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Facultad de Ingeniería Universidad del Magdalena

Curso de Estadística II

Taller 5 Segundo Seguimiento Estadística II Facultad de Ingeniería Universidad del Magdalena Fuentes: Devore, J. L. (2011), Mendenhall, W. et al. (2016), Navidi, W. C. (2008), Ross, S. M. (2014), Walpole, R. E., et al. (2012). Ejercicio 1 ¿El precio pagado por el atún depende del método de empaque? Consumer Reports da el precio promedio estimado para una lata de 6 onzas o una bolsa de 7.06 onzas de atún, con base en precios pagados a nivel nacional en supermercados. Los precios se registran para una variedad de marcas de atún en la tabla siguiente:

Suponga que las marcas de atún incluidas en el estudio representan una muestra aleatoria de todas las marcas de atún existentes en Estados Unidos. Encuentre un intervalo de confianza de 95%. Asuma también que las poblaciones de las que se extraen las muestras son normales. a) para el precio promedio de atún claro empacado en agua. Interprete el intervalo. Específicamente, ¿a qué se refiere el “95%”? b) para el precio promedio de atún claro empacado en aceite. ¿Cómo se compara el ancho de este intervalo con el del intervalo hallado en el inciso a)? Dé tres razones por las que difieren las longitudes de los intervalos. Ejercicio 2 En una muestra aleatoria de 100 baterías producidas por cierto método, el promedio del tiempo de vida fue de 150 horas y la desviación estándar de 25 horas. a) Determine un intervalo de confianza de 99% para la media del tiempo de vida de baterías producidas por dicho método. b) ¿Aproximadamente cuántas baterías se deben muestrear con el propósito de que un intervalo de confianza de 95% especificará la media dentro de ±2 horas? Página 1 de 4

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Ejercicio 3 Una báscula eléctrica proporciona una lectura igual al peso real más un error aleatorio que se distribuye normalmente con media 0 y desviación estándar σ = 0.1 mg. Suponga que los resultados de cinco pesadas sucesivas del mismo objeto son las siguientes: 3.142

3.163

3.155

3.150

3.141

a) Determine un intervalo de confianza del 95% para peso verdadero. b) Determine un intervalo de confianza del 99% para peso verdadero. c) ¿Cuál es menos preciso? ¿A qué se debe esto? Ejercicio 4 En un proceso de inyección de plástico la característica de calidad del producto (disco) es su grosor, que debe ser de 1.20 mm con una tolerancia de ±0.10 mm. Para evaluar esta característica de calidad, durante una semana se realiza un muestreo sistemático en una línea de producción y se obtiene una de muestra de 125 con media muestral 1.179 mm y varianza de 0.00071. a) Construya un intervalo de confianza del 95% para μ. b) Grafique la curva f(x) (función de densidad de probabilidad) representando la característica de calidad poblacional y muestral, así como el intervalo de confianza hallado. Ejercicio 5 Suponga que se selecciona una muestra aleatoria de 50 botellas de una marca particular de jarabe para la tos y se determina el contenido de alcohol de cada botella. Supongamos que μ indica el contenido promedio de alcohol para la población de todas las botellas de la marca en estudio. Suponga que el intervalo de confianza del 95% resultante es (7.8, 9.4). a) ¿Un intervalo de confianza del 90% calculado a partir de esta misma muestra hubiera sido más estrecho o más amplio que el intervalo dado? Explica tu razonamiento. b) Considere la siguiente afirmación: hay un 95% de posibilidades de que μ esté entre 7.8 y 9.4. ¿Es correcta esta afirmación? Consulte la literatura para dar respuesta a esta pregunta. Ejercicio 6 La Environmental Protection Agency (EPA) ha recolectado datos sobre mediciones de LC50 (concentraciones que matan a 50% de los animales de prueba) para ciertos productos químicos que es probable se encuentren en ríos y lagos de agua dulce. Para cierta especie de peces, las mediciones de LC50 (en partes por millón) de DDT en 12 experimentos fueron las siguientes: 16

5

21

19

10

5

8

2

7

2

4

9

Calcule la media real de LC50 para DDT con un coeficiente de confianza 0.90. Suponga que las mediciones de LC50 tienen una distribución aproximadamente normal. Ejercicio 7 Una caja grande contiene 10000 cojinetes de bola. Se elige una muestra aleatoria de 120. La media muestral del diámetro es 10 mm y la desviación estándar es 0.24 mm. Responda Verdadero o Falso y justifique:

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a) Un intervalo de confianza de 90% para la media del diámetro de los 120 cojinetes en la muestra es 10 ± (1.96)(0.24)/√120 b) Un intervalo de confianza de 95% para la media del diámetro de los 10000 cojinetes en la muestra es 10 ± (1.96)(0.24)/√120 c) Un intervalo de confianza de 95% para la media del diámetro de los 10000 cojinetes en la muestra es 10 ± (1.96)(0.24)/√10000 Observación: tenga en cuenta que si 𝑛/𝑁 < 0.05 no se usa el factor de corrección de población finita. Ejercicio 8 Sobre la base de pruebas exhaustivas, se sabe que el límite elástico de un tipo particular de barra de refuerzo de acero dulce se distribuye normalmente 𝜎 = 100. La composición de la barra se ha modificado ligeramente, pero no se cree que la modificación haya afectado tampoco la normalidad o el valor de 𝜎. a) Si una muestra de 25 barras modificadas dio como resultado un punto de rendimiento promedio de la muestra de 8439 lb, calcule un intervalo de confianza del 90% para el verdadero punto de rendimiento promedio de la barra modificada. b) ¿Cómo modificaría el intervalo del inciso a) si ahora se contempla un nivel de confianza del 92%? Ejercicio 9 ¿Las calificaciones del SAT (Scholastic Assessment Test) para estudiantes de preparatoria difieren dependiendo del campo de estudio futuro de los estudiantes? Quince estudiantes que deseaban especializarse en ingeniería se compararon con 15 estudiantes que deseaban especializarse en idioma y literatura. En la siguiente tabla se dan las medias y desviaciones estándar de las calificaciones de la parte verbal y de matemáticas de los exámenes SAT para los dos grupos de estudiantes:

a) Construya un intervalo de confianza de 95%, para la diferencia en el promedio de calificaciones de examen verbal de estudiantes que se especializan en ingeniería y los que se especializan en idiomas/literatura (𝑥̅1 − 𝑥̅2 ). b) Construya un intervalo de confianza para la diferencia en el promedio de calificaciones de matemáticas para estudiantes que se especializan en ingeniería y para los que se especializan en idiomas/literatura (𝑦̅1 − 𝑦̅2 ).

Ejercicio 10 El artículo “Occurrence and Distribution of Ammonium in Iowa Groundwater” (K. Schilling, en Water Environment Research, 2002:177-186) describe las mediciones de las concentraciones de amonio (en mg/l) para gran número de pozos en Iowa. Éstos incluían 349 pozos aluviales y 143 Página 3 de 4

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pozos cuaternarios. Las concentraciones en los pozos aluviales promediaban 0.27 con desviación estándar de 0.40 y los pozos cuaternarios promediaban 1.62 con desviación estándar de 1.70. Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en las medias de las concentraciones de los pozos aluviales y los cuaternarios.

Ejercicio 11 Un ingeniero civil desea medir la resistencia a la compresión de dos tipos diferentes de hormigón. Una muestra aleatoria de 10 especímenes del primer tipo arrojó los siguientes datos (en psi) 3250 3297

3268 3332

4302 3502

3184 3064

3266 3116

Mientras que una muestra de 10 especímenes del segundo arrojó los datos: 3094 3124

3106 3316

3004 3212

3066 3380

2984 3018

Halle: a) Un intervalo de confianza bilateral del 95% para μ1 - μ2, la diferencia de medias. b) Un intervalo de confianza superior unilateral del 90% para μ1 - μ2. c) Un intervalo de confianza inferior unilateral del 99% para μ1 - μ2.

Ejercicio 12 Se toman muestras aleatorias independientes de la salida de dos máquinas en una línea de producción. El peso de cada artículo es de interés. De la primera máquina, se toma una muestra de tamaño 36, con un peso medio de 120 gramos y una varianza de 4. De la segunda máquina, se toma una muestra de tamaño 64, con un peso medio de 130 gramos y una varianza de 5. Se supone que los pesos de los elementos de la primera máquina se distribuyen normalmente con la media μ1 y la varianza 𝜎 2 , y que los pesos de los elementos de la segunda máquina se distribuyen normalmente con la media μ2 y la varianza 𝜎 2 (es decir, se supone que las variaciones son iguales). Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia en las medias poblacionales μ1 - μ2.

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