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UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CATEDRA: CALCULO III PROFESORA: MERCEDES BECERRA

Maracaibo, enero 2016

FUNCIONES DIFERENCIABLES DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES

La derivada de una función de una variable

cociente de diferencia

está dada por el límite de un

,

Exactamente de la misma manera, se define la derivada de primer orden de una función de dos variables

Si

respecto de

con respecto a cada variable.

es una función de dos variables, entonces la derivada parcial de f

x en un punto f x ( x, y )  lím h 0

es f ( x  h, y )  f ( x, y ) h

y la derivada parcial con respecto a y es f y ( x, y )  lím h 0

f ( x , y  h )  f ( x, y ) , siempre que exista el límite. h

Esta definición significa que, dada z  f ( x, y ) , para calcular considerar a y como constante y derivar respecto de se considera constante a

fx

se debe

x . Del mismo modo para hallar

fy

x y se deriva con respecto de y .

NOTACIÓN PARA LAS DERIVADAS PARCIALES Si z  f ( x, y ) , sus primeras derivadas parciales f x y f y se denota por: f x ( x, y )  f x  f 1 

f  z  ( x, y )  z x   D1 f ( x, y )  D x x x x

f y ( x, y )  f y  f 2 

f  z  ( x, y )  z y   D2 f ( x, y )  D y y y y

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA 2

Si y  y 0 , z  f ( x, y 0 ) es la curva intersección de la superficie z  f ( x, y ) con el plano y  y 0 , resulta entonces que f x ( x 0 , y 0 )  lím h 0

f ( x 0  h, y 0 )  f ( x 0 , y 0 ) , h

representa

la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto P ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )) . La recta tangente y la curva intersección están en el plano y  y 0 . Ver figura 1 Si x  x0 , z  f ( x 0 , y ) es la curva intersección de la superficie z  f ( x, y ) con el plano x  x0 , resulta entonces que

f y ( x 0 , y 0 )  lím h0

f ( x 0 , y 0  h)  f ( x 0 , y 0 ) , h

representa

la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto P ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )) . La recta tangente y la curva intersección están en el plano x  x 0 . Ver figura 2 Físicamente representa las tasas de cambio de

z

en las direcciones de

x e y , es

decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j .

z

z  f ( x, y 0 )

P

● Recta tangente

y

x

z

y  y0

Figura 1 Recta tangente

z  f ( x0 , y )

P

●

y x  x0

x Figura 2

3

Lo que concluye que los valores f x y f y en el punto P ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )) dan las pendientes de la superficie en las direcciones de

x y y.

GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN Cuando el operador diferencial

o

Se aplica a una función

o

, obtenemos una función vectorial

muy útil. Gradientes. i)

Suponga que

parciales

es una función de dos variables

existen. Entonces el gradiente de

cuyas derivadas

se define como

. ii)

Suponga que

es una función de tres variables

derivadas parciales

cuyas

existen. Entonces el gradiente de

se

define como .

4

Nota: El símbolo

es una delta griega mayúscula invertida, que se

denomina del o nabla. El símbolo

se lee gradiente de

Observemos la figura 3, como en la sección anterior sea C 1 y C2 las curvas que se obtienen al cruzar los planos verticales x  x 0 y y  y 0 con la superficie S. Entonces el punto P está en C1 y C2. En ellas las dos rectas tangentes T1 y T2 que se intersecan en el punto P . Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto P se define como el plano que contiene a las dos rectas tangentes T1 y T2 .(figura 3). z

p y

x Figura 3

ECUACIÓN DEL PLANO EN R3 Un plano

en R3 queda completamente determinado si se conocen un punto

por el que pasa un vector normal a él, digamos

. Un punto

5

pertenecerá al plano

plano. Es decir, si y solo si

=

Así pues el plano

puntos

de

si el vector diferencia

,

se encuentra sobre el

es ortogonal al vector

queda determinado como el lugar geométrico de aquellos

tales que

+C

,

=0

,

. (A,B,C) = 0, o sea, tales que

(1)

La ecuación del plano en R3 que pasa por (xo,yo,zo) y tiene a n=(A,B,C) como vector normal se puede escribir como Ax + By + Cz + D = 0, donde D= Ax o - Byo - Czo si D = 0 es homogéneo y pasa por el origen. Al dividir la ecuación (1) por C y dejar que a=

y b=

, podemos escribirla de

la forma ) +

(2)

Si la ecuación (2) representa el plano tangente en T 1. Al hacer y = yo en la ecuación (2) se obtiene ) y se reconoce a ésta como la ecuación de una recta con pendiente a. pero se sabe que la pendiente de T1 es

. Por lo tanto tenemos que a =

.

6

De manera semejante, al hacer x = xo en la ecuación (2), obtenemos z-zo = b(y –yo)

que debe representar a la recta tangente T2, de modo que b=

.

Una ecuación del plano tangente a la superficie z  f ( x, y ) en el punto P(xo,yo,zo) es )+

En forma general si

, la ecuación del plano tangente a la superficie

z  f ( x, y ) en el punto P(xo,yo,zo) es

+

+

=0

TEOREMA El Gradiente es normal a las curvas de nivel. Si

es diferenciable en un punto

P ( x0 , y 0 ) y F ( x0 , y 0 )  0, entonces F ( x0 , y 0 ) es normal a la curva de nivel que pasa por ( x 0 , y 0 )

RECTA NORMAL Se define la recta normal a la superficie S en el punto P(x o,yo,zo) de ella, como la recta que pasa por P y contiene (o es paralela al) vector normal a la superficie en P( es decir a la recta perpendicular al plano tangente a la superficie en P). Su ecuación es

7

 x  x0  tf x ( x0 , y0 , z 0 ) 

 y  y 0  tf y ( x0 , y 0 , z 0 )   z  z 0  tf z ( x0 , y0 , z 0 )

Ecuación Paramétricas

Despejando el parámetro t e igualando tendremos la ecuación Simétrica. Ecuación Simétrica:

x  x0 y  y0 z  z0   f x ( x0 , y 0 , z 0 ) f y ( x0 , y 0 , z 0 ) f z ( x0 , y 0 , z 0 )

EJERCICIOS. 1.- Utilizar la definición de derivadas parciales empleando límites para calcular

a.-

b.-

c.-

d.-

2.- Hallar

y

y

a.-

b.-

c.-

d.-

8

e.-

f.-

g.-

h.-

i.-

j.-

k.3.- Probar si las siguientes funciones son diferenciables en el punto (x,y)

5 ( x  2) ( y  4)  2 8 f ( x , y )   ( y  4 )  3( x  2 )



a.-

b.-



0

c.-

4.- Dado el elipsoide

( x , y )  ( 2 , 4 )

( x , y )  ( 2 , 4 )

d.-

=1 y el plano

, hallar dos planos

tangentes al elipsoide paralelos al plano dado.

9

5.- Encuentre los planos tangentes a la esfera

que sean paralelos

al plano yz, xz y xy 6.- Sea S:

. Encontrar la ecuación de los planos tangentes a S

que sean paralelos al plano

.

7.- Hallar el punto o puntos de la superficie

planos tangentes a ella sean paralelos al plano

en que los

,

y

8.- Encontrar la ecuación de los planos tangentes a la superficie

son paralelos al plano

que

.

9.- Hallar los puntos sobre la superficie S:

, donde los

planos tangentes a ella sean paralelos al plano tangente a la superficie:

en el punto

10

10.- Encuentre el valor de la constante

esferas:

para que en los puntos de intersección de las dos

y

, los planos tangentes

correspondientes sean perpendiculares el uno del otro.

11.- Encuentre los planos tangentes a la esfera

que sean paralelos al

plano

DERIVADA DIRECCIONAL.

f x ( x 0 , y 0 )  lím h 0

f ( x 0  h, y 0 )  f ( x 0 , y 0 ) h

Representan las tasas de cambio de z en las direcciones de x y y , es decir en las direcciones de los vectores unitarios i y j

f y ( x 0 , y 0 )  lím h0

f ( x 0 , y 0  h)  f ( x 0 , y 0 ) h

Encontremos la razón de cambio de una función diferenciable en cualquier dirección. Se quiere calcular la tasa de cambio de

z

en la dirección del vector unitario

.

11

Supongamos que

forma un ángulo

a

con el eje

. Si

es un vector unitario en el plano xy el cual

positivo, y que es paralelo al vector

que va de

>0, entonces

El plano vertical que

pasa por estos dos puntos corta a la superficie z  f ( x, y ) en una curva C. ¿Cuál es la pendiente de la tangente a C en un punto P con coordenadas

dada por

en la dirección

.

En la figura (que el profesor realizará en el pizarrón) es claro que

y

; de modo que la pendiente de la recta secante indicada es

Si

la pendiente de la tangente en P será el

12

Tal pendiente es la razón de cambio de

en P en la dirección especifica por el

vector unitario . DEFINICIÓN. La derivada direccional de

en la dirección de un vector unitario

es

Para propósitos de cálculos, por lo general usaremos la formula dada en el siguiente teorema. TEOREMA. Si f es una función diferenciable de

x y de y , entonces

direccional en la dirección de cualquier vector unitario

f

tiene una derivada

u  cos  , sen 

y

Du f ( x, y )  f x ( x, y ) cos   f y ( x, y ) sen

Du f ( x, y )  f ( x, y ).u

De esta ecuación tenemos: Du f ( x, y )  f ( x, y ) u cos  Du f ( x, y )  f ( x, y ) cos 

,

u 1

, donde  es el ángulo entre f y

u

El valor máximo de cos  es 1 y se da cuando  = 0º por lo tanto el valor máximo de Du f ( x, y ) es

f ( x , y )

y ocurre cuando

u tiene la misma dirección del

f

.

El valor mínimo de cos  es -1 y se da cuando  = 180º por lo tanto el valor mínimo de Du f ( x, y ) es -

f ( x , y )

y ocurre cuando

u tiene sentido opuesto del

f

.

TEOREMA 13

Una función crece más rápidamente en P en la dirección del gradiente (con razón f ( x , y )

) y decrece más rápidamente en la dirección opuesta (con razón -

f ( x , y )

). TEOREMA Suponga que f es una función diferenciable de dos y tres variables. El valor máximo de la derivada direccional Du f ( x, y ) es

f ( x , y )

y se presenta cuando

u

tiene la misma dirección que el vector gradiente f ( x, y ) . DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Las derivadas parciales

z z y y de una función de dos variables z  f ( x, y ) , es x

en general, otra función de x y de y . Por tanto se puede derivar parcialmente respecto a x o y , con lo que se obtienen las segundas derivadas parciales de f .

f xx 

  f  2 f    x  x  x 2

f xy   f x  y 

  f  2 f    y  x  yx

f yy 

  f  2 f    y  y  y 2

f yx   f y  x 

  f  2 f    x  y  xy

Las derivadas parciales f yx y f xy reciben el nombre de derivadas parciales mixtas o cruzadas Las derivadas parciales de tercer y mayor orden se definen de manera análoga y su notación es similar. Así, si f es una función de dos variables x y y , la tercera derivada parcial de f obtenida al derivar f parcialmente, primero respecto a con respecto a y , se indica como

x y luego dos veces

    f     2 f  3 f     f xyy      y  y  x   y  yx  y 2 x

En total, hay ocho derivadas parciales de tercer orden. TEOREMA. IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS. 14

Si f : u  R n  R tiene derivadas parciales de segundo orden continuas. Entonces, las derivadas cruzadas de segundo orden de f , son iguales: si i  j :

2 f 2 f  x j xi xi x j

.

EJEMPLO. Si n = 2: hay un par de derivadas cruzadas 2 f yx

2 f xy

y

Si n = 3: hay tres pares de derivadas cruzadas 2 f yx

y

2 f xy

2 f zx

y

2 f xz

2 f zy

y

2 f yz

REGLA DE LA CADENA Para funciones de más de una variable se aplicaran algunos teoremas para encontrar la derivada de una composición de funciones. TEOREMA. REGLA DE LA CADENA. UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

x y y . Si

Sea w  f ( x, y ) una función diferenciable de funciones derivables de t , entonces

x  g (t )

y

y  h(t ) son

w es función derivable de t , con

dw w dx w dy   dt x dt y dt



x d

t

w



y d

t

Si w  f ( x1 , x 2 ,......, x n ) , si cada x i es función de una sola variable t , entonces se tiene:

15

dw w dx1 w dx 2 w dx n    ......  dt x1 dt x 2 dt x n dt

TEOREMA. REGLA DE LA CADENA. DOS VARIABLES INDEPENDIENTES Sea w  f ( x, y ) una función diferenciable de existen las derivadas parciales

x x y , , s t s

x y y . Si y

y t

x  g ( s, t )

entonces

y y  h( s , t ) y

w w y existen s t

también y vienen dadas por : w w x w y   s x s y s





x

w

w w x w y   t x t y t



y



s t s t

Si w  f ( x1 , x 2 ,......, x n ) , si cada xi es función de dos variables

s y t , entonces se

tiene: w w x1 w x 2 w x n    ......  t x1 t x 2 t x n t w w x1 w x 2 w x n    ......  s x1 s x 2 s x n s

FUNCIONES IMPLICITAS. DERIVADA IMPLICITA. Supongamos que F ( x, y )  0 define a y de manera implícita como una función derivable de

x es decir,

y  f (x ) , donde , F ( x, f ( x ))  0 x



Df

16

Si F es diferenciable, podemos aplicar la regla de la cadena para diferenciar ambos lados de la función F ( x, y )  0 con respecto de

x Tenemos

x . Puesto que x y y son funciones de

dy es: dx

F dx F dy  0 x dx y dx

dx 1 dx

F F dy  0 x y dx

F dy F  y dx x

F dy   x F dx y

si

F 0 y

dy Fx  dx Fy

Ahora supongamos que z  f ( x, y )

z

está dada de manera implícita como una función

por una ecuación de la forma

F ( x, y , f ( x, y ))  0 ( x, y )



Df

F ( x, y , z )  0 . Esto significa que

. Si F es diferenciable y Fx y Fy

existen,

entonces podemos usar la regla de la cadena para definir la ecuación F ( x, y , z )  0 con respecto de

x y y quedando. z Fx  x Fz

z Fy  y Fz

Fz  0

SISTEMA DE FUNCIONES IMPLICITAS. Consideremos el siguiente sistema

 F (w, x, y, z)  0   G(w, x, y, z)  0 17

Si este sistema tiene solución, entonces es posible expresar dos de las variables en función de las otras dos. Supongamos que w y z son funciones de x y y , es decir, w  f ( x, y ) y z  g ( x, y ) . Entonces el sistema puede escribirse como:

 F ( f ( x, y), x, y, g ( x, y))  0   G( f ( x, y), x, y, g ( x, y))  0 Usando la regla de la cadena es posible hallar

z w w z , y , y y . x x

EJERCICIOS. 1.- Hallar la derivada direccional de la función

la dirección del vector

, en el punto

.

2.- Hallar la derivada direccional de la función

en la dirección

en

, donde

es

, en el punto

.

3.- Hallar la derivada direccional de la función

en el punto

en la dirección del vector

18

4.- Hallar la derivada direccional de la función dada en el punto P(0,0) en la dirección del vector

5.- Hallar el valor de las constantes

tal que la derivada del C.E

tenga en el punto

direccional máxima de

derivada

, en la dirección del vector normal a la superficie

en el punto

6.- La temperatura en el punto

de una placa metálica está dada por la ecuación

Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto 7.- El capitán América se encuentra en el lado soleado del planeta Mercurio y notó que su traje espacial se fundía. Si la temperatura en un sistema de coordenadas viene dada por

y el capitán se encuentra en las coordenadas (1,1,1). ¿En qué dirección deberá moverse con el fin de enfriarse lo más rápido posible? ¿Cuál es la mínima razón de cambio de la temperatura en ese punto? 19

8.- En un sistema de coordenadas rectangulares la temperatura T en una esfera metálica es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de la esfera, que es el origen de coordenadas. Si la temperatura en P(1,2,2) es 120º. Encuentre la razón de cambio T en P(1,2,2) en la dirección que va hacia el punto Q(2,1,3) y diga además cuánto es la máxima variación de la temperatura. 9.- Hallar el valor de las constantes α, β, y γ, tal que la derivada del campo escalar

en el punto P(1,2,-1) tenga un valor máximo de 64 en la dirección paralela al eje z. 10.- Un campo escalar

con derivadas parciales continuas, tiene en el punto

P(1,3) las derivadas direccionales: 3 en dirección al punto A(3,3) y 26 en dirección al punto B(1,7). Encontrar la derivada direccional de f en P en dirección al punto C(6,15). 11.- Verifique que la función

satisface la ecuación de Laplace :

=0

12.- Mostrar que la función

, es solución de la ecuación de

onda:

13.- Verifique que la función

, es una solución de la ecuación de

calor: 20

14.- En cada uno de los siguientes casos hallar

a.-

aplicando la regla de la cadena.

donde

b.-

donde

c.-

donde

15.- Probar aplicando regla de la cadena que si

entonces:

y

y determinar la ϑf/ϑρ

15.1.- Si

es diferenciable y

y

demuestre

que

16.- Hallar

y

, si

y

17.- Una partícula se mueve en el espacio tridimensional de manera que sus coordenadas en cualquier tiempo son

,

y

. Con

. Emplee la regla de la

21

cadena para encontrar la tasa a la cual su distancia

está cambiando en

seg

18.- Dado el siguiente sistema

y

, probar que

, probar que

20.- Si

21.- Si

, y suponiendo que

con

19.- Dado el siguiente sistema

y

a partir del origen

y v son funciones de

, hallar las otras derivadas.

, y suponiendo que

y

son funciones de

, hallar las otras derivadas.

con

con

implícita probar

implícita probar

22

22.- Si

, con

constantes, probar que:

presión,

temperatura y

volumen y además

, (que representa una relación usada en la

termodinámica) 23- El radio de un cono circular recto está creciendo a razón de 6 cm por minuto, mientras su altura decrece a razón de 4 cm por minuto. ¿Cuál es la razón de cambio del volumen y

del área cuando el radio es 12 cm y la altura 36 cm?

,

24- En un instante dado, la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es 15 cm y está aumentando a la rapidez de 2 cm/min y la longitud del otro cateto es de 17 cm y está disminuyendo a la rapidez de 2 cm/min. Encontrar la rapidez de cambio de la medida del ángulo opuesto al cateto de longitud 15 cm en el instante dado.

25.- El lado marcado

marcado

del triángulo de la figura aumenta a razón de 0,3 cm/sg, el lado

aumenta a razón de 0,5 cm/sg, y el ángulo comprendido

crece a razón de 0,1

rad/sg. Aplique la regla de la cadena para encontrar la razón de cambio del área del

triángulo en el instante en que

y

x θ 26.- El voltaje V en un circuito eléctrico simple disminuye lentamente conforme la batería se agota. La resistencia R aumenta despacio a medida que el resistor se calienta. Utilice la 23

Ley de Ohm V = IR para calcular cómo cambia la corriente I en ese, momento, cuando R = 400 , I=0.08A, el voltaje disminuye a razón de 0,01 V/s y la resistencia aumenta a razón

de 0.03 27.-Determinar si la función z  e y 6y

2

4

f ( x 5  3 y 2  1) satisface a la ecuación

z z  5x 4  10 x 4 yz x y z

z

28.- Diferenciar implícitamente para encontrar x y y a) xy 2 z 3  x 3 y 2 z  x  y  z d) tg ( x  y )  tg ( y  z )  1

b) x 2 y  z 2  cos xyz  4 c) x 3 e y  z  ysen( x  z )  0 e) x ln y  y 2 z  z 2  8

f) x  sen( x  z )  0

EXTREMOS RELATIVOS Uno de los usos más importantes del cálculo está en la optimización. En esta época, las plantas de manufactura deben maximizar la calidad de sus productos minimizando los defectos. Para diseñar naves más y más eficientes, los ingenieros deben minimizar el peso de una estructura, al tiempo que maximizan su resistencia. De esta manera hay infinitos problemas de optimización. DEFINICIÓN MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si f es una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo en (a, b) si f(a, b)  f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define de manera análoga. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de otro corte. PUNTOS CRÍTICOS 24

El punto  a, b  es un punto crítico de la función f ( x, y ) , si  a, b 

DEFINICIÓN

f

f

f

esta en el dominio de f , y o bien x ( a, b)  y (a, b)  0 , o bien x

y

f y

no

existen. Si f (a, b) es un extremo relativo (máximo o mínimo), entonces  a, b  debe ser un punto crítico de f . Sin embargo; aunque los extremos relativos pueden ocurrir solamente en los puntos críticos, todo punto crítico no corresponde necesariamente a un extremo relativo. Por esta razón se dice que los puntos críticos son candidatos a extremos relativos. TEOREMA Si

tiene un extremo relativo en

, entonces

debe ser un punto

crítico de TEOREMA. CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS Suponga que f ( x, y ) tiene segundas derivadas parciales continuas en algún disco abierto que contiene al punto  a, b  y que fx a, b   fy  a, b   0 . Se define el discriminante D para el punto  a, b  mediante D a, b   fxx( a, b) fyy (a, b)   fxy ( a, b)

2

Si D a, b   0

y

fxx(a, b)  0 , entonces f tiene un mínimo relativo en  a, b 

Si D a, b   0

y

fxx(a, b)  0 , entonces f tiene un máximo relativo en  a, b 

Si D a, b   0

, entonces f tiene un punto de silla en  a, b 

Si D a, b   0

, entonces no se puede sacar conclusión alguna.

Sea P  a, b  un punto crítico de una función z  f ( x, y ) con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea H  a, b  el determinante de su matriz Hessiana, entonces:

25

 2 f 2 f   2  a, b   a, b   2 2 2 2 x xy   f  f   f   H a,( b)  2 2  2 a,b 2 a,b   a,b   f  f  x y  xy    a, b  2  a , b    yx y  Entonces H ( a , b)

fxx a, b 

Tipo

Positivo

Positivo

Mínimo

Positivo

Negativo

Máximo

Negativo

Punto de Silla

Cero

No se concluye nada Es decir, si el Hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da fxx a, b  , si es

negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el Hessiano es negativo no hay extremo. Y si el Hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método) MÁXIMO ABSOLUTO Y MÍNIMO ABSOLUTO DEFINICIÓN Se llama a f  a, b  el máximo absoluto de f en la región R , si f  a, b   f ( x, y ) para todos los ( x, y )  R . De modo similar, llamamos a f  a, b  el mínimo absoluto de f en la región R , si f  a, b   f ( x, y ) para todos los ( x, y )  R . En tales caso  a, b  se llama un extremo absoluto de f . TEOREMA. VALOR EXTREMO.

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Suponga que f ( x, y ) es continua sobre la región cerrada y acotada R  R 2 . Entonces, f tiene tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto en R . Además, los extremos absolutos deben ocurrir en un punto crítico de R o en la frontera de R . EJERCICIOS. 1.- Dada la función f(x,y), determinar y clasificar todos los puntos críticos.

a.-

b.-

c.-

d.-

e.-

f.-

27

g.-

h.-

i.-

j.-

k.-

2.- Calcule los valores máximos y mínimos de f sobre el conjunto D. a) f ( x, y )  5  3 x  4 y , D es una región triangular cerrada, con vértices (0,0); (4,0) y (4,5). b) f ( x, y )  x 2  2 xy  3 y 2 , D es una región triangular cerrada, con vértices (-1,1); (2,1) y (-1,-2). c) f ( x, y )  x 2  x 2 y  y 2  4 , d) f ( x, y )  1  xy  x  y

D =   x, y  / 0  x  9; 0  y  5

y D es una región acotada por la parábola y  x 2

y la recta

y=4 e) f ( x, y )  3 x  4 y ,

D    x, y  / 0  x  1;  1  y  1

f) f ( x, y )  x 2  y 2 ,

D    x, y  /  1  x  3;  1  y  4

g) f ( x, y )  x 2  6 x  y 2  8 y  7 ,

D   x, y  / x 2  y 2  1

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

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El método establece una ecuación en función de las condiciones o restricciones que debe cumplir la función, en todo caso se resuelve una ecuación vectorial llamada ecuación de Lagrange. Considerando una restricción. Para cuando la función f  x1.x2 ,..., xn  debe cumplir una restricción g  x1 , x2 ,..., xn   k . La ecuación de Lagrange tiene la forma: f    g

,

Donde f : es el gradiente de la función; g :

es el gradiente de la restricción;

 : es una constante, el multiplicador de Lagrange Considerando dos restricciones. Para

cuando

la

función

f  x1.x2 ,..., xn 

debe

cumplir

dos

restricciones

g  x1 , x2 ,..., xn   k y h x1 , x 2 ,..., x n   k la ecuación de Lagrange se escribe: f  g  h ,

Se debe resolver el sistema de ecuaciones dadas a través de la ecuación vectorial y además la condición o condiciones formarán parte de ese sistema a resolver. Se pudiera establecer un procedimiento general para aplicar el método el cual se puede establecer así: 1 º Identificar la función de donde se desea hallar el valor máximo o mínimo, esta es la función a optimizar, a la que se desea hallar los valores extremos. 2 º Identificar la o las restricciones a cumplir por la función. 3º Hallar el gradiente de la función: por ejemplo si la función es de tres variables: f  x. y.z    fx, fy , fz 

4 º Hallar el gradiente de la restricción: g  x. y.z    gx, gy , gz  5º Formar la ecuación vectorial: f  g o f  g  h , para cuando hay una o dos condiciones a cumplir respectivamente. 6º Formar el sistema de ecuaciones que incluya la o las restricciones. 7º Determinar todos los valores x, y, z y λ que satisfagan el sistema de ecuaciones ( f  g y g  x, y, z   k ). Formar todos los puntos posibles.

29

8º Evaluar todos los puntos  x, y, z  del resultado anterior en la función f  x, y, z  . El mayor de los valores será el valor máximo de la función y el más pequeño es el valor mínimo de la función. EJERCICIO 1.- Suponga que la temperatura de una lámina de metal está dada por T ( x, y )  x 2  2 x  y 2 para puntos ( x, y ) de la lámina elíptica definida por x 2  4 y 2  24 . Halle las temperaturas máxima y mínima de la lámina. 2.- Para un negocio que fabrica 3 productos, suponga que al fabricar x, y, z miles de unidades de los productos la utilidad de la compañía (en miles de dólares) se puede modelar mediante

.

Las

restricciones

de

manufactura

exigen

. Halle la utilidad máxima de la compañía. 3.- Determine las dimensiones de una caja rectangular con el máximo volumen, si la superficie total deberá ser de 64 cm 2 . 4.- Calcule el máximo de la función

intersección del plano

con el cilindro

sobre la curva de

.

5.- ¿Cuál es la máxima área que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4? 6.- Determine los valores máximos y mínimos de

sobre la elipse

7.- Determine la distancia más cercana de la recta y = 3-2x al origen. 30

8.- Encontrar los puntos sobre la superficie

que estén

más alejados y más cercanos al punto de coordenadas Q(0,-1,2). 9.- Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen máximo si el área de su superficie es de 24π (unidades de longitud cuadradas). 10.- Se desea fabricar una caja de cartón donde el material de los lados y la tapa es de Bs 1/metro cuadrado y el costo del material del fondo es de Bs 3/ metro cuadrado. Determine las dimensiones que debe tener la caja para que su volumen sea de 2 metros cúbicos y su costo sea mínimo. 11.- Encuentre el punto sobre la curva C de intersección del cilindro

plano

que está más alejado del plano

y el

. Encuentre el punto sobre C que es

más cercano del plano

12.- Determinar los extremos de la función

restricciones

, sujeta a las

y

13.- Determinar los extremos de la función

, sujeta a la

restricción 14.- Encuentre El volumen máximo y mínimo de una caja rectangular cuya superficie es de 1500

y cuya longitud total de sus aristas es de 200 cm. 31

15.- Se lanza un cohete con una fuerza propulsora constante correspondiente a una aceleración de

de

. Descartando la resistencia del aire, la altura del cohete después

segundos está dada por

segundos es proporcional a

pies. El gasto de combustible para

, de modo que la capacidad limitada del combustible del

cohete puede expresarse mediante una ecuación de la forma

de

. Halle el valor

que maximiza la altura alcanzada por el cohete.

16.- Un depósito cilíndrico recto está coronado por una tapa cónica. El radio del depósito es de 3 m y su área de superficie total es de 81

. Calcule las alturas

que el volumen del depósito sea máximo.(Sugerencia:

y

,

de manera

,

) 17.- Se desea diseñar una caja de cartón en forma de cilindro circular recto con tapas que tenga un volumen de 2000

. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja de modo

que

necesario

el

costo

del

cartón

para

construir

la

caja

sea

mínimo?

, 32

18.- Determine tres números positivos x, y y z cuya suma sea 100 y tales que x a y b z c sea máximo.

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