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DIAGRAMAS DE BODE CARLOS ZEPITA

INTRODUCCIÓN • Los diagramas de bode son graficas de la respuesta de estado estacionario de sistemas continuos LTI estables para entradas sinusoidales. • Son dos dibujos: – Magnitud versus la frecuencia. – Fase versus frecuencia.

• Los diagramas de bode son una descripción visual de un sistema. UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA CARLOS ZEPITA

EN CALCULO

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• Los diagramas de bode son una de las herramientas más utilizadas en la teoría de sistemas lineales.

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¿QUÉ ES UN DIAGRAMA DE BODE? • Es el nombre dado a un diagrama de escala logarítmica de la respuesta en frecuencia de un SLIT continuo. • ¿Qué es la respuesta en frecuencia? – Describe la respuesta de estado estacionario de un sistema a una entrada sinusoidal en una frecuencia particular.

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¿QUÉ ES UN DIAGRAMA DE BODE? • Recuerde que una función sinusoidal (exponencial compleja) es una eigenfunción de un sistema de TC. Significa que sí 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ingresa entonces 𝐾𝑒 𝑗𝜔𝑡 sale, donde 𝐾 es un número complejo. • El diagrama de bode es simplemente un gráfico de 𝐾 vs. 𝜔.

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¿QUÉ ES UN DIAGRAMA DE BODE? • Como 𝐾 es un número complejo, el grafico se dividirá en dos partes: – Magnitud: 𝑧 • % abs(K)

– Fase: ∠𝑧 • % angle(K) % atan(im/re)

• Aunque se podría graficar simplemente la Re{} y la Im{}. UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA CARLOS ZEPITA

¿QUÉ ES UN DIAGRAMA DE BODE? • En resumen:

• El diagrama de bode es: – 𝐴 vs. 𝜔. – 𝜙 vs. 𝜔.

• Note que 𝜔 (rad/s) no es 𝑓 (Hz ó ciclos/s), si necesita la conversión use 𝜔 = 2𝜋𝑓. UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA CARLOS ZEPITA

¿QUÉ ES UN DIAGRAMA DE BODE? • De otra forma:

𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 • Donde 𝐻(𝑠) es la función de transferencia.

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¿QUÉ ES UN DIAGRAMA DE BODE? • Es la representación de la función de transferencia del SLIT de TC para entradas sinusoidales de estado estacionario (𝜎 = 0). • Diagrama de bode es la 𝐻(𝑠) evaluada sobre el eje 𝑗𝜔.

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CALCULANDO LA RESPUESTA EN FRECUENCIA • Ilustremos el mecanismo para graficar la respuesta en frecuencia con un ejemplo. • Dada la 𝐻 𝑠 , dibuje su diagrama de bode.

1 𝐻 𝑠 = 𝑠 + 10 1 𝐻 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔 + 10 UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA CARLOS ZEPITA

CÓDIGO MATLAB: >> w = [0 1 2 5 10 20 50 100]; >> H = 1./(1j*w + 10);

𝜔

|𝐻(𝑗𝜔)|

180∘ ∠𝐻(𝑗𝜔) 𝜋

w

abs(H)

angle(H)*180/pi

20*log10(abs(H))

0

0,1000

0,00

-20,00

1

0,0995

-5,71

-20,04

2

0,0981

-11,31

-20,17

5

0,0894

-26,57

-20,97

10

0,0707

-45,00

-23,01

20

0,0447

-63,43

-26,99

50

0,0196

-78,69

-34,15

100

0,0100

-84,29

-40,04

20 log10 (|𝐻(𝑗𝜔)|)

0.1

magnitud

0.08 0.06 0.04 0.02 0

0

20

40 60 frecuencia (rad/s)

80

100

0

20

40 60 frecuencia (rad/s)

80

100

0

fase

-20 -40 -60 -80 -100

ESCALA LINEAL

magnitud (dB)

-20 -30 -40 -50 0 10

1

10 frecuencia (rad/s)

10

2

fase

0

-50

-100 0 10

1

10 frecuencia (rad/s)

10

2

ESCALA LOGARITMICA

VENTAJAS DE LA ESCALA LOGARÍTMICA • Debe estar acostumbrado en dibujar pares ordenados en escala lineal. • En el diagrama de bode, algo interesante pasa cuando dibuja la magnitud y la frecuencia en escala logarítmica – Le permite cubrir un mayor rango de posibles frecuencias de entrada. – En la magnitud la permite comprimir grandes cambios lentos y enfatizar los cambios pequeños rápidos.

• En resumen, le proporciona una “vista general” de la respuesta del sistema. UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA CARLOS ZEPITA

VENTAJAS DE LA ESCALA LOGARÍTMICA • La unidad escogida para la magnitud es el decibelio (dB). • Dibujar el diagrama de bode en una escala logarítmica resulta más sencillo cuando se hace a mano.

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¿CÓMO PUEDO ENCONTRAR EL DIAGRAMA DE BODE DE UN SISTEMA REAL? • Ha construido un amplificador estéreo y desea obtener su FT. • Una forma para conseguir esto puede ser a través de su diagrama de bode.

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¿CÓMO PUEDO ENCONTRAR EL DIAGRAMA DE BODE DE UN SISTEMA REAL? Generador de Funciones

SISTEMA

Osciloscopio

• Ingrese una señal sinusoidal (siempre con la misma amplitud) pero variando la frecuencia. • De la señal de salida, tome nota de la amplitud y el desfase respecto de la señal de entrada. • Con la suficiente cantidad de datos, represéntelos como un diagrama de bode. UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA CARLOS ZEPITA

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• Para calcular la magnitud: 𝑀𝑜𝑢𝑡 𝑀 𝑑𝐵 = 20 log10 𝑀𝑖𝑛 • Para calcular el desfase: Δ𝑇 𝜙 = 360° 𝑇

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