• Author / Uploaded
• Aldruval Cardozo Altamirano

Citation preview

2) DEMOSTRACION DE LA ECUACION DE BERNOULLI Existen varias formas alternativas para derivar la ecuación de Bernoulli, pero todas parten de la ecuación diferencial de la cantidad de movimiento conocida como ecuación de Navier- Stokes, que establece el equilibrio entre las fuerzas de inercia, masa, presión y viscosidad por unidad de volumen que actúan sobre una partícula fluida elemental.



DV 1    K  p  u .V   2 V  ……… (1) Dt 3 

Alternativa 1





La ecuación anterior, considerando un fluido ideal incomprensible   cte, .V  0 y no viscoso u  0 , se reduce a la denominada ecuación de Euler, que se describe:

DV   K  p ......... (2) Dt

 Sabiendo:

DV : la derivada sustancial de la velocidad . Dt

K : el vector que representa el campo de fuerza de masa.

 , p : la densidad y la presion respectiva mente.  : el operador vectorial de hamilton   i 

 x  j   y  k   z

Si el campo de fuerzas de masa es el gravitatorio (campo posicional independiente del tiempo, y que deriva de un potencial), el mismo se puede expresar como:

K   gz ……. (3) Donde con “d” se indica la aceleración de la gravedad u “z” es una distancia vertical medido a partir de una referencia arbitraria. Multiplicando la (2) por el vector velocidad V se obtiene:



.V .DV  V . K  V .p …….. (4) Dt

Por otra parte, el diferencial del cuadrado de la velocidad se puede expresar como:

D(V )  2.V DV 2

Y el producto de la velocidad por su diferencial resulta:

.V DV  D(1 2.V ) …….. (5) 2

El vector velocidad el cuadrado, es igual al módulo de la velocidad al cuadrado: 2 V  ui  v j  wk  . ui  v j  wk   u 2  v 2  w2  V 2 ……. (6)

Efectuando los reemplazos correspondientes, la (2) se escribe:



D(1 2 .V 2 )  V . p  gz  ……. (7) Dt

La derivada sustancial de 1 2V 2 se expresa como suma de su variación local más el termino convectivo o de transporte:

V .(1 2 V 2  p  gz )  0 Llamando a la cantidad entre paréntesis: E  1 2 V 2  p  gz

V N E  0 …… (8) La anterior, admite la siguiente interpretación: para que el producto escalar sea nulo en todo el campo de movimiento, el gradiente de la cantidad E debe ser perpendicular al vector velocidad lo que implica que esa cantidad debe ser siempre constante a lo largo de cualquier línea de corriente del campo de movimiento y consecuentemente para dos puntos de una misma línea de corriente se verificará:

1 2 V12  p1  gz1  1 2V22  p2  gz 2 …… (9) En general la constante E no tiene el mismo valor para las distintas líneas de corriente del campo de movimiento, pero sobre cada una de ellas se verificará la relación. Esta es la formulación clásica de la ecuación de Bernoulli, y debe puntualizarse que su validez está restringida a movimientos fluidos con las siguientes características: 

Flujo incompresible   cte , .V  0

   

Fluido no viscoso u  0 Movimiento estacionario, independiente del tiempo. Flujo a lo largo de una línea de corriente. Campo de fuerzas de masa gravitatorio

Dividiendo ambos miembros de la ecuación (9) por la densidad se obtiene:

1 2V12 

p1



 gz1  1 2V22 

p2



 gz 2 …….. (10)

Dividiendo ambos miembros de la ecuación (10) por la gravedad se obtiene: 𝐕𝟏𝟐 𝐏𝟏 𝐕𝟐𝟐 𝐏𝟐 + + 𝐙𝟏 = + + 𝐙𝟐 𝟐𝐠 𝛄 𝟐𝐠 𝛄 Una nota sobre la interpretación de la Ecuación de Bernoulli

Un análisis dimensional de la ecuación de Bernoulli muestra que la dimensión de sus términos es “energía/masa”, y basándose en esta dimensión, frecuentemente se interpreta que la ecuación de Bernoulli es una “ecuación de conservación de la energía mecánica total específica de una partícula a lo largo de una línea de corriente.