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SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES Una inecuación lineal con dos variables es una expresión de la forma: ax  by  c,

ax  by  c,

ax  by  c

o

ax  by  c,

(1)

donde x e y las incógnitas y a, b, c  , a y b no simultáneamente ceros. Para hallar el conjunto solución de (1), tenemos dos métodos, a saber, uno es el método analítico y el otro el método gráfico. Por el método analítico se procede de la siguiente manera: Primero. se despeja la variable y de la inecuación Segundo. se grafica la igualdad para luego tomar un punto que está por encima o debajo de la curva producida por la igualdad y si ese punto satisface la inecuación se sombrea toda esa región, caso contrario se sombrea la otra región. La región obtenida representa la solución de la inecuación. Por el método gráfico se procede de la siguiente manera: Primero. se despeja la variable y de la inecuación Segundo. se grafica la inecuación obtenida con cualquier software matemático (Geogebra). Un sistema de inecuaciones lineales de dos variables es un conjunto de inecuaciones lineales, como en (1). La intersección de las todas las soluciones representa la solución del sistema de inecuaciones Si la intersección es vacía diremos que el sistema no tiene solución. Ejemplo 1. Hallar la solución del siguiente sistema de inecuaciones:  5x 9 2x  6  4  3  3  9 9 Solución:   ,    2 2  3x  1  5x  1  4 12 2

Ejemplo 2. Resuélvase, graficando, el sistema de inecuaciones lineales  1 x  y  2  3  x  y  0 Solución analítica: Primero despejamos y de las inecuaciones:  y  6  3x  y  x Segundo graficamos las igualdades: para la recta y  6  3x tomamos el punto (2,2) que está por encima de esta recta y no satisface y  6  3x , luego sombreamos la región que está por debajo de la recta. Después graficamos, en el mismo plano, la recta y  x , tomando el punto (-1,1) que está por encima de esta recta y satisface la inecuación y  x , luego sombreamos la región que está por encima de la recta. La intersección de las dos soluciones representa la solución del sistema de inecuaciones.

 Ejemplo 3. Resolver gráficamente el sistema  y   x   y   1  x  y   x Solución

1  2

  Ejemplo 4. resolver 1 

y 1 x

Solución. y y y 1   1   1    1 x x x y y  1  0  1  0 x x x y x y  0  0 x x   ( x  y  0  x  0)  ( x  y  0  x  0)    

( x  y  0  x  0)  ( x  y  0  x  0) ( y   x  x  0)  ( y   x  x  0) 



( y  x  x  0)

 ( y  x  x  0) 

Ejemplo 5. Resolver gráficamente

 y  0  y   x    y  0  y  1  x  y   x 

Solución

Ejemplo 6. Resolver analíticamente y gráficamente: 1  Solución.

x 1 x y

x x x  1  1   1 x y x y x y x x 2x  y y  1 0   1 0  0  0 x y x y x y x y 2x  y y  0   0 x y x y  [2 x  y  0  x  y  0]  [2 x  y  0  x  y  0]    [ y  0  x  y  0]  [ y  0  x  y  0]  [ y   2 x  y   x]  [ y   2 x  y   x]     [ y  0  y   x]  [ y  0  y   x]  1 

Ejemplo 7. Resolver el sistema de inecuaciones:

 2 x  5 y  3  y4   4 x  2 y  7 

Solución.

Ejemplo 8. Hallar inecuaciones:  5x 9 2x  6  4  3  3 Solución:   3x  1  5x  1  4 12 2

la solución del siguiente sistema de

 9 9  ,   2 2

Ejemplo 9. Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:  x y 5    x  2 y  3 Solución:  y4 

Ejemplo 10. Una firma está planeando la producción, de dos productos X e Y, para la semana siguiente, cada uno de los cuales requiere cierto número de horas en fundición, maquinación y acabado de acuerdo a lo que se muestra en el cuadro. Durante la semana que se está planeando, el número de horas de que se va a disponer en cada una de las áreas en cuestión es el siguiente: Fundición, 110 Maquinación, 150 Acabado, 60 Producto X Y

Fundición 6 6

Horas por unidad Maquinación 3 6

Acabado 4 2

Grafíquese el sistema de inecuaciones lineales que muestra las cantidades de X y Y que pueden ser producidas. Solución. De acuerdo al enunciado del problema y las horas disponibles tenemos que la cantidad total del tiempo de trabajo que se utiliza en fundición, maquinación y acabado respectivamente deben satisfacer las siguientes relaciones: 6x +6y ≤ 110 3x + 6y ≤ 150 4x + 2y ≤ 60 luego, como la producción no puede ser negativa, las producciones deben satisfacer: x  0 , y  0 . La figura nos muestra las cantidades de X e Y que pueden ser producidas. Ejemplo 11. El alimento para un animal ha de ser una mezcla de dos productos alimenticios, donde cada unidad debe contener proteínas, grasas, y carbohidratos en el número de gramos que se da en el cuadró siguiente: Proteínas grasas Carbohidratos

Producto alimenticio I 10 0.1 10

Producto alimenticio II 5 0.9 30

Cada bolsa de la mezcla resultante tiene que contener cuando menos 40 gramos de proteínas, 1.8 gramos de grasas, y 120 gramos de carbohidratos. Grafíquese el sistema de inecuaciones que muestre las mezclas que satisfacen estos requisitos. Solución. Sean: x el número de unidades del producto alimenticio I en la mezcla. y el número de unidades del producto alimenticio II en la mezcla. De acuerdo al enunciado del problema, las mezclas deben satisfacer los siguientes requisitos:

10 x  5 y  40

para proteínas

0.1x  0.9 y  1.8

para grasas

10 x  30 y  120 para carbohidratos además, debe satisfacer la no negatividad: x  0, y  0 La figura nos muestra las mezclas que satisfacen estos requisitos.

Ejemplo 12. Dos jóvenes informáticos desean abrir una pequeña empresa de venta de ordenadores. Dos proveedores les venden aparatos de 500 y 700 euros. Por otra parte, disponen de 35 000 euros para invertir y de un pequeño almacén donde solo caben 60 equipos informáticos. ¿Cuántos ordenadores, como máximo, pueden comprar para optimizar el espacio y ajustarlo a su presupuesto? Solución. Sean x: aparatos de 500 euros y: aparatos de 700 euros De acuerdo al enunciado del problema: 500 x  700 y  35000   x  y  60  x  0, y  0  Rpta. Como máximo pueden comprar 60 ordenadores: 35 del primer tipo y 25 del segundo. Ejemplo 13. Por su cumpleaños, Adela ha recibido más llamadas de su familia que de sus amigos. Si en total han sido menos de 8 felicitaciones, al menos una de cada tipo, ¿cuántas llamadas de familiares y amigos puede haber recibido? Solución. Sean x: llamadas de familiares y: llamadas de amigos x y  x  y  8   x 1   y 1 Como el número de llamadas debe ser entero, las posibles serán:

Familiares 2 3 3 Amigos 1 1 2

4 4 1 2

4 5 5 6 3 1 2 1

soluciones

PROBLEMAS PARA RESOLVER. 1. La tirada de una revista mensual tiene unos costes de edición de 30000 euros, a los que hay que sumar 1.50 euros de gastos de distribución por cada revista publicada. Si cada ejemplar se vende a 3,50 euros y se obtienen unos ingresos de 12000 euros por publicidad, ¿cuántas revistas se deben vender para empezar a obtener beneficios? Solución. 30 000  1,50 x  3,5x  12 000

 x  9000

Por tanto, a partir de 9000 ejemplares empezamos a obtener beneficios. 2. Grafique los siguientes sistemas de desigualdades. a ) 5 x  12 y  60  0, x  y  2  0 b) 3 x  y  0,

3x  y  0

c) x  y  2  0,

2x  2 y  5  0

d ) 2 x  y  4  0, x  0, y  0 e) 2 x  y  0, x  y  8  0 f ) 2 x  y  4  0, x  0, y  0,

x  2 y  10  0,

x y20

g ) x  3 y  12  0, 3 x  2 y  6  0, x  0, y  0 h) 3 x  4 y  12  0, x  y  2  0, x  0, y  0  y  3 x  3 3. Dado el sistema de inecuaciones lineales:  y los puntos  y  x  6 A (3, 2) C (2;8,5) E (0, 0)

B (5,3)

F (1,5;7,5)

D (4, 2)

Indica cuál de ellos son soluciones del sistema. ¿Cuáles son solución solo de la primera inecuación? ¿cuáles solo de la segunda? ¿cuáles no son solución de ninguna de ellas? A, D Soluciones de la primera ecuación A, B, D Soluciones de la ecuación: A, D,E, F, C 4. Relaciona en tu cuaderno cada sistema con su solución. Sistema

a.

b. c.

x  3  0  2 x  1  5 3x  4  1   x  2 4 x  3  1  5 x  2  6

Solución (2, )  2  x  1

5. Resuelva gráficamente los siguientes sistemas.

x  2 y  1 6. a)  3x  y  2

x  y  4 b)  x  y  2

y  3 c)  x  y  4

 x  2 d) y 1

7. Sombrea sobre unos ejes de coordenadas el recinto encerrado entre la parábola y  x ^ 2 y la recta y  2 x  2. 8. Escribe el sistema de inecuaciones que tiene como solución dicho recinto. y  x ^ 2   y  2 x  2 9. Escribe un sistema que tenga como solución los siguientes elementos geométricos. El cuadrado de lado 2 centímetros en el origen El segmento del extremo -3 (incluido) y 7 (excluido). El tercer cuadrante del plano. La semirrecta con origen en 5, inclusive, en adelante.  x 2 a)   y 2

 x  3 b)  x  7

x  0 c)  y  0

x  5 d) x  0

10. Investiga qué sistema de inecuaciones tiene como solución los siguientes segmentos o regiones del plano.

y  2 a.   y  x 1

y  2   x  3

SISTEMAS DE INECUACIONES 1. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 4x-3  1 2x  3  0 3x  4  4x  1 a)  b)  c)  x  6  2 5x  1  0 -2x  3  4x  5 4  Solución: a)  4,1 b) Ø c)  ,   3  2. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 3x  1  x  9 2x  6  0 a)  b)   x  5  2-3x  x  4  5 b)  1,3

Solución: a) Ø

3. Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: x  y  3  x  y  2

a) Solución:

b)

x  2y  5  x  y  1

4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 2x  2  6  3x  1  7

a) Solución:

b)

x  2  0  2x  10

2,5 

a)  2,2 b) 5. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 5 - x  -12  16 - 2x  3x - 3

a) Solución:

 19   ,17   5 

b)

3x  2  7  5 - x  1

4, 

a) b) 6. Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: - x  y  3  x  y - 3  0

a) Solución:

b)

2x - y  6  3x  5y - 10  0

7. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

6x  5  5x  2   1 3x  2  5  a)

x  1  2  x  1  2

b)

Solución: a) Ø b)  1,1 8. Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: 2x  y  1  - x  y  1

a) Solución:

b)

x  y  0  - 2x  y  1

9. Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: 2x  y  1  - x  y  1

a) Solución:

10.

Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: 2x  y  1  - x  y  1

a) Solución:

11.

b)

x  y  0  - 2x  y  1

b)

x  y  0  - 2x  y  1

Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: 2x - y  4  - x  3y  1

a) Solución:

b)

x  2y  2  x  y  1

12.

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 1 3  x -  x  1 3 2  4x - 5  2 - 5x b) 

3  2x  1  x 2  2x - 1  1 - 3x a) 

Solución: a) 13.

 5 2  ,   2 5

b) Ø Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

6 - x  4x - 5  1 - 2x  -3

2x  6  0  x  4  5

a) b) Solución: a) Ø b)  1,3 14. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 2x - 15  x - 5   x  12  6

2x  10   x  2  10  4x  3x

a) b) Solución: a)  ,6 b) 4,10  15. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 15  9x  8x  7  2  4x  5  5x  8 3 

Solución:  29 7  ,    25 3 

16.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 2  5x  5  4x  3   8x  3  2x  21  3

Solución:  13   ,30   5 

17.

Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: x  y  0  x - y  0

a) Solución:

b)

x  y  4  - x  y  0

18.

Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: x  0  y  0 x - y  5 

Solución: 19. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: x 1  x  2  2  3x  1  x  7  3

2 x 7 3  4  6    3  1  x   0 4  2 

a) Solución:

b)  10  3, 3   

a)  ,2 b) 20. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: 5x  1  3 x  1  2x  3   6

a) Solución:

b)

3x  2   2x  3  x  1  9

9,10  a) 0,4  b) 21. Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: y  1  x  3 - x  y  1 

Solución:

APLICACIONES A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal trata sobre la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre las alternativas de solución. En este caso, la palabra “programación” no se refiere a programación en computadoras; sino que se le utiliza como sinónimo de planeación. Para Weber (1984: 718), el problema de programación lineal trata sobre la maximización o minimización de una función lineal de varias variables, llamada función objetivo, sujeta a un conjunto de igualdades o inecuaciones lineales llamadas restricciones, con la condición adicional de que ninguna de las variables puede ser negativa.

Conceptos B´ asicos Consideremos el siguiente ejemplo para describir los términos presentes en todo problema de PL. Ejemplo Una muebler´ıa produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en $27000 y requiere $10000 en materiales, además, el costo de unitario por mano de obra se estima en $14000. En el caso de las sillas, su precio de venta es de $21000 y los costos son de $9000 y $10000, en materiales y mano de obra respectivamente. La fabricación de cada producto requiere de dos tipos de labores: carpinter´ıa y terminaciones. Una mesa requiere de 1 hora de carpinter´ıa y 2 horas de terminaciones. Una silla requiere de 1 hora de carpinter´ıa y 1 hora de terminaciones. Cada semana, la muebler´ıa puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden dedicar hasta 100 horas a las terminaciones y hasta 80 horas a la carpinter´ıa. La demanda por mesa no está limitada, mientras que la demanda semanla máxima por silla es de 40. La muebler´ıa desea maximizar sus utilidades (ingresos - costos). Formule un modelo matemático que permita maximizar las utilidades.

Variables de Decisión Se debe comenzar definiendo las variables de decisión. En un modelo de programaci´on lineal las variables de decisi´on deben ser capaces de describir completamente las decisiones que puedan ser tomadas y todas las v a r i a n t e s que existan. Antes de definir las variables de decisi´on es importante definir las unidades involucradas en el problema. Por tanto podemos definir: x1= número de mesas producidas por semana x2= número de sillas producidas por semana.

Función Objetivo Se debe tomar la decisi´ón de maximizar (usualmente las utilidades) o de minimizar (usualmente los costos) cierta fuici´ón de las variables de decisi´on. La función a maximizar o mimizar se denomina función objetivo. Antes de formular el modelo matem´atico conviene resumir los datos del problema:

Materiales

Mano de Obra

Carpinter´ıa Terminaciones

M´aximo

Mesa

27000

10000

14000

1

2

–

Silla

21000

9000

10000

1

1

–

–

–

80

100

4 0 –

Disponibilidad

La función a maximizar queda (en miles): Z = (27x1 + 21x2 ) − (10x1 + 9x2 )

− (14x1 + 10x2 ) =

3x1 + 2x2

As´ı, el objetivo de la muebler´ıa es escoger los valores de x1 y x2 tal que se maximize z= 3x1 + 2x2 . Luego la función objetivo de la muebler´ıa es: Maximizar z = 3x1 + 2x2 Restricciones En la medida que las variables x1 y x2 crecen, la función objetivo aumenta su valor. Por lo tanto si se pudiera escoger arbitrariamente el valor de x1 y x2 , la muebler´ıa podr´ıa hacer crecer arbitrariamente el valor de sus utilidades. Evidentemente, en la pr´actica esto no es posible. En este ejemplo, el valor de las variables est´an limitadas por las siguientes tres restricciones: Restriccion 1 : m´aximo 100 horas semanales para terminaciones Restriccion 2 : m´aximo 80 horas semanales para carpinter´ıa Restriccion 3 : producci´on m´axima de 40 sillas semanales Se asume que la cantidad disponible de material es ilimitada. Luego, el pr´oximo paso consiste en formular matem´aticamente las restriccioies anteriores en funci´on de las variables de decisi´on: Primera restricci´on queda: Seguida restricci´on queda:

2x1 + x2 ≤ 100 x1 + x2 ≤ 80

Tercera restricci´on s´olo limita el valor de x2 : x2 ≤ 40

Restricción de Signo Para completar la formulaci´on del modelo es importante definir si existe alguna restricci´on de signo para cada variable de decisi´on. En este ejemplo, ambas variables de decisi´on se refieren a cantidades a producir, por lo t a n t o s o n n o n e g a t i v a s , luego: x1 0 y x2  0. Sin embargo, en otros ejemplos las variables pueden ser srs, por ejemplo en el caso de que xi se refiere al saldo de alguna cuenta. Combinando todas las expresiones anteriores, es posible completar el modelo matem´atico para este problema de optimizaci´on: Max z = 3x1 + 2x2 (Funci´on Objetivo) sujeto a (s.a.) 2x1 + x2

≤ 100

(Restricci´on de terminaciones)

x1 + x2

≤ 80

(Restricci´on de carpinter´ıa)

x2

≤ 40

(Restricci´on de demanda m´axima)

x1



0

(Restricci´on de signo)

x2



0

(Restricci´on de signo)

Generalización La función objetivo lineal se puede representar de la siguiente manera:

z  c1 x1  c2 x2 

n

 cn xn   ci xi i 1

donde: z : Función objetivo lineal. ci : Precio neto o costo unitario. xi : Actividad o proceso. Las restricciones, expresadas mediante inecuaciones lineales, están compuestas por los coeficientes técnicos ( aij ), las actividades o procesos ( xn ), las cuales también se tomaron en cuenta en la función objetivo y además los niveles o limitaciones ( bm ). Los conjuntos de restricciones se expresan de la siguiente manera: a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 a21 x1  a12 x2  am1 x1  am 2 x2 

 a1n xn  b2  amn xn  bm

Restricciones Según Beneke y Winterboer (1984: 25), hay tres tipos básicos de restricciones: de “mayor que” (≥), de “menor que” (≤) o de igualdad (=), y estas pueden ser clasificadas en razón a su naturaleza: - Restricciones de recursos o entradas: como tales pueden incluirse terreno, capital, mano de obra e instalaciones.

- Restricciones externas: esta clase incluye conceptos tales como las asignaciones gubernamentales de superficie de terreno, los límites de crédito asignado a los productos u obligaciones de tipo legal. - Restricciones subjetivas: estas restricciones se las impone el propio operador. Los límites pueden ser difíciles de definir, pero frecuentemente son reales y significativos en el proceso de planificación. A menudo las restricciones impuestas provienen de los propios objetivos personales o del negocio del planeador. Entre las limitaciones de ese tipo pueden citarse las siguientes: • Limitaciones sobre el nivel de crédito que el planeador está dispuesto a utilizar. En muchas ocasiones es inferior a la cantidad que los prestamistas están dispuestos a aportar. La motivación típica para tal tipo de limitaciones es el deseo poco explícito de evitar los azares de la deuda. • Restricciones por el riesgo del nivel de las actividades que presentan aspectos ligados a ingresos altamente variables como pueden ser la cría de ovejas o de ganado mayor: Planteamiento de problemas con programación lineal La metodología para plantear un problema se inicia con la definición de variables, definición de la función objetivo, el establecimiento de las restricciones.

Figura. Metodología de planeamiento de un problema con programación lineal Fuente: Izar, (2012). • Definir variables del problema: reside en determinar las variables, representarlas con letras y definir sus unidades. • Definir la función objetivo: identificar las variables que deben ser optimizadas (maximización o minimización según el caso). Se representa con la letra Z y se expresa mediante una ecuación matemática en función de las variables del problema y sus coeficientes. • Definir restricciones: establecer por cada restricción una ecuación en relación a con las variables del problema. Generalmente dichas ecuaciones están representadas por inecuaciones, sean de tipo mayor que o menor que. • Definir restricciones no explícitas: identificar y expresar estas restricciones en el planteamiento del problema. Método gráfico para el cálculo de soluciones de un PPL Para calcular gráficamente la solución de un problema de programación lineal de dos variables es conveniente seguir el siguiente proceso: 1. Se dibuja la región de factibilidad del problema, que esta conformado por todos los puntos del plano que satisfacen todas las restricciones del problema. Caso no se tenga región de factibilidad el problema no tiene solución factible. 2. Se representa el vector director de la función objetivo que viene dado por los coeficientes de las variables de la función a maximizar o minimizar (gradiente de la función objetivo). 3. Se trazan rectas perpendiculares a este vector ( curvas de nivel de la función objetivo ) que intersecten puntos de la región de factibilidad, y se observa el último (o primer) vértice donde la función z se hace máxima (o mínima), 4. De no haber último (o primer) punto de intersección se dice que el problema tiene solución no acotada.

Ejemplo 1. Resuelve gráficamente el siguiente problema de P.L.

Maximizar: z  2 x  7 y s.a.:  2x  3 y  3 4 x  5 y  10 6x  7 y  3 4x  8 y  5 x  0, y  0. Solución.

No hay región factible puesto que las tres regiones correspondientes a la segunda, tercera y cuarta restricción tienen como intersección al conjunto vacío, por tanto no hay solución factible para el PPL. Ejemplo 2. Resuelve gráficamente el siguiente problema de P.L min z  5 y  4 y 1 2 s.a.:

4 y1  3 y2  4 2 y1  y2  3  y1  2 y2  1 y1  y2  2 y1 , y2  0

Solución.

Este problema tiene como solución única al punto C(1,1). Ejemplo 3. A) Resuelve gráficamente el siguiente problema de P.L. máx z  30 x1  10 x2 sujeto a: 3x1  x 2  320 x1  x 2  200 x1  10 0 x2  5 0 x1  x 2  0 x1 , x 2  0

B) ¿Hay más de una solución óptima? Explíquelo.

Solución. A.

Las soluciones del problema son todos los puntos sobre el segmento comprendido entre los puntos C yB B) Se tiene infinitas soluciones sobre el segmento CB, esto se debe a que la función objetivo tiene curvas de nivel paralelas a la frontera de la restricción 3x1  x 2  320 Ejemplo 4. Una empresa productora de alimentos para animales necesita proporcionar como parte integrante de su producto tres vitaminas diferentes con requisitos mínimos que debe cumplir. Las vitaminas se pueden obtener en diferentes cantidades de la materia prima A, que cuesta $ 9.00 el Kg. Igualmente se pueden obtener de la materia prima B, que cuesta $ 7.00 el Kg. Ahora bien, la materia prima A contiene 15 unidades de la vitamina 1, 20 unidades de la vitamina 2 y 15 unidades de la vitamina 3. La materia prima B contiene 10 unidades de la vitamina 1, 5 unidades de la vitamina 2 y 25 unidades de la vitamina 3. Las necesidades mínimas que debe cumplir el producto terminado son 60 unidades de la vitamina 1, 40 unidades de la vitamina 2 y 75 unidades de la vitamina 3. Si se desea determinar la combinación ideal de materias primas para minimizar los costos de producción, determine lo siguiente: 1. El planteamiento algebraico de las restricciones. 2. La ecuación del costo de producción que se trata de minimizar. 3. El nivel óptimo de utilización de las materias primas A y B. 4. El costo mínimo posible, utilizando la combinación óptima de las materias primas. Solución |Como primer paso, organicemos la información en una tabla. Materia Prima A B Vitamina 1 Vitamina 2 Vitamina 3 Costos por Kg.

15 20 15 $9.00

10 5 25 $7.00

Necesidades mínimas 60 40 75 Costo $?

Las variables de decisión son: x = cantidad de kg que contendrá el producto terminado de la materia prima A y = cantidad de kg que contendrá el producto terminado de la materia prima A El segundo paso consiste en plantear las restricciones que en este caso sí aceptan un exceso, pero nunca una deficiencia en las vitaminas. Restricciones: Vitamina 1: Como 1 kg de la materia prima contiene 15 unidades de la vitamina 1 y 1 kg de la materia prima B contiene 10 unidades de la vitamina1, entonces 15x + 10y representa el total de vitamina 1 que contendrá el producto terminado, y puesto que el producto terminado debe de contener un mínimo de 60 unidades de la vitamina 1 entonces una desigualdad que debe de satisfacerse es: 15x  10 y  60 Continuando tenemos las siguientes restricciones: Vitamina 2: 20 x  5 y  40 Vitamina 3: 15x  25 y  75 Restricciones de no negatividad: x  0 y y  0 Función objetivo: Puesto que cada kg de la materia prima A cuesta $9.00 y el de B $7.00 entonces el costo del producto terminado es 9x + 7y. y así tenemos que la función objetivo a minimizar es: Min C = 9x + 7y Resolviendo por el método gráfico usando geogebra

De esta manera encontramos que el costo mínimo es $37.00 y se obtiene con la siguiente proporción: Materia prima A = 30/9 = 3.3 Kg. Materia prima B = 1 Kg.

Ejemplo 5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos; por necesidades de mercado, es necesario que el número de mecánicos sea igual o mayor al número de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble qué el de electricistas. En total hay disponibles 20 electricistas y 30 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es 25000 u.m. por electricista y 20000 por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio? Solución El planteamiento del problema es : Variables: X=número de electricistas Y=número de mecánicos Función objetivo: Max z=2500x+2000y Restricciones: yx x  2y x  20 y  30 x, y  0 Resolviendo tenemos:

Tendrá que requerirse de 20 electricistas y 30 mecánicos Ejemplo 6. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: Ay B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua; la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de 500 u.m. y el de la colonia B es 2000 u.m. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo. El planteamiento del problema es :

Variables X=litros de colonia tipo A Y= litros de colonia tipo A Función objetivo Max z=500x+2000y Restricciones: 0.15 x  0.3 y  60 0.2 x  0.15 y  50 y  150 x, y  0

PROBLEMAS PARA RESOLVER Sistemas de desigualdades lineales 1. Grafique las regiones determinadas por (a) 2x + y + 5 >0 (d) x < 0, y > 0 (b) 3x + 4y - 12 < 0 (e) x - 5 < 0 (c) x > 0 (f) 2x + 3 y- 4> 0 2. Grafique los siguientes sistemas de desigualdades. (a) 5x - 12y – 60 >0, x - y + 2 < 0 (b) 3x - y ≤ 0, 3x – y >0 (c) x - y + 2 > 0, 2x – 2y + 5 < 0 (d) 2x – y + 4 ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0 (e) 2x - y ≤ 0, x+y-8 0, x - 2y - 10 < 0, x ≥ 0, y ≤ 0, x + y - 2 < 0 (g) x + 3y - 12 ≤0, 3x + 2y - 6 < 0, x ≤ 0, y>0 (h) 3x + 4y - 12 < 0, x - y + 2 > 0, x≤0, y≤0 Programación lineal 3. Resuelva gráficamente los siguientes problemas de programación lineal. Maximizar Z = 4X + 6Y Sujeto a: X + 2Y  8 5X + 4Y  20 X,Y0 Maximizar Sujeto a:

Z = X + 10Y 4X + 3Y  36 2X + 4Y  40 Y3 X, Y  0

Minimizar Z = 24X + 15Y Sujeto a: 7X + 11 Y  77 16X + 4Y  80 X. Y  0 4. Resuelva gráficamente el siguiente problema de programación lineal Maximizar beneficio = 4X1$ + 6X2$ Sujeto a: X1 + 2X2  8 6X1 + 4X2  24 a) ¿Cuál es la solución óptima? b) Si se modifica la primera restricción a X1 + 3X2  8 ¿cambia la región de factibilidad o la solución óptima? 5. Considere el siguiente problema de programación lineal: Maximizar Z = 30X1 + 10X2 Sujeto a: 3X1 + X2  300 X1 + X2  200 X1  100 X2  50 X1 + X2  0 X1, X2  0 a) Resuelva el problema gráficamente. b) ¿Hay más de una solución óptima? Explíquelo. 6. Determine la región de factibilidad y los valores máximo y mínimo para la función z. z  x1  2 x2 x1  x2  2 x1  3 x2  2 x1  x2  3  x1  x2  2 x1  0 x2  0 7. Considere el siguiente problema de programación lineal desarrollado en la empresa de escáneres ópticos Jeff Spencer de San Antonio: Maximizar beneficio = 1X1$ + 1X2$ Sujeto a: 2X1 + 1X2  100 1X1 + 2X2  100 a) ¿Cuál es la solución óptima para este problema? Resuélvalo gráficamente. b) Si se produjera un avance tecnológico que elevara el beneficio unitario de X1 a 3 dólares, .afectaría esto a la solución óptima? c) En vez de un incremento del coeficiente de beneficios de X, hasta 3 dólares, suponga que se hubiera sobreestimado dicho beneficio y que sólo fuera de 1,35 dólares ¿Cambiaría la solución óptima?

8. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 buses de 40 pasajeros y 10 buses de 50 pasajeros, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un bus grande cuesta 800 soles y el de un bus pequeño 600 soles. Determinar por el método gráfico la mejor opción económica de transporte para la excursión. 9. Una multinacional farmacéutica desea fabricar un compuesto nutritivo a base de dos productos A y B. El producto A contiene 30% de proteínas, un 1 % de grasas y un 10% de azúcares. El producto B contiene un 5% de proteínas, un 7% de grasas y un 10% de azúcares. El compuesto tiene que tener, al menos, 25g de proteínas, 6g de grasas y 30g de azúcares. El coste del producto A es de 0.6 u.m./g. y el de B es de 0.2 u.m./g. ¿Cuántos gramos de cada producto debe tener el compuesto para que el coste total sea mínimo? 10. En la granja "Daniel" se venden pollos fritos. Para producir los mejores pollos se le agregan 4 vitaminas al alimento normal. La cantidad mínima requerida de cada vitamina por cada 100 onzas de alimento es vitamina 1, 50 unidades; vitamina 2, 100 unidades; vitamina 3, 60 unidades; vitamina 4, 180 unidades. Se dispone de dos clases de suplemento. El suplemento 1 cuesta $0.03 por onza y contiene 5 unidades de vitamina 1, 25 unidades de vitamina 2, 10 unidades de vitamina 3 y 35 unidades de vitamina 4 por cada onza. El suplemento II cuesta $ 0.40 la onza y contiene 25 unidades de vitamina 1, 10 unidades de vitamina 2, 10 unidades de vitamina 3 y 20 unidades de vitamina 4 por cada onza. ¿Cuánto de cada suplemento se debe comprar para agregarles a cada 100 onzas de alimento y minimizar el costo, conservando las cantidades de vitaminas deseadas? 11. El señor Juárez tiene una granja de 100 acres y quiere plantar dos cosechas A y B. La semilla y los otros gastos para la cosecha A suman $ 10 por acre, y $ 40 por acre para la cosecha B. La ganancia esperada de la cosecha A es de $ 40 por acre, y de $ 120 por acre de la cosecha B. En la cosecha A se emplea el trabajo 2 días-hombre por acre y en la cosecha B se emplea el trabajo de 3 días-hombre por acre. Si el señor Juárez dispone de un capital de $ 1100 y de 160 días-hombre de labor para invertir en su granja, ¿cuántos acres de cada cosecha debe plantar para asegurarse una ganancia máxima? , ¿Qué cantidad de su tierra debe permanecer ociosa para maximizar su ganancia? 12. Rosa necesita por lo menos 60 unidades de carbohidratos, 45 unidades de proteínas y 30 unidades de grasa al mes. De cada libra del alimento A obtiene 5 unidades de carbohidratos, 3 de proteínas y 4 de grasa. El alimento B contiene 2, 2 y 1 unidades de carbohidratos, proteínas y grasa por libra, respectivamente. Si el alimento A cuesta $ 1.30 por libra y el B cuesta $ 0.80 por libra, ¿cuántas libras de cada alimento debe comprar al mes para minimizar el costo?