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DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE BERNOULLI

I. OBJETIVO: 

Demostrar el teorema de Bernoulli a través a través de prácticas experimentales por medio de los tubos de Pitot y medidas piezométricas.

II. FUNDAMENTO TEORICO: El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.

La ecuación de Bernoulli La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:   

Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido; Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea; Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

La siguiente ecuación conocida como "ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

Dónde: V = velocidad del fluido en la sección considerada. ρ = densidad del fluido. P = presión a lo largo de la línea de corriente. g = aceleración gravitatoria z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. 

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:



Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido. Caudal constante Flujo incompresible, donde ρ es constante. La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo irrotacional

  

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TEOREMA DE BERNOULLI

En estas bases teóricas, se considera que el fluido es ideal, pero las partículas rozan unas con otras. En este proceso la velocidad de las partículas disminuye y la energía del sistema se transforma en calor. Se considera que ∆H es la pérdida de presión entre las dos secciones, por lo que:

Donde ∆P es la pérdida de potencial. Con esto, se considera la ecuación de Bernoulli como:

TUBOS DE PITOT: La operativa con un tubo de Pitot es: En primer lugar, se considera un obstáculo fijo en el fluido en movimiento.

La línea ∆P termina en el punto de impacto (P), si se hace un orificio en este punto P y se une éste con un tubo de medida, se está midiendo la presión total: Se puede también conocer la velocidad en la tubería, esto es:

(

) √

III. DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO: El equipo de demostración del teorema de Bernoulli, FME03, está formado por un conducto de sección circular con la forma de un cono truncado, transparente y con siete llaves de presión que permiten medir, simultáneamente, los valores de presión estática que correspondiente a cada punto de las siete secciones diferentes. Todas las llaves de presión están conectadas a un manómetro con un colector de agua presurizada o no presurizada. Los extremos de los conductos son extraíbles, por lo que permiten su colocación tanto de forma convergente como divergente con respeto a la dirección del flujo. Hay también una sonda (tubo de Pitot) moviéndose a lo largo de la sección para medir la altura en cada sección (presión dinámica)

La velocidad de flujo en el equipo puede ser modificada ajustando la válvula de control y usando la válvula de suministro del Banco o Grupo Hidráulico. Una manguera flexible unida a la tubería de salida se dirige al tanque volumétrico de medida. Para las prácticas, el equipo se montará sobre la superficie de trabajo del banco. Tiene patas ajustables para nivelar el equipo. La tubería de entrada termina en un acoplamiento hembra que debe de ser conectado directamente al suministro del banco. IV. MATERIALES:  

Banco Hidráulico Cronometro

V. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: COMO LLENAR LOS TUBOS MANOMÉTRICOS

1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15.

En esta sección, se explica el procedimiento a seguir para un correcto llenado de los tubos manométricos. Cerrar la válvula de control del Banco o Grupo Hidráulico (VC) y cerrar también la válvula de control de flujo del equipo (VCC). Poner en marcha la bomba de agua y abrir completamente la válvula VCC. Abrir despacio la válvula CV hasta que se alcance un flujo máximo. Cuando todos los tubos manométricos están completamente llenos de agua y no hay ninguna burbuja de aire, ciérrese VC y VCC. Es muy importante que el equipo sea un compartimiento estanco. Retírese la válvula anti-retomo o ábrase la válvula de purga. Abrase despacio la válvula VCC. Se puede observar como los tubos comienzan a llenarse de aire. Cuando todos los tubos han obtenido la altura deseada (30 ò 40 mm.), cierre la válvula VCC y coloque la válvula anti-retomo VCC o cierre la válvula de purga. Abrir la válvula de caudal del Banco o Grupo Hidráulico y la válvula de regulación del equipo. Fijar un caudal y anotar su valor. Colocar el tubo de Pitot en la primera toma de presión de mínima sección. Esperar a que la altura en el tubo manométrico de Pitot se estabilice. Este proceso puede tardar unos minutos. Cuando la altura de ambos tubos sea estable, determinar la diferencia de altura entre los dos tubos manométricos; presión estática "hi" y presión total "htp" (tubo de Pitot). La diferencia corresponde a la presión cinética dada por "V2/2g". Determinar la sección con la siguiente ecuación: S=Q/V, donde Q es el caudal de agua y V es la velocidad obtenida en dicha sección. Repetir todos los pasos descritos anteriormente para cada toma de presión. Repetir los pasos previos para diferentes caudales de agua. Para cada caudal de agua la sección debe ser más o menos la misma. Calcular la media de las secciones obtenidas con diferentes caudales de agua.

VI. RESULTADOS: Anote en la tabla para cada posición de estrangulamiento la velocidad del fluido y la altura cinética.

1. Cuando el tubo de Pitot se encuentra en la sección inicial Tabla Nº 01 S7 (mm) 138 102 256

2.

So (mm) 133 92 229

So - S7 (mm) 5 10 27

Volumen (litros) 2 2 5

Tiempo (seg.) 22.09 10.725 11.22

Caudal (10-3m3/s) 0.09053 0.1864 0.4456

Cuando el tubo de Pitot se encuentra en la sección 1 Tabla Nº 02 S7 (mm) 180 220 399

3.

S1 (mm) 86 106 161

S1 - S7 (mm) 94 114 238

Volumen (litros) 2 2 2

Tiempo (seg.) 25.595 19.355 13.486

Caudal (10-3m3/s) 0.07814 0.1033 0.1483

Cuando el tubo de Pitot se encuentra en la sección 2 Tabla Nº 03 S7 (mm) 180 183 373

4.

S2 (mm) 87 60 101

S2 - S7 (mm) 93 123 272

Volumen (litros) 2 2 2

Tiempo (seg.) 20.69 17.045 13.045

Caudal (10-3m3/s) 0.09666 0.11734 0.153

Cuando el tubo de Pitot se encuentra en la sección 3 Tabla Nº 04 S7 (mm) 144 238 351

5.

S3 (mm) 110 133 176

S3 - S7 (mm) 34 105 175

Volumen (litros) 2 2 2

Tiempo (seg.) 27.4 16.935 13.605

Cuando el tubo de Pitot se encuentra en la sección 4

Caudal (10-3m3/s) 0.07299 0.118 0.147

Tabla Nº 05 S7 (mm) 310 390 457

6.

S4 (mm) 280 350 380

S4 – S7 (mm) 30 40 77

Volumen (litros) 3 3 3

Tiempo (seg.) 16.51 12.98 11.48

Caudal (10-3m3/s) 0.1817 0.2311 0.2613

Cuando el tubo de Pitot se encuentra en la sección 5 Tabla Nº 06 S7 (mm) 139 228 361

7.

S5 (mm) 100 122 151

S5 - S7 (mm) 39 106 210

Volumen (litros) 2 2 2

Tiempo (seg.) 16.195 11.46 7.82

Caudal (10-3m3/s) 0.1234 0.1745 0.2556

Cuando el tubo de Pitot se encuentra en la sección 6 Tabla Nº 07 S7 (mm) 109 159 250

S6 (mm) 95 119 170

S6 - S7 (mm) 14 40 88

Volumen (litros) 2 2 2

Tiempo (seg.) 16.04 9.675 6.04

Caudal (10-3m3/s) 0.1246 0.2067 0.3311

TABLA Nº 08 Diámetros en cada punto Posición Longitud Sección ( m2)

0 2.5 4.909x 10-4

1 0.89 0.622x 10-4

2 0.99 0.770x 10-4

3 1.03 0.833x 10-4

4 1.1 0.950x 10-4

 Para el cálculo de la velocidad, se procede a

5 1.24 1.208x 10-4

6 1.94 2.956x 10-4

7 2.5 4.909 x10-4

aplicar la ecuación de continuidad en 2 puntos , y se estima con la siguiente ecuación : V (velocidad en m/s) = Q/S

De la ecuación: Donde: V: velocidad (m/s) g: gravedad (g= 9.806 m/s2) h: Diferencia de altura (mm)

 Para el cálculo de la altura cinética se tiene la ecuación : √

Donde: V: velocidad (m/s) g: gravedad (g= 9.806 m/s2) : Altura cinética (mm)  Calculo de la altura piezométrica: De la ecuación:

Donde: h: altura (metros leidos en cada lectura de la practica para cada punto)

 Después de haber realizado los calculo correspondientes se procede a llenar o completar las siguientes tablas para diferentes alturas de presión:

Caudal (10-3m3/s)

Velocidad (m/s)

Sección (10-3m2)

0.09053 0.1864 0.4456

0.1844 0.3797 0.9077

0.4909 0.4909 0.4909

Caudal (10-3m3/s)

Velocidad (m/s)

Sección (10-3m2)

0.07814 0.1033 0.1483

1.2563 1.6608 2.3842

0.0622 0.0622 0.0622

Tabla Nº 01 Altura S0-S7 cinética (m.c.a) m.c.a 0.001734 0.005 0.00735 0.010 0.04201 0.027

Altura piezometrica m.c.a 0.133 0.092 0.229

Altura Total Cin.+alt. pie. (m.c.a) 0.1347 0.09935 0.27101

Tabla Nº 02 Altura S1-S7 cinética (m.c.a) m.c.a 0.0805 0.094 0.1406 0.114 0.2598 0.238

Altura piezometrica m.c.a 0.086 0.106 0.161

Altura Total Cin.+alt. pie. (m.c.a) 0.1665 0.2466 0.4208

Pitot m.c.a 0.138 0.102 0.256

Pitot m.c.a 0.180 0.220 0.399

Caudal (10-3m3/s)

Velocidad (m/s)

Sección (10-3m2)

0.09666 0.11734 0.153

1.1604 1.40864 1.8367

0.077 0.077 0.077

Caudal (10-3m3/s)

Velocidad (m/s)

Sección (10-3m2)

0.07299 0.118 0.147

0.7683 1.2421 1.5474

0.0833 0.0833 0.0833

Caudal (10-3m3/s)

Velocidad (m/s)

Sección (10-3m2)

0.1817 0.2311 0.2613

1.5041 1.9131 2.1631

0.1208 0.1208 0.1208

Caudal (10-3m3/s)

Velocidad (m/s)

Sección (10-3m2)

0.1234 0.1745 0.2556

0.4174 0.5903 0.864

0.2956 0.2956 0.2956

Caudal (10-3m3/s)

Velocidad (m/s)

Sección (10-3m2)

0.1246 0.2067 0.3311

0.2538 0.4211 0.6745

0.4909 0.4909 0.4909

Tabla Nº 03 Altura S2-S7 cinética (m.c.a) m.c.a 0.0687 0.093 0.1012 0.123 0.2420 0.272

Altura piezometrica m.c.a 0.087 0.060 0.101

Altura Total Cin.+alt. pie. (m.c.a) 0.1557 0.1612 0.343

Tabla Nº 04 Altura S3-S7 cinética (m.c.a) m.c.a 0.0301 0.034 0.0787 0.105 0.1621 0.175

Altura piezometrica m.c.a 0.110 0.133 0.176

Altura Total Cin.+alt. pie. (m.c.a) 0.1401 0.2117 0.3381

Tabla Nº 05 Altura S4-S7 cinética (m.c.a) m.c.a 0.0548 0.030 0.0766 0.040 0.1045 0.077

Altura piezometrica m.c.a 0.280 0.350 0.380

Altura Total Cin.+alt. pie. (m.c.a) 0.3348 0.4266 0.4845

Tabla Nº 06 Altura S5-S7 cinética (m.c.a) m.c.a 0.00888 0.039 0.1178 0.106 0.2381 0.210

Altura piezometrica m.c.a 0.100 0.122 0.151

Altura Total Cin.+alt. pie. (m.c.a) 0.1089 0.2398 0.3891

Tabla Nº 07 Altura S6-S7 cinética (m.c.a) m.c.a 0.0033 0.014 0.027 0.040 0.068 0.088

Altura piezometrica m.c.a 0.095 0.119 0.170

Altura Total Cin.+alt. pie. (m.c.a) 0.0983 0.146 0.238

Pitot m.c.a 0.180 0.183 0.373

Pitot m.c.a 0.144 0.238 0.351

Pitot m.c.a 0.310 0.390 0.457

Pitot m.c.a 0.139 0.228 0.361

Pitot m.c.a 0.109 0.159 0.250

VII. CUESTIONARIO:

1.

Tomando un caudal promedio ,( para esto se debe interpolar) graficar un diagrama de evolución de las alturas cinética , piezometrica y total en una escala conveniente y en un mismo grafico para todos los puntos : Altura cinética, Altura piezometrica y Altura Total Si-S7, Altura piezometrica y Pitot Comentar acerca de las diferencias entre la altura cinética y Si-S7, y Altura Total, con Altura de Pitot. Debido a que se presentan las diferencias

Comprobación Teorema de Bernoulli 35

Altura (cm)

30 25 20

Series1

15

Series2

10

Series3

5 0 1

2

3

4

5

6

7

Número de Piezómetro

Hay diferencias ya que las medidas tomadas tuvieron algunos cálculos de medición considerables. 



 2.

Altura Total Altura Piezométrica Altura de Velocidad

Definir que es Presión Dinámica y que es Presión Estática, y cuál es la diferencia entre ambas.

PRESION DINAMICA Se puede decir que cuando los fluidos se mueven en un conducto, la inercia del movimiento produce un incremento adicional de la presión estática al chocar sobre un área perpendicular al movimiento. Esta fuerza se produce por la acción de la presión conocida como dinámica. La presión dinámica depende de la velocidad y la densidad del fluido. En mecánica de fluidos Se define como presión dinámica en la cantidad definida por:

Donde (utilizando unidades del sistema internacional): q ρ v

: presión dinámica en pascales : densidad del fluido en kg/m3 (e.g. densidad del aire) : velocidad del fluido en m/s

PRESIÓN ESTÁTICA La figura muestra un esquema de un recipiente lleno con líquido hasta una altura h. Esta columna líquida ejercerá una presión sobre el fondo y las paredes de recipiente que lo contiene de valor: P=δxh Donde δ es la densidad o peso específico del líquido y h la altura de la columna, Si consideramos ahora una sección del fondo de área A, la fuerza f resultante de la presión sobre esta área sería: f=PxA Donde A es el área de la sección y P la presión a que está sometida. Una típica presión estática, es la presión atmosférica, producida en todas direcciones sobre los cuerpos colocados en la superficie de la tierra debido a la gran columna de aire sobre ellos. El resultado de esta acción en todas direcciones de la presión atmosférica no produce fuerza neta de empuje del cuerpo hacia algún lado, solo tiende a comprimirlo.

DIFERENCIA ENTRE PRESIÓN ESTÁTICA Y LA PRESIÓN DINÁMICA La presión estática en un punto de un fluido se manifiesta con la aparición de una fuerza sobre una superficie. La presión dinámica es la energía cinética que tiene el fluido en movimiento. Un fluido en una conducción es como un coche que va por la carretera, las ruedas ejercen presión sobre el asfalto (presión estática) y por tener velocidad posee una energía cinética (presión dinámica). Es habitual en el lenguaje de los bomberos denominar presión dinámica a la que marca un manómetro cuando el agua que circula en una instalación se encuentra en movimiento. Esta forma de expresarse no es correcta ya que el concepto técnico de presión dinámica es el expuesto, lo que marca un manómetro en esa situación es una presión estática, la cual ha disminuido respecto a la que había ya que parte de la energía, que poseía el agua cuando estaba en reposo, se ha gastado en poner en movimiento el fluido. Por eso es más adecuado llamar esta presión residual. La presión estática, en hidráulica se mide en metros de columna de agua, que es lo que se denomina altura de presión: Hp = P/gamma El significado físico de esta altura es que si tenemos un cilindro de agua de Hp de altura, sobre su base se estará ejerciendo la presión P. La presión dinámica, es la energía cinética que posee un metro cúbico de fluido con velocidad v. Es decir es el trabajo que hemos gastado es llevar un metro cúbico de fluido de cero a la velocidad v. Se define altura de velocidad: Hv = v2/2g El significado físico de esta altura Hv es la altura que habría que dejar caer un metro cúbico de fluido para que al llegar al suelo tuviera una velocidad v. Por lo tanto, no hay que confundir la altura de presión con la altura de velocidad, ya que su significado físico es distinto. 3. ¿Qué aplicaciones industriales se tienen tomando en cuenta el Bernoulli?

Teorema de

Tiene numerosas aplicaciones industriales, como diseño de canales, construcción de puertos y presas, fabricación de barcos, turbinas, etc. Además de aplicaciones neumáticas y electro neumática, bombas y turbinas.

4.

Investigar cómo se aplica el Teorema de Bernoulli a el Teorema de Torricelli (velocidad de un liquido a través de un orificio) Demostrarlo matemáticamente.

Consideremos el caso de un recipiente cilíndrico de diámetro d2, cuya área transversal es S2, conteniendo un fluido, por ejemplo agua, hasta cierto nivel h2, como se indica esquemáticamente en la Fig.1. Nuestro recipiente drena por un pequeño orificio en la parte inferior de diámetro d1 y sección S1 (S1