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• Holman Steven Arenas Naranjo

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Resumen de los métodos numéricos…

Resumen de los métodos numéricos…

Resumen de los métodos numéricos…

Modelos matemáticos y solución de problemas en ingeniería …

Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante una relación funcional de la forma:

Modelos matemáticos y solución de problemas en ingeniería

Ejemplo de modelos matemáticos

Newton formuló su segunda ley del movimiento, la cual establece que la razón de cambio del momentum con respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él.

donde F es la fuerza neta que actúa sobre el objeto (N, o kg m/s2), m es la masa del objeto (kg) y a es su aceleración (m/s2).

Ejemplo de modelos matemáticos…

La segunda ley puede escribirse así:

Para ilustrar un modelo más complicado de este tipo, se utiliza la segunda ley de Newton para determinar la velocidad final de la caída libre de un cuerpo que se encuentra cerca de la superficie de la Tierra. Para esto se tiene que:

Ejemplo de modelos matemáticos… Para un cuerpo que cae a distancias cercanas a la Tierra, la fuerza total está compuesta por dos fuerzas contrarias: la atracción hacia abajo debida a la gravedad FD y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire FU

Ejemplo de modelos matemáticos…

La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba.

Este es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él. Para resolverlo es necesario emplear técnicas avanzadas, del cálculo, para obtener una solución exacta o analítica.

Ejemplo de modelos matemáticos…

Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista está en reposo (v = 0 en t = 0), se utiliza el cálculo integral para resolver la ecuación, así

La ecuación anterior es un ejemplo de la forma general de la ecuación de un modelo matemático, donde v(t) es la variable dependiente, t es la variable independiente, c y m son parámetros, y g es la función de fuerza.

Dispositivos y tipos de balances que se usan comúnmente en las cuatro grandes áreas de la ingeniería.

Aproximaciones y errores de redondeo

En muchos problemas de aplicación en ingeniería no es posible obtener la solución analítica; por lo tanto, no se pueden calcular con exactitud los errores en nuestros métodos numéricos. En tales casos debemos usar aproximaciones o estimaciones de los errores.

Este capítulo y el siguiente cubren aspectos básicos relacionados con la identificación, cuantificación y minimización de dichos errores

CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cuando se emplea un número para realizar un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza.

El velocímetro y el odómetro de un automóvil ejemplifican el concepto de cifras signifi cativas.

Como la aguja está más allá de la mitad entre las marcas del indicador, es posible asegurar que el automóvil viaja aproximadamente a 49 km/h, ahora supongamos que se desea obtener una cifra decimal en la estimación de la velocidad. En tal caso, alguien podría decir 48.8, mientras que otra persona podría decir 48.9 km/h.

Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable.

EXACTITUD Y PRECISIÓN La exactitud se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.

DEFINICIONES DE ERROR…

Los errores de truncamiento resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemático exacto. Los errores de redondeo que se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos.

Para ambos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto, o verdadero, y el aproximado está dada por:

DEFINICIONES DE ERROR…

Reordenando la ecuación anterior se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir:

donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t indica que se trata del error “verdadero” (true). Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decir

DEFINICIONES DE ERROR…

El error relativo también se puede multiplicar por 100% para expresarlo como

donde

denota el error relativo porcentual verdadero.

EJEMPLO Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcule a) el error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero en cada caso.

Solución

Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho mayor. Se concluye entonces que se ha hecho un buen trabajo en la medición del puente; mientras que la estimación para el remache dejó mucho que desear.

DEFINICIONES DE ERROR… En muchas aplicaciones reales, no se conoce a priori la respuesta verdadera. Entonces en dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor estimación posible al valor verdadero; es decir, para la aproximación misma, como en

donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado. En los métodos iterativos se hace una aproximación para el calculo del error considerando la aproximación anterior. el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual.

DEFINICIONES DE ERROR…

A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada es

si el siguiente criterio se cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.

DEFINICIONES DE ERROR… EJEMPLO

Errores de truncamiento y la serie de Taylor

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Por ejemplo, la derivada para el calculo de velocidad de un cuerpo en caída libre puede ser representado mediante una ecuación en diferencias finitas de la forma:

Para obtener un conocimiento sobre las características del error de truncamiento, se debe considerar: la serie de Taylor.

LA SERIE DE TAYLOR

Proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Una buena manera de comprender la serie de Taylor consiste en construirla término por término. Por ejemplo, el primer término de la serie es:

Esta relación, llamada la aproximación de orden cero, indica que el valor de f en el nuevo punto es el mismo que su valor en el punto anterior.

LA SERIE DE TAYLOR…

La aproximación de primer orden se obtiene sumando otro término para obtener:

Teorema de Taylor Si la función f y sus primeras n + 1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función en x está dado por:

LA SERIE DE TAYLOR…

donde t = a es una variable muda. La anterior ecuación se llama serie de Taylor o fórmula de Taylor. Si se omite el residuo, el lado derecho de la ecuación es la aproximación del polinomio de Taylor para f(x). En esencia, el teorema establece que cualquier función suave puede aproximarse mediante un polinomio.

LA SERIE DE TAYLOR… Primer teorema del valor medio para integrales Si la función g es continua e integrable en un intervalo que contenga a y x, entonces existe un punto x entre a y x tal que:

La integral puede representarse por un valor promedio de la función g( ) multiplicado por la longitud del intervalo x – a. Como el promedio debe encontrarse entre los valores mínimo y máximo del intervalo, existe un punto x = x en el cual la función toma el valor promedio.

LA SERIE DE TAYLOR… Segundo teorema del valor medio para integrales Si las funciones g y h son continuas e integrables en un intervalo que contiene a y x, y h no cambia de signo en el intervalo, entonces existe un punto x entre a y x tal que

El segundo teorema se aplica a la ecuación del residuo con

Conforme t varía de a a x, h(t) es continua y no cambia de signo. Por lo tanto, si es continua, entonces se satisface el teorema del valor medio para integrales.

LA SERIE DE TAYLOR… Segundo teorema del valor medio para integrales… Forma de Lagrange del residuo.

La serie truncada en el segundo termino, sólo es exacta para una línea recta o una tendencia lineal. Por lo tanto, se le agrega a la serie un término de segundo orden para obtener algo de la curvatura, que pudiera presentar la función:

LA SERIE DE TAYLOR… De manera similar, se agregan términos adicionales para desarrollar la expansión completa de la serie de Taylor:

Se incluye un término residual para considerar todos los términos desde el n +1 hasta infinito:

LA SERIE DE TAYLOR… Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un tamaño de paso o incremento y expresando la serie de Taylor como:

donde el término residual es ahora

Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor

Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor… Solución. Ya que se trata de una función conocida, es posible calcular valores de f(x) entre 0 y 1. Los resultados indican que la función empieza en f(0) = 1.2 y hace una curva hacia abajo hasta f(1) = 0.2. Por lo tanto, el valor verdadero que se trata de predecir es 0.2. La aproximación de la serie de Taylor con n = 0 es:

Como se muestra en la siguiente figura, la aproximación de orden cero es una constante. Usando esta formulación resulta un error de truncamiento de:

en x = 1

Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor…

Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor…

Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor…

Por consiguiente, la expansión de la serie de Taylor hasta la cuarta derivada da una estimación exacta para xi+l = 1:

Ejemplo 2: Uso de la expansión de la serie de Taylor para aproximar una función con un número infi nito de derivadas

Ejemplo 2: Uso de la expansión de la serie de Taylor para aproximar una función con un número infinito de derivadas 1

Ejemplo 2: Uso de la expansión de la serie de Taylor para aproximar una función con un número infinito de derivadas…

Este proceso continúa y sus resultados se enlistan en la siguiente tabla, Observe que las derivadas nunca se aproximan a cero, como es el caso con el polinomio del ejemplo 1. Por lo tanto, cada término que se le agrega a la serie, genera una mejor aproximación.

Ejemplo 2: Uso de la expansión de la serie de Taylor para aproximar una función con un número infinito de derivadas…

INTERPOLACIÓN Con frecuencia se encontrará con que tiene que estimar valores intermedios entre datos definidos por puntos. El método más común que se usa para este propósito es la interpolación polinomial. Recuerde que la fórmula general para un polinomio de n-ésimo grado es:

Ejemplos de interpolación polinomial: a) de primer grado (lineal) que une dos puntos, b) de segundo grado (cuadrática o parabólica) que une tres puntos y c) de tercer grado (cúbica) que une cuatro puntos.

Interpolación lineal La forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos con una línea recta. Dicha técnica, llamada interpolación lineal: Utilizando triángulos semejantes

(1)

reordenándose se tiene (2) Esquema gráfico de la interpolación lineal. Las áreas sombreadas indican los triángulos semejantes usados para obtener la fórmula de la interpolación lineal.

Observe que además de representar la pendiente de la línea que une los puntos, el término [f(x1) – f(x0)]/(x1 – x0) es una aproximación en diferencia dividida finita a la primer derivada

Ejemplo 1: Interpolación lineal

Ejemplo 1: Interpolación lineal…

2

Ejemplo 1: Interpolación lineal…

Dos interpolaciones lineales para estimar ln 2. Observe cómo el intervalo menor proporciona una mejor estimación.

Interpolación cuadrática Una estrategia para mejorar la estimación consiste en introducir alguna curvatura a la línea que une los puntos. Si se tienen tres puntos como datos, éstos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado (también conocido como polinomio cuadrático o parábola). Una forma particularmente conveniente para ello es

(3) A continuación se muestra que la ecuación anterior corresponde a un polinomio de grado dos, al multiplicar los términos de esta misma ecuación.

agrupando términos,

donde

Interpolación cuadrática… Para encontrar b0, se evalúa la ecuación (3) con x = x0 para obtener (4) La ecuación (4) se sustituye en la (3), después se evalúa en x = x1 para tener (5) Por último, las ecuaciones (4) y (5) se sustituyen en la (3), después se evalúa en x = x2 y (luego de algunas manipulaciones algebraicas) se resuelve para:

(6)

Observe que la ecuación (3) comienza a manifestar una estructura semejante a la expansión de la serie de Taylor.

Ejemplo 2: Interpolación cuadrática

1

Ejemplo 2: Interpolación cuadrática… (4)

(5)

(6)

(3)

Ejemplo 2: Interpolación cuadrática… La solución anterior representa un error relativo de ξt = 18.4%. Así, la curvatura determinada por la fórmula cuadrática (siguiente grafica) mejora la interpolación comparándola con el resultado obtenido antes al usar las líneas rectas del ejemplo de interpolación lineal.

El uso de la interpolación cuadrática para estimar ln 2. Para comparación se presenta también la interpolación lineal desde x = 1 hasta 4.

Forma general de los polinomios de interpolación de Newton El análisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio de n-ésimo grado a n + 1 datos. El polinomio de n-ésimo grado es (7) Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadráticas, los puntos asociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes b0, b1,..., bn. Para un polinomio de n-ésimo grado se requieren n + 1 puntos: [x0, f(x0)], [x1, f(x1)],..., [xn, f(xn)]. Usamos estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes: (8) (9)

(10)

(11)

Forma general de los polinomios de interpolación de Newton… donde las evaluaciones de la función colocadas entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma general se representa como: (12)

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas, se expresa en forma general como:

(13)

Forma general de los polinomios de interpolación de Newton… En forma similar, la n-ésima diferencia dividida finita es

(14)

Estas diferencias sirven para evaluar los coeficientes en las ecuaciones (8) a (11), los cuales se sustituirán en la ecuación (7) para obtener el polinomio de interpolación:

(15)

que se conoce como polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas

Forma general de los polinomios de interpolación de Newton…

Representación gráfica de la naturaleza recursiva de las diferencias divididas finitas.

Ejemplo 3: Polinomios de interpolación de Newton en diferencias divididas

2

Ejemplo 3: Polinomios de interpolación de Newton en diferencias divididas… (7)

(12)

(13)

Ejemplo 3: Polinomios de interpolación de Newton en diferencias divididas… (14)

(7)

(7)

Errores de la interpolación polinomial de Newton

La ecuación (15) es similar a la expansión de la serie de Taylor en el sentido de que se van agregando términos en forma secuencial. Los términos son diferencias divididas finitas y, así, representan aproximaciones de las derivadas de orden superior. También, como en el caso de la serie de Taylor, es posible obtener una formulación para el error de truncamiento.

(16)

donde x está en alguna parte del intervalo que contiene la incógnita y los datos. Como la función es desconocida se usa una diferencia dividida finita para aproximar la (n + 1)-ésima derivada:

Errores de la interpolación polinomial de Newton…

(17)

Donde ƒ[x, xn, xn–1,. . . , x0] es la (n + 1)-ésima diferencia dividida finita. Debido a que la ecuación (17) contiene la incógnita f(x), no permite obtener el error. Sin embargo, si se tiene un dato más, f(xn+1), la ecuación (17) puede usarse para estimar el error como sigue:

(18)

Ejemplo 4: Estimación del error para el polinomio de Newton

2

( 18) 2.

Ejemplo 4: Estimación del error para el polinomio de Newton 2

(18),

3.

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se representa de manera concisa como

(19)

Donde

(20)

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE… donde Π designa el “producto de”. Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es

(21)

y la versión de segundo grado es

(22)

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE…

Descripción visual del razonamiento detrás del polinomio de Lagrange. Esta figura muestra un caso de segundo grado. Cada uno de los tres términos en la ecuación (22) pasa a través de uno de los puntos que se tienen como datos y es cero en los otros dos. La suma de los tres términos, por lo tanto, debe ser el único polinomio de segundo grado f2(x) que pasa exactamente a través de los tres puntos.

Ejemplo:Polinomios de interpolación de Lagrange

Ejemplo:Polinomios de interpolación de Lagrange

21

22

Obtención del polinomio de Lagrange directamente a partir del polinomio de interpolación de Newton El polinomio de interpolación de Lagrange se obtiene de manera directa a partir de la formulación del polinomio de Newton. Por ejemplo, la primera diferencia dividida es (a)

se reformula como

(b)

Obtención del polinomio de Lagrange directamente a partir del polinomio de interpolación de Newton… La ecuación (b) es conocida como la forma simétrica. Al sustituir la ecuación (b) en la formula de interpolación lineal, se obtiene

Por último, al agrupar términos semejantes y simplificar se obtiene la forma del polinomio de Lagrange

INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES)

consiste en colocar polinomios de grado inferior en subconjuntos de los datos. Tales polinomios conectores se denominan trazadores o splines.

Por ejemplo, las curvas de tercer grado empleadas para unir cada par de datos se llaman trazadores cúbicos. Esas funciones se pueden construir de tal forma que las conexiones entre ecuaciones cúbicas adyacentes resulten visualmente suaves.

El concepto de trazador se originó en la técnica de dibujo que usa una cinta delgada y flexible (llamada spline, en inglés)

INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES)… por qué un trazador aún resulta preferible ?

La función que se ajusta presenta un incremento súbito en x = 0. Los incisos a) a c) indican que el cambio abrupto induce oscilaciones en los polinomios de interpolación. En contraste, como se limitan a curvas de tercer grado con transiciones suaves, un trazador lineal d) ofrece una aproximación mucho más aceptable.

Trazadores lineales Los trazadores de primer grado para un grupo de datos ordenados pueden definirse como un conjunto de funciones lineales

donde mi es la pendiente de la línea recta que une los puntos:

(23)

Estas ecuaciones se pueden usar para evaluar la función en cualquier punto entre x0 y xn localizando primero el intervalo dentro del cual está el punto.

Ejemplo: Trazadores de primer grado

Ejemplo: Trazadores de primer grado

23

Trazadores (splines) cuadráticos El objetivo de los trazadores cuadráticos es obtener un polinomio de segundo grado para cada intervalo entre los datos. De manera general, el polinomio en cada intervalo se representa como (24A)

Notación utilizada para obtener trazadores cuadráticos. Observe que hay n intervalos y n + 1 datos. El ejemplo mostrado es para n = 3.

Trazadores (splines) cuadráticos… Para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n) existen n intervalos y, en consecuencia, 3n constantes desconocidas (las a, b y c) por evaluar. Por lo tanto, se requieren 3n ecuaciones o condiciones para evaluar las incógnitas. Éstas son:

1. Los valores de la función de polinomios adyacentes deben ser iguales en los nodos interiores. Esta condición se representa como para i = 2 a n. Como sólo se emplean nodos interiores, las ecuaciones (24) y (25) proporcionan, cada una, n – 1 condiciones; en total, 2n – 2 condiciones.

(24) (25)

Trazadores (splines) cuadráticos… 2. La primera y la última función deben pasar a través de los puntos extremos. Esto agrega dos ecuaciones más: (26) (27) en total tenemos 2n – 2 + 2 = 2n condiciones. 3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales. La primera derivada de la ecuación 24A es

Por lo tanto, de manera general la condición se representa como (28)

Trazadores (splines) cuadráticos… para i = 2 a n. Esto proporciona otras n – 1 condiciones, llegando a un total de 2n + n – 1 = 3n – 1. Como se tienen 3n incógnitas, nos falta una condición más.

4. Suponga que en el primer punto la segunda derivada es cero. Como la segunda derivada de la ecuación 24A es 2ai, entonces esta condición se puede expresar matemáticamente como

La interpretación visual de esta condición es que los dos primeros puntos se unirán con una línea recta.

Ejemplo: Trazadores cuadráticos Planteamiento del problema. Ajuste trazadores cuadráticos a los mismos datos que se utilizaron en el ejemplo de trazadores lineales (tabla 18.1). Con los resultados estime el valor en x = 5.

Ejemplo: Trazadores cuadráticos…

24

26

27

28

25

Ejemplo: Trazadores cuadráticos…

Ejemplo: Trazadores cuadráticos…

Ejemplo: Trazadores cuadráticos…

Figura 18.16b

Trazadores cúbicos El objetivo en los trazadores cúbicos es obtener un polinomio de tercer grado para cada intervalo entre los nodos: (29) Así, para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n), existen n intervalos y, en consecuencia, 4n incógnitas a evaluar. Como con los trazadores cuadráticos, se requieren 4n condiciones para evaluar las incógnitas. Éstas son: 1. Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores (2n – 2 condiciones). 2. La primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos (2 condiciones). 3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condiciones). 4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condiciones). 5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones).

Método para obtener trazadores cúbicos la segunda derivada dentro de cada intervalo es una línea recta. La ecuación (29) se puede derivar dos veces para verificar esta observación. Con esta base, la segunda derivada se representa mediante un polinomio de interpolación de Lagrange de primer grado

Después, la ecuación (C18.3.1) se integra dos veces para obtener una expresión para fi(x).

Las constantes se evalúan tomando las condiciones de igualdad de las funciones [f(x) debe ser igual a f(xi–1) en xi–1 y f(x) debe ser igual a f(xi) en xi)].

Método para obtener trazadores cúbicos

observe que contiene sólo dos “coeficientes” desconocidos; es decir, las segundas derivadas al inicio y al final del intervalo: ƒ´´(xi–1) y ƒ´´(xi). Si podemos determinar la segunda derivada en cada nodo, la ecuación (C18.3.2) es un polinomio de tercer grado que se utiliza para interpolar dentro del intervalo.

Método para obtener trazadores cúbicos… Las segundas derivadas se evalúan tomando la condición de que las primeras derivadas deben ser continuas en los nodos:

La ecuación (C18.3.2) se deriva para ofrecer una expresión de la primera derivada. Si se hace esto tanto para el (i – 1)-ésimo, como para i-ésimo intervalos, y los dos resultados se igualan de acuerdo con la ecuación (B18.3.3), se llega a la siguiente relación:

Método para obtener trazadores cúbicos… Si la ecuación (C18.3.4) se escribe para todos los nodos interiores, se obtienen n – 1 ecuaciones simultáneas con n + 1 segundas derivadas desconocidas. Sin embargo, como ésta es un trazador cúbico natural, las segundas derivadas en los nodos extremos son cero y el problema se reduce a n – 1 ecuaciones con n – 1 incógnitas.

La deducción del cuadro 18.3 da como resultado la siguiente ecuación cúbica en cada intervalo:

Método para obtener trazadores cúbicos…

Ejemplo: Trazadores cúbicos Planteamiento del problema. Ajuste trazadores cúbicos a los mismos datos que se utilizaron en el ejemplo de trazadores lineales (tabla 18.1). Con los resultados estime el valor en x = 5.

Ejemplo: Trazadores cúbicos…

Ejemplo: Trazadores cúbicos…

Ejemplo: Trazadores cúbicos…

Ejemplo: Trazadores cúbicos…