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CALCULO I

DERIVADA

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA En Geometría Analítica estudiamos la inclinación de una recta. Dada una recta r, su coeficiente angular o pendiente es expresado por:

y  y1 m 2 x2  x1 donde P( x1 ; y1 ) y Q( x2 ; y 2 ) son dos puntos cualesquiera de la recta r. Llamando  al ángulo que forma la recta r con el eje de abscisa, entonces tg  m

y r y2

Q( x 2 ; y 2 )

y1

Consideramos  a partir del eje x, en dirección a r y sentido anti-horario. No existe m cuando r es paralela al eje y

P( x1 ; y1 )

 x1

x

x2

Veamos ahora como encontrar la inclinación de una función en un determinado punto. Intuitivamente, la inclinación de y  f (x) en x0 ; f ( x0 )  es la inclinación de la recta tangente a y  f (x) en

x0 ; f ( x0 ) o simplemente en

x0 .

y

t

f ( x0 )

y  f (x)

( x0 ; f ( x0 ))



x

x0

Consideremos, por ejemplo, la inclinación de la función f ( x)  x 2 , en el punto x0 .

y

 x 0  h 2

Q

r ( x0  h) 2  x02 x 02

P 

0

x 0 x0  h 

x

h

La inclinación de la recta secante PQ está dada por:

f ( x0  h)  f ( x0 ) x0  h 2  x02 2 x0 h  h 2    2 x0  h  x0  h   x0 h h Cuando el punto Q vaya aproximándose cada vez más al punto P, o sea, cuando h vaya tendiendo a 0, la recta secante PQ se va aproximando cada vez más a la recta tangente t en x0 . Esto significa que la inclinación de f ( x)  x 2 en x0 va tendiendo a 2x0 . En un lenguaje más preciso, escribimos:

f ( x 0  h)  f ( x 0 )  lim ( 2 x0  h)  2 x0  x0  h   x0 h 0 h 0 lim

que es exactamente f ' ( x0 ) , la derivada de la función en el punto x0 . Prof. MSc. César Cabrera

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CALCULO I

DERIVADA

Por tanto, existiendo f ' ( x0 ) , existirá la recta tangente y f ' ( x0 )  tg

es el coeficiente angular de la recta t, tangente a la curva y  f (x) en el punto x0 ; f ( x0 )  . Asimismo, la ecuación de la recta tangente a la curva y  f (x) en el punto x0 ; f ( x0 )  está dada por:

y  f ( x0 )  f ' ( x0 )x  x0  NOTA: 1. La recta normal es la recta perpendicular a la tangente por el punto de tangencia, es decir, su pendiente es



1 f ( x0 ) '

2. La tangente y la normal determinan los llamados segmentos tangente y normal

y

Longitud del segmento tangente

M  x0 ; f ( x0 ) 

TM 



T

0

N

x

2 f ( x0 ) 1   f ' ( x0 )  ' f ( x0 )

Longitud del segmento normal NM  f ( x0 ) 1   f ' ( x0 ) 

2

3. Para admitir recta tangente a una curva en un determinado punto, la gráfica de la función no puede dar “salto” ( no puede ser discontinua ) ni mudar bruscamente de dirección (formar picos) en dicho punto. No admiten tangentes en x0 las siguientes graficas de funciones:

y

y

y

f ( x)  x

x

x0

x0

x0  0

x

x

4. Rectas paralelas al eje y no tienen coeficiente angular, puesto que m  tg 90º no está definido. Asimismo, si una recta tangente a la grafica de una función en un punto es paralela al eje y, la función también no admite derivada en dicho punto y diremos que no existe la tangente al grafico en dicho punto. Sean ejemplos de esos casos las siguientes funciones, en el punto x0 indicados:

y

y f ( x)  1  3 x  2 1

f ( x)  x

x0  0

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x

1

x

x0  2

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DERIVADA

DERIVADA DE FUNCIONES Se define la derivada de una función f (x) en el punto x 0 , como el límite cuando x tiende a x 0 del cociente

f ( x )  f ( x0 ) incremental de y con respecto a x , es decir, en símbolos: f ' ( x0 )  lim y si hacemos x  x0

x  x0

f ( x0  x)  f ( x0 ) cuya interpretación geométrica, es la x x  0

x  x0  x , decimos que f ' ( x0 )  lim

pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Ejemplos: 1) La derivada de una constante Sea f ( x)  c

f ( x  x)  f ( x) cc 0  lim  lim  lim 0  0 x x  0 x  0 x x  0 x x  0

f ' ( x)  lim

2) Derivada de una función lineal Sea f ( x)  ax  b

ax  x   b  ax  b  lim ax  ax  b  ax  b  f ( x  x)  f ( x)  lim x x x x  0 x  0 x  0 ax  lim  lim a  a x  0 x x  0 f ' ( x)  lim

3) Derivada de una función potencial Sea f ( x)  x n

x  x n  x n  f ( x  x)  f ( x)  lim x x x  0 x  0

f ' ( x)  lim



x  x  x x  x n 1  x  x n  2 x  x  x n  3 x 2  ......  x  x x n  2  x n 1

 lim

x

x  0



 lim

x  x

x

 x n  2 x  x n  3 x 2  ......  x x n  2  x n 1  x n 1  x n 1  x n 1  ......  x n 1  x n 1  n x n 1

n 1

x  0 n 1

 x  x 

n2

x  x  x 



x  ......  x  x x n  2  x n 1 

n 3 2

4) Derivada de la función raíz n-ésima Sea f ( x)  n x n x  x  n x f ( x  x)  f ( x)  lim x x x  0 x  0

f ' ( x)  lim

Haciendo: n x  x  u Entonces tenemos:

f ' ( x)  lim

uv

u v u n

v

n

y n x v

 lim





u  v u  v  u

x  u n  v n uv

n 1

u

n2

v  u n  3v 2  ......  u v n  2  v n 1

 

 1

v1 n 1 1 / n 1 n 1 n  1      x  x n n n v n 1  v n  2 v  ......  v v n  2  v n 1 n v n 1 n v  (1 n) 1

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1

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DERIVADA

5) Derivada de la función seno

 x  x  x   x  x  x  2sen  cos  f ( x  x)  f ( x) sen( x  x)  senx 2 2     ' f ( x)  lim  lim  lim  x  x  x x  0 x  0 x  0  x   2 x  x  sen  cos   2  2   2x     lim  cos   cos x x x  0  2  2 6) Derivada de la función coseno

 x  x  x   x  x  x   2sen  sen  f ( x  x)  f ( x) cos( x  x)  cos x 2 2     ' f ( x)  lim  lim  lim x x x x  0 x  0 x  0  2 x  x   x  sen  sen    2   2    sen 2 x    sen x  lim    x x  0  2  2 DERIVADA DE LAS FUNCIONES INVERSAS TEOREMA: Supongamos f estrictamente creciente y continua en un intervalo a; b , y sea g la inversa de

f . Si existe la derivada f ' ( x) y no es nula en un punto de x del a; b  , entonces la derivada g ' ( y ) también existe y no es nula en el correspondiente punto

y , siendo y  f (x) . Además las dos derivadas son recíprocas una de otra, es decir, g ' ( y ) 

1 f ' ( x)

Demostración: Sea x un punto de D( f ) y sea y  f (x) , y por tanto x  g ( y) , entonces:

g ( y)  g ( y0 ) x  x0 1   y  y0 f ( x)  f ( x0 ) f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Como f es continua también lo es g  f 1 , por lo tanto:

g ( y)  g ( y0 ) 1 1  lim  y  y0 y  y0 x  x 0 f ( x )  f ( x0 ) f ' ( x0 ) x  x0

g ' ( y 0 )  lim

 g ' ( y) 

1 f ' ( x)

Ejemplos 

arc sen y ' 



arc sec y ' 

1

sen x ' 1

sec x '

 

1 1 1   cos x 1  sen 2 x 1 y2

1 1 1   tag x . sec x sec x . sec 2 x  1 y y 2  1

Ejercicios 1) Demostrar por definición que la derivada de la función exponencial natural es la función exponencial natural. 2) Demostrar que la derivada de la función logaritmo natural es

1 , utilizando: x

a) El teorema anterior b) La definición de derivada Prof. MSc. César Cabrera

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CALCULO I

DERIVADA

TEOREMA: Si f es una función derivable en un punto x , entonces es continua en x Demostración: Como f es derivable en el punto x , entonces está definida en dicho punto y sólo nos falta probar que

lim f ( x  x)  f ( x) , es decir : lim

x  0

x  0

 f ( x  x)  f ( x) 0 ; pero como para cada x  0 , de modo

que ( x  x)  D( f ) , podemos escribir:

f ( x  x)  f ( x) , entonces: x f ( x  x)  f ( x) lim  f ( x  x)  f ( x) lim x .  0 . f ' ( x)  0 x x  0 x  0 f ( x  x)  f ( x)  x .

Por lo tanto si la función es derivable en un punto es continua en dicho punto. NOTA: La continuidad no es suficiente para que una función sea derivable en un punto. El siguiente ejemplo ilustra dicha nota. Ejemplo: La función f ( x)  x , es continua en x  0 ya que f (0)  0  0 y lim x  0  f (0) . x 0

Ahora

x  x  x x

en x  0 será

0  x  0 x

y acercándonos a cero por el lado izquierdo

x  x  x

lim

Luego no existe

x  0

x

x x



x x

; acercándonos a cero por el lado derecho

x x

1

 1

y la función f ( x)  x no es derivable en x  0

PROPIEDADES OPERATORIAS DE LAS DERIVADAS TEOREMA: Sean u y v dos funciones definidas en un mismo intervalo entonces, en cada punto en que u y v son derivables tenemos que: a)

u  v '  u '  v ' Demostración:

u  v ' 

lim

x  0

u( x  x)  v( x  x  u( x)  v( x)  x

lim

x  0

u( x  x)  u( x)  v( x  x)  v( x)  x

u ( x  x)  u ( x) v( x  x)  v( x) '  lim  u ( x)  v ' ( x) x x x  0 x  0

 lim

La derivada de la suma de dos o más funciones derivables es la suma de las derivadas de las funciones b)

u  v '  u '  v ' Demostración:

u  v ' 

lim

x  0

u( x  x)  v( x  x  u( x)  v( x)  x

lim

x  0

u( x  x)  u( x)  v( x  x)  v( x)  x

u ( x  x)  u ( x) v( x  x)  v( x) '  lim  u ( x)  v ' ( x)  x  x x  0 x  0

 lim

La derivada de la diferencia de dos funciones derivables es igual a la diferencia de las derivadas de las funciones.

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c)

DERIVADA

u . v '  u ' . v  u . v ' Demostración:

u ( x  x) . v( x  x)  u ( x) . v( x)  x x  0 u ( x  x) . v( x  x)  u ( x) . v( x)  u ( x  x) . v( x)  u ( x  x) . v( x)  lim  x x  0 u ( x  x)  u ( x)v( x)  v( x  x)  v( x)u ( x  x)   lim x x  0 u ( x  x)  u ( x) v( x  x)  v( x)  lim v( x)  lim u ( x  x)  x x x  0 x  0

u . v ' 

lim

 u ' ( x) . v( x)  u ( x) . v ' ( x) La derivada del producto de dos funciones derivables es igual a la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función. '

' '  u  u .v  u .v d)    v v2

Demostración:

u ( x  x) . v( x)  u ( x) . v( x  x) u ( x  x) u ( x)  v( x  x) . v( x) v( x  x) v( x) u  lim     lim x x x  0  v  x  0 u ( x  x) . v( x)  u ( x) . v( x  x)  u ( x  x) . v( x  x)  u ( x  x) . v( x  x) 1  lim  x x  0 v( x) . v( x  x) '

u ( x  x)  u ( x). v( x  x)  v( x  x)  v( x). u ( x  x)  1 x x  0 v( x) . v( x  x)

 lim 

u ' ( x) . v( x)  v ' ( x) . u ( x) u ' ( x) . v( x)  u ( x) . v ' ( x)  v( x) . v( x) v( x)2

La derivada del cociente de dos funciones derivables es igual al producto de la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, dividiendo la diferencia por el cuadrado del denominador. REGLA DE LA CADENA PARA LA DERIVACION DE FUNCIONES COMPUESTAS TEOREMA: Sea f la función compuesta de dos funciones u y v , f  u o v  u (v) . Si existen las derivadas

v ' ( x) y u ' ( y) donde y  v(x) , la derivada f ' ( x) también existe y está dada por la fórmula: f ' ( x)  u ' ( y ) . v ' ( x) Ejemplo



2 , donde u(x)  x 2

Sea f ( x)  2 x 2  5 x  3

y v( x)  2 x 2  5x  3 cuyas derivadas son

u ' ( x)  2 x y v ' ( x )  4 x  5 . Como f ( x)  u v( x) , entonces f ' ( x)  u '  v( x) . v ' ( x) , es decir f ' ( x)  2(2 x 2  5x  3) . (4 x  5) . Ejercicios 1) Hallar la derivada de las siguientes funciones:

b) f ( x)  cos cos (cos x)

a) f ( x)  sen 5 x 2 2) Sean f ( x) 

1 1

1 x

1

si x  0 y g ( x) 

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1

1 f ( x)

c) f ( x)  sen n x . cos nx

. Calcular f ' ( x) y g ' ( x)

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DERIVADA

RESUMEN DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES

 y  senu  y '  u ' cos u  y  cos u  y '  u ' senu  y  tgu  y '  u ' sec2 u  y  cot gu  y '  u ' cos ec 2u  y  sec u  y '  u ' sec u.tgu  y  cos ecu  y '  u ' cos ecu .cot gu  y  arcsenu  y '  u ' / 1  u 2  y  arccos u  y '  u ' / 1  u 2  y  arctgu  y '  u ' /1  u 2  y  arc cot gu  y '  u ' /1  u 2  y  arc sec u  y '  u ' / u u 2  1  y  arccos ecu  y '  u ' / u u 2  1  y  log a u  y '  u ' / u ln a  y  au  y '  u 'au ln a

DERIVACION IMPLICITA Sea la función implícita x 2  y 2 16 , derivando ambos miembros y teniendo presente que y  f (x) , por aplicación de la regla de la cadena tenemos que: 2 x  2 y y '  0 de donde y '  

x , y0 y

Ejemplo Encuentre la derivada de la siguiente función: 2 x 2 y  3xy 2  2 xy

 4 xy  2 x 2 y '  3 y 2  6 xy y '  2 y  2 x y ' 2 x 2 y '  6 xy y '  2 xy '  2 y  4 xy  3 y 2





y ' 2 x 2  6 xy  2 x  2 y  4 xy  3 y 2  y' 

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2 y  4 xy  3 y 2 2 x 2  6 xy  2 x

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DERIVADA

DERIVACION LOGARITMICA En algunos casos las derivadas de ciertas funciones son un tanto complejas, debido a que las funciones también son complicadas. Un método que ayuda a derivar tales tipos de funciones es la derivación logarítmica que es un método cuyo fundamento es una aplicación de la regla de la cadena. Supongamos que se forma una función compuesta de la función logaritmo natural con una función derivable. Es decir, sea f (x) una función derivable y sea la compuesta

g ( x)  ln f ( x)  x tal que f ( x)  0 y teniendo en cuenta también que sólo se puede calcular el logaritmo de cantidades no negativas, entonces deberíamos poner g ( x)  ln f ( x) aplicando la regla de la cadena tenemos que g ' ( x) 

1 f ' ( x) . f ' ( x)  f ( x) f ( x)

Si la derivada g ' ( x) se puede calcular de una u otra forma, entonces se puede obtener f ' ( x) directamente de la siguiente forma: f ' ( x)  f ( x) . g ' ( x) Ejemplo Si f ( x)  x 2 . cos x . (1  x 4 ) 7 . Calcular f ' ( x)



ln  f ( x)  ln x 2  ln(cos x)  ln 1  x 4



7

f ' ( x) 2 sen x 4x3   7 f ( x) x cos x 1 x4  2 sen x 28 x 3  f ( x)  f ( x)     4  x cos x 1  x  '

f ' ( x) 

'

f ( x) 

x 2 cos x  2 sen x 28 x 3      4 7  x cos x 1  x 4  1 x





2 x cos x



x 2 sen x



28 x 5 cos x

1  x  1  x  1  x 4 8 4 7

4 7

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La derivada f ' ( x) es una función que proviene de una función y  f ( x) . Volviendo a derivar la primera derivada f ' ( x) se obtiene otra función, llamada segunda derivada, la cual se denota por f '' ( x) y así sucesivamente. OTRAS NOTACIONES PARA LAS DERIVADAS  Notación de Arbogast: Se indica la derivada por D( f ) . Las derivadas de orden superior

f ' ' ; f ' ' ' ; ......; f (n) (Notación de Lagrange) se representa por D 2 ( f ) ; D 3 ( f ) ; ......; D n ( f ) y  Notación de Leibniz: Dado el cociente incremental donde  se denomina operador diferencia, el x dy límite del cociente incremental, es decir, la derivada f ' ( x) , se designa por . De ahí que la derivada dx dy y d  dy  d 2 y se transforma en: . Así tenemos por ejemplo que y de forma general  lim   dx x  0 x dx  dx  dx 2 d n y d  d n 1 y     dx n dx  dx n 1  Ejemplo a) Obtenga las primeras cinco derivadas de f ( x)  2 x4  6 x3  7 x 2  5x  10 y de g ( x) 

1 sec(2 x  1)

d2 b) Si f (0)  1 y g (0)  6 , ¿a qué es igual  xf ( x)  xg ( x) en x  0 ? dx 2 '

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'

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DERIVADA

APLICACIONES DE LA REGLA DE LA CADENA

dy dz Considerando los símbolos y  v(x) y z  u ( y) designando v ' ( x)  y u ' ( y)  tenemos que a partir dx

dy

de la función compuesta z  u( y)  u  v( x)  f ( x) aplicando la regla de la cadena para la derivada de f

dz dz dy tenemos que f ' ( x)  u '  v( x) . v ' ( x) , es decir que f ' ( x)   u ' ( y ) . v ' ( x)  dx

dy dx

Ejemplo Supongamos que se introduce un gas en un globo esférico a la razón de 50 cm 3  seg , supongamos también que la presión del gas permanece constante y que el globo tiene siempre forma esférica. ¿Cuál es la rapidez con que aumenta el radio del globo cuando su longitud es de 5 cm ? Solución

dV dV dr dV dr dr dV , entonces 50     50 / dt dr dt dr dt dt dr 4 3 dV dV Por otro lado V   r   4 r 2 en r  5 cm  100  3 dr dr dr 50 1 de ahí que:   cm / seg . dt 100 2  Como

Luego la rapidez con que aumenta el radio del globo cuando su longitud es de 5 cm es de

1 cm / seg 2

Ejercicios 1) Cada arista de un cubo se dilata a razón de 1 cm/seg. ¿Cuál es la razón de variación del volumen cuando la longitud de cada arista es 5 cm, y cuando es x cm? Resp: 75 cm3/seg ; 3x2 cm3/seg 2) Está entrando agua en un estanque cilíndrico a razón de 8 m3 por minuto. Si el radio del cilindro mide 2 m, ¿a qué velocidad sube el nivel del agua? Resp:

2



m / min

3) Una mujer, de pie en un acantilado observa un bote de motor con un telescopio, cuando el bote se aproxima a la playa que está directamente abajo de ella. Si el telescopio está 250 pies arriba del nivel del agua y si el bote se aproxima a 20 pies por segundo, ¿con qué rapidez cambia el ángulo del telescopio con respecto al bote cuando éste se encuentra a 150 pies de la playa? Resp:

1 rad / seg 17

4) Un barco navega paralelamente a una costa recta a una velocidad de 12 millas por hora y a una distancia de 4 millas. ¿Cuál es su velocidad de aproximación a un faro de la costa en el instante en que diste precisamente 5 millas del faro? Resp:

36 millas / hora 5

5) Un aeroplano vuela hacia el norte a 640 millas por hora y pasa por cierto pueblo al medio día. Un segundo aeroplano que va hacia el este a 600 millas por hora está directamente encima del mismo pueblo 15 minutos después. Si los aeroplanos vuelan a la misma altitud con qué rapidez se separan a la 01:15 pm? Resp: 872 nillas / hora 6) A 12 pies de altura de un camino recto y horizontal se encuentra en foco de luz. Sobre el camino y alejándose del foco con una velocidad de 168 pies por minuto; camina un niño de 5 pies de altura. Calcular la velocidad con que varía la longitud de la sombra del niño? Resp: 120 pies/min

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CALCULO I

DERIVADA

GUIA DE EJERCICIOS 1. Un punto material se mueve sobre una trayectoria según las funciones dadas abajo, donde S es el espacio dado en metros (m) y t el tiempo en segundos (s). Determine en cada caso la velocidad del punto material en el instante indicado: a) s(t )  t 2  2t  5 en el instante t 0  2 s b) s(t )  2 t 2  10t  1 en el instante t 0  3 s c) s(t )  t 2  3t en el instante t 0  2 s d) s(t )  t 3  t 2  2t  1en el instante t 0 1 s 2. La aceleración a es la variación instantánea de la velocidad v con relación al tiempo t en un instante t0, o sea, es la derivada de la velocidad v en el instante t0 : a(t 0 )  v ' (t 0 ) . Sabiendo que un punto material tiene velocidad expresada por v(t )  3t 2  1 , determine su aceleración en m/s2 , en los instantes: a) t 1 s b) t  4 s 3. Determine la ecuación de la recta tangente a la grafica de las siguientes funciones en el punto indicado: a)

f ( x)  x 2 en el punto x0 1

c) f ( x)  x 3 en el punto x0  2

b)

f ( x)  x 2  2 x  1 en el punto x0 1

d) f ( x)  x 5 en el punto x0 1

4. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a las siguientes curvas en los puntos indicados a) y  tg 2 x en el origen de coordenadas.

 x 1  y  arc sen   en el punto de intersección con el eje x.  2  c) y  arc cos3x en el punto de intersección con el eje y d) y  ln x en el punto de intersección con el eje x b)

e)

y  e1 x en los puntos de intersección con la recta y  1 2

5. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva x 2  y 2  2 x  6  0 en el punto cuya ordenada es y  3 . 6. Dada la parábola y 2  4 x . Calcula la longitud de los segmentos tangente y normal en el punto 1; 2  . 7. Obtenga la función derivada de las siguientes funciones:

f ( x)   2x 2 1 b) f ( x)  x a)

c)

f ( x)  3 x 2  2 x  1





d) g ( x)  x 2  3x  1 sen x e) g ( x) 

x senx

f) g ( x)  x 3  x 2

k) h( x)  x

g) f ( x) 1  senx

l) g ( x)  2 cos x

h) h( x)  senx  5 cos x

m) f ( x)  x 2 cos x

i) g ( x)  tgx

n) h( x) 

j) f ( x) 

x2 2x

x2 x 1

ñ) g ( x)  sec x

1 8. Si f ( x)  2  x  x 2 , calcular f ' ( 0 ) , f '   , f ' (1) , f ' (10 ) 2

9. Obtener la derivada de las siguientes funciones: (a) f ( x)  x 4 sen x

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(b) f ( x) 

x senx 1 x2

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CALCULO I

DERIVADA

10. Sean f1 , ...... , f n n funciones que admiten derivadas f '1 , ...... , f ' n . Dar una regla para la derivación del producto g  f1 . . . . . . f n y demostrarla por inducción. Demostrar que para aquellos puntos x , en los que ninguno de los valores f1 ( x) , ...... , f n ( x) es cero, tenemos

g ' ( x) f '1 ( x) f ' n ( x)   . .....  g ( x) f1 ( x) f n ( x) 11. Si f ( x)  ax  b senx  cx  d cos x , determinar valores de las constantes a , b , c , d tales que f ' ( x)  x cos x 12. Sea f ( x)  x 2 / 3 ¿Cuál es el dominio de f ?¿En qué puntos es continua?¿En qué puntos es derivable?

13. Si f ( x)  x  a . g ( x) , siendo g (x) continua en x  a , determinar la derivada de f en el punto x  a . Si definiéramos f ( x)  x  a . g ( x) ¿sería derivable en x  a la función f ? 14. Sea f una función que satisface las condiciones siguientes: (a) f ( x  y)  f ( x) . f ( y)

(c) lim g ( x) 1

(b) f ( x) 1  x . g ( x)

x 0

Probar que f ' ( x)  f ( x)

1 3

15. Sea f ( x)  x 3  2 x 2  3x  1 para todo x . Hallar los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente es horizontal. 16. Sea f ( x)  x 2  ax  b para todo x . Hallar valores de a y b tales que la recta y  2 x sea tangente a la gráfica de f en el punto (2 ; 4) 17. ¿Cuál es el coeficiente de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de cada lado? 18. Demostrar que el coeficiente de variación del volumen de una esfera, respecto al radio es igual al área. 19. Una función f está definida del modo siguiente:

 x 2 f ( x)    ax  b

si x  c si x  c

( a, b, c constantes). Hallar los valores de a y b (en función de c ) tales que

f ' (c) exista. 20. Dos funciones f y g admiten primera y segunda derivada en 0 y satisface las relaciones

f (0)  2 / g (0) ; f ' (0)  2 g ' (0)  4 g (0) ; g ' ' (0)  5 f ' ' (0)  6 f (0)  3 a) Póngase h( x)  f ( x) / g ( x) , y calcular h ' (0) b) Póngase k ( x)  f ( x) . g ( x) senx , y calcular k ' (0) c) Calcular el límite de g ' ( x) / f ' ( x) cuando x  0 21. Deducir la fórmula de la derivada de f ( x) 

u ( x) aplicando derivación logarítmica v( x)

22. Hallar la derivada de las siguientes funciones: a)

f ( x)  x  x  x

Re sp :

1 2 x  4 x x  x 8 x x x

b) f ( x) 

 ax b  ( a  0 ; b  0) ln  2 ab  a  x b  1

1/ 3

Re sp :

x x x

  x   a  bx 2 

a  b 

1

1/ 3

 1  x3   c) f ( x)    1  x3   

 1  x3    Re sp : 6  3 (1  x )  1  x 

d) f ( x)   x  1  x 2 

n x  1  x 2   Re sp : 



e)

f ( x)  e e

2x 2



x

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n

n

1 x2

x Re sp : e e  x

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CALCULO I

f)

f ( x) 

DERIVADA

ln x x x

Re sp :

ln x

ln x x 1 1 ln x

x

 

2



 x ln x . ln ln x 

1  si x   k   2  cos 4 x  sen 4 x x Re sp : x 1 x2

g) f ( x)  arc tg tg 2 x

Re sp :

h) f ( x)  arc cos 1  x 2

23. Dada la fórmula 1  x  x 2      x n 

 x  2ln x

sen2 x

x n 1  1 (válida si x  1) , determinar por derivación, x 1

fórmula para la siguiente suma: 1  2 x  3x 2      nx n 1





1 x a  a  x si a  0 . Probar que: f ( x  y)  f ( x  y)  2 f ( x) . f ( y) 2 dy x  y  y 25. Probar que si arctg    ln x 2  y 2  dx x  y x 26. Demuestre que la pendiente de la tangente a la función f (x) en (a ; b) es “m” sabiendo que f (x) es una función impar cuya gráfica posee una recta tangente con pendiente “m” en (a ; b) . k 27. Demostrar que la tangente a la curva de ecuación y  en el punto P( x0 ; y0 ) es la recta determinada x por P y el punto R(2 x0 ; 0) 24. Sea f ( x) 

28. Supóngase que exista la derivada f ' (a) . Indicar cuáles de las igualdades siguientes son ciertas y cuáles falsas. Expresar el fundamento de la decisión en cada caso:

f ( h)  f ( a ) ha h 0 f ( a )  f ( a  h) b) f ' (a)  lim h h 0 f (a  2t )  f (a) c) f ' (a)  lim t t 0 f ( a  2 t )  f (a  t ) d) f ' (a)  lim 2t t 0 a)

f ' (a)  lim 

TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES I) Teorema de Rolle: Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado a; b y f (x) es derivable en el intervalo abierto a; b  y f (a)  f (b) , entonces existe por lo menos un punto “c” en el intervalo abierto a; b  , es decir, a  c  b , tal que f ' (c)  0 . Ejemplo Sea la función f ( x)   x3  x definida en  1,1 . Como f es una función polinomial, es continua en  1,1 y es derivable en  1;1 . También, f (1)  f (1)  0 . Así que se satisfacen las hipótesis del teorema de Rolle. Se concluye que debe haber al menos un número en  1;1 para la cual f ' ( x)  3x 2  1 es cero. Para encontrar este número, se resuelve f ' (c)  0 , o bien 3c2  1  0 . Esta

conduce a dos soluciones en el intervalo, c1  

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3 3 y c2  . 3 3

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CALCULO I

DERIVADA

II) Teorema de Lagrange (Valor medio para derivadas): Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado a; b y f (x) es derivable en el intervalo abierto a; b  , entonces existe por lo f (b)  f (a) menos un punto “c” en el intervalo abierto a; b  , es decir, a  c  b , tal que f ' (c)  . ba Ejemplo Dada la función f ( x)  x3  12 x definida en  1;3 , ¿existe algún número c en  1;3 que satisfaga la conclusión del teorema de Lagrange? Puesto que f es una función polinomial, es continua en  1;3 y derivable en  1;3 . Se tiene que:  f (3)  9 y f (1)  11  f ' ( x)  3x 2  12 y f ' (c)  3c 2  12 Por consiguiente, debe tenerse que: f (3)  f (1) 20   3c 2  12 3  (1) 4 2 Así que 3c  7 . Aunque la última ecuación tiene dos soluciones, la única solución en  1;3 es c

7 . 3

III) Teorema de Cauchy: Sean f (x) y g (x) dos funciones continuas en el intervalo cerrado a; b y que tienen derivadas en el intervalo abierto a; b  que no se anulan simultáneamente, siendo g (b)  g (a) entonces existe c  a ; b tal que:

f (b)  f (a) f ' (c)  . g (b)  g (a) g ' (c) Ejemplos 1) Comprobar si se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones f ( x)  x 2  2 y g ( x)  x 3  1, en el intervalo 1; 2  y hallar “c”. 2) Comprobar si se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones f ( x)  sen x y g ( x)  cos x , en el intervalo  0 ;  / 2  y hallar “c”.

REGLA DE L’HOSPITAL Recordemos que en general, se dice que los límites: f ( x) f ( x) f ( x) ; lim ; lim lim x a g ( x) x  g ( x ) x  g ( x ) son formas indeterminadas si cuando “x” tiende a “a”, “  ” o a “  ” f ( x)  0 y g ( x)  0 o bien 0  f ( x)   y g ( x)   . Simbólicamente se denota una forma indeterminada por: o por . 0  0 k  k ; ; y en donde “k” es una constante distinta de cero, no son k 0 k  0 k formas indeterminadas. El valor de un límite cuya forma es o es cero, mientras que un límite k  k  cuya forma sea o bien , no existe. 0 k

Nota: límites de la forma

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CALCULO I

DERIVADA

Teorema de la Regla de L’Hospital: Supóngase que lim x a

lim x a

f ( x) es una forma indeterminada, y que g ( x)

f ( x) f ' ( x) f '( x) .  lim '  L o a “  ”. Entonces lim x a g ( x) x a g ( x ) g '( x)

Ejercicios Calcula los siguientes limites aplicando la regla de L’Hospital senx ln x tgt a) lim x  x b) lim c) lim  x 0 e  e x 1 t  2 tg 3t x 1 Extensión de la Regla de L’Hospital f ( x) f '( x) Supóngase que lim es una forma indeterminada, y que lim  L o a “  ”. Entonces x   g ( x ) x   g '( x) f ( x) f ' ( x) . lim  lim ' x  g ( x ) x  g ( x )

Ejercicios Halla los siguientes límites 6 x2  5x  7 a) lim x  4 x2  2 x

x4 x  e 2 x

b) lim

Utilización de la Regla de L’Hospital en las formas:    ; 0  ; 00 ;  0 y 1 Ejercicios 1) Calcula los siguientes límites aplicando la regla de L’Hospital senx 1/ x 1  3 x 1  1 a) lim  e) lim 1  x    b) lim x  sen   c) lim x1/ln x d) lim  cot gx  x  0 x 0 x  x  0 x  0  senx x  x 2) Del libro Tom Apóstol (Volumen I ): Pág 356. Ej.7.11 del 6 al 29 Pág 362. Ej 7.13 del 1 al 14 Pág 371. Ej 7.17 del 1 al 26

DIFERENCIAL Iniciamos el tema de la derivada con el problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función y  f ( x) . En la figura de abajo se muestra que el punto de partida para resolver este problema fue la consideración de y

tangente

secante

y  f ( x)

msec 

y

f ( x  x)  f ( x) y  x x x

x

Para valores pequeños de x , msec  mtg o bien escribirse

y  f ' ( x) o bien y  f ' ( x)x . x

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x  x

x

y  mtg . Pero sabiendo que mtg  f ' ( x) puede x

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CALCULO I

DERIVADA

Definición: Al incremento x se le llama la diferencial de la variable independiente x y se denota por dx; esto es, dx  x Definición: A la función f ' ( x)x se la llama la diferencial de la variable dependiente y, y se denota por dy; esto es dy  f ' ( x)x  f ' ( x)dx

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA Puesto que la pendiente de una tangente a la gráfica es ascenso f ' ( x)x mtg   f ' ( x)  , x  0 avance x resulta que el ascenso de la recta tangente se puede interpretar como dy. Puede verse en la figura que cuando x es muy pequeño ( x  0 ), y  dy . dy dx tiene la apariencia de un cociente. Para calcular dy, parece como si se multiplicaran ambos miembros de la dy igualdad  f ' ( x) por el dx denominador de la izquierda. Aunque este no es el caso, estrictamente hablando, puede procederse de esta manera formalmente Nota: El símbolo de la derivada

tangente

y

y

( x, f ( x)) x  dx

x

x  x

x

Propiedades fundamentales de las diferenciales  dc  0 , donde c es una constante  d  cu   cdu 

d  u  v   du  dv



d  uv   udv  vdu



 u  vdu  udv d  ;(v  0) v2 v

Ejemplos 1) Obtenga y y dy para y  5x 2  4 x  1 2) Comparar los valores de y y dy para x  6, x  dx  0,02 3) Halla dy, si x2  2 xy  y 2  a 2 4) Halla dy, si y  x 2 cos3x

APROXIMACIONES Cuando x  0 , las diferenciales proporcionan una manera de “predecir” el valor de f ( x  x) conociendo el valor de la función y su derivada en x. Si x varía en una cantidad x entonces la variación correspondiente de la función es y  f ( x  x)  f ( x) y de esta manera f ( x  x)  f ( x)  y , pero como y  dy para una variación pequeña de x, puede escribirse f ( x  x)  f ( x)  dy . Esto es: f ( x  x)  f ( x)  f ' ( x)dx . Prof. MSc. César Cabrera

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CALCULO I

DERIVADA

Ejemplos 1) Encontrar una aproximación a: a) 25, 4 b) cos 61º c) e0,2 d) ln 0,9 e) tg 44º f) arctg1,05 2) La medida efectuada a la arista de un cubo es de 30cm, con un error posible de 0, 02 cm. ¿Cuál es el error máximo posible aproximado en el volumen del cubo? 3) La medida del radio de un tronco ha dado 28 cm, con un margen de error de ¼ cm. Determina el posible error que se cometerá al calcular con ese dato el área de la sección del tronco.

DIFERENCIAL DE ORDEN SUPERIOR Si y  f ( x) y x es la variable independiente, se llama diferencial de segundo orden a la diferencial de la diferencial de primer orden, o sea, d 2 y  d  dy   y ''  dx  y de forma general d n y  y ( n )  dx  . n

2

Cuando y  f (u ) donde u  g ( x) , se tiene: d 2 y  y ''  du   y 'd 2u ; d 3 y  y '''  du   3 y ''du.d 2u  y 'd 3u , etc.(Las apóstrofes designan derivación con respecto a la variable u) 2

3

Ejemplo Calcular d 2 y , si y  cos5x

ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES FUNCIONES CRECIENTE Y DECRECIENTE: Dada una función f continua en el intervalo  a; b  y derivable en el intervalo a; b  , tenemos: 1º) Si f ' ( x)  0 en a; b  , entonces f es creciente en  a; b  . 2º) Si f ' ( x)  0 en a; b  , entonces f es decreciente en  a; b  . 3º) Si f ' ( x)  0 en a; b  , entonces f es constante en  a; b  . Ejemplos 1. Dada la función f ( x)  2 x  3 , verifique en que intervalo la función es creciente. 2. ¿En qué intervalo la función f ( x)   2 x  2 es decreciente? 3. ¿En qué intervalo la función cuadrática definida por f ( x)  x 2  x  6 es creciente o decreciente? 4. Dada la función f ( x)  x 3  6 x 2  9 x  1 : a) Determine los intervalos en que f es creciente o decreciente. b) Halle los puntos en los cuales la recta tangente a la curva sea paralela al eje x. MAXIMOS Y MINIMOS Dada la función y  f ( x) , se dice que el punto c del dominio de f es un punto crítico si:

f ' (c)  0 , o b) no existe f ' (c) , o a)

c) c es el extremo del dominio de f. La función alcanza su valor máximo relativo en el punto x  x0 si f ( x0 ) es el mayor valor de la función en puntos suficientemente cercanos a x0 . Igualmente, la función alcanza su valor mínimo relativo en el punto x  x1 si f ( x1 ) es el menor valor de la función en puntos suficientemente cercanos a x1 . Prof. MSc. César Cabrera

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CALCULO I

DERIVADA

Los valores máximo relativo y mínimo relativo se llaman máximo absoluto y mínimo absoluto respectivamente, si corresponden al mayor o menor valor que toma la función para todo x de su dominio. Si la función tiene valor máximo o mínimo relativos, estos son alcanzados necesariamente en el (los) punto(s) crítico(s) de la misma TEOREMA: (Criterio de la primera derivada para extremos relativos) Si “c” es un punto crítico de una función f y existe un intervalo cerrado  a; b  con c en a; b  , tal que f es continua en a; b  , y a)

f ' ( x)  0 para x en  a ; c  y f ' ( x)  0 para x en  c ; b  , entonces f tiene un máximo relativo en c.

b)

f ' ( x)  0 para x en  a ; c  y f ' ( x)  0 para x en  c ; b  , entonces f tiene un mínimo relativo en c.

c) Si para x  c , x en a; b  , es f ' ( x)  0 , o es f ' ( x)  0 , entonces f no tiene ni un máximo relativo ni un mínimo relativo en el punto c. TEOREMA: (Criterio de la segunda derivada): Si “c” es un punto crítico de una función f derivable en

N  c, r  y admitiendo la derivada de segundo orden ( f ' ' ( x)) , entonces: a) Si f '' (c)  0 , entonces f tiene un mínimo relativo en c. b) Si f '' (c)  0 , entonces f tiene un máximo relativo en c. c) Si f '' (c)  0 y f ''' (c)  0 , entonces f no admite extremo relativo en c; en caso contrario el criterio no es concluyente. Nota: 1) Si una función es derivable se dice que la función es cóncava hacia arriba si f ' es creciente y cóncava hacia abajo si f ' es decreciente. Es decir, f es cóncava hacia arriba si f ''  0 y cóncava hacia abajo si

f ''  0 .La gráfica de una función cóncava hacia arriba está ubicada por encima de cualquiera de sus rectas tangentes y la correspondiente a una función cóncava hacia abajo está ubicada por debajo de cualquiera de sus rectas tangentes. 2) Punto de inflexión es aquel punto de la curva en el que su tangente la separa en dos partes, una de las cuales es cóncava hacia abajo y la otra es cóncava hacia arriba. En los puntos de inflexión la segunda derivada es cero o no existe. 3) Si y  f ( x) es la ecuación de una curva, entonces: a) La recta de ecuación x  a es una asíntota vertical de la curva si lim f ( x)   , o si x a

lim f ( x)  

x a

b) La recta de ecuación y  b es una asíntota horizontal de la curva si lim f ( x)  b , o si x 

lim f ( x)  b

x 

c) La recta de ecuación y  m1 x  b1 es una asíntota oblícua a la derecha si existen los límites

f ( x)  m1 y lim  f ( x)  m1 x   b1 . La recta de ecuación y  m2 x  b2 es una asíntota oblícua x  x  x f ( x) a la izquierda si existen los límites lim  m2 y lim  f ( x)  m2 x   b2 . x  x  x lim

Ejercicios 1. Considere las siguientes funciones: i) f ( x)  x 3 

15 2 x  18 x 2

ii) f ( x)  x 4/3  4 x1/3

iii) g ( x)  x 2  4

Determine: a) Los puntos críticos de f b) Los puntos de máximo y mínimo relativo c) Los valores de máximos y mínimos relativos. d) Punto de inflexión. e) Los intervalos de concavidad 2. Halla las asíntotas de las curvas a) y 

x2  1 x 1 2

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x2 b) y  2 x 4

c) y 

senx x

d) y  ln(1  x)

e) y 

1 1  ex

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CALCULO I

DERIVADA

APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS 1) Demostrar que entre todos los rectángulos de área dada, el cuadrado es el de perímetro mínimo. 2) Un granjero tiene “L” metros de alambre para cercar un terreno de pasto rectangular adyacente a un muro de piedra. ¿Qué dimensiones darán el área máxima al terreno cercado? Resp: L/4 ; L/2 3) Un granjero quiere cercar un terreno de pasto rectangular de área A, adyacente a un muro de piedra. ¿Qué dimensiones exigen la mínima cantidad de alambre de cerca? Resp: A / 2 ; 2 A 4) Cada lado de un cuadrado tiene una longitud “L”. Demostrar que entre todos los cuadrados inscriptos en el cuadrado dado, el de área mínima tiene lados de longitud

1 L 2 2

5) Cada lado de un cuadrado tiene una longitud “L”. Hallar el tamaño del cuadrado de máxima área que puede circunscribirse al cuadrado dado. Resp: L 2 6) Demostrar que entre todos los rectángulos que puede inscribirse en un círculo dado el cuadrado tiene el área máxima. Resp: l  R 2 7) Entre todos los cilindros circulares rectos de área lateral dada, demostrar que la menor esfera circunscripta tiene el radio igual al radio del cilindro multiplicado por

2.

8) Hallar el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo, teniendo la base inferior en el

2r y

diámetro. Resp:

2 r 2

9) Una caja abierta está construida con un rectángulo de cartón quitando cuadrados iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los bordes. Hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede construirse de tal modo si el rectángulo tiene como lados 12 y 18. Resp: 2  2 7 ; 8  2 7 ; 5  7 10) Si “ a y b ” son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 1, hallar el mayor valor de

2a  b Resp:

5

11) Un camión ha de recorrer 300 km en una carretera llana a velocidad constante de x km por hora. Las leyes de circulación prescriben 35  x  55 . Se supone que el carburante cuesta a 3 ptas litro y que el consumo es de 10 

x2 litros por hora. Si el conductor cobra P pesetas por hora y si obedece todas las leyes de 120

tráfico, determinar cuál es la velocidad más económica y el costo del viaje si P = 40. Resp: 20 7 km / h y 792 ptas 12) Se dobla una página de manera que la esquina derecha inferior llegue a coincidir con el lado izquierdo de la misma (véase figura). Si la anchura de la página es 15,24 cm, hallar la longitud mínima del pliegue. ¿Cuál es el ángulo que forma este pliegue mínimo con el lado derecho de la página?. Se supone la página suficientemente larga para evitar que el pliego alcance la cabecera de la página. Resp: 11,43 3 cm y 45º

13) Una ventana tiene forma de rectángulo terminado por un semicírculo de diámetro igual a la base del rectángulo. La porción rectangular ha de ser de cristal transparente y la parte circular ha de ser de cristales de color que admite sólo la mitad de luz por metro cuadrado que el cristal transparente. El perímetro total de la ventana ha de tener longitud fija P. Hallar, en función de P, las dimensiones de la ventana que deja pasar la mayor cantidad posible de luz. Resp: base: 4P /(3  8) ; altura : P(4   ) /(6  16) . Prof. MSc. César Cabrera

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CALCULO I

DERIVADA

14) El beneficio neto semanal, en miles de guaranies, de una empresa viene dado por la función B( x)  30000 x  x3 donde x es el número de productos fabricados y vendidos. ¿Cuál es la producción semanal que maximiza el beneficio?¿Cuánto es el beneficio máximo correspondiente a dicha producción? Resp.: x = 100 u; 2 000 000 Gs. semanales. 15) Si el número de turistas que hacen un recorrido en autobús a una ciudad es exactamente 30, una empresa cobra 20 dólares por persona. Por cada persona adicional a las 30, se reduce el cobro personal en 0,50 dólares. ¿Cuál es el número de turistas que debe llevar un autobús para maximizar los ingresos de la empresa? Resp.: 35 16) La energía potencial entre dos átomos en una molécula biatómica está dada por U ( x) 

2 1  6 .Encuentre 12 x x

la energía potencial mínima entre los dos átomos. Resp.: -1/8 17) Los médicos utilizan varias fórmulas empíricas para graduar una dosis infantil Dc de un fármaco particular t en términos de una dosis de adulto Da . La fórmula de Young establece que Dc  Da en donde t es la t  12 t 1 edad en años, mientras que la fórmula de Cowling establece que Dc  Da .¿Para qué edad resulta 12 máxima la diferencia entre las dos fórmulas?¿Cuál es la diferencia máxima? Resp.: 12





2  1  5 años; 0,04 Da .

18) Una pila eléctrica con fuerza electromotriz (fem) E y resistencia interna constante r está conectada en serie E . Encuentre el valor de R rR para el cual es máxima la potencia P  RI 2 disipada en la carga externa. Dicho valor se llama impedancia de acoplamiento.

con un resistor de resistencia R. Entonces la corriente en el circuito es I 

Prof. MSc. César Cabrera

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