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4.1 Diagramas de Bode “Analysis tools have something in common with medicine, because both can be distasteful but necessary. Medicine often tastes bad or has undesirable side effects, and analysis tools involve lots of hard learning work before they can be applied to yield results. Medicine assists the body in fighting an illness; analysis tools assist the brain in learning and designing feedback circuits.” (Carter, 2009)

Diagramas de Bode



Son una representación gráfica de la respuesta en frecuencia de un sistema. Responden dos preguntas:






Y por tanto constan de dos gráficas:






¿Cuál es el comportamiento de la magnitud de la ganancia del sistema en función de la frecuencia? ¿Cuál es el comportamiento de la fase del sistema? Magnitud (dB) Fase (º)

Fue propuesto por Hendrik Wade Bode mientras trabajaba en los laboratorios Bell.

Diagramas de Bode


Se dibuja sobre una gráfica semilogarítmica



Tiene dos ejes verticales, uno de la magnitud en dB, y otro de la fase en grados. Son lineales. Tiene un eje horizontal común a ambas gráficas y que corresponde a la frecuencia en rad/s, en escala logarítmica.

Diagramas de Bode


También puede dibujarse en una misma gráfica con dos ejes verticales.


El objetivo en este caso y el anterior es observar simultáneamente el comportamiento de la magnitud y la fase conforme aumenta la frecuencia.

Diagramas de Bode


¿Qué es la magnitud?





¿Por qué en dB?

¿Qué es la fase?



¿Cómo se miden los grados eléctricos? ¿Cuál información se puede extraer de la gráfica de fase?

Construcción del diagrama de Bode


El diagrama se puede construir de dos maneras:


Experimentalmente





Analíticamente





Obteniendo los datos con un barrido de frecuencias aplicado a un sistema dado, a partir de la respuesta del sistema a una entrada sinusoidal (por definición) Con base en la función de transferencia (la cual, a su vez, también se puede obtener de forma experimental o analítica)

El método más sencillo de construcción analítica es a partir de la aproximación por asíntotas.

Aproximación por asíntotas














La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode es que la multiplicación de las magnitudes se convierte en suma. La aproximación por asíntotas es un método simple para dibujar una curva aproximada por medio de rectas asintóticas (hacia las que tiende la curva real). Para construir el diagrama hay que analizar el efecto individual de los ceros y polos de la función de transferencia sobre la magnitud y la fase del sistema. Luego se construye una gráfica del sistema con la suma algebraica (y gráfica) de los efectos de cada factor, tanto para la magnitud como para la fase. Nota: se debe hacer la sustitución s = jω

Aproximación por asíntotas


Sea un sistema general c  a b 2 2   s ∏ ( s + zi )∏ ( s + 2ςω j + ω j )  j =1 −τ s  H ( s ) = K '  i =e1 e f  d 2 2   s ∏ ( s + pi )∏ ( s + 2ςωl + ωl )  l =1  k =1 




Este sistema consiste en:




La constante de ganancia K’ El producto de los ceros y polos Un tiempo muerto o retardo de respuesta

Aproximación por asíntotas


De la función de transferencia tienen que separarse los factores en algunas de las siguientes formas:


Ganancia

K


Factores integrales y derivativos

( jω )





∓1

Factores de primer orden Factores cuadráticos

(1 + jωT )

∓1

2 ∓1

1 + 2ς ( jω / ωn ) + ( jω / ωn )   

Aproximación por asíntotas


Recordar


La magnitud de un número complejo es: 2

H ( jω ) =  Re ( H ( jω ) )  +  Im ( H ( jω ) ) 


La fase de un número complejo es:

Im ( H ( jω ) ) θ ( H ( jω ) ) = tan Re ( H ( jω ) ) −1

2

Aproximación por asíntotas


Cálculo del aporte en magnitud y fase


A continuación se va a calcular el aporte en fase y magnitud de cada uno de los siguientes factores :







Ganancia K Factores derivativos e integrales Factores de primer orden

Construcción de la gráfica de Bode


El diagrama completo se va a construir a partir de la suma algebraica del aporte de cada uno de los factores presentes en la función de transferencia del sistema.

Ganancia


Magnitud


Es una constante

F ( jω ) dB = 20 log K


Fase


No tiene aporte en fase

Im ( H ( jω ) )

0 θ ( F ( jω ) ) = tan = tan =0 Re ( H ( jω ) ) K −1

Aproximación por asíntotas

−1

Factores derivativos (ceros en el origen)


Magnitud F ( jω ) dB = 20 log jω 2

= 20 log  Re ( H ( jω ) )  +  Im ( H ( jω ) )  = 20 log

2

2

[0] + [ω ]

= 20 log ω

Aproximación por asíntotas

2

Factores derivativos (ceros en el origen)


Fase θ ( F ( jω ) ) = tan

−1

Im ( H ( jω ) ) Re ( H ( jω ) )

= tan

−1

Aproximación por asíntotas

ω 0

= 90º

Factores integrales (polos en el origen)


Magnitud F ( jω ) dB = 20 log

1 = −20 log jω jω 2

= −20 log  Re ( H ( jω ) )  +  Im ( H ( jω ) )  = −20 log

2

2

[0] + [ω ]

= −20 log ω

Aproximación por asíntotas

2

Factores integrales (polos en el origen)


Fase 1 jω jω 1 F ( jω ) = ⋅ =− 2 =−j ω ω jω jω Im ( H ( jω ) )

−1/ ω = tan = −90º θ ( F ( jω ) ) = tan Re ( H ( jω ) ) 0 −1

−1

Aproximación por asíntotas

Polos de primer orden


Magnitud F ( jω ) dB

1 = 20 log = −20 log 1 + jωT 1 + jωT 2

= −20 log  Re ( H ( jω ) )  +  Im ( H ( jω ) )  = −20 log

2

2

2

[1] + [ωT ]

0 dB = −20 log ωT

para ω  1/T para ω  1/T Frecuencia de transición o frecuencia esquina

Aproximación por asíntotas

Polos de primer orden


Magnitud

Aproximación por asíntotas

Polos de primer orden


Fase 1 1 − jωT 1 − jωT 1 ωT F ( jω ) = ⋅ = = −j 2 2 2 2 1 + jωT 1 − jωT 1 − ω T 1− ω T 1 − ω 2T 2

θ ( F ( jω ) ) = tan

−1

Im ( H ( jω ) ) Re ( H ( jω ) ) −

= tan −1

ωT 1 − ω 2T 2 = tan −1  − ωT    1



1 

1 − ω 2T 2 para ω  1/T 0º  = −45º para ω = 1/T −90º para ω  1/T  Aproximación por asíntotas

Polos de primer orden


Fase

Aproximación por asíntotas

Ceros de primer orden


Magnitud F ( jω ) dB = 20 log 1 + jωT 2

= 20 log  Re ( H ( jω ) )  +  Im ( H ( jω ) )  = 20 log

2

2

[1] + [ωT ]

0 dB = 20 log ωT

para ω  1/T para ω  1/T

Aproximación por asíntotas

2

Ceros de primer orden


Magnitud

Aproximación por asíntotas

Ceros de primer orden


Fase F ( jω ) = 1 + jωT

θ ( F ( jω ) ) = tan

−1

= tan

−1

Im ( H ( jω ) ) Re ( H ( jω ) )

ωT

1 0º para ω  1/T  = 45º para ω = 1/T 90º para ω  1/T 

Aproximación por asíntotas

Ceros de primer orden


Fase

Aproximación por asíntotas

La gráfica completa


Después de que se ha evaluado y graficado el aporte de cada factor, se construye la gráfica completa como la suma de todos los aportes.

Aproximación por asíntotas

Factores de ajuste


Para ajustar la aproximación por asíntotas de los factores de primer orden a la curva exacta se hacen algunas correcciones.

Aproximación por asíntotas

Factores de ajuste


Magnitud


Cuando se dibuja la aproximación por asíntotas de la magnitud se puede utilizar la siguiente tabla para ajustar la gráfica, en los valores de frecuencia especificados.

Aproximación por asíntotas

Factores de ajuste


Fase


Del mismo modo para la fase se ajustan los grados a las frecuencias especificadas para obtener mayor exactitud.

Aproximación por asíntotas