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• Caleb Espinoza Huatangare

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DIAGRAMAS DE BODE

También llamados diagramas logarítmicos, esta formado por dos gráficas una es la gráfica del logaritmo de la magnitud de la función de transferencia sinusoidal,y la otra es la gráfica del ángulo de fase; ambas se dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica. La representación común de la magnitud logarítmica de G(jw) es 20log(jw), la unidad utilizada para la magnitud es el decibelio(dB) . FACTORES BASICOS DE G(jw)H(jw) 1.- la ganancia K 2.- los factores integrales y derivativos (𝑗𝑤)∓1 3.- los factores de primer orden (1 + 𝑗𝑤𝑇)∓ 𝑗𝑤

∓1 𝑗𝑤 2

4.- los factores cuadráticos [1 + 2𝜁 (𝑤 ) + (𝑤 ) ] 𝑛

𝑛

La ganancia k un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibelios, mientras que un número menor que la unidad tiene un valor negativo. La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante k es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K decibelios. El ángulo de fase de la ganancia es cero. La siguiente figura contiene una línea de conversión de números a decibelios. El valor en decibelios de cualquier número se obtiene a partir de esta línea. A medida que un número aumenta en un factor de 10, el valor correspondiente en decibelios aumenta en un factor de 20. 20 log(𝑘 𝑥 10 ) = 20 log 𝑘 + 20 20 log(𝑘 𝑥 10 𝑛 ) = 20 log 𝑘 + 10𝑛

línea de conversión de números a decibelios

Factores integrales y derivativos (𝑗𝑤)∓1 . 1

1

La magnitud logarítmica de 20 𝑙𝑜𝑔 |𝑗𝑤| = −20 log 𝑤 𝑑𝐵, el angulo de fase de 𝑗𝑤 es constante e igual a – 90°. En los diagramas de bode las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas. Una octava es una banda de frecuencia de 𝑤1 𝑎 2𝑤1 donde 𝑤1 es cualquier frecuencia. Una década es una banda de frecuencia de 𝑤1 𝑎 10𝑤1 La magnitud logarítmica de jw en decibelios es 20 log|𝑗𝑤| = 20 log 𝑤 𝑑𝐵 El angulo de fase de jw es constante e igual a 90°. La curva de magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de 20 dB/ década Si la función de transferencia contiene el factor (1/𝑗𝑤)𝑛 𝑜 (𝑗𝑤)𝑛 , la magnitud logarítmica se convierte respectivamente en: 1 20 log | | = −𝑛 𝑥 20 log|𝑗𝑤| = −20𝑛 log 𝑤 𝑑𝐵 (𝑗𝑤)𝑛 20 log|(𝑗𝑤)𝑛 | = 𝑛 𝑥 20 log|𝑗𝑤| = 20𝑛 log 𝑤 𝑑𝐵 Por lo tanto las pendientes de las curvas de magnitud logarítmica para los factores (1/𝑗𝑤)𝑛 𝑦 (𝑗𝑤)𝑛 Son -20n dB/década y 20n dB/década respectivamente. El ángulo de fase de (1/𝑗𝑤)𝑛 es igual a −90° 𝑥 𝑛 durante todo el rango de frecuencia, mientras que el de (𝑗𝑤)𝑛 es igual a 90° 𝑥 𝑛 en todo el rango de frecuencia .

Factores de primer orden (1 + 𝑗𝑤𝑇)∓1 la magnitud logarítmica del factor de 1

1

primer orden 1+𝑗𝑤𝑇 es 20 log |𝑗𝑤𝑇| = −20 log √1 + 𝑤 2 𝑇 2 𝑑𝐵 para bajas frecuencias 1

tales que 𝑤 < 𝑇 , la magnitud logarítmica se aproxima mediante −20 log √1 + 𝑤 2 𝑇 2 = −20 log 1 = 0 𝑑𝐵. Por tanto la curva de magnitud logarítmica para bajas frecuencias es la línea de 0dB constante. 1

Para altas frecuencias tales que 𝑤 > 𝑇 −20 log √1 + 𝑤 2 𝑇 2 = −20 log 𝑤𝑇 𝑑𝐵 Esta es una representación aproximada para el rango de altas frecuencias . En w= 1/T, la magnitud logarítmica es igual a 0 decibelios; en w= 10/ T, la magnitud logarítmica es de -20 dB. Por tanto el valor de −20 log 𝑤𝑇 𝑑𝐵 disminuye en 20 dB para todas las décadas de w. de esta forma para w>1/T, la curva de magnitud logarítmica es una línea recta con una pendiente de -20 dB/década (o -6 dB/octava). El análisis muestra que la representación logarítmica de la curva de respuesta en frecuencia del factor 1/(1+ jwT) se aproxima mediante las asíntotas, una de las cuales es una recta de 0 dB para el rango de frecuencia 0< w < 1/T y la otra es una recta con una pendiente de -20 dB/ década para el rango de 1/T < w < ∞. A la frecuencia en la cual las dos asíntotas se encuentran se denomina frecuencia de corte. Para el factor 1/(1+ jwT), la frecuencia w=1/T es la frecuencia de corte, debido a que w=1/T, ambas asíntotas tienen el mismo valor . La frecuencia esquina divide la curva de respuesta en frecuencia en dos regiones: una curva para la región de baja frecuencia y una curva para la región de alta frecuencia. La frecuencia esquina es muy importante cuando se dibujan curvas logarítmicas de frecuencias en respuesta. El angulo de fase ∅ exacto del factor es ∅ = − tan−1 𝑤𝑇

Factores cuadráticos [1 + 2𝜁 (

𝑗𝑤 𝑤𝑛

)+(

∓1 𝑗𝑤 2 𝑤𝑛

) ] . Los sistemas de control suelen

tener factores cuadráticos de la forma 𝐺(𝑤𝑗) =

1 𝑤 𝑤 2 1+2𝜁( )+( ) 𝑤𝑛 𝑤𝑛

; si 𝜻>1, este factor

cuadrático se expresa como un producto de dos factores de primer orden con polos reales. Si 0