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• carlosalberto

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Desviación normal En estadística se llama distribución normal o distribución de Gauss, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana

La conversión a la distribución normal estándar se efectúa con la fórmula de conversión: Z=

X−μ σ

Con esta fórmula obtenemos a cuántas desviaciones estándar se encuentra cualquier valor x de la media, para una distribución normal estándar que tiene media de cero y desviación

Ejemplo: Los paquetes de Cereal Cheerios de General Mills vienen en cajas de 36 onzas que tienen una desviación estándar de 1.9 onzas. Se piensa que los pesos están distribuidos normalmente. Si se selecciona una caja aleatoriamente, cual es la probabilidad de que la caja pese: a) b) c) d)

a)

¿Menos de 34.8 onzas? ¿Más de 34.8 onzas? ¿Entre 34.3 onzas y 38.9 onzas? ¿Entre 39.5 onzas y 41.1 onzas?

Z=

X−μ 34.8−36 = =−0.63 σ 1.9

Un valor de z= -0.63 da una área de 0.2357 0.5000-0.2357= 0.2643 * 100%= 26.43 %

Steve Stretch mide 70 pulgadas encuentre su valor de Z:

Z=

X−μ σ

Z=

70−67 2

Z =1.5

Cálculo de probabilidades con la desviación normal Estandarizar una distribución normal permite determinar más fácilmente la probabilidad de que ocurra cierto evento. El personal de Topps Wear puede hallar la probabilidad de que un solo cliente tenga entre 67 y 69 pulgadas de estatura, P (67≤X≤69), simplemente hallando el área que está bajo la curva normal entre 67 y 69. Es decir, si se conoce el are se conocerá la probabilidad. Z=

X−μ σ

Z=

69−67 2

Z =1.00

=1 = 0.3413

= 0,3413 = 34,13%

Para encontrar 0.50-0.3413=0.1587*100= 15.87%

La figura ©, la cual busca el área comprendida entre 64.5 y 70.3, requiere que se calculen los valores de Z

Z=

64,5−67 =−1,25 2

=

0,3944=

39,44% Z=

703,−67 =1,65 2

= 0,4505= 45,05%

39,44% +45,05%= 84,49%

La figura (d), la cual busca el área comprendida entre 69.3 y 70.5, requiere que se calculen los valores de Z

Z=

70,5−67 2

¿ 1,75

Z=

= 0,4599= 45,99%

69,3−67 2

¿ 1,15

= 0,3749= 37,49%

45,99%-37,49%=8,5% Ejercicio de la sección: Los paquetes de cereal Cheerios de General Mills vienen en cajas de 36 onzas que tiene una desviación estándar de 1.9 onzas. Se piensa que los pesos están distribuidos normalmente. Si se selecciona una caja aleatoriamente, cual es la probabilidad de que la caja pese: a. Menos de 34.8 onzas? b. ¿Más de 34.8 onzas? c. ¿Entre 34.3 onzas y 38.9 onzas? d. ¿Entre 39.5 onzas y 41.1 onzas a) Menos de 34.8 onzas

Z=

X−μ σ

Z=

34.8−36 =−0.6315=0.2357 1.9 0.5-0.2357= 0.2643*100=

26.43%

b) Más de 34,8 onzas

Z=

34.8−36 =−0.6315=0.2357 1.9

0.5+0.2357= 0.7357*100 = 73.57%

c) Entre 34,3 onzas y 38,9 onzas

Z=

Z=

X−μ σ

Z=

34.3−36 =−0.89=0.3133 1.9

38.9−36 =1.52=0.4357 1.9

0.4357+0.3133= 0.7490*100=74.9%

d) Entre 39.5 onzas y 41,1 onzas

Z=

X−μ σ

Z=

39.5−36 =1.84=0.4671 1.9

Z=

41.1−36 =2.68=0.4963 1.9

0.4963-0.4671= 0.0292*100=2.92%

Como ingeniero constructor compra bolsas de cemento de un promedio de 50 libras, con una desviación estándar de 5.2 libras. Desde que usted tuvo el accidente escalando una montaña, el médico le dijo que no levantara nada que pesara más de 60 libras. ¿ Debería usted cargar una bolsa?

Z=

60−50 =1.92=0.4726∗100 =47.26 2