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INTRODUCCION En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

(donde

es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi')

Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función A paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada. Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Contenido [ocultar]      

1 Introducción 2 Ejemplos 3 Definición formal 4 Notación o 4.1 Termodinámica 5 Derivadas parciales de orden superior 6 Véase también

[editar] Introducción Supón que ƒ es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,

Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x. Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que mas interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.

Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1. Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:

en el punto (1, 1, 3), o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

[editar] Ejemplos

El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r) 

Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:



Otro ejemplo, dada la función

tal que:

la derivada parcial de F respecto de x es:

mientras que con respecto de y es:

[editar] Definición formal Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto a la i-ésima variable xi como:

O visto respecto a la derivada direccional:

donde

es el vector

unitario del eje respecto al que se deriva (xi). Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C1.

[editar] Notación Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y. 

Derivadas parciales de primer orden:

Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:

Derivadas cruzadas de segundo orden:

[editar] Termodinámica En termodinámica y otras áreas de la física se emplea la siguiente notación:

Que significa que

y entonces:

Esta notación se usa porque frecuentemente una magnitud puede expresarse como función de diferentes variables por lo que en general:

Ya que la forma precisa de las funciones se trata de funciones diferentes.

y

es diferente, es decir,

[editar] Derivadas parciales de orden superior A su vez, la derivada parcial puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C2; en este caso, las derivadas parciales (llamadas cruzadas) pueden ser intercambiadas por el teorema de Clairaut también conocido como teorema de Schwartz.

En R2, si se cumple lo ya dicho, se asegura que:

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Recordemos que la gráfica de entonces el punto

está sobre la superficie

interseca a la superficie sobre el plano superficie

de su recta tangente la función

en la curva

(es decir,

en el punto

es

,

es la traza de la superficie

. Ambas curvas pasan por el punto es la gráfica de la función

. Si

. El plano vertical

. De manera semejante, el plano vertical

en la curva

Observe que la curva

representa una superficie

interseca a la .

de manera que la pendiente La curva

así que la pendiente de su tangente

es la gráfica de

en el punto

es

En las ligas [Ver en 3D - LG3D], puede arrastrar el punto P sobre la curva C

Figura 1: derivada parcial en P respecto a x [Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview]

Figura 1: derivada parcial en P respecto a y [Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview]

Por consiguiente, las derivadas parciales

y

pueden interpretarse

geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas el punto , respectivamente.

y

en

Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si , entonces cuando

representa la razón de cambio de

permanece fija. De manera semejante,

con respecto a

, cuando

con respecto a

,

representa la razón de cambio de

permanece fija.

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide

y el plano

, cuando

.

Solución En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por

con lo cual, la recta es :

, pero pasa por el punto

y así

En la figura 1 se muestra la recta tangente

Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:

y la parábola

La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 2.

Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview]

Figura 4: Tangente en P

Ejemplo 8 El plano interseca al elipsoide formando una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse el el punto . Solución

La ecuación , entonces :

define a

implícitamente como una función de

e

Con lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por

Pero como la recta tangente pasa por el punto

De donde su ecuación es :

;

, entonces

y sus ecuaciones paramétricas son

Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview]

Observación : si parciales

y

es una función de dos variables

e

, entonces sus derivadas

también son funciones de dos variables, de modo que podemos

considerar sus derivadas parciales

y

, las cuales cuales se

llaman segundas derivadas parciales de notación :

Si

La notación

o

con respecto a

, mientras que para calcular

significa que primero derivamos con respecto a

Ejemplo 9

Calcule las segundas derivadas parciales de Solución Las primeras derivadas parciales están dadas por :

Entonces tenemos que :

, utilizamos la siguiente

el orden se invierte.

y luego

Observación : note que las derivadas parciales mixtas y en el ejemplo anterior, son iguales. Esto no es una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713 1765), da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da.

Teorema (igualdad de las derivadas mixtas)

Sea centro en continuas en

una función escalar donde y radio

es un disco abierto con

, entonces si las funciones

y

son

entonces

Las derivadas parciales de orden 3 o superior también se pueden definir como

y al usar el teorema de Clairaut, se puede demostrar que funciones son continuas.

si estas

Ejemplo 10 Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes físicas. Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial

se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel fundamental en las aplicaiones relacionadas con conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico.Compruebe que la función de Laplace.

satisface la ecuación

Solución. Las primeras derivadas parciales están dadas por

con lo cual

de donde

Ejemplo 11 La ecuación de onda

donde es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante. Si y son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la función

satisface la ecuación de onda.

Solución Las derivadas de

con respecto a

están dadas por :

Las derivadas de

con respecto atestan dadas por :

Sustituyendo obtenemos que

Ejemplo 12 Si y son funciones doblemente derivables de una sola variable, compruebe que la función

satisface la ecuación diferencial parcial

Solución Las derivadas de

con respecto a

están dadas por :

Sustituyendo

Ejemplo 13 Si se dijera que existe una función y

cuyas derivadas parciales son ¿usted lo creería?

Solución Por el teorema de Clairaut, puesto que y en todo debieran ser iguales. Por lo tanto no existe tal función.

son continuas

Ejemplo 14 Una barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular y de forma tal que a metros de su extremo izquierdo y en el instante minutos, su temperatura en grados centígrados esta dada por

con 1. Trace la gráfica de

para

y

2. Calcule y ¿Cuál es la interpretación práctica (en términos de temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qué cada una tiene el signo que tiene.

3. Calcule temperatura?

¿Cuál es su signo?. ¿Cuál es su interpretación en términos de

Solución 1. La gráfica de las funciones

y

se muestran en la figura 2.

Figura 6

Observe que la figura nos indica la temperatura inicial en cada punto de la barra y la temperatura después de un minuto. Note que el punto más caliente de la barra en cualquier instante está a 0.5 metros del extremo izquierdo (! !).

2. La derivada parcial respecto a al evaluar obtenemos que

esta dada por

como esta derivada parcial es decreciente conforme cualquier valor de

y

crece y positiva para

concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las

pendientes de las rectas tangentes a son positivas y van siendo más pequeñas conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.2 metros del extremo izquierdo. El signo positivo de la derivada nos indica que cuando vamos en la

dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura aumenta.

Por otro lado,

observe que en este caso tenemos como la derivada parcial es creciente conforme crece y negativa para cualquier valor de , concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes a son negativas y van siendo más grandes conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.8 metros del extremo izquierdo. El signo negativo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura disminuye. Las siguientes tablas de valores y la gráfica 1 nos permiten observar con claridad lo explicado antes.

0

254.16

58.7785

10 20 30 40 50

93.5003 34.3968 12.6539 4.65511 1.71252

21.6234 7.95641 2.92641 1.07657 0.39605

3. La derivada parcial respecto a Observe que

para

0 10 20 30 40 50

-254.16 -93.5003 -34.3968 -12.6539 -4.65511 -1.71252

58.7785 21.6234 7.95641 2.92641 1.07657 0.39605

está dada por y cualquier valor de

y

para y cualquier valor de lo cual nos permite concluir que la temperatura va aumentando desde cero hasta llegar a la mitad de la barra y luego va disminuyendo hasta cero, es decir, que la parte más caliente de la barra es la mitad.

Ejemplo 15 Las ecuaciones

definen a y como funciones de las variables independiente términos de y . Solución Para calcular

derivemos las ecuaciones (4) respecto a

Ahora usemos la regla de Cramer para hallar

e

. Exprese

en

De donde

Ejemplo 16

Compruebe que la función de Laplace en derivadas parciales

satisface la ecuación diferencial

Solución Calculemos las derivadas parciales

y al sumar (5), (6) y (7) obtenemos el resultado deseado.

Definición (vector gradiente)

Sea gradiente de

Observación: si

una función escalar de dos variables, entonces el es la función vectorial

definida por

es una función escalar de tres variables su gradiente esta dado por

Ejemplo 17 Si

calcule

Solución El gradiente está dado por :

y evaluando

1. Introducción

La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:    

No se adecúan al modelo concreto. Su aplicación resulta excesivamente compleja. La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior. Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema.

En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numérica. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos1.

INTRODUCCIÓN En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente. Los métodos numéricos que resuelven los sistemas se pueden clasificar en directos e indirectos. Los métodos directos son aquellos que determinan la solución en un numero determinado de pasos. Los métodos iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella en un numero finito, pero no definido de pasos. La siguiente entrega pretende encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales por los métodos anteriormente mencionados. Como los algoritmos de los métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto sobre la materia, se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación(personales)de los métodos directos(que son mas difíciles de programar). El lenguaje de programación idóneo para tal fin será matlab 6.0

CONCLUSIONES Ventajas y desventajas de los métodos iterativos comparados con los métodos directos. Ventajas *Probablemente más eficientes que los directos para sistemas de orden muy alto. *Mas simples de programar. *Puede aprovecharse una aproximación a la solución ,si tal aproximación existe. *Se obtienen fácilmente aproximando burdas de la solución. *Son menos sensibles a los errores de redondeo(valioso en sistemas mal condicionados). *Se requiere menos memoria de máquina.Generalmente, las necesidades de memoria son proporcionales al orden de la matriz. Desventajas *Si se tienen varios sistemas que comparten la matriz coeficiente, esto no representará ahorro de cálculos ni tiempo de máquina, ya que por cada vector a la derecha de A tendrá que aplicarse el método seleccionado. *Aún cuando la convergencia este asegurada, puede ser lenta y ,por lo tanto, los cálculos requeridos para obtener una solución particular no son predecibles. *El tiempo de máquina y la exactitud del resultado dependen del criterio de convergencia. *Si la convergencia es lenta, los resultados deben interpretarse con cautela. *No se tiene ventaja particular alguna(tiempo de máquina por iteración) si la matriz coeficiente es simétrica. *No se obtiene la inversa de A ni el determinante de A. BIBLIOGRAFÍA -INTRODUCCION AL ÁLGEBRA LINEAL. Antón Howard. 2da Ed -METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS. Chapra/Canale

Mc-Graw Hill. 4a Ed ESVEN SALOMON MORALES BITAR esvenmobit[arroba]hotmail.com UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARIBE INGENIERIA DE SISTEMAS BARRANQUILLA / ATLANTICO

Métodos numéricos. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. Cifras significativas. Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. 1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. 2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Exactitud y Precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. Error. En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el obtenido por aproximación se define como: Error = Valor real -valor estimado En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado. Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor : Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este. Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como:

Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido. Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de: Es=(0.5x 102-2)%=0.5% Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado en Es