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• IsrAel Perez Trejo

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MÉTODOS NUMÉRICOS ANÁLISIS NUMÉRICO. Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; error aquí no quiere decir un disparate, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas. Otra definición de análisis numérico podría ser el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función. Un especialista de análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su variación. El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo. Si bien no nos interesa la construcción de tal dispositivo o la manera en que funciona, si nos importarán los sistemas numéricos de máquinas en contraposición con nuestro sistema de números reales, y los errores resultantes de cambiar de uno a otro sistema. Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como algunos de ellos deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales. Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real. MÉTODOS NUMÉRICOS. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y

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así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. CIFRAS SIGNIFICATIVAS. Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. 1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. 2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. PRECISIÓN Y EXACTITUD Precisión se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella. Exactitud se refiere a que tan cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacta es una estimación.

La exactitud (accuracy en el dibujo) indica los resultados de la proximidad de la medición con respecto al valor verdadero, mientras que la precisión con respecto a la repetitibilidad o reproductibilidad de la medida En ingeniería, ciencia, industria y estadística, exactitud y precisión no son equivalentes.

densidad de PROBABILIDAD

0.6 VALOR DE REFERENCIA

0.5

EXACTITUD 0.4

0.3

0.2

0.1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

PRECISIÓN

2

Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero. EJEMPLO Varias medidas son como disparadas hacia un objetivo. La exactitud describe la proximidad de las flechas al centro del objetivo. Las flechas que impactaron más cerca del centro se consideran más exactas. Cuanto más cerca están las medidas a un valor aceptado, más exacto es un sistema. La precisión, en este ejemplo, es el tamaño del grupo de flechas. Cuanto más cercanas entre sí estén las flechas que impactaron el objetivo, más preciso será el sistema. Hay que notar que el hecho de que las flechas estén muy cercanas entre sí es independiente al hecho que estén cerca del centro del objetivo. En sí, se puede decir que la precisión es el grado de repetitividad del resultado. Se podría resumir que exactitud es el grado de veracidad, mientras que precisión es el grado de reproductibilidad.

Alta exactitud, pero baja precisión

Alta precisión pero baja exactitud

EJEMPLO Un reloj analógico, de manecillas, desplaza su minutero "sólo de minuto en minuto", si bien lo hace en absoluta sincronía con el horario oficial o "real" (que es el objetivo ). Un segundo reloj utiliza minutero, segundero, incluso está dotado de un sistema de medición de décimas de segundo. Si observamos que su horario, no coincide plenamente con el horario oficial o real (que sigue siendo el objetivo de todo reloj), concluiremos que el primer reloj es altamente exacto, aunque no sea preciso, mientras que el segundo, es altamente preciso, aunque no se muestra exacto...al menos en nuestro ejemplo. ERROR. En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exacto y el obtenido por aproximación se define como: Error = Valor real -valor estimado En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado. Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor:

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Er = Error relativo (fracción) = error estimado /valor verdadero Como el valor de Er puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este. Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error porcentual como:





E s  0.5 x 10 2n %

Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido. Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de: Es=(0.5x 10 2-2)%=0.5% Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado en Es ERROR DE REDONDEO Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre e17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo Por ejemplo, el valor de "e" se conoce como 2.718281828... hasta el infinito. Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo un error de E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008... Sin embargo, como no consideramos que el número que seguía al corte era mayor que 5, entonces nos convenía dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error sería solo de E = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002. , que en términos absolutos es mucho menor que el anterior. En general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas.

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ERRORES DE TRUNCAMIENTO. Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta). En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces. ERROR NUMERICO TOTAL El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo). Entonces, ¿qué criterio utilizamos? ...lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento. Pero como se ha dicho antes, es lo ideal; en la práctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total.

CONCLUSIONES El estudio de los métodos numéricos, es muy útil y por ende importante para quien quiera que necesite herramientas para resolver operaciones, las cuales se sabe que pueden resultar complicadas por más que se dominen los métodos tradicionales, estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin embargo, esto no quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera. El hecho de que se tomen tan en cuenta los errores, no nos deja cerca de la perfección pero al considerarlos,. al menos no da una idea de con que contamos y con que no, así podemos tomar decisiones informadas y por lo tanto pienso yo que mejores. Además pasando a la parte práctica, su estudio nos puede ayudar a modificar, entender e incluso simplificar algún tipo de software que los maneje, esto resulta mucha ventaja para el usuario, pues si conoces lo que haces lo puedes usar con más provecho y optimización. En pocas palabras las aplicaciones de los métodos numéricos son muy variadas y necesarias, especialmente parta las ingenierías como ya lo expresé anteriormente, con esto, puedo concluir

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que me interesa su estudio, y sobre todo aprenderlos y manejarlos bien, porque ahora veo que en un futuro no muy lejano es muy probable que los necesite aplicar. TAREA I 1. Define los siguientes conceptos: : Error de redondeo, Error de truncamiento, error inherente, exactitud, precisión y cifras significativas 2. Explica brevemente la propagación de errores bajo la suma 3. Explica brevemente la propagación de errores bajo el producto (multiplicación) 4. Explica brevemente la propagación de errores bajo la división 5. Explica brevemente la propagación de errores bajo la evaluación de funciones 6. Explica el orden de precedencia de las operaciones en la computadora POLINOMIO DE TAYLOR 1.- Emplea la expansión de la serie de Taylor para predecir f(2) en f ( x)  25 x 3  6 x 2  7 x  88 a) Desde cero hasta tercer orden b) Calcula el error verdadero porcentual c) Calcula el error aproximado y analice el resultado 2.- Use la expansión de la serie de Taylor para estimar f(3) si f(x)=ln x utilizando x=1 como punto base. a) De cero al cuarto orden b) Calcule el error relativo porcentual para cada aproximación analice el resultado. 3.- Obtenga el polinomio de Taylor de tercer orden p3 (x) para la función f(x)= x  1 en torno a x 0 =0 aproxime

0.5 , 0.75 , 1.25 , 1.5 usando , p3 ( x) y calcule los errores reales.

4.- determine polinomio de Taylor de segundo p 2 (x) para la función f ( x)  e x cos x , entorno ax0 =0 a) Use p 2 (0.5) para aproximar f(0.5). b) Calcula el error verdadero porcentual c) Calcula el error aproximado y analice el resultado 5.- Determine el tercer polinomio de Taylor p3 (x) para la función f ( x )  ( x  1) ln x respeto a x0  1 a) Use p 2 (0.5) para aproximar f(0.5). b) Calcula el error verdadero porcentual c) Calcula el error aproximado y analice el resultado

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SERIE DE TAYLOR. Si f  x  es una función analítica (esto es, tiene un infinito número de derivadas) en el punto x0 , entonces se puede proponer la siguiente expresión 

n

1

2

3

f  x    an x  xo   a0  a1  x  xo   a 2 x  xo   a3  x  xo    n 0

conocida como serie polinomial, la cual indica que la función f  x  se puede escribir mediante un polinomio de grado infinito. Para determinar el valor de los respectivos coeficientes an de la serie se puede proceder de la siguiente manera: evaluando la función f  x  en x  x0

Para n =0,

1

2

3

f  x0   a0  a1  x0  x0   a2 x0  x0   a3 x0  x0    1

2

3

 a0  a1 0   a 2 0   a3 0   

 a0 , por lo tanto a0  f  x0  Para n =1, Derivando primero la función f  x  respecto de x, y aplicando la propiedades lineales de la derivada d 1 2 3 a0  a1  x  x0   a 2 x  x0   a3 x  x0    dx d d d d  1 2 3   a0   a1 x  x0   a 2  x  x0   a3  x  x0    dx dx dx  dx 

f x0  













1

2





3

 0  a1  2a 2 x  x0   3a3 x  x0   4a 4 x  x0   

Evaluando la derivada f  x  en x  x0 1

2

3

f  x0   a1  2 a2  x0  x0   3a3  x0  x0   4a 4 x0  x0   1

2

3

 a1  2a 2 0   3a3 0   4 a4 0     a1

por lo tanto a1  f  x0  Para n =2, obteniendo la segunda derivada de la función f  x  respecto de x, y aplicando la propiedades lineales de la derivada

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d  f x   d a1  2a 2 x  x0 1  3a3 x  x0 2  4a4  x  x0 3   dx dx 1 2 3  2 a2  2 3a3 x  x0   34 a4  x  x0   4 5a5 x  x0   



f x0  



Evaluando la segunda derivada f  x  en x  x0 1

2

3

f x0   2 a2  2 3a3 x0  x0   34 a4  x0  x0   4 5a5 x0  x0    1

2

3

 2 a2  2 3a3 0   34 a4 0   4 5 a5 0     2a 2

por lo tanto 1 f  x0  2 El proceso anterior se repite para obtener cada uno de los coeficientes an , el resultado general es a2 

an 

1 n f  x0  , n!

entonces la fórmula general para la serie es 

f x    n 0

f n   xo  x  xo n n!

La cual es conocida como serie de Taylor Puesto que el coeficiente se divide entre el n! la relevancia de los términos va disminuyendo rápidamente, además, no es posible considerar una suma infinita, solo se podrá considerar n términos, por lo que la serie se divide en dos partes

f x   Px   Rx  donde P  x   f  xo   f  xo  x  xo  

R x    

n  f  xo  x  xo 2    f xo  x  xo  2! n!

n 2  f n 1  xo  x  xo n1   f xo  x  xo n 2   n  1 ! n  2 !

P x  es un polinomio de orden n llamado polinomio de Taylor, y R x  es el residuo. Como los coeficientes del polinomio dependen de 1 , la parte importante del desarrollo en serie se n! encuentra en P x  . Mientras que el valor del término R x  puede aproximarse a

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Rx  

f n1 E  x  xo n n  1 !

para algún valor E, tal que xo  E  x , Así, si una función es continua y diferenciable dentro del intervalo de interés, puede ser escrita como una serie de potencia finita, o serie de Taylor. Este método se utiliza para transformar funciones ya conocidas y diferenciables a unas de más fácil manejo. Existen ciertas observaciones que deben conocerse al aplicar esta fórmula. Por ejemplo, para tener una mejor aproximación de la función a un intervalo [a, b], el valor de xo debe elegirse lo más cercano posible al centro de dicho intervalo. De esta manera se minimiza la contribución máxima del término (x - xo) n+l del residuo en el cálculo de R(x) entre a < x < b.

MEDICIONES DEL ERROR EN APROXIMACIONES DE FUNCIONES CON LA SERIE DE TAYLOR f n1 E  x  xo n se relaciona con el error al buscar el valor de E que haga n  1 ! máximo el valor absoluto de R x  , esto es El término R x  

Error = max

f n1 E  x  x0 n1 , para algún valor E  x, x0  n  1 !

EJEMPLO Obtenga (a) la serie de Taylor de la función exponencial f  x   e x alrededor del punto x0  0 . (b) Determine además el error máximo esperado por la aproximación para un polinomio de orden n de aproximación a la función exponencial. SOLUCION n   (a) La fórmula del desarrollo de Taylor es f ( x)   f  x0  x  x0 n n0

Es necesario calcular primero f así pues, n0

ex

n 

x  , para

n!

n  0, 1, 2, , y evaluarla en x0  0 ,

f

0 

 x0  

f

0 

0   e 0  1

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n 1

d x e  ex dx

f 1  x0   f 1 0   e 0  1

n2

d2 x e  ex d x2

 

f 2   x0   f 2  0   e 0  1

n3

d3 x e  ex d x3

f 3  x0   f 3 0   e 0  1

 

 

Como se puede observar a partir de los resultados previos, se puede obtener un resultado general para un valor general n, esto es, dn x e  ex n dx

 

n

f

n 

 x0  

f

n 

0   e 0  1

Sustituyendo en la serie general 

ex   n 0

n   f  n   x0  x  x0 n   1 x  0n   x n! n 0 n ! n 0 n!

Por lo tanto xn x 2 x 3 x 4 x5 1 x      2! 3! 4! 5! n 0 n ! 

ex  

Lo anterior muestra que la función exponencial se puede escribir como una COMBINACIÓN LINEAL infinita de polinomios. b) De acuerdo al resultado previo, f n1  x   e x el cual para el intervalo 0, x  será máximo para E= x  0 , entonces, Error = max

x f n1 E  x  x0 n1 = e x n1 n  1 ! n  1!

En este caso, precisamente el valor e x es el que se quiere determinar con la evaluación del polinomio y se utiliza, por lo tanto el valor obtenido con la serie hasta el término n. EJEMPLO Utilice el resultado anterior y obtenga el valor de f  x   e x , para x  1 par n =4, términos y su error estimado. SOLUCIÓN

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

n

2

3

4

5

n 0

n!

2!

3!

4!

5!

Evaluando e x   x  1  x  x  x  x  x  , par a x= 1 y n=4, 2

e1  1  1 

3

4

1 1 1 65 1 1 1  11    =2 .708333333   2 6 24 24 2! 3! 4!

Por su parte el error estimado es para x=1, n = 4, e x 

Error 1 = max

65 24

64 x f n1 E  x  x0 n1 = e x n1  24 141  13 = 0.0226 576 4  1 ! n  1 ! n  1!

El error porcentual correspondiente es Así se tiene que solamente las dos primeras cifras son correctas, esto es 2.7 e% 

error 0.0226 *100  *100  0.83 % mejor valo r 2.70833

Otra forma de comparar el resultado es utilizar un valor más exacto, por ejemplo, e1 =2.718281828 el cual es obtenido por una calculadora y comparando con el calculado previamente, así se tiene un error Error 2 = V  V *  2.718281 

e% 

65 =0.009948 24

error 0.009948 * 100  0.37 % * 100  2.718281 mejor valor

En muchos casos no se conoce un valor tan exacto por lo que se utilizar el error porcentual mayor.

EJEMPLO (a) Halle el polinomio de Taylor para la función dada f ( x)  ln x, x0  1, n  4. n   La fórmula del desarrollo de Taylor es f ( x)   f  x0  x  x0 n n0

n!

(b) Utilice el resultado anterior y obtenga f 2   ln 1.5 y su estimación del error porcentual. SOLUCIÓN Para n  0  f  x  lnx 

f x0   ln1  0

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1 1  f  x0    1 x 1 1 1 n  2  f  x   2  f x0    2  1 x 1 2 2 n  3  f x  3  f x0   3  2 x 1 3!    3 2 n  4  f IV  x   4  f IV x0    4  6 x 1 n  1  f x  

Sustituyendo f n  x0   x  x0 n  0  1 x  1  1 x  12  2  x  13  6 x  14 n! 1! 2! 3! 4! n 0 1 1 1 2 3 4   x 1  x  1   x 1   x  1 2 3 4 

f ( x)  

Este resultado se puede generalizar para cualquier grado n observando que n  f  n   x   1

n 1

n  1! x

n

 f n  1   1

n 1

n  1! n

1



 1n1 n  1!

sustituyendo en la fórmula general 

ln x   n 0

n 1 n 1   f  n   x0  x  x0 n =   1 n  1!x  1n =   1 x  1n n! n n! n 1 n 1

(b) evaluando en el polinomio previo x  2 1 x  12  1  x  13  1  x  14 2 3 4 1 1 1 7 1 1 1 2 3 4 =0.401041 ln2  1.5  1  1.5  1  1.5  1  1.5  1 = 1     2 3 4 12 2 3 4 ln x   x  1 

el residuo puede para este caso es

 1n2 1E 

n 1

R x 

n 1

x  1n1 , donde E  1, 2,

para el calculo del error se busca el valor de E que conduce a mayor absoluto R x  , para este caso particular ese valor es E =1, entonces

 

 1n2 11 f n1 E  n 1  x  x0  = Error 1 = max n  1 ! 4  1

41

1.5  141 = 0.00625,

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lo cual indica que con total seguridad las dos primeras cifras decimales son correctas, el error porcentual correspondiente es 0.00625 e%  *100 = 1.56 % 0.401041 Considerando el punto medio como valor más adecuado, se tiene un error porcentual =34.28 %

RAICES DE ECUACIONES DE UNA SOLA VARIABLE La solución de problemas en ciencias e ingeniería requiere en ocasiones de la solución de encontrar la raíz o raíces de una función de una variable y= f(x), esto es en forma analítica resolver la ecuación f (x) = 0 La solución de esta ecuación en muchos casos no se puede resolver en forma analítica, por lo que es necesario utilizar otros medios para encontrar sus raíces, por ejemplo se puede recurrir a la gráfica de función ó aplicar un método numérico.

MÉTODO GRÁFICO DE BÚSQUEDA DE RAÍCES Como se sabe, la gráfica de una función y =f(x) es una curva en el plano xy, por lo que las raíces de la ecuación f(x) = 0 son las intersecciones de la gráfica con el eje de las abscisas. Por lo tanto, para obtener la raíz de una función se debe proceder a obtener la respectiva gráfica en el intervalo a < x < b, donde se encuentre la raíz y a partir de la observación de la misma y/o utilizando herramientas de programa seleccionado para graficar aproximarse al valor más adecuado de la raíz. En lo que sigue se utilizará MATLAB como el programa de graficación. EJEMPLO. Encuentre de manera gráfica la raíz (o raíces) de la función f  x   x  ln x  SOLUCION Puesto que 1 1 1 f     ln    0.1932 2 2 2

y

f 1  1  ln1  1 ,

13

Puesto que la función es continua, la función debe tener forzosamente al menos una raíz en el intervalo 0.5