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Instituto Politécnico Nacional. Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Unidad Azcapotzalco. Ecuaciones diferenciales 3MV1

Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de 1er orden. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de 2° orden. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales tipo Bernoulli. Método de Cauchy-Euler. Método de serie de potencias. Método de Frobenius Sistemas de ecuaciones con coeficientes constantes. Método de operadores Método de la matriz exponencial.

Jasso González Carlos Alberto.

Índice. Página.

Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de 1er orden………………………………………..3

Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de 2° orden. ………………………………………16

Aplicaciones de ecuaciones diferenciales tipo Bernoulli. …………………………………….28

Método de Cauchy-Euler. ………………………………………………………………………..31

Método de serie de potencias. …………………………………………………………………..36

Método de Frobenius……………………………………………………………………………...39

Sistemas de ecuaciones con coeficientes constantes. ……………………………………….45

Método de operadores……………………………………………………………………………49

Método de la matriz exponencial. ……………………………………………………………….52

Referencias………………………. ……………………………………………………………….57

2

Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de 1er orden. 1.

Aplicaciones geométricas

Se llaman trayectorias ortogonales o curvas ortogonales a una familia de curvas Φ (x, y) = c (con “c” constante), a otra familia de curvas que cortan perpendicularmente a cada elemento de la familia de partida. Recuerde que dos rectas ri (i = 1,2) son perpendiculares si el producto de sus pendientes 1 vale −1, esto es 𝑚2 = − 𝑚 , donde mi denota la pendiente de ri (i = 1,2). 1

Las curvas ortogonales a la familia Φ (x, y) = c pueden ser determinadas conforme indica el siguiente procedimiento: 1. Eliminamos el parámetro c derivando implícitamente en la familia de curvas de ecuación Φ (x, y) = c 2. Se obtiene así la ecuación diferencial F (x, y, y’) = 0, que define a la familia dada. 3. Intercambiamos la pendiente y’ en la ecuación diferencial F(x, y, y’) = 0 por la pendiente 1

1

perpendicular − y , con lo que resulta la ecuación diferencial F (x, y, − y′ ) que define a la familia ortogonal. 4.

1

Resolvemos la ecuación F (x, y, − y′ ) obteniendo, por tanto, la familia ortogonal pedida.

Ejemplo: Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de elipses x2+2y2=c2. Respuesta: Suponiendo y = y(x) eliminamos el parámetro “c” por derivación implícita, con lo que aparece la ecuación diferencial de la familia de elipses: 2x+4yy’ = 0 ⇒ x+2yy’ = 0. Teniendo en cuenta que y’ (x) es la pendiente de la recta tangente a la elipse y(x) de la familia considerada, reemplazamos y’ por −1/y’ para obtener la ecuación de las trayectorias ortogonales:

3

1

x + 2y (− y′ ) = 0 ⇒ y ′ =

2y x

⇒

ⅆy y

=2

ⅆx x

Por último, integramos la ecuación de variables separadas resultante: lny = 2lnx+K ⇒ y = kx2. Se concluye que las trayectorias ortogonales a la familia de elipses dada constituyen una familia de pará- bolas.

Problemas de desintegración radiactiva. Se pretende calcular la cantidad restante de una sustancia que se desintegra radiactivamente. Para ello, sean: y(t) = ‘cantidad de sustancia restante en el instante t’ y (0) = y0 = ‘cantidad inicial de sustancia’. Es conocido que la desintegración radiactiva está sujeta a la siguiente ley: “Ley de la Desintegración Radiactiva. La rapidez de desintegración de una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad de sustancia restante.” Formulando la ley anterior para la cantidad de sustancia y(t) encontramos que ésta se rige por la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas y’(t)=K y(t), donde K es una constante de proporcionalidad que depende de la sustancia estudiada. Pasando a notación diferencial, la solución general de la ecuación anterior viene dada por: ⅆx ⅆt

= ky ⇒

ⅆy y

= K ⅆt

⇒ lny = Kt + c,

De donde: Y(t)= Cekt La constante C viene determinada por la cantidad inicial de sustancia: y 0 = y (0) = C. Para hallar la constante K es necesario conocer la vida media de la sustancia radiactiva en cuestión, que es el tiempo medio t1/2 que ésta tarda en reducirse a la mitad. Simbólicamente: y (t 1⁄ ) = 2

y0 = y0 ⅇkt 1⁄2 2

Por tanto:

En conclusión, la cantidad de sustancia restante en el instante t viene dada por:

4

Ejemplo: En un trozo de madera quemada se encontró que el 85.5% de 14C se había desintegrado. La vida media del 14C es de 5600 años. ¿Qué edad tenía la madera?

Respuesta: Sean: y(t) = ‘cantidad de 14C restante en el instante t’, y (0) = y0 = ‘cantidad inicial de 14C’. ln 2

De acuerdo a la explicación anterior: k = − 5600 ≈ −1.24 ∗ 10−4 Por tanto: y(t) = y0 ⅇ−1.24x

10−4 T

Sabemos que se ha desintegrado el 85.5% del 14C, por lo que resta el (100 − 85.5) % = 14.5% de la cantidad inicial. Es decir, en el instante de medir la cantidad de 14C queda el 0.145y0 del mismo. Así pues: 0.145 y0 = y0 e^ −1.24·10−4 t; de donde ln 0.145 = −1.24 · 10^−4 t; y finalmente: t=−

𝑙𝑛0.145 ≈ 15600 𝑎ñ𝑜𝑠 1.24 ∗ 10−4

Problemas de crecimiento poblacional. La tasa de crecimiento de una población viene dada por la ecuación logística: 𝑑𝑃 = 𝑃(𝑎 − 𝑏𝑃) 𝑑𝑡 Dónde: P(t)= “Número de habitantes en el instante T” y a, b son constantes positivas. La ecuación diferencial anterior es de variables separadas. 𝑑𝑃 = 𝑑𝑡 𝑃(𝑎 − 𝑏𝑃) Para integrarla, descomponemos el primer miembro en fracciones simples:

Igualando coeficientes encontramos que:

5

Por tanto:

Finalmente, la solución general de la ecuación logística es:

Nótese además que la constante C verifica:

O bien:

Ejemplo: El número N(t) de personas de una comunidad que verán cierto anuncio publicitario se rige por la ecuación logística: 𝑑𝑁 = 𝑁(𝑎 − 𝑏𝑁) 𝑑𝑡

6

Inicialmente N (0) = 500, y se observa que N (1) = 1000. Si se predice que el número límite de personas de la comunidad que verán el anuncio es de 50000, encontrar N(t) en un instante cualquiera. Respuesta: De acuerdo a la explicación anterior, la solución de la ecuación logística es: (1) Las constantes a, b y C vienen determinadas por las condiciones que nos proporciona el enunciado: (2) (3) (4)

Y: Así que a=50000 b. De 2 y 4 se obtiene:

(5)

Incorporando 5 en 2: (6)

Combinando 5, 6 y 7 en 1 encontramos que el número de personas que verán el anuncio publicitario en un instante cualquiera t viene dada por:

7

Problemas de reacciones químicas.

Dos sustancias A y B reaccionan formando una sustancia C. Interesa conocer la cantidad de sustancia C formada en el instante t. Para resolver el problema anterior nos apoyamos en la siguiente ley de la química: “La rapidez de una reacción química en la que se forma un compuesto C a partir de dos sustancias A y B es proporcional al producto de las cantidades de A y de B que no han reaccionado.” Denotamos por: y(t) = ‘cantidad de C en el instante t’, α = ‘cantidad inicial de A’, β = ‘cantidad inicial de B’,

a(t) = ‘cantidad de A usada en el instante t’, b(t) = ‘cantidad de B usada en el instante t’.

Formulando la ley anterior para y(t) encontramos que esta función verifica la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas: y’ (t) = K [α −a(t)] [β −b(t)] Con condición inicial y (0) = 0 (pues en el instante t = 0 no se ha formado aún sustancia C). Ejemplo: Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar una sustancia C. Inicialmente hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, y por cada gramo de B se usan 2 gramos de A. Se observa que se forman 10 gramos de C en 5 minutos. ¿Cuánto se formará en 20 minutos? ¿Cuánto quedará de A y B sin reaccionar después de un tiempo largo? Respuesta: Sean: y(t) = ‘cantidad de C en el instante t’, α = 40, instante t’, β = 50, instante t’.

a(t) = ‘cantidad de A usada en el b(t) = ‘cantidad de B usada en el

La Ley de Conservación de la Masa de Lavoisier garantiza que la cantidad de sustancia C creada en el instante t coincide con la suma de las cantidades usadas de A y B. De otra parte, sabemos que por cada gramo de B se usan 2 gramos de A, esto es, la cantidad de sustancia A usada en el instante t es el doble de la de B. Luego:

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Conforme a la discusión precedente, la cantidad de sustancia C creada en el instante t verifica la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas:

O bien:

Luego:

Integrando y calculando la integral del primer miembro por descomposición en fracciones simples:

Igualando coeficientes obtenemos:

Por lo tanto:

9

Las constantes C y K se determinan por las condiciones del problema:

Así pues:

Consecuentemente, la cantidad de sustancia C formada en el instante t viene dada por:

La cantidad de C que se formará transcurridos 20 minutos será:

calculamos en primer lugar cuánta cantidad de C se ha formado transcurrido dicho tiempo:

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Por último, como:

Podemos concluir que transcurrido un tiempo largo quedan sin reaccionar:

Problemas de mezclas. Se mezclan dos soluciones de diferente concentración en un recipiente. Queremos conocer la cantidad de soluto presente en cada instante dentro del mismo.

Problemas de mezclas. Más precisamente, supongamos que tenemos un recipiente en el cual hay un volumen inicial de V0 litros de disolvente y una cantidad inicial de soluto de A kilogramos, con lo cual la concentración inicial de soluto es de A/V0 kilogramos por litro. En dicho recipiente se introduce una solución con una concentración de a kg/L, a una velocidad de v1 L/min. Al mismo tiempo sale del recipiente parte de la solución a una velocidad de v2 L/min. Estamos interesados, como hemos mencionado anteriormente, en conocer la cantidad de soluto presente en el interior del recipiente en cada instante. Para ello, denotemos por: y(t) = ‘cantidad de soluto en el recipiente en el instante t’. La rapidez con que varía la cantidad de soluto dentro del recipiente viene dada por la variación de la cantidad de soluto respecto al tiempo, esto es, y’ (t). Así: Y’ (t) = ‘rapidez con que varía la cantidad de soluto en el recipiente en el instante t’ = ‘rapidez con que entra menos rapidez con que sale’ = R1(t)−R2(t),

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Donde: R1(t) = ‘concentración de entrada × velocidad de entrada’ = av1 (kg/L × L/min= kg/min) Y: R2(t) = ‘concentración en el instante t ×velocidad de salida’

Pues el volumen de solución en el instante t viene dado por la suma del volumen inicial V0 y el volumen añadido en el instante t, que es (v1 −v2) t (L/min × min = L). En consecuencia, la cantidad de soluto en el instante t verifica la ecuación diferencial ordinaria lineal:

Es decir:

Con la condición inicial: y (0) = A kg de soluto. Ejemplo: Se disuelven inicialmente 50 libras de sal en un recipiente que contiene 300 galones de agua. Se bombea salmuera al recipiente a razón de 3 galones por minuto, siendo la concentración de la solución entrante de 2 libras por galón. La solución mezclada se bombea hacia afuera a razón de 2 galones por minuto. Determinar la cantidad de sal que hay en el recipiente en cada instante. Respuesta: Del enunciado anterior tenemos los siguientes datos: A = 50 lb,

a = 2 lb/gal,

V0 = 300 gal,

v1 = 3 gal/min,

v2 = 2 gal/min

Atendiendo a la discusión precedente, la cantidad de sal y(t) presente en el recipiente en cada instante es solución de la ecuación diferencial lineal:

Esto es:

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Resolviendo por factor integrante:

Integrando:

Finalmente, determinamos C de acuerdo a las condiciones del problema:

En conclusión, la cantidad de sal que hay en cada instante en el recipiente viene dada por la función:

Problemas de temperatura. Se trata de medir la temperatura que tiene en cada instante un objeto que se enfría. Sean T(t) = ‘temperatura del objeto en el instante t’, Ta = ‘temperatura ambiente’. El enfriamiento de un cuerpo está regido por la siguiente ley: «Ley de Newton: La rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente.» Formulando la ley anterior para T(t) encontramos que esta función satisface la ecuación diferencial ordinaria lineal:

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Esto es:

Donde K es una constante que depende del objeto considerado y de las condiciones externas. La anterior ecuación admite por factor integrante:

Integrando ahora ambos miembros de la ecuación respecto de la variable independiente:

Por tanto, la solución general de la ecuación es:

Las constantes C y K se determinan en función de los datos del problema particular considerado. Ejemplo: Un termómetro se saca de una habitación, donde la temperatura es de 70°F, al exterior, donde la temperatura es de 10°F. Después de medio minuto, el termómetro marca 50°F. ¿Cuánto marcará al cabo de 1 minuto? ¿Cuánto tardará en alcanzar los 15°F? Respuesta: Sea: T(t) = ‘temperatura del objeto en el instante t’. Sabemos que la temperatura ambiente es T a = 10 ◦F. Además, la temperatura inicial del termómetro es de T (0) = 70 ◦F, mientras que al cabo de medio minuto es de T (0.5) = 50 ◦F. De acuerdo con la discusión precedente, la temperatura del termómetro en cualquier instante t viene dada por: T(t) = 10+CeKt. Ahora bien, 70 = T (0) = 10+C, luego C = 70−10 = 60. De otra parte 50 = T (0.5) = 10+60e0.5 K,

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Esto es:

Por tanto:

Así pues, la temperatura del termómetro en cualquier instante t viene dada por:

Al cabo de 1 minuto, el termómetro marcará:

Para determinar el tiempo en que alcanzará los 15 ◦F hemos de resolver la ecuación T(t) = 15, es decir:

Luego 5 = 60 e−0.811t y, por tanto, e−0.811t = 5/60 = 1/12, de donde −0.811 t = −ln 12. Finalmente,

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Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de 2° orden. Motor de corriente continua. El motor de corriente continua es una máquina que convierte la energía eléctrica en mecánica, principalmente mediante el movimiento rotatorio. Esta máquina de corriente continua es una de las más versátiles en la industria. Su fácil control de posición, paro y velocidad la han convertido en una de las mejores opciones en aplicaciones de control y automatización de procesos. Con la llegada de la electrónica su uso ha disminuido en gran medida, pues los motores de corriente alterna, del tipo asincrónico, pueden ser controlados de igual forma a precios más accesibles para el consumidor medio de la industria. A pesar de esto los motores de corriente continua se siguen utilizando en muchas aplicaciones de potencia (trenes y tranvías) o de precisión (máquinas, micro motores, etc.). Son de los más comunes y económicos, y pueden ser encontrados en la mayoría de los juguetes a pilas. En un motor de corriente continua es posible regular la velocidad angular del rotor controlando el voltaje a través del mismo, dado que ´este es proporcional a aquélla.

Uniendo esas consideraciones a las leyes de Kirchhoff para un circuito RL, se obtiene la ecuación diferencial lineal no homogénea cuya solución proporciona el ´ángulo θ (de la figura 1) en función del tiempo t:

donde J es el momento de inercia del rotor, KT y Kb son sendas constantes de proporcionalidad positivas, θ es el ´ángulo girado por el rotor y vin es el voltaje de alimentación. Es deseable que una vez en marcha la velocidad angular del rotor alcance un valor estable (esto es, no crezca indefinidamente). ¿Qué condiciones harían que esto suceda? Comenzaremos suponiendo que el motor parte del reposo y del equilibrio de momentos. Para hallar la velocidad angular del motor en función de las constantes involucradas observemos que la derivada de θ, el ´ángulo girado, es ω, la velocidad angular. Así, la EDOL no homogénea que debe satisfacer ω es:

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La ecuación diferencial de segundo orden homogénea asociada tiene como ecuación característica:

Sus soluciones son:

Observemos que, si las soluciones de esta ecuación son reales y distintas, una será positiva y la otra negativa. Esto haría que la solución general de la ecuación diferencial tendiese a más o menos infinito. Debemos imponer entonces que las soluciones r1,2 sean iguales o complejas conjugadas. Es decir, para que la velocidad angular se estabilice debe ocurrir que:

Supongamos que las soluciones r1 y r2 son complejas conjugadas. La solución general de la ecuación homogénea asociada es:

Tomando: esta ´última expresión puede escribirse:

Para resolver la ecuación no homogénea tengamos en cuenta que la función excitación es un polinomio de grado 0. Entonces, proponemos como solución particular ωp = A (polinomio de grado 0). Sustituyendo en la ecuación 1.1 resulta:

Con lo cual la solución general de la ecuación 1.1 es:

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Introducimos ahora las condiciones iniciales. Se parte del reposo por lo que ωg (0) = 0. Reemplazando en 1.2 tenemos:

Para hallar el valor de C1 consideraremos el hecho de que se parte del equilibrio de momentos. Esto significa que la aceleración angular es 0, es decir que la derivada de la velocidad angular es nula. Derivando 1.2 obtenemos:

Reemplazando nuevamente en 1.2 obtenemos la expresión para la ´única solución del (PVI)3 de orden 2 propuesto:

Observemos que cuando t → +∞ la velocidad angular tiende a vin/Kb. El motor (el sistema) se estabiliza. Piezoeléctricos. La piezoelectricidad (del griego piezein, “estrujar o apretar”) es un fenómeno presentado por determinados materiales que al ser sometidos a tensiones mecánicas adquieren una polarización eléctrica en su masa, apareciendo una diferencia de potencial y cargas eléctricas en su superficie. Este fenómeno también se presenta a la inversa, esto es, los cristales se deforman bajo la acción de fuerzas internas al ser sometidos a un campo eléctrico. El efecto piezoeléctrico es normalmente reversible: al dejar de someter los cristales a un voltaje exterior o campo eléctrico, recuperan su forma. En 1880, Pierre Curie y su hermano Jacques descubrieron este fenómeno en el cuarzo y la sal de Rochelle. Una de las importantes aplicaciones de un cristal piezoeléctrico es su utilización como sensor de vibración. Cada una de las variaciones de presión producidas por la vibración provoca un pulso de corriente proporcional a la fuerza ejercida. Así, se convierte de una forma fácil una vibración mecánica en una señal eléctrica lista para amplificar. Basta con conectar un cable eléctrico a cada una de las caras del cristal y enviar esta señal hacia un amplificador. Un ejemplo son las pastillas piezoeléctricas de una guitarra. Otra aplicación muy importante de la piezoelectricidad, pero en este caso al revés, son los inyectores de combustible de los motores de combustión interna. Al aplicarse una diferencia de potencial a un material piezoeléctrico, se consigue abrir el inyector, permitiendo al combustible a muy alta presión entrar en el cilindro. El uso de inyectores piezoeléctricos permite controlar con una enorme precisión los tiempos de inyección y la cantidad de

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combustible que se introduce en el motor, lo que redunda en mejoras en el consumo, prestaciones y rendimiento de los motores. Como ya dijimos, un piezoeléctrico es un bloque de un material que se contrae levemente cuando se le aplica una diferencia de tensión eléctrica. De ese modo, se lo puede utilizar como un posicionador muy preciso, pues regulando el voltaje es posible lograr contracciones muy pequeñas del piezoeléctrico, lo que permite desplazar en la misma infinitesimal medida a un objeto que esté adherido a uno de los extremos del bloque.

En el dispositivo de la figura, una masa M está unida a un bloque piezoeléctrico con electrodos metálicos depositados sobre las caras opuestas. La posición c(t) de dicha masa dependerá del voltaje Vin que se aplique. La fuerza que el bloque ejercerá sobre M es proporcional a dicho voltaje: Fb = αVin Por otra parte, al producirse la contracción del material entran en juego también otras fuerzas que pueden expresarse en función de c y sus derivadas: Fuerzas de resistencias. Como hemos visto en otros sistemas similares, estas fuerzas pueden velocidad. Así: pensarse proporcionales a la Fuerza de reacción elástica. Debido a la elasticidad del material, al contraerse ejerce una fuerza opuesta a su sentido de movimiento y proporcional al desplazamiento del extremo del bloque. Tenemos así: donde Cm es la capacidad mecánica. Aplicando la 2◦ ley de Newton, hallamos la ecuación diferencial que modela el problema de hallar la posición c(t) de la masa. La 2a ley de Newton establece que F = ma; es decir, la fuerza total ejercida sobre una masa es igual al producto de ´esta por la aceleración que adquiere. ¿Cuál es la fuerza total en este caso? Tenemos una que provoca el movimiento (la ejercida por el piezoeléctrico) y dos que se oponen al mismo (fuerzas internas de resistencia y fuerza elástica). Entonces, la fuerza total es, (tomando como positivo el sentido del movimiento):

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Aplicando la 2◦ ley de Newton tenemos que:

Pero la aceleración es la derivada segunda de la posición c con respecto al tiempo dos veces; esto es:

Entonces: (2.1)

Así queda conformada la ecuación diferencial de segundo orden, ordinaria, lineal y a coeficientes constantes. Su resolución permitirá conocer la posición c del objeto de masa M en cada instante de tiempo. Ejemplo: supongamos que se coloca en el dispositivo un objeto de masa M = 1g y que en el instante t = 0 se aplica un voltaje tal que αVin(t) = Acos(ωt) donde:

Respuesta: Reemplazando en la ecuación (2.1) resulta:

(2.2) Para resolverla consideramos primero la ecuación lineal homogénea asociada:

(2.3) Para resolver esta ´ultima ecuación hallamos las raíces características. Ellas son:

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por lo que una base del conjunto solución de (2.3) es:

Una solución particular de (2.2) es cp(t) = Dcos (wt − δ) donde D = 4 ∗ 10−4 y δ ∼= −1,04. Así, la solución general de (2.2) resulta:

donde C1 y C2 son constantes reales. La figura de la izquierda muestra la gráfica de c suponiendo que el objeto parte del reposo. En la figura de la derecha, en línea de puntos, se muestra la gráfica de cp.

En la figura 3 se muestran las gráficas de c y cp en un mismo sistema de referencia. Observemos que cuando t tiende a infinito la solución c se comporta como cp (esta función es llamada solución de estado estable).

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Flotación de una boya. En la figura vemos esquemáticamente una boya cilíndrica, que supondremos homogénea, flotando en agua, de manera que solamente un tercio de ella asoma por sobre la superficie del líquido. La altura del artefacto es de 2 metros.

Supongamos que se presiona la boya hasta que su cara superior queda exactamente al nivel del líquido y luego se la suelta. Nos proponemos averiguar cómo varia la altura de la porción de boya que sobresale encima del agua en función del tiempo. Para encontrar un modelo que permita describir la variación de la altura vamos a despreciar los efectos de rozamiento. Observemos que la boya se desplaza en la dirección vertical y que en cada instante (después de que cesa la presión sobre ella) actúan la fuerza de empuje de magnitud, Fe, y la fuerza peso de magnitud, P. Llamemos x(t) a la altura de la porción de boya que sobresale encima del agua en el instante t.

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Considerando como sentido positivo el vertical hacia arriba y aplicando la segunda ley de Newton se obtiene que: (3.1) donde m es la masa de la boya. El principio de Arquímedes dice que un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido estático será empujado con una fuerza vertical ascendente igual al peso del volumen de fluido desplazado por dicho cuerpo. Entonces:

donde A es el ´área de la base de la boya, h es la altura de la boya, ρa es la densidad del agua y g es la aceleración de la gravedad. El peso de la boya se expresa como hρbAg donde ρb es la densidad de la boya. Reemplazando en 3.1: (3.2) Notemos que, en la posición de equilibrio, Fe = P, lo que implica que 2 3 hρaAg = hρbAg. Simplificando esta ´última expresión obtenemos que ρa = 3/2 ρb. Reemplazando en la ecuación 3.2 y simplificando se llega a:

ó

Esta ecuación diferencial es de orden 2 y no homogénea. Haciendo la sustitución z(t) = 3/2h x(t)− 1/2 obtenemos la ecuación diferencial homogénea:

Como ya hemos visto su solución general es:

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Por tanto:

Las condiciones iniciales, x (0) = 0 y x’ (0) = 0 nos permiten obtener la expresión para la altura de la boya que sobresale del nivel del agua en cada instante t:

En particular, para la boya de 2 metros de altura, tenemos:

Cuando la boya está en equilibrio, la parte que asoma por sobre la superficie del líquido mide 2/3. En la figura 4 podemos ver las gráficas de la función x y, en línea de puntos, de la función constante 2/3. Observemos que la oscilación de los valores de x se produce alrededor de este último valor. Flexión de vigas. Numerosas estructuras se construyen utilizando vigas. Las vigas pueden ser de hierro, madera u hormigón y se deforman bajo su propio peso o bajo la influencia de alguna fuerza externa. Las EDOL nos proporcionan una herramienta para estudiar estas deformaciones. Como puede encontrarse en cualquier libro de Resistencia de Materiales, las deformaciones

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experimentadas por un material son de dos clases: elásticas, las cuales desaparecen cuando deja de actuar la carga que las origina; y permanentes, en las cuales no se verifica esta circunstancia. Para el análisis que realizaremos supondremos que la viga:   

Es homogénea. Tiene secciones transversales uniformes a lo largo de su longitud. Tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal.

Supondremos, además, que la carga aplicada a la viga es tal que no produce deformación permanente, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable. En ausencia de carga en la viga, la curva que une los centroides de todas sus secciones transversales es una recta conocida como eje de simetría. Si se aplica una carga a la viga en un plano vertical, la viga experimenta una distorsión y la curva que conecta los centroides de las secciones transversales se llama curva de deflexión o curva elástica.

Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría y que la deflexión y(x) medida desde este eje es positiva si es hacia abajo. En teoría de elasticidad se muestra que el momento de flexión M(x) a lo largo de la viga es proporcional a la curvatura κ de la curva de deflexión. M(x) = EIκ (4.1) donde E e I son constantes; E es el módulo de elasticidad del material de la viga, e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga (respecto a un eje conocido como el eje neutro). En Análisis Matemático II se estudió el concepto de curvatura en un punto cualquiera de una curva. Una de las expresiones conocidas para calcularla es:

En esta expresión, dy/dx, representa la pendiente de la curva en un punto cualquiera, y para deformaciones pequeñas esta cantidad, y sobre todo su cuadrado, son pequeños en comparación con la unidad, por lo que puede despreciarse. Esta hipótesis de las deformaciones pequeñas simplifica la expresión de la curvatura que queda de la forma:

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Por lo tanto, para deformaciones pequeñas, la ecuación 4.1 se convierte en:

(4.2) Las condiciones iniciales para la ecuación 4.2 dependen de cómo estén apoyados los extremos de la viga. Estos pueden estar empotrados (fijos), libres o simplemente apoyados (abisagrados). Por ejemplo, la llamada viga en voladizo tiene un extremo empotrado y el otro libre. Ejemplos comunes de tales vigas son un trampolín, un brazo extendido, un ala de avión y un balcón, pero incluso ´arboles, astas de banderas y rascacielos actúan como vigas en voladizo, debido a que están empotrados en un extremo y sujetos a la fuerza de flexión del viento. Para una viga en voladizo la deflexión y(x) debe satisfacer las siguientes dos condiciones en el extremo fijo x = 0:  

y (0) = 0 porque no hay flexión ya que la barra está empotrada rígidamente. y ′ (0) = 0 porque la curva de deflexión es tangente al eje x (la viga está perfectamente empotrada en el muro). Supongamos que queremos determinar la desviación máxima respecto del eje de simetría de una viga en voladizo, de longitud L, sometida a la carga aislada P representada en la figura. La viga deformada tiene el aspecto indicado por la línea gruesa.

Haciendo uso de contenidos de estática se obtiene que el momento flector en un punto, M(x), es igual a P (L − x). Reemplazando en la ecuación diferencial 4.2 resulta:

Esta ecuación diferencial se resuelve fácilmente mediante doble integración. Así, teniendo en cuenta las condiciones iniciales:

(4.3)

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La desviación máxima respecto del eje de simetría se obtiene en el extremo derecho de la viga deformada y es:

Ejemplo: para una viga de hierro con perfil normal doble T 240 se tiene que E = 2, 1·10 6 kg/cm2 e I =4.250 cm4. Si tuviese una longitud de 1,20 m y estuviese sometida a una carga P de 3.000 kg, la desviación máxima seria:

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Aplicaciones de ecuaciones diferenciales tipo Bernoulli. Tubo de estancamiento. Considere un tubo curvo, tal como el que se muestra en la Figura II.9.1. Cuando la ecuación de Bernoulli se escribe entre los puntos 1 y 2, se observa que z1 = z2. Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli se reduce a:

Obsérvese también que la velocidad en el punto 2 es cero (un punto de estancamiento). De aquí que, la ecuación de Bernoulli se reduce a:

Tubo de estancamiento. Mediante las ecuaciones de hidrostática (no hay aceleración normal en las líneas de corriente donde estas son rectas y paralelas), P1 = γd y P2 = γ (l + d). Por tanto, la ecuación anterior se puede escribir como:

Que se reduce a:

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Por tanto, se puede apreciar que un medio muy simple, como este tubo curvo, puede ser utilizado para medir la velocidad de flujo. Tubo de Pilot. El tubo de Pilot, que se denomina así en honor al ingeniero hidráulico francés del siglo XVIII que lo inventó, está basado en el mismo principio que el tubo de estancamiento, pero es mucho más versátil que este ´ultimo. El tubo de Pilot tiene una toma de presión corriente arriba, extremo frontal del tubo, para censar la presión de estancamiento. También hay varios puertos situados en la periferia del diámetro del tubo, por el frente y detrás de la zona de corriente abajo, para censar la presión estática en el fluido, donde la velocidad es esencialmente la misma que se busca. Cuando la ecuación de Bernoulli se aplica entre los puntos 1 y 2 en la Figura II.9.2, se obtiene:

Pero V1 = 0, de modo que al despejar V2 de esa ecuación se obtiene la ecuación para el tubo de Pilot:

Aquí V2 = V1, donde V es la velocidad de corriente y pz,1 y pz,2 son las presiones piezométricas en los puntos 1 y 2, respectivamente.

Tubo de Pilot.

29

Al conectar un manómetro entre las tomas que llevan los puntos 1 y 2, resulta fácil de medir la velocidad de flujo con el tubo de Pilot. Una ventaja importante del tubo de Pilot es que se puede emplear para medir la velocidad en un tubo presurizado; un simple tubo de estancamiento no es conveniente en esta situación. Si un manómetro diferencial de presión se conecta a las tomas, la ecuación se simplifica a:

donde ∆p es la diferencia de presión medida por el manómetro. Ejemplo: Un manómetro diferencial de presión se conecta entre las tomas de un tubo de Pilot. Cuando este tubo de Pilot se utiliza en una prueba del túnel de viento, el manómetro indica un cp de 730 Pa ¿Cuál es la velocidad del aire en el túnel? La presión y temperatura en el son 98 kPa y 20°C. Respuesta:

30

Método de Cauchy-Euler. Si los coeficientes no son constantes, la tarea puede resultar más compleja con excepción de algunos casos particulares, como el que discutimos a continuación: La ED de Cauchy-Euler de orden n tiene la siguiente forma general:

Donde a0, a1, …, an son constantes. La ED de Cauchy-Euler de orden 3 tiene la siguiente forma:

(1) Este tipo de ED se puede reducir a una ED de coeficientes constantes, si se realiza el siguiente cambio de variable: x=et. Derivamos usando la regla de la Cadena:

Es decir:

(2) Al calcular la segunda derivada:

Es decir:

(3) Para la tercera derivada encontramos que:

31

Es decir:

(4) Al usar (2), (3) y (4) en (1), y tomando en consideración que x-1=et, obtenemos una ED con coeficientes constantes y variable independiente t. Ejemplo: Resolver la ED x3y (3) + 3x2y’’-3xy’= x ln x. Respuesta: Si usamos (2), (3) y (4) en la ED, obtenemos:

Que se simplifica como:

O bien como:

Ésta es una ED con coeficientes constantes; para resolverla aplicamos el procedimiento conocido. En este caso, la ecuación característica asociada a la ED homogénea es:

cuyas raíces son r1= 0, r2 = 2 & r3 = 2. Deducimos entonces que un conjunto fundamental de soluciones está integrado por las funciones:

El wronskiano correspondiente para este caso es:

32

Y las funciones W 1, W2 y W 3 son:

Por último, integramos por partes para determinar las funciones incógnitas u1; u2 & u3:

En conclusión, la solución de la ED está dada por:

Sin embargo, en la ecuación inicial, no es t la variable independiente, sino x. De x= et, hallamos que t =ln x. Si lo utilizamos en el resultado anterior, encontramos:

Ejemplo 2.- Resolver el siguiente PVI:

Primero multiplicamos la ecuación por x a fin de llevarla a una ecuación del tipo Cauchy-Euler:

33

Si hacemos ahora el cambio de variable x = et e incorporamos los resultados (2), (3) y (4):

Al simplificar, hallamos:

O bien:

Ésta es una ED con coeficientes constantes. La ecuación característica correspondiente a la ED homogénea asociada es:

Por lo tanto, las raíces de la ecuación son r1 = 0 y r2 D r3 = 2. En consecuencia, las funciones que integran el conjunto fundamental de soluciones de la ED homogénea asociada son:

Con ellas podemos calcular el wronskiano W=(Φ1Φ2Φ3):

De manera similar:

34

Ahora bien, de las condiciones iniciales:

Resolviendo el sistema obtenemos:

Encontramos que c1 =-13/16; c2=13/16 & c3 =-7/ 8. Al utilizar estos valores en la solución general, hallamos la siguiente solución particular:

35

Método de serie de potencias. El método de series de potencias para resolver una ecuación diferencial consiste en sustituir 𝐧 la serie de potencias: ∑∞ 𝐧=𝟎 𝐚𝐧 (𝐱 − 𝐱 𝟎 ) en la ecuación diferencial y después determinar cuáles deben ser los coeficientes a0, a1, a2,... para que la serie de potencias satisfaga la ecuación diferencial. Esto es muy semejante al método de coeficientes indeterminados, pero ahora tenemos un número infinito de coeficientes que de algún modo hemos de obtener. Para ilustrar el método de la serie de potencias consideremos una ecuación diferencial lineal de primer orden sencilla. Ejemplo: Encontrar una solución en serie de potencias en torno a x = 0 de la ecuación Y’+2xy=0 (1) Respuesta: Si suponemos que existe una solución en serie de potencias de la forma:

nuestra tarea consistirá en determinar los coeficientes an. Para ello, sustituimos los desarrollos en serie de y (x) y ‘(x) en la ecuación (1), obteniendo:

o equivalentemente

(2)

Si escribimos los primeros términos de estas series y sumamos los coeficientes de potencias iguales de x, se obtiene: Para que la serie de potencias del primer miembro de la ecuación anterior sea idénticamente cero, se debe verificar que todos los coeficientes sean iguales a cero. De modo que:

Resolviendo el sistema anterior resulta:

Por tanto, la serie de potencias adopta la forma: Si bien el cálculo de estos primeros términos es útil, sería mejor disponer de una fórmula de término general del desarrollo en serie de potencias de la solución. Para ello, volvemos a la expresión (2) y la escribimos de manera que las dos series presenten la misma potencia de x, esto es:

36

y, puesto que la primera serie empieza en k = 0 y la segunda en k = 1, separamos el primer término de la primera y sumamos los coeficientes de igual potencia de x, obteniendo que:

Haciendo ahora todos los coeficientes iguales a cero, obtenemos una relación de recurrencia para los coeficientes:

Tomando k = 1, 2, …, 6 y teniendo en cuenta que a1 = 0, resulta que:

y de aquí, se observa que:

Puesto que el coeficiente a0 se deja indeterminado, sirve como constante arbitraria y, por tanto, proporciona la solución general de la ecuación:

Se puede comprobar que esta serie tiene radio de convergencia R = ∞. Además, esta serie recuerda el desarrollo de la función exponencial, verificándose que:

solución que se podía obtener fácilmente ya que se trataba de una ecuación de variables separables.

37

Ejemplo 2: Consideremos el problema de valor inicial

Si suponemos que la solución buscada x = x(t) tiene una expansión en serie de potencias alrededor del punto t0 = 0, entonces:

para ciertos coeficientes c0, c1, c2, . . .. Derivando término a término se obtiene la expansión para la derivada:

Sustituyendo ahora en la ecuación dx/dt − x = 0 obtenemos:

Sumando términos se concluye que:

Teniendo en cuenta la unicidad de las expansiones en series de potencias, el coeficiente de cada término t n en la serie anterior debe ser igual a 0; por lo tanto, para todo n = 0, 1, 2, . . . se sigue que:

de donde se tiene una relación de recurrencia para los coeficientes cn:

En consecuencia, cn = cn−1/n = cn−2/n(n−1) = · · · = c0/n! Reemplazando t = 0 en (2) se sigue que x (0) = c0 de donde la condición inicial x (0) = 1 implica c0 = 1, de forma que cn = 1/n! para n = 0, 1, 2, . . . y

que es el desarrollo en serie de Taylor de la función exponencial.

38

Método de Frobenius. Nuestra motivación es poder determinar en cuales casos puedo encontrar soluciones regulares en x = 0 para una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. Basta realizar un cambio de variable como z = x − x0 para determinar las soluciones de la ecuación diferencial nueva en z = 0 (o sea en x = x0) Reescribiendo la ecuación [0] de la forma:

en donde R(x) no se anula en un intervalo que contiene a x = 0. Suponemos además que P(x), Q(x) y R(x) son funciones regulares en x = 0. Tenemos entonces que:

son regulares en x = 0. Además de lo anterior se asume que la ecuación [1] fue dividida previamente por cierta constante de manera tal que R (0) = 1. Se tiene entonces:

Intentamos encontrar soluciones analíticas, es decir, desarrollables en series de potencias de la variable x del tipo:

en donde se busca determinar el valor de s en donde supondremos que A0 6= 0. Sustituyendo en [1] operando se llega a la siguiente relación:

Definiendo ahora dos funciones f(s) y gk(s) como sigue:

Con la notación de (8), (9), tenemos que (7) puede ser escrita como:

39

Para que (1) se satisfaga en algún intervalo de x = 0, esta última expresión deberá anularse idénticamente

Esta ecuación determina dos valores para s, la llamaremos ecuación inicial, debido a que indica dos valores posibles para el índice s. Es aquí donde obtendremos los exponentes de primer término en las dos series del tipo (6), son los exponentes de la ecuación diferencial en x = 0. Ahora anulando el coeficiente de x s−1 en (11) uno encuentra

mientras que para el coeficiente de x s se tiene:

En general la anulación del coeficiente de x s+n−2 en (11) nos proporciona la siguiente formula de recurrencia:

la cual determina An en función de los precedentes, por lo tanto, determina An en función de A0, el cual asumimos ≠ 0, si ∀n tenemos f(s+n) 6= 0. Sean ahora s1 y s2 las raíces de [12]. Evaluaremos los casos según la naturaleza de estas raíces, si son iguales, distintas, reales, etc. si s1 = s2 o bien: solo tendremos una solución del tipo (3).

si s1 ≠ s2

40

Si s1 es complejo y Pn, Qn y Rn son todos reales, tendremos que s2 = s1 ⇒ s1 − s2 será imaginario puro entonces las expresiones anteriores (15) no se anulan para ningún valor real de n, excepto para n = 0. Si s1 y s2 son reales y distintos con s1 − s2 > 0 entonces f (s + n) no se anula para n ≥ 1 y además f (s2 + n) solo se anulará para n = s1 − s2. Dado que n ∈ N, esto último es posible si s1 − s2 es natural. Por último, si s1 = s2, f (s1 +n) = n 2 entonces f (s1 +n) no se anula para n ≥ 1 Tenemos entonces para s1 − s2 = N, con N ∈ N la fórmula de recurrencia (13) se verifica para n=N

donde con s = s2, se anula el primer término y la ecuación no se verifica para ningún AN, a menos que el segundo miembro también se anule, en tal caso AN y A0 quedan indeterminados. Ejemplo: Hallar por el método de Frobenius, la solución general de la ecuación diferencial 2 xy   y   xy  0 , en un entorno reducido de x = 0. Justificación previa de la idoneidad

del método. Campo de validez de la solución. Respuesta: El punto x = 0 es singular pues p(x) = y x2 q(x) =

1 1 no es analítica en dicho punto. Pero x p(x) = 2 2x

x2 , son ambas analíticas en x = 0. (Es decir que x = 0 es punto singular 2

regular de la ecuación). Los radios de convergencia de los desarrollos de x p(x) y x2 q(x) en torno a 0 son ambos . Existe por tanto solución de la ecuación por el método de Frobenius, válida al menos  x  0. Supóngase en principio x > 0.

Al menos hay una solución de la forma y( x) 



a x

nr

n

n0

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

41



2

 (n  r )(n  r  1)an x

n r 1

n 0

Coeficiente de xr-1 :



+

 (n  r )an x

n r 1

n0



+

a x

nr 1

n

0

n 0

r1  1 2   r2  0

2r (r  1)  r a0  0  a0  0  r (2r  1)  0 

Coeficiente de xr : 2(r  1)r  (r  1)a1  0

 (r  1)(2r  1)a1  0



a1 = 0

pues (r+1) (2r+1) no se anulan para r1 ni para r2. Coeficiente de xn+r-1 :

Por tanto :

an 

2(n  r)(n  r  1)  (n  r)an  an2  0 an2 (n  r )(2n  2r  1)

n2

, es decir I(n+r) an= - an-2

Ley de recurrencia

Según el teorema, como r2  r1 y r1 - r2  N , existen con seguridad dos soluciones linealmente independientes, en serie de Frobenius.

Para r  r1  12



an 

an2 (2n  1)n

y como a1 = 0, resulta:

a1  a3  a5 ...  a2 n1 ...  0  a2 n 2 ( 1) n a0  a     2n 2n(4n  1) (2n)!!5  9  ...  (4n  1) 

Para r  r2  0

an2  an   (2n  1)n



a1  a3  a5 ...  a2 n1  0  ( 1) n a0  a2 n  (2n)!!3  7  ...  (4n  1) 

42

y1 ( x )  x Luego :

y2 ( x )  1 

Solución general :

1

2

 1  



 ( 1) n x 2n  (2n)!!5  9  ...  (4n  1)  n 1





( 1) n x 2 n (2n)!!3  7  ...  (4n  1) n 1



y  A y1 ( x )  B y2 ( x )

x0 x

x0

Ejemplo 2: Ídem para la ecuación diferencial xy   2 y   xy  0 expresando la solución general con funciones elementales en nº finito. Respuesta: Análogamente al caso anterior x p(x) = 2 y x2 q(x) = x 2 , son analíticas en x = 0, siendo R1 = R2 = . Luego existe solución por el método de Frobenius, válida al menos x0.

Sustituyendo y( x) 



a x

nr

n

en la ecuación diferencial :

n0





(n  r )(n  r  1)an x

n r 1



+2

n 0



(n  r )an x nr 1 +

n0



a x n

n r 1

0

n0

Coeficiente de xr-1:

r (r  1)  2r  a0  0

 a0  0 

Difieren en un entero r1 y r2

r (r  1)  0

r1  0 r2  1

r1 - r2 = n0 = 1. Luego en principio sólo puede asegurarse la

existencia de una solución en serie de Frobenius: la correspondiente a r 1.

43

Coeficiente de xr:

(1  r )r  2(r  1)a1  0  I (r  1)a1  0  (r  1)(r  2)a1  0



Para r1  0 es a1  0  Para r2  1 es a1 libre

Coeficiente de xn+r-1:

(n  r )(n  r  1)  2(n  r )a1  an2  0 

an (r )  

an2 (r ) (n  r )(n  r  1)

a Para r1 = 0 an   n2 n(n  1)

Luego a2n

y como a1 = 0 

a1  a3  a5 ...  a2 n1 ...  0  a2 n 2  a   2 n  2n(2n  1) 

( 1) n a0 , de donde, tomando a0 = 1, resulta :  (2n  1)!





( 1) n x 2n ( 1) n x 2n y1 ( x)  1   (2n  1)! n0 (2n  1)! n1



Para r2 = -1

 I(n  r )an  an2  0 

es an  





y 1 ( x) 

1 sen x x

an2 . El a1 es libre y como se busca otra solución particular, (n  1)n

puede escogerse a0 = 1 a1 = 0. Entonces

a1  a3  a5 ...  a2n1  0  a2 n 2 ( 1) n a0  a2n   2n(2n  1)  ...  (2n)! 

44

Luego :

y2 ( x ) 



1 ( 1) n x 2 n  1    x  n1 (2n)! 

Solución general : y 



1 A senx  B cos x x

y 2 ( x) 

1 cos x x

x 0

Sistemas de ecuaciones con coeficientes constantes. El método se basa en la eliminación que se utiliza para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas. En el caso de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, el método de eliminación reduce el sistema a una sola ecuación diferencial de orden n con coeficientes constantes en términos de una de las variables. Para aplicar el método es necesario expresar el sistema en términos del operador diferencial D. Veamos algunos ejemplos de cómo expresar un sistema lineal en términos de “D”. Ejemplo: Escriba los sistemas dados en términos del operador diferencial D.

Observe que los sistemas expresados en términos del operador diferencial están escritos en la forma general. La notación matricial para un sistema escrito en términos de D involucra una

45

matriz cuyos elementos son operadores diferenciales. Por esta razón, a esa matriz se le llama matriz operacional. Veamos algunos ejemplos de notación matricial de sistemas expresados en términos de D. Ejemplo 2. Exprese en notación matricial los sistemas siguientes:

La parte izquierda del sistema puede escribirse como el producto matricial de la matriz operacional por el vector solución:

Observe que la matriz del sistema contiene operadores diferenciales. Por esta razón se le llama matriz operacional, ya que puede interpretarse como un operador que opera sobre un vector cuyos componentes son funciones.

Al escribir los sistemas en forma matricial en términos de D, notamos que la notación matricial para el caso de sistemas escritos en la forma normal, es distinta. Note que todos los operadores diferenciales que aparecen en las matrices de los ejemplos anteriores, son de coeficientes constantes. Ahora que sabemos cómo expresar un sistema lineal con coeficientes constantes en términos del operador diferencial D, y en forma matricial, comenzaremos a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Primero veremos el caso homogéneo. Para la resolución de los sistemas usaremos el método de eliminación. El método opera al revés que en el caso del tema anterior en donde se expresaba una ecuación diferencial de orden n como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con n ecuaciones. Para ilustrar el método de eliminación considere el siguiente ejemplo. Ejemplo 3. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales por el método de eliminación:

46

Se trata de un sistema lineal homogéneo de primer orden con coeficientes constantes. Para empezar a resolverlo primero expresamos el sistema en términos del operador diferencial “D”. (1) (2)

Ahora aplicamos la eliminación en forma parecida a como se resuelve un sistema de ecuaciones algebraicas. En este caso podemos eliminar a la función y(t) al multiplicar la primera ecuación por el operador “D”, la segunda por -2 y luego sumarlas:

La ecuación (3) que resulta es una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes en términos de la función x(t):

La ecuación auxiliar de esta ecuación es: Las raíces son:

y por lo tanto la función x(t):

Ahora necesitamos encontrar la función y(t) para conocer la solución completa del sistema. Para encontrar a y(t) tenemos dos opciones. La primera es resolver al sistema y eliminar a x(t) para resolver a y(t):

La ecuación diferencial resultante es: y su ecuación auxiliar es: Las raíces son: λ 1= 3, λ 2= −2 por lo tanto la función y(t) es:

47

Las constantes c3 y c4 no necesariamente son iguales a c1 y c2 encontradas para la función x(t). Sin embargo, dado que se trata de un sistema con dos ecuaciones diferenciales de primer orden, se tendrá una constante por cada ecuación. Para encontrar la relación entre las constantes, c1, c2, c3 y c4 sustituimos las funciones x(t) y y(t) encontradas en una de las ecuaciones del sistema. Tomemos la ecuación dos ya que es la más sencilla:

Puesto que las funciones e3t, e-2t son linealmente independientes en cualquier intervalo (ya que son los elementos de un conjunto fundamental de soluciones de una ED lineal homogénea de coeficientes constantes), entonces la combinación lineal expresada en (A) debe cumplirse solo para el caso en que las constantes sean todas cero, esto es:

Entonces la función y(t) es:

La solución del sistema: El vector X es la solución general del sistema, en el sentido en que cualquier solución del sistema puede expresarse de esta forma. Una forma más sencilla de encontrar la función y(t) una vez conocida x(t), es utilizar el sistema para obtener una ecuación para y(t) en términos de x(t) y x’(t). Por ejemplo, al despejar a y(t) de la ecuación (1) del sistema obtenemos:

y sustituyendo aquí la expresión obtenida para x(t) obtenemos:

48

El resultado es el mismo que el encontrado con el procedimiento largo. Ahora comprobamos la solución obtenida. Para esto aplicamos la matriz operacional al vector solución obtenido:

El vector X satisface al sistema, por lo que es solución del mismo. En general el procedimiento utilizado para resolver el ejemplo 3 funciona para cualquier sistema lineal de orden n con coeficientes constantes. Veamos algunos ejemplos de orden superior. Método de operadores. Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una función diferente llamada la función derivada. Podemos definir el operador derivada D que al actuar sobre una función diferenciable produce la derivada de esta, esto es:

Es posible construir la siguiente combinación lineal con los operadores diferenciales:

donde a2, a1, a2, . . . an son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el Operador Polinomial de orden n. La utilidad de este objeto matemático quedará clara si hacemos la siguiente definición:

Por otro lado, recordemos que una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es una ecuación de la forma:

49

por lo tanto, (3) se puede escribir de una manera compacta como:

El operador polinomial es lineal, esto significa que tiene las siguientes propiedades: 

  

Si f1(x) y f2(x) son dos funciones diferenciables de orden n, entonces donde α y β son constantes. Además: Si y1(x), y2(x), . . ., yn(x) son n soluciones de la ecuación diferencial homogénea P(D)y = 0 entonces yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + · · · + Cnyn(x) es también una solución. Si yh(x) es una solución de P(D)y = 0 y yp(x) es una solución de P(D)y = Q(x) entonces y(x) = yh(x) + yp(x) es una solución de P(D)y = Q(x). Si yp1(x), yp2(x), . . ., ypn(x) son soluciones particulares de las respectivas n ecuaciones Resulta entonces que: Esto implica que: Y esto es solución de:

Ejemplo:

Encuentre

una

ecuación

particular

de

Respuesta: Por alguno de los métodos anteriormente vistos podemos encontrar las soluciones particulares de cada una de las siguientes ecuaciones: Las soluciones son respectivamente:

por lo tanto, una solución particular de la ecuación diferencial problema es:

Al operador diferencial también se le pueden agregar las siguientes propiedades. Consideremos los operadores:

50

con n ≥ m.

Si el operador polinomial diferencial puede ser factorizado, es decir, si: las cantidades: m1, m2, . . ., mn son las raíces de la ecuación característica de P(D)y = 0. Si entonces:

es un operador polinomial de orden n,

donde a es una constante. Ejemplo:

Ejemplo 2. Evaluar la siguiente expresión: Respuesta: Al comparar la forma de esta expresión con la de teorema anterior, vemos que a = −2 y u(x) = x3. Por lo tanto, si hacemos: se obtiene que:

51

Método de la matriz exponencial. Hay varias formas de calcular la exponencial de una matriz, ninguna de ellas obvia. Nosotros procederemos por analogía con la definición de la exponencial de un número real por medio de una serie de potencias. Recordemos que si a es un número real cualquiera entonces:

(1) En realidad, esta es la forma que usan muchas calculadoras de bolsillo para calcular la exponencial de un número: realizan esta suma con un número grande de sumandos. Por analogía definimos: “La exponencial de la matriz A, n × n, se define como:”

En esta fórmula A2 = AA es la matriz n×n que se obtiene multiplicando A por sí misma, A3 = AAA la que se obtiene multiplicando A por sí misma 3 veces, etc. Además, por convenio, supondremos que A0 = In cualquiera que sea la matriz A. Por lo tanto, todos los sumandos de la serie en la definición de ea son matrices de tamaño n × n. Así que ea, según esta definición, es una matriz n × n, siempre y cuando la serie converja. Que una serie infinita de matrices converge quiere decir que la sucesión de las sumas parciales:

es convergente. De hecho, para cada N, SN es una matriz de tamaño n × n por lo que está compuesta de n2 elementos. Decir que la sucesión {SN} converge quiere decir que las sucesiones de sus n2 elementos convergen. Lo que sucede es que estos elementos son expresiones muy complicadas que involucran los elementos de la matriz A, por lo que para estudiar la convergencia de la sucesión de sumas parciales {SN} se emplean métodos que están muy lejos del alcance de este curso. Así que no nos preocuparemos de la convergencia y asumiremos que la serie (1) es convergente cualquiera que sea la matriz A y define una ´única matriz que llamaremos exponencial de A. La exponencial de una matriz es difícil de calcular, pero hay un caso en el que no: Ejemplo: Calcúlese la exponencial de la matriz

52

Puesto que A es diagonal, sus potencias son muy fáciles de hallar:

Y así sucesivamente. Por consiguiente:

En este ejemplo no hay, evidentemente, nada especial sobre la dimensión, 2, de la matriz. Lo mismo es válido para matrices cuadradas de cualquier tamaño: La exponencial de una matriz diagonal, A, de orden n es la matriz diagonal de orden n cuyos elementos diagonales son las exponenciales de los elementos diagonales de A. En particular, si A = aIn entonces:

(2) Y cuanto a=0: (3) Esto es, la exponencial de la matriz cero de orden n es la matriz identidad del mismo orden. Este hecho lo utilizaremos más adelante para probar que eA es una matriz invertible cualquiera que sea la matriz A. Esto será necesario para demostrar que etA es una matriz fundamental de soluciones del sistema x’ = Ax. Por ahora concretemos cómo es la expresión de etA como una serie de potencias:

Para cada valor de t, etA es una matriz n × n. Así pues, debemos considerar etA como una función de t ∈ R cuyos valores son matrices n × n. Esto es, en realidad, una pequeña generalización de las funciones vectoriales. Por otra parte, si v ∈ Rn es un vector de n componentes, entonces e tAv es también un vector de Rn. La siguiente proposición nos dice que X(t) = etA es una matriz de soluciones del sistema x’ = Ax. Además, nos da una expresión para la solución del problema de condiciones iniciales: 1. Sea A una matriz n × n. Entonces

53

Para probar la primera parte derivamos la serie de potencias:

Y para comprobar la segunda parte derivamos

donde hemos usado que la exponencial de la matriz cero es la matriz identidad (3). Ya tenemos que X(t) = etA es una matriz de soluciones del sistema x’ = Ax. Ahora tenemos que demostrar que sus columnas son linealmente independientes; es decir que det X(t0) ≠ 0 para algún valor de t. Veremos, que, de hecho, det X(t) ≠ 0 para todos los valores de t ∈ R. Para ello necesitamos las siguientes propiedades de la exponencial de una matriz: 2. Sean A y B matrices n × n. Entonces 1. A conmuta con eA; es decir, AeA = eAA. 2. Si A y B conmutan (i.e., si AB = BA), entonces: 3. eA es no singular y su inversa es e−A. Para demostrar la primera parte utilizamos la definición de la exponencial de una matriz por serie de potencias:

54

La segunda parte es una propiedad muy importante de la exponencial. Nos dice que la regla que usamos frecuentemente acerca de que el producto de dos exponenciales es la exponencial de la suma, es válida para matrices siempre y cuando ´estas conmuten. Las demostraciones anteriores han sido todas muy fáciles. Esta requiere un poco más de trabajo, pero no ´ es tampoco difícil. Primero calculamos eA EB, después eA+B y comprobamos que obtenemos, en ambos casos, el mismo resultado. Aplicamos repetidas veces la propiedad distributiva del producto y suma de matrices y, cuando es necesario, la hipótesis de conmutatividad de A y B:

(4) Por otra parte, en el desarrollo de eA+B en serie de potencias aparecen potencias de (A + B), pero:

De la misma forma Y como A y B conmuta, ABA = A2B y B2A = AB2. Así Y así sucesivamente. Por lo tanto

Esta expresión y la de (4) coinciden. Por lo tanto, eA eB = eA+B tal y como queríamos demostrar. En cuanto a la tercera parte, se deduce fácilmente de la segunda. Puesto que A(−A) = (−A) A = −A2, tenemos que donde en la ´ultima igualdad hemos utilizado la propiedad (3).

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Si aplicamos la tercera parte de esta Proposición a la matriz X(t) = etA, tenemos que para todo t ∈ R la matriz X(t) tiene inversa, y ´esta es En efecto, X(t)X(t)−1 = etA e−tA = In y también X(t)−1 X (t) = In. Teniendo en cuenta que det In = 1 y aplicado que el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes tenemos que de donde concluimos que det X(t) ≠ 0 para todo t ∈ R. Como X(t) es una matriz cuyas columnas son, todas, soluciones del sistema x’ = Ax y det X(t) ≠ 0 concluimos que “La matriz X(t) = etA es una matriz fundamental de soluciones del sistema lineal homogéneo de coeficientes constantes x’ = Ax. Y la solución general de este sistema, escrita en forma vectorial, es” siendo c ∈ Rn un vector arbitrario de n componentes. Ya tenemos una matriz fundamental de soluciones: la exponencial de tA. También tenemos la definición de la exponencial como un desarrollo en serie de potencias. Desde un punto de vista conceptual todo esto está muy bien. Ahora bien, si lo que queremos es encontrar expresiones analíticas cerradas de las soluciones, el cálculo de la exponencial a través del desarrollo en serie de potencias no es muy práctico. Sin embargo, veremos que, utilizando ciertas propiedades de las matrices, este desarrollo en serie de potencias es muy ´útil para obtener expresiones analíticas de las soluciones. Las propiedades de las matrices que necesitamos están relacionadas con los valores propios. Ejemplo 2.- (en algunos casos se puede reconocer una serie de Taylor en los términos del desarrollo de la definición de exponencial)

La matriz que obtenemos es finalmente

en general, si

Obtendremos

Y si

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Entonces:

Referencias. http://usuarios.fceia.unr.edu.ar/~dirce/Problemas-EDOL_segundo_orden.pdf https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/6024/mod_resource/content/1/tema5/ME5 -ecdiferenciales.pdf http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/index_files/Trabajo% 20Ec%20Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf http://www.unizar.es/pde/fjgaspar/aplsegundo.pdf http://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/04/21.-Resolucion-de-Sists-de-EDO-Linscon-coefs.-ctes.-Met-de-los-opers1.pdf http://www.fisica.edu.uy/~sbruzzone/FlexPaper_1.4.2_flash/Frobenius.pdf http://matematicas.unex.es/~ricarfr/EcDiferenciales/LibroEDLat.pdf http://personal.us.es/niejimjim/tema05.pdf http://matematicas.univalle.edu.co/~jarango/Books/curso/cap08.pdf

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