

sabiendo que es igual

Si ∫ ∫

[

[

]

]

[∫

]⃗]

Longitud de arco de una curva en el espacio ⃗ ∫ √

∫ ‖

‖

Ejercicios Dado ⃗

⃗ Hallar la longitud de arco ∫ √

Vectores tangentes y normales ⃗⃗ ‖

‖

‖

‖

Triedro fundamental de una curva espacial a) Determinar los vectores Normal y Binomial de la función ⃗ ⃗⃗ ‖

‖

‖

√

√ ‖

√ √

√

(

)

√

√

√

√

b) Hallar la ecuación del plano Normal y Osculador

√

√ ( )

( )

√

Hallar el vector tangente, normal y Binomial De la curva ⃗

⃗ ⃗⃗ ‖ ( )

‖

‖

(

√

‖

√

√ √

√

√ (√ )

√

)

√

√

( )

√

√ √

√ (√

⃗⃗⃗

√

)

Hallar el plano osculador pto ⃗

(

) ⃗ √

√

√

√ (√ )

√

√

√ (√ )

( )

√

Curvatura Si c es una curva suave , dada por r entonces, la función curvatura es el cambio del vector unitario tangente, respecto a la longitud de área.

|

| (√

| | | |

| |

|

|

|

|

| |

|

| | |

‖

‖

)

Paramétrica k

|

| [(

)

]

⁄

Ejercicios ⃗

Hallarla curvatura de la función definida por ⃗ ⃗ ⃗

|(

)|

|√

|

|

⃗ )|

( |

|

|

Polares k

⁄

Funciones de varias variables

Escalares en f: X

Dom f : x E Ry f y E f: Ejercicios Hallar el volumen de un cilindro v v Una función de dos variables, es una regla que asigna, a cada par ordenado de números reales , un numero real único el cual se denota como z=f . Donde x,y son variables independientes, y z es la variable dependiente. Hallar dominio de la f + restricción para que exista Dominio f: Hallar el dominio de la funcion f

|

Hallar el dominio de la función f

√

x

punto

Hallar el dominio de una función f Dom f z 9-

Domf: Hallar el dominio de la siguiente función f

√

DT 1≥0

[9-

]

a √ b P 6-3 3 D3 y+1 y

y+1 y

y

P 0+1 1≥0

0

Dom f: Hallar el dominio de la expresión

√ Dominio de f es un volumen

Domf: (x,y,z) E R3 / 9-x2-y2-z2 Pto (0,0,0)

0

Curvas de nivel Son curvas cuyas ecuaciones son de la forma f(x,y)=K, (K=cte) en el rango de f Ejercicios

Graficar las curvas de nivel √ √

Determinar el Dominio:

KE Hallar las curvas de nivel de

Límites y continuidad Sea una función de 2 variables, definidas por un disco abierto, centrado en posiblemente en y sea L un número real.

Si para cada Ejercicios:

Se acerca por el eje “y”

Se acerca por el eje “x”

tal que |

|

excepto

Se acerca por la línea y = mx Es continua en el punto 0

Continuidad de una funcion de dos variables  Una función de 2 variables, es continua en un punto

de una region abierta.

Si  La función

es continua en la región abierta .

Ejercicios: {

La función es continua.

Hallar el límite cuando

√

√

√

√

√

√ √

√

√

DERIVADAS PARCIALES 

Fiijamos “y” y variamos x (GRAFICO)



Fijamos “x” y variamos y (GRAFICO)

Ejercicios: (

)

(

)

(

)

[

Dado

(

)

]

[

]

[

]

Derivadas parciales de orden superior

(

)

(

)

(

)

(

)

Ejercicios

(

2=2

)

Regla de la cadena

z

y

x

s

Ejercicio

t

s

t

Derivada direccional Si es una función diferencial de “x” y “y” entonces vector unitario ⃗

tiene una derivada direccional en cualquier

⃗

Ejercicios:

⃗

( )

( )

( )

( )

√

⃗

( ) ( ) √ √

( ) ( )

(

)

⃗

⃗ (

(

) (

)

)

Gradiente de una funcion ( Si

)

es un función de dos variables x,y entonces el gradiente de

, es la función vectorial.

Forma alternativa de la derivada direccional

Ejercicios Hallar la derivada direccional en el punto (

, usando

) en la dirección de PQ │ si

(

) (

(

(

(

)

)

)

(

)( )

)

⃗⃗⃗⃗⃗

Hallar la derivada direccional

en el punto (2,-1) en la dirección

de ⃗

⃗

(

√

√

) √ (√

√

√

√

√

)

Propiedades del Gradiente Sea f diferenciable en el punto (x, y) ⃗

1- Si

2- La dirección del máximo incremento de f está dada por de

, ysu valor máximo

es │

3- La dirección del mínimo incremento de f, está dado por mínimo de la derivada direccional

, y el valor

es -│

Ejercicios La temperatura de una placa metálica viene dada por

,

donde x, y se encuentran cm ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento de la placa de la temperatura de la placa en el punto (2-3)?

√

√ [

]

b) Hallar las curvas de nivel de

El gradiente de f es normal a las curvas de nivel

Dada la función para

, hallar un vector normal a las curvas de nivel

en:

a)

b) (

√

) √

(

)

( √

(

)

)

c) ( (

)

(

)

(

)

d) (0,0)

e) (

√

(

√

) √

( f)

( ) )

( (

) (

( ) )

Hallar el vector gradiente de la función 1. ⃗

⃗

2. Dirección del máximo incremento de f en (2,-1,1) ⃗ ⃗

Maximización de la derivada direccional Sea f, una función diferenciable de 2 o 3 variables. El máximo valor de la derivada direccional

es |

|, y se presenta cuando ⃗ tiene la misma dirección que el

vector gradiente. ⃗

|

| |⃗ |

El máximo valor ocurre, cuando ⃗ tiene la misma dirección que

(

).

Ejercicios Dada la función a) hallar la razón de cambio de

, en el punto

; en dirección de P a

Q,

(1,2) ̅̅̅̅

(

√(

|̅̅̅̅|

)

)

(

)

( )(

)

b) En qué dirección se tiene la máxima razón de cambio (1,2) |

| |

√ |

√

La temperatura de un punto está definida por . a) En qué dirección se incrementa más rápido la temperatura en el punto (1, 1, -2).

(

) (

)

b) ¿Cuál es la razón del incremento máximo? |

|

|√

|

|

|

[ ]

√

La distribución de una muestra es a) Hallar la dirección en la que aumenta más rápidamente la T, en el punto (2,0), ¿Cuál es el coeficiente de variación?

|

|

√

√

[ ]

b) En qué dirección decrece más rápidamente la temperatura

La ecuación de la superficie de un cerro es

donde x, y

[m] el eje x apunta al este y el eje y al norte. Un hombre se encuentra en el punto

√

a) ¿Cuál es la dirección de la ladera más empinada? √ (

√ )

√

√ √

√

( √

)

√ √ b) Si el hombre se mueve en dirección Noreste está ascendiendo o descendiendo √

√

√

√ √

(

)

√

√ (

(

√

)

) √ ( )

√

c) Si el hombre se mueve en dirección Suroeste está ascendiendo o descendiendo ¿Cuál es su rapidez? √

√ √

(

√

)

√ (

)

√ ( )

√

(

√

)

La rapidez es 6.38 [ ]

Planos y Rectas Tangentes y Normales a la Superficie Sea una superficie cuya ecuación es función de 3 variables y

, es decir, una superficie de nivel, de una , en el punto de S.

C: Se describe por El valor del parámetro, que corresponde a P Puesto que C está en cualquier punto Aplicando la Regla de la Cadena

Si

Ecuación del Plano Tangente

Recta Normal a S en P y perpendicular al Plano Tangente

Si la ecuación de la superficie de S es de la forma

Considere a S como una superficie de nivel con

Ecuación del Plano Tangente

Ejercicios Hallar el plano tangente y recta normal en el punto (-2, 1, -3) de la curva

Ecuación Plano Tangente Ecuación Recta Normal

Hallar la ecuación del plano tangente del hiperboloide punto P (1,-1,4).

en el

Ecuación Plano Tangente Ecuación Recta Normal Hallar la recta tangente a la curva de intersección de las superficies ,

en el punto P (0, 1, 3)

|

|

Ecuación Recta tangente

Hallar la derivada direccional de intersección de las superficies 5)

a lo largo de la curva de ,

en el punto P (3, 4,

|

| |

|

|

|√

(

)(

Hallar la ecuación del plan tangente a la superficie

)

, en el punto en el

que el plano tangente es paralelo al plano ⃗

⃗

̅̅̅̅ ⃗ ̅̅̅̅ ( )(

)

Ecuación del Plano tangente

Máximos y Mínimos Extremos de funciones de dos variables. Sea f una función definida en una región R que contiene (x0,y0) 1) La función f tiene un mínimo relativo en (x0,y0) si f(x,y) ≥ f(x0,y0) para todo (x,y) en un disco abierto que contiene (x0,y0) 2) La función f tiene un máximo relativo en (x0,y0) si f(x,y) ≤ f (x0,y0) para todo (x,y) en un disco abierto que contiene (x0,y0)

Definición de los Puntos Críticos Sea f definida en una región abierta R q contiene (x0, y0). El punto (x0, y0) es un punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes. 1) 2)

no existe

Ejercicios Hallar los extremos relativos de la función

Una caja rectangular se fabrica sin tapa usando 12m² de cartón hallar cual es el volumen máximo.

(

) (

)

Diferenciales

Ejercicios

1) Diferencial de z (dz) 2) Si x cambia de 2 a 2,05 y ‘’y’’ cambia de 3 a 2,96 Comparar

{

}

Las dimensiones de una caja son 74 x 60 x 40 (cm) si cada medida no difiere de 0,2 de su valor real mediante diferenciales estime el error más grande posible cuando el volumen se calcula con estas medidas.

X

y

z

Integrales dobles

V=∫ ∫ V=∫ ∫

V=∫ ∫

Ejercicios Realizar la integral f(x,y)=2y2-3xy3 si la relación de integración R={(x,y)/ 1≤x≤2 ; 0≤y≤3} =∫ ∫ =∫

|

=∫ =

| =

-18+

= -73,125

SI LA REGIÓN ESTÁ LIMITADA O ACOTADA POR a≤x≤b y g1(x)≤g≤ g2(x) REGIÓN VERTICAL SIMPLE: A=∫ ∫

REGIÓN HORIZONTAL SIMPLE: A=∫ ∫

Ejercicios Hallar el volumen del sólido que se encuentra bajo el paraboliode z=x2+y2 y encima de la región acotada por y=x2; x=y2

V=∫ ∫ V=∫ ∫ V=∫

√

|√

V=∫ V= Hallar ∫ ∫

|

si R= { x≥0 ; y=1 ; y=x2 ; y=2}

∫ (

)

V=∫ ∫√ (

)

V=∫

|√

V=∫ V=∫ |

V= Hallar ∫ ∫

donde R está limitado por 4y=x2 ; x-2y+4=0

=∫

∫

=∫ ∫

=∫

|

=∫ [ =

] |

Hallar ∫ ∫

donde R: x=2; y=x; xy=1

=∫ ∫ =∫

|

=∫ =

|

Hallar el volumen de la región acotada por f(x,y)=2-x-2y y los planos coordenados V=∫ ∫ |

V=∫ V=∫ V=∫

=

|

Hallar el volumen de la región por el paraboloide z= 4-x2-2y2

V= ∫ ∫

√

√ |

V= ∫

√ V= ∫

v=

√

√

√

√

( )

(

)

|

Integrales múltiples en coordenadas polares X=rcosθ Y=rsenθ x2+y2 =r2 Antes: dA=dydx

tgθ=

Ahora: dA=rdθdr

Ejercicios: Hallar la integral doble ∫ ∫

si R: x2+y2=2 ; x2+y2=5

√

=∫

∫√

|√ √

=∫√ =∫

|

= Hallar el volumen del paraboloide z=5-x2-y2

V=∫

∫

y el plano xy.

√

V=∫

∫

√

|√

V=∫ V=∫ V= √

|

√

Hallar el volumen de la región sólida acotada superiormente por z=1-x2-y2 inferiormente por el plano z=1-y V=∫ ∫

e

V=∫ ∫

√

|

V=∫ V=∫ V= ∫ [

)

V= ∫ |

V=

Hallar el volumen de la región en el espacio limitado por el cono z=√ del cilindro x2+y2=1 sobre el eje x

V=∫ ∫

√

√

EN POLARES V=∫ ∫

|

V=∫ V=∫

V=

|

dentro

Hallar el área de la región de intersección de r=3cos 1+cosϴ

y exterior a la figura r+

A= ∫ ∫ A= ∫

|

A=∫ A=∫ A=∫ |

V=

√

√

Cambio de variable en una integral doble ∫∫

∫∫

|

|

|

|

Ejercicios Hallar la integral sobre una región ∫ ∫ plano xy limitado por x=0 ; y=0 ; x+y=1

si R es la región triangular del

X= Y=

|

∫∫

|=

∫ ∫ = ∫

| |

|

= ∫ |

= = (

)

Hallar el Jacobiano de la elipse X=arcos Y=brsen |

|

|

|

Coordenadas polares generalizadas

Reemplazo: X=h+arCosϴ Y=k+brSenϴ Ejercicios Hallar el volumen de la región sólida sobre el plano xy, limitada superiormente por empleando coordenadas polares generalizadas. X=2rCosϴ Y=√ rSenϴ

∫∫

∫∫

=∫

| (√

∫ =∫

∫ |

= √ ∫ = √ ∫ = √

) | √ |

| √ |

∫

= √ ∫

|

|

[ ] √

Aplicación de una superficie Si x=f(y,z), la región de integración R es la proyección de la superficie sobre el plano yz ∫∫

∫∫ √

Si y=f(x,z), la región de integración R es la proyección de la superficie sobre el plano xz ∫∫

∫∫ √

Si z=f(x,y), la región de integración R es la proyección de la superficie sobre el plano xy ∫∫

∫∫ √

Ejercicios Hallar el área de la esfera superior sobre el plano xy de

Z=√ √

Z= ∫∫ √

∫∫

∫∫ √

[

]

√

[

√

∫∫ √

∫∫ √ TRANSFORMANDO A POLARES: X=rcos Y=rsen = ∫

=

∫

∫ (

√ )

|

]

∫

= |

=

Masa de una lamina La masa de una lámina triangular de vértices A(0,0); B(0,3), C(2,3) si la ρ(x,y)=2x+y m=∫ ∫ |

m=∫ m=∫

| =

m=

kg

Hallar la masa de una lámina correspondiente al Ier cuadrante del círculo donde ρ(x,y)es proporcional a a distanica entre el punto “y” y el origen de coordenadas.

ρ(x,y)=Kd ρ(x,y)=k√ m=∫ ∫ √

CAMBIO A POLARES m= ∫ ∫ |

= ∫ ∫

= =

|

Momentos y centros de masa Mx=∫ ∫ My=∫ ∫ Ejercicios Hallar el centro de masa de una lámina correspondiente a la región donde en el punto (x,y) es proporcional a la distancia entre el punto y el eje x.

ρ(x,y)=k√ ρ(x,y)=ky m=∫ ∫

|

m= ∫ m=∫

|

m= yi= Mx= ∫ ∫ Mx= Mx=

∫

|

∫ Yi= Centro de Masa=(0,

Momentos de inercia Ix=∫ ∫ Iy=∫ ∫ Io=∫ ∫ Io=Ix+Iy Ejercicio Hallar los momentos de inercia de un disco homogéneo de densidad constante de centro en el origen y de radio a.

ρ(x,y)= ρ=cte Io=∫ ∫ CAMBIO A POLARES Io=∫

∫ |

Io= ∫ ∫

Io=

|

Io=

Ix=Iy (porque es disco es simétrico) Io=2Ix Ix=

=Iy

Integrales triples V=∫ ∫ ∫

(Aquí se habla de volúmenes y de cajas)

Ejercicios Hallar la integral sobre una caja ∫ ∫ ∫ . ∫ ∫ ∫

asumiendo que B ={(x,y,z)

|

= ∫ ∫ = ∫ ∫

|

= ∫ = ∫ |

= ∫

R ES LA PROYECCIÓN DE e SOBRE EL PLANO XY V=∫ ∫ ∫

Evaluar V=∫ ∫ ∫ x+y+z=1

∫∫

∫

donde E es el tetraedro sólido por los 4 planos x=0; y=0; z=0; ∫ ∫

∫ |

V= ∫ ∫ V= ∫ ∫

V=

|

∫

= V= ∫

∫ |

Hallar la integral ∫ ∫ ∫ √ y el plano y=4

donde E es la región acotada por el paraboloide √

√

∫ ∫ ∫ √

V=∫ ∫ V=∫ ∫

√

∫

|

y√

]

√

V=∫ ∫

TRANSFORMANDO A POLARES =∫

∫ |

=∫ =∫ =

|

TEOREMA DE GREEN El teorema de Green relaciona el valor de una integral de línea con el de una integral doble. El presente teorema establece que el valor de una integral doble sobre una región simplemente conexa R está determinado por el valor de una integral de línea a lo largo de la frontera de R. Sea C una curva suave a trozos, orientada positivamente, simple y cerrada que encierra la región R en el plano xy. Positivamente orientada significa que C es recorrida en sentido anti horario. Parametrizando C por la función vectorial , donde , entonces cerrada significa que: .

Curva de Jordan.- Una curva C de Jordan en el plano, divide a éste en dos regiones con la característica de que son disjuntas y conexas. Dichas regiones se llaman interior y exterior de C. Teorema.- Sea R una región simplemente conexa, con frontera C suave a trozos, orientada en sentido contrario al de las agujas de un reloj (esto es, C recorre una vez de manera que la región R siempre quede a la izquierda ). Si M y N tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a R, entonces: ∮

∫ ∫(

)

Demostración.REGIÓN VERTICALMENTE SIMPLE:

La región R se puede describir como:

∫

∫

∫ ∫

Luego:

(

∫ )

(

( )

)

∫

(

)

∬

∫ ∫

Se tiene: ∮

∬

REGIÓN HORIZONTALMENTE SIMPLE: De manera similar se realiza la demostración para esta región.

∮

∬

Luego: ∮

∬

∬

∬ (

)

EJEMPLO: Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea donde C es la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de y=x3 y desde (1, 1) hasta (0, 0) a lo largo de la gráfica y=x, de como se muestra a continuación.

(Larson & Edwards, 2010) ∫ M

N

∫

∬

∫ ∫

∫

[

]

∫

APLICACIÓN DE TEOREMA DE GREEN PARA CALCULAR EL TRABAJO Mientras esta bajo la acción de una fuerza, una partícula da una vuelta a la circunferencia de radio 3 que se muestra en la figura, usar el Teorema de Green para encontrar el trabajo realizado por la fuerza: En coordenadas polares, usando x=r cosθ y dA=rdrdo, el trabajo realizado es ∬ ∫

∫

∫

∫

∫

[

[

]

∫

]

Teorema de Green y campos vectoriales conservativos Evaluar la integral de línea donde C es la trayectoria mostrada en la siguiente figura:

Como el campo vectorial F= Mi +Nj es conservativo, y cerrada, se concluye que

como C es

∫ LIMITACIONES EN LA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE GREEN. EJEMPLO: Dado F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y2) a) Calcular su integral de línea sobre el círculo x2 + y2 = 1 b) Calcular

 Q

P 

  x  y dA , donde D es la región encerrada por la curva del punto a). D

c) Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green. SOLUCIÓN: a) Parametricemos el círculo.

x  cos t  dx   sen tdt y  sen t  dy  cos tdt

, 0  t  2

 sen t   sen tdt  Pdx  sen 2 tdt sen t  cos 2 t cos t Q( x(t ); y (t ))   cos tdt  Qdx  cos 2 tdt 2 2 sen t  cos t P( x(t ); y (t )) 

2

Integrando tendremos, así:

 Pdx  Qdy  

2

0

sen

2



t  cos 2 t dt  2

C

b) Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:

    Q P  Q P  dA  0   0       x  y  x  y 2 2 2 2   D P  x  y  ( y )2 y y x    2 2  y x2  y2 x2  y2   Q x 2  y 2  x 2 x y2  x2   2 2 x x2  y2 x2  y2





















c) Aparentemente estos resultados contradirían el Teorema de Green. Sin embargo, este último no es aplicable a la región en cuestión, dado que las funciones P y Q no tienen derivadas parciales continuas en el punto (0;0), que está contenido en la región.

INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA Si R es una región plana limitada o acotada por una curva suave simple C, cerrada y suave a trozos, que recorre una curva de Jordan, con orientación positiva, entonces el área está dada por: ∫ EJEMPLO: Usar la integral de línea para hallar el área de la elipse:

Parametrizando la elipse se tiene: Aplicando la integral de línea para el área se tendrá:

∫ ∫ ∫

FORMAS ALTERNATIVAS DEL TEOREMA DE GREEN Son formulaciones vectoriales del teorema de Green para regiones en el plano. Para la primera forma alternativa, se considera que si F es un campo vectorial en el plano F(x,y,z)= Mi +Nj +Ok, el rotacional de F sería: (Larson & Edwards, 2010)

Entonces: (rot F) * k= [

(

) ]

k es un vector unitario en dirección positiva del eje z Mediante las condiciones apropiadas sobre F, C y R, se puede describir el teorema de Green ∫

∬

∫

∬

La extensión de esta forma vectorial a superficies en el espacio genera el teorema de Stokes. Para la segunda forma alternativa del teorema de Green, se toma en cuenta las condiciones de la demostración de la primera forma alternativa. Utilizando el parámetro longitud de arco s para C, se tiene: r(s)= x(s)i +y(s)j→ El vector unitario tangente T será r´(s)= T= x´(s)i +y´(s)j

Mediante el anterior gráfico, se determina que el vector unitario normal exterior es N = y´(s)i x´(s)j Como en el anterior ejercicio se tenía que F(x,y,z)= Mi +Nj +Ok, se le puede aplicar el teorema de Green para obtener: ∫

∫ ∫

∫

∫

∬

∬

∬

∬

SUPERFICIES PARAMÉTRICAS Una superficie en el espacio se representa mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas o mediante una función vectorial: En el caso de las curvas, la función vectorial r es función de un solo parámetro t. En el caso de las superficies, la función vectorial es función de dos parámetros u y v. Definición de superficie paramétrica Sean x, y y z funciones de u y v, continuas en un dominio D del plano uv. Al conjunto de puntos (x,y,z) dado por, se le llama una superficie paramétrica: Las ecuaciones siguientes son las ecuaciones paramétricas para la superficie.

Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial r, entonces S es trazada por el vector posición r(u,v) a medida que el punto (u, v) se mueve por el dominio D.

EJEMPLO: Identificar y dibujar la superficie paramétrica S dada por donde

ECUACIONES PARAMETRICAS PARA SUPERFICIES Es una superficie dada por: La superficie se puede parametrizar como: EJEMPLO: Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para el cono dado por: √

Se toma como parámetros a x y y, por lo que el cono se lo representa como la función vectorial: √ Donde X y Y varían sobre todo el plano xy.

VECTORES NORMALES Y PLANOS TANGENTES Sea S una superficie paramétrica dada por: Sobre una región abierta D tal que x, y y z tienen derivadas parciales continuas en D. Las derivadas parciales de r con respecto a u y v están definidas como:

Cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial que puede interpretarse geométricamente en términos de vectores tangentes. Por ejemplo, si se mantiene constante, entonces es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a en el punto , está dada por: Como se muestra en el gráfico. De manera similar, si se mantiene constante, entonces , es una función vectorial de un solo parámetro y define a la curva que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a en el punto esta dado por:

Si el vector normal no es 0 para todo en D, se dice que la superficie S es suave y tendrá un plano tangente. De manera informal, una superficie suave es una superficie que no tiene puntos angulosos o cúspides. Por ejemplo, esferas, elipsoides y paraboloides son suaves, mientras que el cono del ejemplo 3 no lo es

VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE Sea S una superficie paramétrica suave:

Definida sobre una región abierta D en el plano u, v. Sea en el punto

un punto en D. Un vector normal

Esta dado por:

N=

(

)

|

|

EJEMPLO: Hallar un plano tangente a una superficie paramétrica Hallar una ecuación para el plano tangente al paraboloide dado por:

(

) , en el punto (1, 2, 5).

Solución: El punto en el plano uv es llevado al punto derivadas parciales de r son:

Las

El vector normal está dado por: |

|

Lo cual implica que el vector normal en (1, 2, 5) es del plano tangente en (1, 2, 5) es

-2i – 4j + k. Por lo tanto, una ecuación

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA Sea S una supercie paramétrica suave

Definida sobre una región abierta D en el plano uv. Si cada punto de superficie S corresponde exactamente a un punto del dominio D, entonces el área de la superficie S está dada por:

∬

∬

Donde y Para una superficie dada por

, se puede parametrizar utilizando la funcion vectorial.

Definida sobre la región R en el plano xy. Utilizando y Se tiene |

|

√

[

]

Entonces el área de la superficie S es ∬ ∬√ EJEMPLO: Hallar el área de la superficie del toro dado por: . Donde el dominio D está dado por

Se calcula

y

[

]

y

El producto vectorial de estos dos vectores es |

|

Lo cual implica que √ √ √

Por último. El área de la superficie del toro es ∬ ∫

∫

∫

INTEGRALES DE SUPERFICIE

Son similares a las integrales de línea, parametrica de la curva

definidas mediante una representación

DEFINICION: Sea S una superficie de ecuación plano XY, cuya parametrizacion de la superficie S es:

y R es la proyección sobre el

Si: ∬

(

)‖

‖

Y sea f una función continua en S entonces la Integral de superficie de F sobre S es: ∬

∬

Si S de la grafica es de ∬ Si la grafica es de ∬



√ ), R es su proyección sobre el eje XZ, entonces: √

∬

) y R es su proyección sobre el plano YZ, entonces: ∬

√

AREA DE SUPERFICIE ∬



MASA DE LA LÁMINA: ∬



MOMENTOS ∬ ∬

∬ 

CENTROIDES

̅ ̅ ̅



MOMENTO DE INERCIA DE LA LAMINA S ∬

ORIENTACION DE UNA SUPERFICIE Para inducir la orientación en una superficie S del espacio se utilizan vectores unitarios normales. DEFINICION: Se dice que una superficie es orientable si en todo punto de S que no sea un punto frontera puede definirse un vector unitario normal N de tal manera que los vectores normales varíen continuamente sobre la superficie S . Si esto es posible, S es una superficie ORIENTADA.  

Una superficie orientable tiene dos caras, hacia adentro y otra hacia afuera. Si ese es una superficie cerrada, como por ejemplo una esfera, elipse entre otras se escoge el vector unitario normal que apunte hacia afuera, y en superficies abiertas lo contrario.

Dado:

S puede orientarse: UNITARIO NORMAL HACIA ARRIBA

⃗ ‖

UNITARO NORMAL HACIA ABAJO

‖

√

⃗ ‖

‖

√

VECTORES UNITARIOS NORMALES ‖

‖

‖

‖

EJEMPLO: Evaluar la integral de superficie ∬ ( que se encuentra en el primer octante.

)

donde S es la porción del plano 2x+y+2z=6

Solución: Escribimos S como: Z= (6-2x-y) g(x,y)= (6-2x-y) Usando √

las

derivadas

parciales =√

gx(x,y)=-1 =

y

gy(x,y)=- ,

se

puede

escribir

Utilizando la Figura 15.45 y el teorema: ∬

∬

∬

(

)√

=∬

se tiene: √

( )

=∫ ∫ = ∫ =

EJEMPLO : En el campo de velocidad de un fluido está dada por F(x,y,z)=yi-xj+8k y la superficie S es la porción de la esfera x2+y2+z2=9 ubicada sobre la región D del plano xy acotada por la circunferencia x2+y2=4 Calcule el flujo de F a través de S.

Solución: La figura muestra la superficie S y la región D del plano xy. Al despejarla ecuación de la esfera con z>0, se obtiene z=√ fx=

fy=

√

fx=

√

fy=

De la defición de flijo se tiene flujo de F a través de S: S=∬ Del campo de velocidades dado, M= y N=-x y R=8 Flujo de F a través de S= S=∬ ( =∬ (

(

)

(

)

) )

= ∬ Como D es la región Limitada por la circunferencia x2+y2=4, se transforma a polares = ∫ =4∫

∫ |

=16∫ =16( |

= 32 INTEGRALES DE FLUJO

Una de las aplicaciones principales que permite la forma vectorial de las integrales de superficies, tiene que ver con el flujo de un fluido a través de una superficie S.

DEFINICIÓN: Sea ⃗⃗⃗ (x,y,z) = P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z) ⃗ , donde P,Q,R tienen derivadas primeras continuas en la superficie S orientada mediante un vector normal unitario ⃗ . La integral de flujo de a través de S viene dado por: ∬

⃗

Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la componente normal de representando el volumen del fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo. Si ρ(x,y,z) es la densidad del fluido en (x,y,z) entonces la integral de flujo ∬

⃗

representa la masa del fluido que fluye a través de S por unidad

de

tiempo.

CÁLCULO DE INTEGRALES DE FLUJO Sea S una superficie orientada dado por z = g(x.y) y sea R su proyección sobre el plano XY. Orientada hacia arriba:

⃗

∬

∬

⃗)

(

Orientada hacia abajo: ⃗

∬

∬

⃗)

(

EJEMPLO: Sea S la porción del paraboloide que se encuentra sobre el plano xy, orientado por medio de un vector unitario normal dirigido hacia arriba, como se muestra en la figura 15.52. Un fluido de densidad constante ρ fluye a través de la superficie S de acuerdo con el campo vectorial. Hallar la tasa o ritmo de flujo de masa a través de S.

Solución: calculamos las derivadas parciales de g

La tasa o el ritmo de flujo de masa a través de la superficie S es: ⃗

∬

∬

∬

∬

(

⃗)

∬

∫∫

∫

SUPERFICIE PARAMÉTRICA Para una superficie orientada S dada por la función vectorial

Definida sobre una región D del plano uv, se puede definir la integral de flujo de F a través de S como ∬ ∬

⃗

∬

( ‖

‖

)‖

‖

(Thomas, 2010) TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

JOSEPH LOUIS LAGRANGE EN 1762 El teorema fue descubierto originariamente por Joseph Louis Lagrange en 1762, e independientemente por Carl Friedrich Gauss en 1813, por George Green en 1825 y en 1831 por Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, que también dio la primera demostración del teorema. En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss, teorema de Gauss-Ostrogradsky, teorema de Green-Ostrogradsky o teorema de Gauss-Green-Ostrogradsky, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie. Intuitivamente se puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los sumideros del flujo de salida neto de una región. Desde el punto de vista matemático es un caso particular del teorema de Stokes. El Teorema de la divergencia establece la relación que existe entre una integral sobre la superficie S y la integral triple de una región sólida B, en la cual la superficie S es su frontera.

El divergente se obtiene de la siguiente manera:

Es decir, es la derivada parcial de cada componente, respecto a las variables x, y, z respectivamente. EJEMPLO: Sea el campo vectorial campo en la región acotada por

. Evaluar el flujo de dicho

∬

∭

∭

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ |

∫

|

TEOREMA DE STOKES GEORGE GABRIEL STOKES (1819-1903) Stokes se convirtió en profesor Lucasiano de matemáticas en Cambridge en 1849. Cinco años después, publicó el teorema que lleva su nombre como examen para optar a un premio de investigación. El teorema de Stokes establece la relación entre una integral de superficie sobre una Superficie orientada S y una integral de línea a lo largo de una curva cerrada C en el espacio que forma la frontera o el borde de S.

Sea S una superficie orientada con vector unitario normal N, acotada por una curva cerrada simple, suave a trozos C, con orientación positiva. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a S y a C, entonces

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gradiente el resultado del operador diferencial que actúa sobre la función, Fórmula para el rotacional.

f como

Por el teorema de Stokes hallamos la rotacional de F a través de una superficie cualquiera que tenga como borde la circunferencia C. Por ejemplo, podemos coger el círculo de esa circunferencia, pero por hacer más interesante el ejercicio vamos a coger la superficie definida por:

EJEMPLO: Verificación del Teorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba.

i rot F  

x 3y

j

k    4i  6 j  3k y z 4z  6x

Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas:

 x  r cos  0r3  r (r; )  y  r sen  , 0    2 z  9  r 2  El producto vectorial fundamental será:

rr  r 

i cos 

j sen 

 r sen 

r cos 

k  2r  2r 2 cos  i  2r 2 sen  j  r k 0

Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lo tanto la parametrización describe a una superficie con orientación positiva.

Usando entonces esta parametrización, tenemos:

 rot F  dS   rot F  (r

r

S



2

0

D



3r 2

2 3

0

 27

 r )drd  

2

0

3

 (8r 0

2

cos   12r 2 sen   3r )drd 